帯電導体の電荷分布

帯電導体の電荷分布

1

1^st. 2011/11/10 L^st. 2021/11/07

導体表面電荷密度と電界の関係

²

s h

E

S 0

E d s Q

 

 ^{ }



高さhで導体表面に垂直な面積Δsの円筒を ガウス閉面に選ぶと、ガウスの法則より

upper 0

S

E d s  s



  

 ^{ }

upper 0

cos 0

S

Eds  s



 

 ^

0

E s  s



  

upper S 0

E ds  s



 



0

[V/m]

E 



微小円筒の高さhが小さければ側面から 電界は流出しないので

微小面積Δsと電界Eの方向は同じ方向なので

微小面積Δs上の電界Eは一定の大きさなので

微小円筒上部の面積はΔsなので 従って，導体表面上の電界は (1)

(2)

(3)

(4)

(5) (6)

z

x ＋ _＋ ^＋ y

＋＋＋

＋＋

＋＋＋ ＋

E h

＋ ＋ ＋ ＋

＋

＋

＋＋

＋

＋

s

【例題】 二つの導体球のうち、内導体球にQ [C]の電荷を与えたとき、各部の電界と 電位を求めよ。（教科書 p.27）

a b

c

Q

【解答】 静電誘導により外導体に図のような電荷が誘起される。

半径ｒの球面にガウスの法則を適用すると、

 

 

0 0

0

0 /

/ /

S

r a

Q a r b

E dS Q Q b r c

Q Q Q r c







 

  

     

   



 ^{ }



r

2 0

2 0

0 / 4 0

/ 4

r a

Q r a r b

E b r c

Q r r c





 

  

   

 

 従って

電界は、

帯電導体の電荷分布と電界①

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋

－

－ －

－

－

－

－

－ －

－

－

－

＋

＋＋＋＋

＋＋

＋＋

＋＋

＋＋

Q

Q

Q

cos 0 4 2

SE dS  SEds E Sds E r

 ^{ }  ^ 

  

ここで左辺は、

(1)

(2)

(3)

3

内導体は強制帯電、

外導体は静電誘導

【続き】 電位は、無限遠を基準として

2

0 0

4 4 [V]

r r Q Q

V E dr dr

r r

 

 

  ^ ^  

0

0 [V]

4

c r

c

V E dr dr Q

 c

  ^ ^  ^

0 0

0 1 1 [V]

4 4

c b r

c b

Q Q

V E dr dr E dr

c r b

 



 

  ^ ^  ^ ^ ^    

0 0

0 0 1 1 [V]

4 4

c b a r

c b a

Q Q

V E dr dr E d r dr

c a b

 



 

             

 

 ^{ }  ^  ^{ }  ^

帯電導体の電荷分布と電界②

【例題】 二つの導体球のうち、内導体球にQ [C]の電荷を与えたとき、各部の電界と 電位を求めよ。（教科書 p.27）

① c<rのとき

② b<r<cのとき

③ a<r<bのとき

④ r<aのとき

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋

－

－ －

－

－

－

－

－ －

－

－

－

＋

Q ＋＋＋＋^＋＋＋＋＋＋＋^＋r

Q

1 C F E

E

4

【例題】 面積S [m²]を有する2枚の平行平板導体を間隔d [m]で配置し、それぞれにQ と-Qの電荷を与えるとき、導体間の電界と電位差を求めよ。（教科書 p.29）

0 0

0 0

d d Q Qd [V]

V E dx dx

S S

 

 

       

 

 ^{ } 

帯電導体の電荷分布と電界③

Q S

d

Q

s

＋ ＋ ＋ ＋ ＋

－ － － － －

＋ ＋ ＋ ＋

－ － － －

0 h

【解答】 高さhで導体表面に垂直な面積Δsの 円筒をガウス閉面に選ぶと、ガウスの法則より

S 0

E d s Q

 

 ^{ }



微小円筒の高さhが小さければ側面 から電界は流出しないので

lower

S 0

E d s  s



  

 ^{ }

lower

0

cos 0

S

Eds  s



 

