§9
微分積分学 基本定理 不定積分 演習問題
1解答
問題 難易度 目安 【基礎】899 【標準】889 【発展】888
1 (899) 以下 各問 答 ． (1) F(x) =
∫ x 0
cost dt 微分 ．
(2) G(x) =
∫ x
0
xcost dt 微分 ．
(3)
∫ x 0
f(t)dt=xsinx 連続関数f(x) 求 ．
解答. (1) 微分積分学 基本定理 F′(x) = cosx． (2) 微分積分学 基本定理 用 ，
F′(x)= (
x
∫ x 0
cost dt )′
積分変数 t 場合，t以外 文字 定数 ．
= (x)′
∫ x 0
cost dt+x (∫ x
0
cost dt )′
=
∫ x 0
cost dt+xcosx (∵(1))
= [
sint ]x
t=0+xcosx
=sinx+xcosx.
(3) 与式
∫ x 0
f(t)dt = xsinx 両辺 x 微分 ， d dx
∫ x 0
f(t)dt = (xsinx)′ · · ·⃝1 ． 左辺 微分積分学 基本定理 適用 ，⃝1
f(x)= (xsinx)′ = (x)′sinx+x(sinx)′
=sinx+xcosx.
2 (899) 以下 各問 答 ． (1) F(x) =
∫ x 0
etdt 微分 ．
(2) G(x) =
∫ x
0
ex+tdt 微分 ．
(3)
∫ x 0
f(t)dt=xex 連続関数f(x) 求 ．
解答. (1) 微分積分学 基本定理 F′(x) =ex．
(2) 指数法則ex+t =exet 微分積分学 基本定理 用 ， F′(x)=
( ex
∫ x 0
etdt )′
積分変数 t 場合，t以外 文字 定数 ．
= (ex)′
∫ x 0
etdt+ex (∫ x
0
etdt )′
=ex
∫ x 0
etdt+ex·ex (∵(1))
=ex[ et]x
t=0+e2x
=ex(ex−1) +e2x
=2e2x−ex.
(3) 与式
∫ x 0
f(t)dt=xex 両辺 x 微分 ， d dx
∫ x 0
f(t)dt= (xex)′ · · ·⃝2 ． 左辺 微分積分学 基本定理 適用 ，⃝2
f(x)= (xex)′ = (x)′ex+x(ex)′
=ex(x+ 1).
3 (899) 以下 各問 答 ． (1) F(x) =
∫ x
1
logt dt 微分 ．
(2) G(x) =
∫ x 1
xlogt dt 微分 ．必要 (xlogx−x)′= logx 用 ．
(3)
∫ x 1
f(t)dt=xlogx 連続関数f(x) 求 ．
解答. (1) 微分積分学 基本定理 F′(x) = logx． (2) 微分積分学 基本定理 用 ，
F′(x)= (
x
∫ x 0
logt dt )′
積分変数 t 場合，t以外 文字 定数 ．
= (x)′
∫ x 1
logt dt+x (∫ x
1
logt dt )′
∫
=
∫ x 1
(tlogt−t)′dt+xlogx (∵(1))
= [
tlogt−t ]x
t=1+xlogx
=xlogx−x+ 1 +xlogx
=2xlogx−x+ 1.
(3) 与式
∫ x 1
f(t)dt = xlogx 両辺 x 微分 ， d dx
∫ x 1
f(t)dt = (xlogx)′ · · ·⃝2 ． 左辺 微分積分学 基本定理 適用 ，⃝2
f(x)= (xlogx)′ = (x)′logx+x(logx)′
=logx+ 1.
4 (899) 次 等式 定数a 連続関数f(x) 求 ．
∫ x a
f(t)dt= (logx)2+ 4 logx−12.
解答. 与式
∫ x a
f(t)dt= (logx)2+ 4 logx−12 · · ·⃝1 両辺 x=a 代入 ，
0 =
∫ a a
f(t)dt= (loga)2+ 4 loga−12.
，(loga+ 6)(loga−2) = 0 解 loga=−6, 2．∴a =e−6, e2. 次 ，⃝1 両辺 x 微分 ， d
dx
∫ x a
f(t)dt ={
(logx)2+ 4 logx−12}′
· · ·⃝2 得 ．
⃝2 左辺 微分積分学 基本定理 適用 ，
f(x)={
(logx)2+ 4 logx−12}′
= 2 logx(logx)′+ 4(logx)′
= 2 logx x + 4
x.
