7.1 実変数複素数値関数の定積分

(1)

第 7 ^{章複素積分と} Cauchy ^{の積分定理}

7.1 実変数複素数値関数の定積分

定義実変数

t

の複素数値関数

w(t) = u(t) + iv(t) (a ≤ t ≤ b)

の，区間

a ≤ t ≤ b

における定積分を

_b

a w(t) dt = _b

a u(t) dt + i _b

a v(t) dt (7.1)

で定義する。

定義より，次の性質が導かれる。

定理

7.1 Re _b

a w(t) dt

= _b

a Re w(t) dt (7.2)

_b

a z 0 w(t) dt = z 0

_b

a w(t) dt (z 0 =

複素定数

) (7.3)

_b

a w(t) dt ≤ ^b

a | w(t) | dt (a < b) (7.4)

証明

(7.2)

実変数の実数値関数の積分は実数である。従って，左辺の積分は，定義から

Re _b

a w(t) dt

= _b

a u(t) dt

である。一方，右辺の積分は

_b

a Re w(t) dt = _b

a Re u(t) + iv(t) dt = _b

a u(t) dt

となる。よって，

(7.2)

が得られる。

65

(2)

証明

(7.3) z ₀ = x ₀ + iy ₀

とおく。すると，左辺の積分を次のように書き直していくことができる。

_b

a z ₀ w(t) dt = _b

a (x ₀ + iy ₀ ) (u + iv) dt

= _b

a [(x 0 u − y 0 v) + i(y 0 u + x 0 v)] dt

= _b

a (x ₀ u − y ₀ v) dt + i _b

a (y ₀ u + x ₀ v) dt (7.2)

より

= x ₀ _b

a u dt − y ₀ _b

a v dt + iy 0

_b

a u dt + ix 0

_b

a v dt

実数の微積分の性質

= (x ₀ + iy ₀ ) _b

a u dt + i(x ₀ + iy ₀ ) _b

a v dt

= (x ₀ + iy ₀ ) _b

a u dt + i _b

a v dt

= z ₀ _b

a w(t) dt (7.2)

より

証明

(7.4)

複素関数の定積分は複素定数であるから，その定数を極形式で表して

_b

a w(t) dt = r ₀ e ^iθ

⁰ と書ける。このとき，

e ^−iθ

⁰ をかけて

r ₀ = e ^−iθ

⁰

_b

a w(t) dt

= _b

a e ^−iθ

⁰

w(t) dt (7.3)

より

= Re _b

a e ^−iθ

⁰

w(t) dt

r 0 =

実数より

_b

a e ^−iθ

⁰

w(t) dt =

実数

= _b

a

e ^−iθ

⁰

w(t)

dt (7.2)

より

≤ ^b

a

e ^−iθ

⁰

w(t) dt

= _b

a | w(t) | dt | e ^−iθ

⁰

| = 1

よりとなる。一方，

e ^iθ

⁰ の絶対値は

1

であるので，

_b

a w(t) dt = r 0

である。両式より

_b

a w(t) dt ≤ ^b

a | w(t) | dt

が得られる。

(3)

7.2

複素平面上の曲線

67 7.2 ^{複素平面上の曲線}

複素変数の複素数値関数の積分は，一般に，複素平面における曲線上で定義される。そこで，

一般の複素積分に入る前に，複素積分に使われる曲線についてまとめて述べることにする。

弧

x(t), y(t)

を実変数

t

の連続な実数値関数とするとき，複素平面上の曲線

z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)

を弧と呼ぶ。この弧は，

t

が

a

から

b

に増加するとき，点

z(a)

から点

z(b)

までの向きをもつ点の集合である。

Jordan

弧

=

単純弧自分自身と交わらない弧。すなわち，

t ₁ = t ₂

のとき

z(t ₁ ) = z(t ₂ )

である弧。

Jordan

曲線

=

単一閉曲線端点

z(a), z(b)

が一致する以外，自分自身と交わらない弧（閉曲線）。

Jordan

曲線に向きを考える。反時計まわりの向きを正の向き，その反対の時計まわりの

向きを負の向きとする。

微分可能な弧複素平面上の弧（曲線）を表す関数

z(t) = x(t) + iy(t)

の導関数を

dz(t)

dt = dx(t)

dt + i dy(t) dt

で定義する。両端

t = a, t = b

においては片側微分係数を考える。導関数

dx dt , dy

dt

^が

a ≤ t ≤ b

で連続関数であるとき，弧

z(t)