 ^

0

E s  s



  

lower

S 0

E ds  s



 



微小面積Δsと電界Eの方向は同じ 方向なので

微小面積Δs上の電界Eは一定の 大きさなので

微小円筒上部の面積はΔsなので

従って，導体表面上の電界は

0 0

[V/m]

E Q

S



 

  電位差は

x

y

cos180

E dx Edx  ^ Edx



帯電導体の電荷分布

【例題】 次のケースで、電荷はどのように分布するか？

(3)導体棒 (2)導体円環

(1) 導体球 または導体球殻

＋＋

＋

＋＋＋

＋＋

＋

電荷の 注入

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋＋

＋

＋

＋

＋＋

＋

＋

＋＋

＋

＋＋

＋

＋

Answer : (1) クーロン力によって互いに反発するため、導体球表面に電荷が集中する。(2) 同じ理由で円 環の外周に均一に分布する。(3) 同じ理由で導体棒のエッジに集中する。（均一にはならない。）

[C/m ]2



x

静電誘導（復習）

⁷

＋ ＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋ ＋

＋＋

＋

＋

－－

－

－

±0

（静電誘導）

＋Q [C]

（帯電）

＋

＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋

－

－

－

－

±0

（静電誘導）

＋Q [C]

（帯電）

－

－ －

＋ ＋

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋ ＋

＋＋

＋

＋

＋

－ ＋

－

－

－－

－

－

±0

（静電誘導）

＋Q [C]

（帯電）

帯電導体と誘導導体 が近いとき

帯電導体と誘導導体 が離れるとき

誘導導体がアースさ れているとき

－

－

無限の電荷供給源

（アース）

地球は我々よりも非常に大きい ので、多少の電荷を供給しても、

裏側に電荷の不足は起きない。

外部電界

内部電界

Eext

Einn



自由電子の移動

正に 帯電 負に

帯電

外部電界と内部電界の打消しにより、導体内部では電界ゼロ

導体

Eext

Q

自由電子の移動 自由電子

の移動

原子核 自由電子

静電誘導（復習）

8

静電誘導の例

紙田，``改訂版 やさしい電気の手ほどき’’ pp. 24-25, 電気書院 より引用

上昇する小さい氷の結晶（粒）は 衝突によって電子が叩き出されて 正に帯電し、落下する雹（塊）は負 に帯電する。（摩擦帯電）

Discovery Channel, 災害警報 稲妻

10 km

Q

Q

2 km

-60 ℃

Q

5 ℃ 30 ℃

上昇気流

地上表面には雲の下層部に蓄積 した負電荷に誘発されて正電荷が 誘導される。（静電誘導）

電荷はお互いにクーロン力で反発 するので、地表に尖ったものがあ ると、電荷が蓄積しやすい。

スプライト

雷 雹

摩擦帯電

静電誘導

E

-10 ℃ 雨

(1) 外部電界と内部電界の打消しによって、導体内部では電界はゼロになる。

(2) 導体内部の電界（電位の勾配）はゼロなので、導体内部ではあらゆる点で 等電位となる。

(3) 導体内部では正電荷と負電荷が釣合って、正味の電荷が存在しない。（ガ ウスの法則から、電荷密度はゼロ）

(4) 導体を外部電界にさらすと、静電誘導により電荷は導体表面のみに分布 しているように見える。

(5) 導体表面では電界Eは表面に直交し、表面電荷密度σ[C/m²]との間に σ=ε₀Eの関係を有する。

0, Const.

