.0.1.1

物性.0.1.1

.

プリント中の

¤

£

¡

長岡

¢ は参考文献，“長岡洋介， 「統計力学」(岩波)” を示します。

¤ £ ¡

¢

Kittel は参考文献，“キッテル・クレーマー， 「熱物理学」(丸善)” を示します。

オフィスアワー： 火曜 6 講時，木曜 6 講時

物性.0.1.3

url: http://www.math.ryukoku.ac.jp/ iida/lecture/lecture.html

物性.0.2.2

.

T p

G

G

物性.0.3.2

.

.

ht t p: //www. sci . osaka-cu. ac. j p/phys/crys/i ce/l ect 6. ht ml ਣጊ ⒤ 㧔ᄢ㒋Ꮢ┙ᄢቇ㧕

᳓ߩ⋧࿑

物性.0.4.1

いろいろな相転移

.

物性.0.4.3

.

・熱力学と統計力学

物性.1.2

.

確率・統計で必要な事項のまとめ

・確率

(例) サイコロを N 回投げて出た目の値を調べる。

目の値が i である確率  = P (i) = lim

N →∞

N i

N   , N i : 目の値が i である回数 (1.1) 0 ≤ P (i) ≤ 1 ,

∑ 6 i=1

P (i) = 1 . (1.2)

同じ条件の下で，多数の試行を行った時、ある事象 A が起きる確率:

P(A) = lim

試行回数→∞

A が起きた回数

試行回数 . (1.3)

 

S 確率変数 (乱数)：とりうる値とその値に対する確率が定まっている変数。

(例) S がサイコロの目の値の場合

S の値 1 2 3 4 5 6

確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (1.4)

サイコロの目の値のように確率変数のとる値が 離散的 な場合，S = s 0 となる確率を P (s 0 ) とするｔ

∑

s 0

P (s ₀ ) = 1 . ¨

§

¥

Kittel (1.40) ¦ (1.5)

となる。

・ 期待値 関数 f (S) の期待値：

E(f (S)) = ∑

s ₀

P(s 0 )f (s 0 ) . ¨

§

¥

Kittel (1.39) ¦ (1.6)

期待値を平均値と呼ぶ場合もある。また E(f (S)) を h f i と書く場合もある。

【注】算術平均と期待値の関係

N 回の試行を行い k 番目の試行の S の値を S k とすると S ₁ + S ₂ + · · · + S _N

N = ∑

s 0

s 0

N _{s 0}

N . N s ₀ は S k = s 0 となった試行の回数 (1.7) なので，(1.3) より N → ∞ の極限で

lim

N →∞

S ₁ + S ₂ + · · · + S _N

N = ∑

s 0

s ₀ lim

N →∞

N _{s 0}

N = ∑

s 0

s ₀ P (s ₀ ) = E(S) (1.8)

となる。

物性.1.3.2

確率分布を特徴づける量として、母平均や母分散がある。

・ 母平均 ：分布の “中央” を表す

µ = E(S) = h S i = ∑

s ₀

s 0 P(s 0 ) . (2.1)

・ 母分散 ：分布のばらつきの程度を表す量

σ ² = E((S − µ) ² ) = h (S − h S i ) ² i . (2.2) 期待値について成り立つ関係式

E(af(S) + bg(S)) = aE(f (S)) + bE(g(S)) (2.3) より

σ ² = E((S − µ) ² ) = E(S ² − 2Sµ + µ ² ) = E(S ² ) − 2µE(S) + µ ² E(1) = E(S ² ) − µ ² (2.4) となる。(2 乗の期待値は常に期待値の 2 乗より大きい。)

・確率変数のとる値が連続 (実数) の場合

確率変数 S が離散的な値をとる場合は S = s 0 となる確率 P (s 0 ) を考えたが，S のとる値が連続な場合は，S が ある 1 点の値をとる確率，例えば (S = 1.0000 · · · となる確率) は 0 となる。(点の長さは 0 であるため。) この場 合は，S のとる値がある区間 [a , b) に入る確率，P (a ≤ S < b) を考える必要がある。

P (a ≤ S < b) =

∫ b a

p(s) ds (2.5)

である場合 p(s) ( ≥ 0) は 確率密度関数 と呼ばれる。

p(x) = 1

√ π e ^{− x 2} S のとる値が離散的な場合の式の和を積分に置き換えた関係式が成り立つ。

式 (1.5) に対応して ∫ _∞

−∞

p(s) ds = 1 (2.6)

となっている。

・関数 f (S) の期待値(離散的な場合の式 (1.6) に対応) E(f (S)) =

∫ _∞

−∞

f (s) p(s) ds . (2.7)

・母平均 (離散的な場合の式 (2.1) に対応)

µ = E(S) =

∫ _∞

−∞

s p(s) ds . (2.8)

・母分散 (離散的な場合の式 (2.2) に対応)

σ ² = E (

(S − µ) ² )

=

∫ _∞

−∞

(s − µ) ² p(s) ds =

∫ _∞

−∞

s ² p(s) ds − µ ² . (2.9)

.