を微分可能な弧という。

微分可能な弧の長さ微分可能な弧

C

に対して，その長さを次の式で定義する。

C

の長さ

=

C | dz | = _b

a

dz dt

dt (7.5)

ここで，

| dz | = dz dt

dt =

dx(t) dt

2 +

dy(t) dt

2 dt (7.6)

を意味する。微分可能な弧において，右辺の導関数は連続関数であるので，積分可能であり，長さが定義できる。

なめらかな弧

z = z(t)

（

a ≤ t ≤ b

）が微分可能な弧で，

dz(t)

dt = 0

である弧。

区分的になめらかな弧なめらかないくつかの弧をつなげてできる弧。

(4)

7.3 ^線積分

定義曲線

C

を

C : z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)

で定める。関数

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

が

C

上で区分的に連続な関数であるとき，

C

に沿う

f (z)

の線積分を

C f (z) dz = _b

a f (z(t)) dz(t)

dt dt (7.7)

で定義する。これは次の形にも書ける。

C f (z) dz =

C (u dx − v dy) + i

C (v dx + u dy) (7.8)

区分的に連続な関数とは，

f (z)

を

t

の関数とみたとき，実部

u(x(t), y(t))

及び虚部

v(x(t), y(t))

がともに実変数

t

の実数値関数として区分的に連続（有限個の点を除いて連

続関数になっている）であることを意味する。

(7.8)

は，

(7.7)

において，

f (z) = u + iv

，

dz = dx + i dy

とおいて形式的に計算したのと同じ形をしている。

定理

7.2

線積分の性質

−C f (z) dz = −

C f (z) dz (7.9)

C

1

+ C

2

f (z) dz =

C

1

f (z) dz +

C

2

f (z) dz (7.10)

C z ₀ f (z) dz = z ₀

C f (z) dz (z ₀ =

複素定数

) (7.11)

C

f(z) + g(z)

dz =

C f (z) dz +

C g(z) dz (7.12)

C | f (z) dz | ≤

C | f (z) | | dz | ≤ M L

( | f (z) | ≤ M, C

の長さ

= L) (7.13)

(7.9)

で，

− C

は曲線

C : z(t) = x(t) + iy(t)

（

a ≤ t ≤ b

）に対して，曲線の形そのものは同じであるが向きを逆とみたものである。

− C : z = z( − t) = x( − t) + iy( − t) ( − b ≤ t ≤ − a)

(5)

7.3

線積分

69 (7.10)

で，

C ₁ + C ₂

は

C ₁

の終点と

C ₂

の始点をつなげた曲線を表す。

(7.13)

の右辺で

C g(z) | dz | =

C g(z) dz(t) dt

dt (7.14)

の意味である。

(7.8)

の導出

(7.7)

の右辺にある

z(t)

の導関数は

dz(t)

dt = dx(t)

dt + i dy(t) dt

であるから，

(7.7)

の右辺

= _b

a (u + iv) dx

dt + i dy dt

dt

= _b

a

u dx

dt − v dy dt

dt + i

_b

a

v dx

dt + u dy dt

dt

=

C (u dx − v dy) + i

C (v dx + u dy)

となる。

証明

(7.9) −t = τ

とおくと

−C f (z) dz = _a

b f (z( − t))

− dz( − t) dt

dt =

_a

b f (z(τ ))

dz(τ ) dτ

dτ

= − ^b

a f (z(τ ))

dz(τ ) dτ

dτ = −

C f (z) dz

証明

(7.10)

実数の積分においては次の式が成り立つことを利用する。

_b

a f (t) dt = _c

a f (t) dt + _b

c f (t) dt f (z) = u + iv

とおくと線積分の定義

(7.8)

から

左辺

=

C

1

+ C

2

(u dx − v dy) + i

C

1

+ C

2

(v dx + u dy)

=

C

1

(u dx − v dy) +

C

2

(u dx − v dy) + i

C

1

(v dx + u dy) + i

C

2

(v dx + u dy)

=

C

1

f (z)dz +

C

2

f (z)dz

証明

(7.11)

線積分の定義

(7.7)

と実変数関数に対する定理

(7.3)

から

C z 0 f (z) dz =

C z 0 f (z(t)) dz(t)

dt dt = z 0

C f (z(t)) dz(t)

dt dt = z 0

C f (z) dz

(6)