E  V  V 

0E

 

導体と静電界の関係（まとめ）

(2)

(5)

ext inn ext inn 0

E  E  E E 

(1)

( ) 0 0

SE ds   Q Q  

 ^{ }

 ⁽³⁾

SE ds  Q 0

 ^{ }

 ⁽⁴⁾

点電荷が作る電位の重ね合わせ

¹¹

4 P

1 0

1 4

i

i i

V Q

 r







2 P

1 0

1 4

i

i i

V Q

 r







Q1

Q2

r1

r2

P V1

V2

Q1

Q2

Q3

Q4

r1

r2

r3 r4

P V1

V2

V4

V3

P 1 2

V  V V

P 1 2 3 4

V  V V  V V 正電荷

負電荷

正電荷 負電荷

(2)

(3)

1 2

1 2

P P

0 1 0 2

1 1

4 , 4

Q Q

V V

r r

 

  (1)

電位の重ね合わせ

任意点の電位は、点電荷Qが作る電位の 重ね合わせで表現される

点電荷から観測点 Pまでの距離 [m]

比例定数

12

P

0

1 4

i

i i

V Q

 r

 

i 番目の電荷 [C]

電位の総和（一般化）

P

0

1 ( ) ( )

^V

4

V r r dv

R





  ^ 



任意点の電位は、微小電荷ρdvが作る電位の 積分で表現される

点電荷から観測点 Pまでの距離 [m]

位置r’における 電荷密度 [C/m³]

比例定数 重ね合わせ

領域 位置rにおけ

る電位 [V]

O

VP

R

r r

( )r

  dv

電荷分布の計算モデル

【演習２】 長さ1 mの導体棒に1 Vの電圧を加えたとき、導体上の電荷密度分布 σ[C/m²]を求めよ。ただし，導体半径はa=1 mm とせよ。分割幅は各自で決めよ。

x

2a 2d

1₂_{3 } _{i } _N (2 ) 2

L N d  Nd

V

N. N. Rao, “Elements of Engineering Electromagnetics Sixth ed.,” p. 741, Pearson Prentice Hall J. D. Kraus, D. A. Fleisch, “Electromagnetics with applications Fifth ed.,” pp.558-559, McGraw-Hill 依田，Mathematicaによる電磁界シミュレーション入門，森北出版

問題の定式化１

¹⁵

x

2a 2d

R

1₂_{3 } _{i } _N

2a

x 0

2 ( )2

R a  x x

d x

d

電位の観察点Pが 着目している導体 円筒の外にあるとき

VP ++++

dx

x (2 ) 2

L N d  Nd

2

P 0

0

1 4

d i

x d

V ad dx

R





 



  

  x=0とすれば、着目している円筒

導体が自身の中心に作る電位 になる。

(1)

[C/m ]2

 ^{面電荷密度}

着目している導体円筒上で は電荷密度σは一定とする。

x x

問題の定式化２

¹⁶

x 2a

(2 ) 2 L N d  Nd

2d

1₂_{3 } _{i } _N

dx

++++

2a

x

0 d

d VP

R

2 (0 )2

R a  x

電位の観察点Pが 着目している導体 円筒の中心にある とき

x

2

P 0

0

1 4

d i

x d

V ad dx

r





 



  

 

x

(2)

着目している導体円筒上で は電荷密度σは一定とする。

観察点Pにおける電位は、常に波 源からズレていることがポイント。

これによって特異点（電位が発散 する点）を避けて計算ができる。

問題の定式化３（解析的な積分）

 

2

P 0

0 2

2 2

0 0

2 2

0

2 2

0

2 2

2 2

0

1 4

1

4 ( )

2 1

4 ( )

ln ( )

2

( )

2 ln ( )

( )

d i

x d i d

x d i d

x d

d i

x d

i

i

V ad dx

R

d dx

a x x

a dx

a x x

a x a x x x

x d a x d

a

x d a x d

f x









 



 











 



 



 





 

 

  

 

  

   

      

   

    



 

 



2 2

2 2

0

( )

( ) ln

2 ( )

x d a x d

f x a

x d a x d



   

    

2 2

2 2

1 dx ln x a x C

a x    

 

積分公式

ただし、f(x)を右のように置いた。

電位を求める積分は以下のようにして計算できる。

下の式でx=0とすれば、電位の 観察点が着目している導体円筒 の中心にあるときでも使える。

(1)

(3) (2) 未知数は積分記号内 の面電荷密度σ

（積分方程式と呼ぶ）

電磁気学でよく使う積分公式

 ^{2 2}

2 2

1 dx ln x a x C (1)

a x    

  ^

　

 

    