物性.2.1

.

A ^† =

“ A ^T

” _∗

，つまり，

(A ^† ) αβ = A ^∗ βα

量子力学のまとめ

x 軸上を質量 m の質点が力 F(x) = − ∂V (x)

∂x を受けて運動する場合を考える。

● 古典力学

・時刻 t の系の状態を表す変数：座標 x(t) と 運動量 p(t)

・系の時間発展を決める式：Newton の運動方程式 dx(t)

dt = p(t)

m = ∂ H (x, p)

∂p

¯¯ ¯¯

x=x(t),p=p(t)

, dp(t)

dt = − F(x(t)) = − ∂ H (x, p)

∂x

¯¯ ¯¯

x=x(t),p=p(t)

. (2.1.1)

H (x, p) = p ²

2m + V (x) , Hamiltonian (エネルギーを表す関数) . (2.1.2)

・物理量 O (x, p) の時刻 t での測定値：O (x(t), p(t))

● 量子力学

・時刻 t の系の状態を表す変数：波動関数 ψ(x, t)，あるいは 状態ベクトル ψ(t) ~

・系の時間発展を決める式：(時間に依存する)Schr¨ odinger の方程式 ı ~ ∂ψ(x, t)

∂t = − ~ ² 2m

∂ ²

∂x ² ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) = Hψ(x, t) , あるいは ı ~ d dt

ψ(t) = ~ H ~ ψ(t) . (2.1.3)

H = H (

x, p = ~ i

∂

∂x )

, ~ = h

2π , h :Planck 定数 . (2.1.4)

・物理量 O (x, p) の時刻 t での測定値の 期待値(物理量の測定値は確率変数となる)：

hOi (t) =

∫

dxψ ^∗ (x, t) O (

x, p = ~ i

∂

∂x )

ψ(x, t) = ψ ~ ^† (t) O ~ ψ(t) . (2.1.5) ここで，ψ ^∗ (x, t) は ψ(x, t) の複素共役を表す。ただし，

1 = ψ ~ ^† (t) ψ(t) = ~

∫

dx | ψ(x, t) | ² . (2.1.6)

(例) 時刻 t での質点の位置の測定値が区間 [a, b) に入る確率。

O (x) = {

1 ; x ∈ [a, b)

0 ; x / ∈ [a, b) . (2.1.7)

hOi (t) =

∫ b a

dx | ψ(x, t) | ² . (2.1.8)

| ψ(x, t) | ² は質点の位置の確率密度関数となる。

一般に，物理量 O の固有値 λ α に属する固有ベクトルを f ~ α とする；

O ~ f _α = λ _α f ~ _α , ただし f ~ _α ^† f ~ _α = 1 . (2.2.1) 系の状態が

ψ ~ = ∑

α

d _α f ~ _α (2.2.2)

である場合，物理量 O の測定値が λ _β である確率は | d _β | ² となる。

時間に依存する Schr¨ odinger の方程式，(2.1.3)，の特解の形を

ψ(x, t) = φ(x)e ^{− ~ i Et} (2.2.3)

とすると，φ(x) は次の 時間に依存しない Schr¨ odinger の方程式 の解となる；

− ~ ² 2m

∂ ²

∂x ² φ(x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) , あるいは H ~ φ = E ~ φ . (2.2.4) エネルギー H の固有値と固有ベクトル

H ~ φ α = E α φ ~ α , E α ：エネルギー固有値，エネルギー準位 , (2.2.5) を用いて，(2.1.3) の一般解は

ψ(t) = ~ ∑

α

c _α ~ φ _α e ^{− ~ i E α t} , c _α は積分定数 , (2.2.6)

と表せる。この場合，

hOi (t) = ∑

α,β

c ^∗ _β c _α φ ~ ^† _β O~ φ _α e ^{− ~ i (E α − E β )t} (2.2.7) となる。特に，系がある一つのエネルギー固有状態にあるとき，

ψ(t) = ~ ~ φ _α e ^{− ~ i E α t} , (2.2.8) 全ての物理量の測定値の期待値は時間によらず一定値をとる。これより，エネルギー固有状態は定常状態とも呼 ばれる。

