(真空泡の図を消す)。分配関数の計算

有限温度での自己エネルギー

ゼロ温度での経路積分と同じ方法によって相関関数を求められることを見ていきます。実数スカラー場だとしま す。規格化定数は無視していきますが、ゼロ温度の場合と同じ働きをします

(真空泡の図を消す)。分配関数の計算

省略して書いていきます。

扱う状況として、ゼロ温度でのミンコフスキー空間、ゼロ温度でのユークリッド空間、有限温度の

3

M

E

有限温度には何もつけません。

ここでの計算は「経路積分〜クライン・ゴルドン場〜」と平行しているので、細かいことはそっちを見てください。

 ゼロ温度では源をつけた生成汎関数を汎関数微分することで、2点相関関数を求めることができたので、同じこ とをします。分配関数

Z

Jφ

Z 0 [J ] = Z

Dφ exp h Z β

0

dτ Z

d ³ x(L 0 + Jφ) i

= Z

Dφ exp[S] (1)

ラグランジアンは相互作用なしの

L 0 = − 1 2 (( ∂φ

∂τ ) ² + (∇φ) ² + m ² φ ² )

δ

δJ Z 0 [J ] = Z

Dφ φ exp h Z β

0

dτ Z

d ³ x(L 0 + Jφ) i

なので、φの置き換えは

φ ⇒ δ δJ

のようになり、ゼロ温度と違い

i

δ ²

δJ (x 1 )δJ (x 2 ) Z 0 [J ] = Z

Dφ φ(x 1 )φ(x 2 ) exp h Z β

0

dτ Z

d ³ x(L 0 + Jφ) i

(2)

「虚時間法」で見たようにゼロ温度と構造が同じなので、これは

2

 ラグランジアン

L 0

0

(時間成分は φ

Z _β

0

dτ Z

d ³ xL 0 = − 1 2

Z _β

0

dτ Z

d ³ x φ(τ, x) − ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² φ(τ, x)

S = − Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1

2 φ(τ, x) − ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ²

φ(τ, x) − J (τ, x)φ(τ, x)

φ

φ + φ ⁰

S = −

Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1

2 (φ + φ ⁰ )(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )(φ + φ ⁰ ) − J (φ + φ ⁰ )

= −

Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1 2 φ(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ + 1

2 φ ⁰ (− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ ⁰ + φ(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ ⁰ − J (φ + φ ⁰ )

これの変形は場の量子論の「経路積分〜クライン・ゴルドン場〜」と同じです。φ

⁰

(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ ⁰ (τ, x) = J (τ, x)

を満たしているとすれば

S = −

Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1 2 φ(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ + 1

2 φ ⁰ J + φJ − J(φ + φ ⁰ )

= −

Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1 2 φ(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ − 1 2 φ ⁰ J

このときの、φ

⁰

φ ⁰ (τ, x) = Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ y∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y)

(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )∆ F (τ − τ ⁰ , x − y) = δ(τ − τ ⁰ )δ ³ (x − y)

と書けるので

S = − Z _β

0

dτ Z

d ³ x 1 2 φ(− ∂ ²

∂τ ² − ∇ ² + m ² )φ − 1 2

Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ yJ (τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y)

第二項は

φ

Z 0 [J ] = N exp h 1 2

Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ yJ (τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y) i

よって、汎関数微分によって

δ ²

δJ (τ 1 , z 1 )δJ (τ 2 , z 2 ) Z 0 [J ]

= δ ²

δJ (τ 1 , z 1 )δJ (τ 2 , z 2 ) exp h 1

2 Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ yJ(τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J(τ ⁰ , y) i

= δ

δJ (τ 1 , z 1 ) Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ y∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)δ(τ 2 − τ ⁰ )δ(z 2 − y)

× exp h 1 2

Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ yJ (τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y) i

= δ

δJ (τ 1 , z 1 ) Z _β

0

dτ Z

d ³ xJ(τ, x)∆ F (τ − τ 2 , x − z 2 )Z 0

∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)

∆ F (τ − τ ⁰ , x − y) = ∆ F (τ ⁰ − τ, y − x)

1 , z 1 )

J = 0

δ ² Z 0 [J ] δJ (τ 1 , z 1 )δJ (τ 2 , z 2 )

J=0 = ∆ F (τ 1 − τ 2 , z 1 − z 2 )

となります。で、この

∆ F (τ 1 − τ 2 , z 1 − z 2 )