5 (889) 以下 各問 答 ．
(1) f(x) 区間I上 連続関数 ．F(x) :=
∫ a x
f(t)dt ，F′(x) =−f(x) 示 ．
(2) g(x) =
∫ x2 0
1
1 + sin2tdt 実数x 微分可能 示 ，導関数g′(x) 求 ．
(3) h(x) 区間 I 上 連続関数 ，φ(x), ψ(x) ∈ I 微分可能 関数 ．
d dx
(∫ ψ(x) φ(x)
h(t)dt )
求 ．
解答. (1) F(x) =−
∫ x a
f(t)dt ，微分積分学 基本定理 F′(x) = −f(x)．
(2) G(x) :=
∫ x 0
1
1 + sin2t dt ，g(x) =G(x2) 書 ． g(x) x2 G(x) 合成関数 ． 1
1+sin2x 連続関数 ，微分積分学 基本定理 G(x) 微分可
能 G′(x) = 1+sin1 2x． g(x) =G(x2) 微分可能 ，合成関数 微分則 用 g′(x) =G′(x2)·(x2)′ = 2x
1 + sin2(x2). (3) y=ψ(x), z =φ(x) ．dy
dx =ψ′(x), dz
dx =φ′(x) · · ·⃝1．a 定数 ，
∫ ψ(x) φ(x)
h(t)dt=
∫ a z
h(t)dt+
∫ y a
h(t)dt · · ·⃝2
分解 ．合成関数 微分則 微積分 基本定理 ⃝1 ，
d dx
∫ y a
h(t)dt= d dy
∫ y a
h(t)dt· dy
dx =h(y)ψ′(x) =h(ψ(x))ψ′(x) · · ·⃝.3 同様 ，(1) 結果 用
d dx
∫ a z
h(t)dt= d dy
∫ a z
h(t)dt· dz
dx =−h(z)φ′(x) =−h(φ(x))φ′(x) · · ·⃝.4 以上，⃝,2 ⃝,3 ⃝4
d dx
(∫∫∫ ψ(x) φ(x)
h(t)dt )
=h(ψ(x))ψ′(x)−h(φ(x))φ′(x).
6 (889) f(x) 連続関数 ． ，以下 各問 答 ． (1) d
dx
∫ 2x+1
−x
f(2t)dt 求 ．
(2) d dx
∫ x
−2x
tf(t2)dt 求 ．
解答. (1) 微分積分学 定理 導 5 –(3) 用 ，g(t) := f(2t) g(t) 明 連続
∫ 2x+1 ∫ 2x+1
=g(2x+ 1)(2x+ 1)′−g(−x)(−x)′
= 2g(2x+ 1) +g(−x)
g(t)=f(2t)
= 2f(4x+ 2) +f(−2x).
(2) 同様 5 –(3) 用 ，h(t) :=tf(t2) h(t) 明 連続 d
dx
∫ x
−2xtf(t2)dt= d dx
∫ x
−2xh(t)dt
=h(x)x′−h(−2x)(−2x)′
=h(x) + 2h(−2x)
h(t)=tf(t2)
= xf(x2)−4xf(4x2).
注意. 上 解答 ，直接微分積分学 基本定理 用 求 ，§11 置換積
分・不定積分 ，置換積分 経由 次 求 ．
【別解】(1) s= 2t 置換 ，ds= 2dt, t:−x→2x+ 1 s:−2x →4x+ 2 ，
∫ 2x+1
−x
f(2t)dt= 1 2
∫ 4x+2
−2x
f(s)ds.
5 –(3) 用 ，
d dx
∫ 2x+1
−x
f(2t)dt= d dx
(1 2
∫ 4x+2
−2x
f(s)ds )
= 1 2
{
f(4x+ 2)(4x+ 2)′−f(−2x)(−2x)′ }
=2f(4x+ 2) +f(−2x).
(2) s=t2 置換 ，ds= 2tdt, t :−2x→x s: 4x2 →x2 ，
∫ x
−2x
tf(t2)dt= 1 2
∫ x2 4x2
f(s)ds.
同様 5 –(3) 用 ， d dx
∫ x
−2x
tf(t2)dt= d dx
( 1 2
∫ x2 4x2
f(s)ds )
= 1 2
{
f(x2)(x2)′−f(4x2)(4x2)′ }
=xf(x2)−4xf(4x2).
7 (889) (−∞,∞)上微分可能 ，導関数 連続 関数*1f(x) ，任意 x∈(−∞,∞) 対 ，
f(x) =e−x−
∫ x 0
(x−t)f′(t)dt
，f(x) 求 ．
解答.
∫ x 0
(x−t)f′(t)dt=x
∫ x 0
f′(t)dt−
∫ x 0
tf′(t)dt ，微分積分学 基本定理 ， d
dx
∫ x 0
(x−t)f′(t)dt=
∫ x 0
f′(t)dt+xf′(x)−xf′(x)
=
∫ x 0
f′(t)dt=f(x)−f(0) · · ·⃝.1 与式f(x) =e−x−
∫ x 0
(x−t)f′(t)dt · · ·⃝2 x= 0 f(0) = 1· · ·⃝3 ．与式⃝2 両辺 x 微分 ，⃝,2 ⃝3 考慮
f′(x) =−e−x−(f(x)−1) = 1−e−x−f(x)
⇐⇒(exf(x))′ =ex−1.
，exf(x) = ex −x+C (C : 積分定数)． 式 x = 0 f(0) = 1 用 C = 0． exf(x) =ex−x， f(x) = 1−xe−x．