・ベクトル ∼ 関数

関数 f (x) を { x = x _n = n∆ } の値 { f _n = f (x _n ) , n = 0, ± 1, · · · } で近似的に表現する：

f ~ = | f i = √

∆



 

 

 

 

 

 

·

· f ₋ 1

f ₀ f 1

·

·



 

 

 

 

 

 

, f ~ ^† = h f | = √

∆

( · · · , f ₋ ^∗ ₁ , f ₀ ^∗ , f ₁ ^∗ , · · · )

. (2.2.9)

ここで，f _n ^∗ は f _n の複素共役。

物性.2.3

・内積

f ~ ^† ~ g = h f | g i = ∆

∑ ∞ n= −∞

f (x _n ) ^∗ g(x _n ) ^∆ = ^→ ⇒ ⁰

∫ _∞

−∞

f (x) ^∗ g(x)dx . (2.3.1)

・座標表示の基底

` − 1 ` ` + 1

| x _` i =

( · · · , 0 , √ ¹

∆ , 0 , · · · ) T

. (2.3.2)

h x _{`</sub> | f i = f (x <sub>`} ) =

∫ _∞

−∞

dxδ(x − x _` )f (x) . (2.3.3)

h x m | x ` i = 1

∆ δ m,`

∆ → 0

= ⇒ δ(x m − x ` ) . (2.3.4)

∫ _∞

−∞ | x i dx h x | = 1 . (2.3.5)

| f i =

∫ _∞

−∞

dx | x i f (x) . (2.3.6)

h x | ~ i

∂

∂x | f i = ~ i

∂f (x)

∂x . (2.3.7)

・波数 (運動量) 表示での基底

h x | ˜ k i = 1

√ 2π e ^ikx . (2.3.8)

∫ _∞

−∞ | k ˜ i dk h ˜ k | = 1 . (2.3.9)

h k ˜ | f i =

∫ _∞

−∞

dx h ˜ k | x ih x | f i = 1

√ 2π

∫ _∞

−∞

dxe ^{− ikx} f (x) Fourier transf. of f (x) . (2.3.10) h x | ~

i

∂

∂x | k ˜ i = ~ i

∂

∂x h x | k ˜ i = ~ k h x | ˜ k i = ⇒ ~ i

∂

∂x | k ˜ i = ~ k | ˜ k i . (2.3.11)

| k ˜ i は演算子 ~ i

∂

∂x の固有ベクトルで固有値は ~ k。

・行列 ∼ 演算子

定常状態の Schr¨ odinger 方程式

− ~ ² 2m

∂ ² ψ(x)

∂x ² + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (2.3.12)

⇓   x n = ∆n

H ~ ψ = E ~ ψ (2.3.13)

H =



 

 



· · ·

− α 2α + V n − α

− α 2α + V _n+1 − α

· · ·



 

 

 , V _n = V (x _n ) , α = ~ ²

2m∆ ² (2.3.14)

ψ ~ = √

∆ ( · · · , ψ(x _n ) , ψ(x _n+1 ) , · · · ) ^T (2.3.15)

物性.2.5

物性.3.1

物性.3.3

物性.3.5

物性.3.7

物性.3.9

物性.3.11

物性.4.1

物性.4.3

物性.5.1

物性.5.3

物性.5.5

物性.6.2

物性.6.4

物性.7.1

.

光子気体の熱平衡状態 プランクの放射公式

波数ベクトル ~ k の光子の運動量 ~ p とエネルギー E

~

p = ~ ~ k , E = c | ~ p | = c ~| ~ k | = hν = ~ ω (7.1.1) (参考) 特殊相対論における質量 m の粒子の運動量 ~ p とエネルギー E の関係

E = √

m ² c ⁴ + c ² | ~ p | ² ⇐ m ² c ⁴ = E ² − | ~ p | ² c ² (7.1.2)

光子気体の系を A，そのまわりの温度 T の熱浴を B とする。

図 7.1-1 ¨

§

¥

長岡

p.149 ¦

A+B 系では，エネルギーは保存するが，粒子数 (光子数) は保存しないので，熱平衡状態で，A 系の粒子数 N，エ ネルギー固有値 E(S, N ) の状態 φ(S, N) が現れる確率は

g B (E T − E) = exp (log g B (E T − E)) ≈ exp (

− E ∂g B (E T )

∂E T

)

= exp (

− E k B T

)

(7.1.3) に比例する。ここで，g B (E B ) は系 B のエネルギー E B を持つ状態の数。

これは，グランドカノニカル分布で，µ = 0 としたもの。

辺の長さが L x ，L y ，L z の完全導体の直方体中の電磁場のモードは

∇ ² E ~ = 1 c ²

∂ ²

∂t ²

E , ~ ∇ · E ~ = 0 (7.1.4)