証明

(7.12) f = u ₁ + iv ₁ , g = u ₂ + iv ₂

とおく。線積分の定義から左辺

=

_b

a

f (z(t)) + g(z(t)) dz(t)

dt dt

= _b

a ((u 1 + u 2 ) + i(v 1 + v 2 ))

dx(t)

dt + i dy(t) dt

dt

= _b

a

u ₁ dx

dt − v ₁ dy dt

dt + i

_b

a

v ₁ dx

dt + u ₁ dy dt

dt +

_b

a

u ₂ dx

dt − v ₂ dy dt

dt + i

_b

a

v ₂ dx

dt + u ₂ dy dt

dt

=

C f (z) dz +

C g(z) dz

証明

(7.13)

C f (z) dz =

_b

a f (z(t)) dz(t) dt dt

≤ ^b

a

f (z(t)) dz(t) dt

dt

= _b

a | f (z(t)) | dz(t) dt

dt

=

C | f (z) | | dz | (7.14)

から

≤ M

C | dz |

= M L

弧の長さの定義から

(7)

7.4 Cauchy-Goursat

の定理

71 7.4 Cauchy-Goursat ^の定理

この節の中心は

Cauchy

の積分定理（定理

7.3

）である。なお，ここで取り上げる定理は次のような関係にある。

定理

7.3 ←

^定理

7.4 =

定理

7.5 →

^定理

7.6 ↓

定理

7.7 7.4.1 Cauchy

の積分定理

定理

7.3 Cauchy

の積分定理

区分的になめらかな

Jordan

曲線

C

の上と内部で

f (z)

が正則で

df (z)

dz

^{が連続ならば}

C f (z) dz = 0

C f(z) dz = 0

(7.15)

が成り立つ。（丸印のついた積分記号は，

C

に沿って一周することを陽に示したものである。）

Re z Im z

C

図

7.1: Cauchy

の積分定理

証明実関数の微分積分学における，線積分と面積分を関係づける

Green

の定理，及び関数

f (z)

の正則性を用いる。

Green

の定理

xy

平面の区分的になめらかな

Jordan

曲線

C

で囲まれた閉集合

R

で，

実数値関数

P (x, y), Q(x, y)

が，その１階導関数とともに連続であるとする。曲線

C

の向きは正方向であるとする。このとき，

C (P(x, y) dx + Q(x, y) dy) =

R

∂Q(x, y)

∂x − ∂P (x, y)

∂y

dx dy (7.16)

が成り立つ。

(8)

閉集合

R

で正則な関数

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

に対する曲線

C

に沿った線積分は，線積分の定義

(7.8)

より

C f (z) dz =

C (u(x, y) dx − v(x, y) dy) + i

C (v(x, y) dx + u(x, y) dy) (7.17)

と表せる。

いま，複素関数

f (z)

が閉集合

R

で連続であるので，その実部

u(x, y)

と虚部

v(x, y)

も

R

で連続である。また，

f (z)

の１階導関数が

R

で連続であるので，それらの１階偏導関数も連続である。従って，

(7.17)

の右辺にある実関数の線積分は，実部，虚部それぞれに

Green

の定理を用いて

C f (z) dz =

R

− ∂v(x, y)

∂x − ∂u(x, y)

∂y

dx dy + i

R

∂u(x, y)

∂x − ∂v(x, y)

∂y

dx dy

(7.18)

と書き直せる。

f (z)

は正則であるので，その実部と虚部に対して

Cauchy-Riemann

の方程式が成り立ち，そのため

(7.18)

の被積分関数は

0

になる。よって，

(7.15)

が得られる。

7.4.2 Cauchy-Goursat

の定理

Cauchy

の積分定理における導関数の連続性の条件がなくても，

Cauchy

の積分定理の結果が

成り立つことを，フランスの数学者

Goursat

が初めて証明した。（この定理の証明は省略する。）

定理

7.4 Cauchy-Goursat

の定理（単に

Cauchy

の積分定理とよぶ）

区分的になめらかな

Jordan

曲線

C

の上と内部で

f (z)

が正則ならば，曲線

C

を一周する積分は

0

になる：

C f (z) dz = 0.