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1

1 ln

ln

x a x

dx dx

a x a x x a x

x a x

a x dx dx f x dx f x C

x a x a x f x

x a x C

 

    

 

 

    

  

   

 

  

　

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) , ( ) 1

( ) 1 1

( )

f x x a x f x x

a x

x a x x

f x a x a x

f x x a x x a x a x

     



 

      

    

と置くと、

もとの式の分子・分母に x a²x² を掛けると、

を証明せよ。

証明終わり。

問題の定式化４（連立方程式）

¹⁹

x 2(2 ) 4 L d  d

1₂

x 3(2 ) 6 L d  d

1₂₃

N=2 の場合

N=3 の場合

1

2

P 1 2

P 1 2

(0) ( 2 )

(2 ) (0)

V f f d

V f d f

 

 

  

  



P1 P₂

P1 P₂P₃ 2d

2d

1

2

3

P 1 2 3

P 1 2 3

P 1 2 3

(0) ( 2 ) ( 4 )

(2 ) (0) ( 2 )

(4 ) (2 ) (0)

V f f d f d

V f d f f d

V f d f d f

  

  

  

     

    

   



x 4(2 ) 8 L d  d

1₂₃

N=4 の場合

P1 P₂P₃

2d

1

2

3

4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

(0) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )

(2 ) (0) ( 2 ) ( 4 )

(4 ) (2 ) (0) ( 2 )

(6 ) (4 ) (2 ) (0)

V f f d f d f d

V f d f f d f d

V f d f d f f d

V f d f d f d f

   

   

   

   

      

      

     

    

 P4

4

観測点P₁に作られる電 位は、σ₁が自分の中心 に作る電位と、σ₂が-2d 離れた位置に作る電位 の和で表される。

(1)

(2)

(3)

問題の定式化５（マトリクス表示）

²⁰

x 2(2 ) 4 L d  d

1₂

x 3(2 ) 6 L d  d

1₂₃

N=2 の場合

N=3 の場合

1

2

1 P

2 P

(0) ( 2 ) (2 ) (0)

f f d V

f d f V





    

     

 

       P1 P₂

P1 P₂P₃ 2d

2d

1

2

3

1 P

2 P

3 P

(0) ( 2 ) ( 4 )

(2 ) (0) ( 2 )

(4 ) (2 ) (0)

f f d f d V

f d f f d V

f d f d f V







   

      

     

    

 

     

x 4(2 ) 8 L d  d

1₂₃

N=4 の場合

P1 P₂P₃ 2d

1

2

3

4

1 P 2 P

3 P

4 P

(0) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )

(2 ) (0) ( 2 ) ( 4 )

(4 ) (2 ) (0) ( 2 )

(6 ) (4 ) (2 ) (0)

f f d f d f d V

f d f f d f d V

V

f d f d f f d

f d f d f d f V









      

    

      

    

     

     

     

P4

4

[ ]は行列、{ }は列 ベクトルを示す。

行列には一定の 規則性があること が分かる。

(1)

(2)

(3)

計算手順の一例（N=4の場合）

行列要素

逆行列 解

電圧

x f(x)

計算条件

f(x)は自作関数で定義する こともできる。詳細は、

https://www.kusamalab.org/lecture/excelmacro/excelmacro.html

(1)

Excelによる連立方程式の解法

Ctrl Shift 押し ながら Enter B7:D9を選択状態

でB7に数式入力

Ctrl Shift 押し ながら Enter

B7:D9に逆行列 が出力される。

E7:E9に解 が出力さ れる。

E7:E9を選択状態でE7に数式入力

① ②

③ ④

計算結果（N=4の場合）

²³

【解答例】 エクセルを使って数式を入力し、計算結果を描画する。

0 2E-10 4E-10 6E-10 8E-10 1E-09 1.2E-09 1.4E-09 1.6E-09

0 1 2 3 4 5

σ[C/m2]

導体分割番号

N=50 の場合

電荷分布の計算結果

²⁴

【解答例】 Mathematica でプログラミングした結果 N=5 の場合

N=100 の場合 N=10 の場合