と境界条件

x = 0 , L _x で E _y = 0 , E _z = 0 , (7.1.5)

y = 0 , L _y で E _x = 0 , E _z = 0 , (7.1.6)

z = 0 , L _z で E _x = 0 , E _y = 0 (7.1.7)

より，

E x = E x0 cos(k x x) sin(k y y) sin(k z z) sin(ωt + θ) , (7.1.8) E y = E y0 sin(k x x) cos(k y y) sin(k z z) sin(ωt + θ) , (7.1.9) E z = E z0 sin(k x x) sin(k y y) cos(k z z) sin(ωt + θ) ¨

§

¥

Kittel p.74,(9) ¦ (7.1.10) となる。ここで，波数ベクトル ~ k は

k _i = πn _i L i

, n _i = , 1 , 2 · · · , i = x, y, z (7.1.11)

物性.7.2

1 粒子状態についての和は

∑

s

g(ε _s ) = 2

∑ ∞ n x =1

∑ ∞ n y =1

∑ ∞ n z =1

g(c ~| ~ k | ) (7.2.1)

となる。右辺の因子 2 は偏光の自由度のため。和を積分で置き換えると

∑

s

g(ε s ) ⇒ 2 L x L y L z

π ³

∫ _∞

0

dk x

∫ _∞

0

dk y

∫ _∞

0

dk z g(c ~ k) = V 4π ³

∫ _∞

−∞

dk x dk y dk z g(c ~ k) = V 4π ³

∫ _∞

0

dk 4πk ² g(c ~ k)

= V

π ² c ³

∫ _∞

0

dω ω ² g( ~ ω) =

∫ _∞

0

dω D(ω) g( ~ ω) (7.2.2)

D(ω) は1 粒子エネルギー (振動数) 密度;

D(ω) = V

π ² c ³ ω ² ¨

§

¥

長岡

(5.57) ¦ . (7.2.3)

・内部エネルギー

U = ∑

s

ε s f BE (ε s ) ⇒

∫ _∞

0

dω D(ω) ~ ω

exp( ~ ω/(k B T ) − 1

= V

π ² c ³

∫ _∞

0

dω ~ ω ³ exp

( ~ ω k _B T

) − 1

(7.2.4)

より，単位体積当たりの内部エネルギー (エネルギー密度) は U

V =

∫ _∞

0

dω ²(ω) , ²(ω) = ~ π ² c ³

ω ³ exp

( ~ ω k _B T

) − 1

¨

§

¥

Kittel p.77,(22) ¦

¨

§

¥

長岡

(5.61) ¦ (7.2.5) となる。²(ω) は単位 (角) 振動数あたりのエネルギー密度で，この式は プランク (Planck) の放射 (輻射) 公式 と呼 ばれる (図 7.2-1)。角振動数 ω ではなく波長 λ = 2πc

ω を積分変数とすると U

V = ~ π ² c ³

∫ 0

∞

dω dλ dλ

( _2πc

λ

) 3

exp ( 2πc ~

λk B T

) − 1

=

∫ _∞

0

dλ u(λ) , (7.2.6)

u(λ) = 16π ² c ~ λ ⁴

1 exp

( 2πc ~ λk _B T

) − 1

¨

§

¥

長岡

(5.62) ¦ (7.2.7)

となる (図 7.2-2)。u(λ) は単位波長あたりのエネルギー密度。

図 7.2-1 ¤

£

¡

Kittel p.76 ¢

図 7.2-2 ¨

§

¥

長岡

p.153 ¦

物性.7.3

.

エネルギー密度の分布関数 ²(ω) が最大となる ω の値 ω max T に例する;

~ ω max

k _B T ≈ 2.82 ¨

§

¥

Kittel p.80,(27) ¦ (7.3.1)

x = ~ ω

k _B T とすると (7.2.5) の積分は U

V = (k B T) ⁴ π ² c ³ ~ ³

∫ _∞

0

dx x ³

e ^x − 1 = (k B T ) ⁴

π ² c ³ ~ ³ Γ(4)ζ(4) = π ²

15c ³ ~ ³ (k _B T) ⁴ ¨

§

¥

Kittel p.76,(20) ¦ (7.3.2) となり，光子気体のエネルギー密度は T ⁴ に比例することがわかる (ステファン・ボルツマンの法則)。

(参考) U が T ⁴ に比例するので，熱容量 C = dU

dT は T ³ に比例する。固体の格子振動 (フォノン) は近似的にボー ズ粒子として振舞うので，固体の格子振動による熱容量は低温では T ³ に比例する。

図 7.3-1 ¤

£

¡

Kittel p.153 ¢