Cauchy-Goursat

の定理は次のように言い表すことができる。

定理

7.5 f (z)

は単連結な領域

D

で正則であるとする。

D

内の区分的になめらかな任意の

Jordan

曲線

C

に対して

C f (z) dz = 0

である。

Jordan

曲線（単一閉曲線）の内部の点すべてからなる集合を単連結であるといい，こ

れに対して単連結でない集合を多重連結であるという。

(9)

7.4 Cauchy-Goursat

の定理

73

定理

7.6 C ₁ , C ₂

が単連結な領域

D

内の２点を結ぶ区分的になめらかな２つの曲線であるとき，

f (z)

が

D

で正則であるならば

C

1

f (z) dz =

C

2

f (z) dz (7.19)

である（図

7.2

左図）。

A

B

C ₂ C ₁

A

B

− C ₂

C = C ₁ − C ₂ C ₁

図

7.2:

単連結な領域

D

内の２点を結ぶ区分的になめらかな２つの曲線に沿った積分証明同じ始点と終点をもつ２つの曲線

C ₁

と

C ₂

を合わせて

C = C ₁ − C ₂

とすると（図

7.2

右図），

C

は

Jordan

曲線であり，定理

7.5

より

C f (z) dz = 0

が成り立つ。従って，上の積分は

C

1

f (z) dz −

C

2

f (z) dz = 0

と表せる。

図

7.3

に示すような，自分自身と交わる閉じた曲線

C

は，２つの

Jordan

曲線（

C ₁

，

C ₂

）が交点でつながったものと考えることができ，各々の

Jordan

曲線に対して

Cauchy-Goursat

の

C ₁

C = C ₁ + C ₂ C ₂

図

7.3:

自分自身と交わる曲線に沿った積分

定理が成り立つ。従って，自分自身と交わる閉じた曲線

C

に沿った積分に対しても，定理

7.5

と同じ形の式

C f (z) dz = 0

が成り立つ。

(10)

多重連結な領域の場合に

Cauchy-Goursat

の定理は次のように表される。

定理

7.7 C , C _j

（

j = 1, 2, · · · , n

）はすべて区分的になめらかな

Jordan

曲線で，

C _j

はすべて

C

の内部にあり，しかも，

C _j

の内部の点は互いに共通点をもたない。

R

は，

C

の内部から

C _j

の内部の点を除いた部分と

C

上の点からなる集合とする。また，

R

の内部が左にあるように

C

と

C _j

に向きをつけた

R

の境界を

B

とする。

このとき，

f (z)

が

R

で正則ならば

B f (z) dz = 0 (7.20)

である。

この式は

C f (z) dz +

! n j =1 C

j

f (z) dz = 0 (7.21)

と表すこともできる。

C

R C ₁

C ₂ C ₃

図

7.4:

多重連結な領域における

Cauchy-Goursat

の定理

証明

まず，

C

と

C 1

を曲線

L 1

で，

C 1

と

C 2

を曲線

L 2

で，

C 2

と

C 3

を曲線

L 3

で，

· · ·

^，

C _n− ₁

と

C _n

を曲線

L _n

で，

C _n

と

C

を曲線

L _n ₊₁

で結び（図

7.5

），

R

を２つの

Jordan

曲線で囲まれた２つの単連結な集合に分ける。この２つの

Jordan

曲線を

K ₁

，

K ₂

とし，

常に

R

の内部が左にあるように向きをつける。

このとき，各々の

Jordan

曲線

C _j

は２つの部分に分けられ，一方は

K 1

の一部を成し，

他方は

K 2

の一部を成す。

C

についても同様である。また，全ての

L _j

は

K 1

の一部を成すと同時に，

− L _j

が

K ₂

の一部を成す。

(11)

7.4 Cauchy-Goursat

の定理

75 C’

C’’

C ’ ₁

C ’’ ₁

C ₂ ’ C ₂ ’’

C ₃ ’ C ’’ ₃

L ₁

L ₂

L ₃

L ₄

図

7.5:

多重連結な領域における

Cauchy-Goursat

の定理（２）

すなわち，

C = C + C

C _j = C _j + C _j (j = 1, 2, · · · , n)

と分けられ，

K ₁ = C +

! n j =1

C _j +

n ! +1 j =1

L _j

K ₂ = C +

! n j =1

C _j − ⁿ ^! ⁺¹

j =1

L _j

と書ける。２つの式の両辺を加えれば，

K ₁ + K ₂ = C + C +

! n j =1

C _j + C _j = C +

! n j =1

C _j

となっている。

２つの

Jordan

曲線

K ₁

及び

K ₂

に沿った積分は，

Cauchy-Goursat

の定理により，

K

1

f (z) dz = 0,

K

2

f (z) dz = 0

であるから，両者を加えた積分も

0

になる：

K

1

+ K

2

f (z) dz = 0.

ここで，

K ₁

と

K ₂

に沿った積分を，それぞれを構成する曲線に沿った積分の和で表すと

7.1 実変数複素数値関数の定積分

第 7 章 複素積分と Cauchy の積分定理