∆ F (iω n , p) = 1 ω _n ² + p ² + m ²

となるので、実際に

(2)

F (τ 1 − τ 2 , z 1 − z 2 )

2

i∆ ^(M) _F (z 1 − z 2 ) = δ ² Z _T=0 ^{(M )} [J ] iδJ (z 1 )iδJ(z 2 )

J=0

のように

i

 出し方を見てみると分かることですが、上でやってきたことは、τの範囲を

−∞

+∞

Z _T ^(M ₌₀ ⁾ = Z

Dφ exp

i Z

d ⁴ x 1

2 ∂ µ φ∂ ^µ φ − m ² φ ²

これをユークリッド化すれば

Z _T ^(E) ₌₀ = Z

Dφ exp 1

2 Z

d ⁴ x E (−( ∂φ

∂τ ) ² − (∇φ) ² − m ² φ ² )

x E = (τ, x E ) , τ = ix 0

∂

∂t = i ∂

∂τ , id ⁴ x = dτ d ³ x = d ⁴ x E

これに

Jφ

Z _T ^(E) ₌₀ [J ] = Z

Dφ exp 1

2 Z

d ⁴ x E (−( ∂φ

∂τ ) ² − (∇φ) ² + m ² φ ² ) + Z

d ⁴ x E Jφ

と作ることができます。これは

(1)

 次に、相互作用がある場合を摂動展開して計算します。状況が見やすいようにミンコフスキー空間での

φ ⁴

φ ⁴

L ^(M _T=0 ⁾ = 1

2 ∂ _µ φ∂ ^µ φ − 1

2 m ² φ ² − λ 4! φ ⁴

Z _T ^(M ₌₀ ⁾ = Z

Dφ exp

i Z

d ⁴ x 1

2 ∂ µ φ∂ ^µ φ − 1

2 m ² φ ² − λ 4! φ ⁴

これをユークリッド化することで

Z _T=0 ^(E) = Z

Dφ exp Z

d ⁴ x E

1 2 (−( ∂φ

∂τ ) ² − (∇φ) ² − m ² φ ² ) − λ 4! φ ⁴

なので、ユークリッド空間

(有限温度)

φ ⁴

L ^(E) = − 1 2 (( ∂φ

∂τ ) ² + (∇φ) ² + m ² φ ² ) − λ

4! φ ⁴ = L 0 + L int

有限温度にいくには

τ

Z[J ] = Z

Dφ exp h Z ^β

0

dτ Z

d ³ x(L 0 + L int + Jφ) i

相互作用がない

L 0 + Jφ

φ ⇒ δ δJ

φ

Z = exp h Z ^β

0

dτ Z

d ³ x(L int [ δ δJ ]) i

exp h 1 2

Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ yJ (τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y) i

= exp h Z β

0

dτ Z

d ³ x −λ 4! ( δ

δJ ) ⁴ i

exp h 1

2 Z _β

0

dτ dτ ⁰ Z

d ³ xd ³ yJ (τ, x)∆ F (τ − τ ⁰ , x − y)J (τ ⁰ , y) i

相互作用部分を展開すると

Z = 1 − λ

4!

Z _∞

0

dτ ⁰ Z

d ³ x ⁰ ( δ δJ (τ ⁰ , x ⁰ ) ) ⁴

Z 0 [J ] · · ·

これはミンコフスキー空間での展開

1 − iλ 4!

Z d ⁴ z

1 i

δ δJ(z)

₄ + · · ·

での積分部分をユークリッド化し、範囲を

0 ∼ β

 そして、例えばゼロ温度での生成汎関数を

J

δ

iδJ (z) Z ₀ ^(M) [J] = δ iδJ exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J (x)∆ ^(M _F ⁾ (x − y)J(y)

= −

Z

d ⁴ x∆ ^(M) _F (x − z)J(x)Z 0

= i Z

d ⁴ x i∆ ^(M _F ⁾ (x − z)J (x)Z 0 (3)

というのは、ユークリッド空間

(有限温度)

δ

δJ (τ ⁰ , x ⁰ ) Z ₀ ^(E) [J ] = δ δJ exp

1 2 Z

dτ 1 dτ 2

Z

d ³ x 1 d ³ x 2 J (τ 1 , x 1 )∆ ^(M _F ⁾ (τ 1 − τ 2 , x 1 − x 2 )J (τ 2 , x 2 )

= Z

dτ 1

Z

d ³ x 1 ∆ ^(E) _F (τ 1 − τ ⁰ , x 1 − x ⁰ )J(τ 1 , x 1 )Z ₀ ^(E) (4)

これと

i Z

d ⁴ x ⇔ Z

dτ 1

Z d ³ x 1

i∆ ^(M) _F (x − z) ⇔ ∆ ^(E) _F (τ ₁ − τ ⁰ , x ₁ − x ⁰ )

このような対応をしていることが分かります。さらにもう

1

J

δ ²

iδJ(z 1 )iδJ(z 2 ) Z ₀ ^{(M )} [J ] = − δ iδJ(z 1 )

− Z

d ⁴ x∆ ^(M _F ⁾ (x − z ₂ )J (x)

Z ₀ = (i∆ ^(M _F ⁾ (z ₁ − z ₂ ) + · · · )Z ₀ (5)

δ ²

δJ (τ ⁰⁰ , x ⁰⁰ )δJ (τ ⁰ , x ⁰ ) Z ₀ ^(E) [J ] = (∆ ^(E) _F (τ ⁰⁰ − τ ⁰ , x ⁰⁰ − x ⁰ ) + · · · )Z ₀ ^(E) (6)

このようになるので、ちゃんと上のように対応しています。

 そして、生成汎関数に対する汎関数微分はミンコフスキー空間では

(3)(5)、ユークリッド空間では (4)(6)

実際に見てみると、ミンコフスキー空間では

1

i δ δJ (z) exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J (x)∆ ^(M) _F (x − y)J (y)

= − Z

d ⁴ x∆ ^(M) _F (z − x)J(x) exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J (x)∆ ^(M _F ⁾ (x − y)J (y)

1 i

δ δJ (z)

₂ exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J (x)∆ ^(M _F ⁾ (x − y)J (y)

=

i∆ ^(M) _F (z − z) +

− R

d ⁴ x∆ ^(M) _F (z − x)J(x) ₂

exp h

− ⁱ ₂ R

d ⁴ xd ⁴ y J(x)∆ ^(M) _F (x − y)J (y) i

1 i

δ δJ (z)

₃ exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J (x)∆ ^(M _F ⁾ (x − y)J (y)

= n

i∆ ^(M _F ⁾ (z − z)

− Z

d ⁴ x∆ ^(M _F ⁾ (z − x)J (x)

+ 2

− Z

d ⁴ x∆ ^(M _F ⁾ (z − x)J (x)

i∆ ^(M _F ⁾ (z − z)

+

− Z

d ⁴ x∆ ^(M _F ⁾ (z − x)J (x) ₃ o

exp

− i 2

Z

d ⁴ xd ⁴ y J(x)∆ ^(M) _F (x − y)J (y)

このように汎関数微分によって出てくるものは

(3)(5)

 この対応関係によって、ミンコフスキー空間でのゼロ温度

2

D ^(M) _T=0 (x 1 , x 2 )

λ

1

D _T ^(M ₌₀ ⁾ (x ₁ , x ₂ ) = i∆ ^(M) _F (x ₁ − x ₂ ) − iλ

2 i∆ ^(M _F ⁾ (x ⁰ − x ⁰ ) Z

d ⁴ x ⁰ i∆ ^(M) _F (x ₁ − x ⁰ )i∆ ^(M _F ⁾ (x ⁰ − x ₂ )

を変更することで有限温度での場合が出てきます

(disconnected

1

2

D _β (τ ₁ − τ ₂ , x ₁ − x ₂ ) = δ ²

δJ (τ 1 , x 1 )δJ (τ 2 , x 2 ) Z[J ]

= ∆ F (τ 1 − τ 2 , x 1 − x 2 ) − λ 2 ∆ F (0)

Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ x ⁰ ∆ F (τ 1 − τ ⁰ , x 1 − x ⁰ )∆ F (τ ⁰ − τ 2 , x ⁰ − x 2 )

フーリエ変換して運動量表示にもっていきます。成分を分離して書くと長くなるので

∆ F (τ, x) = T X

n

Z d ³ p

(2π) ³ e ^−i(ω

^τ−p·x) ∆ F (ω n , p)

⇒ ∆ F (x) = T X

n

Z d ³ p

(2π) ³ e ^−ipx ∆ F (p)

と省略して書きます。1次からの寄与である第二項の変換は

D ⁽¹⁾ _β (τ 1 − τ 2 , x 1 − x 2 )

= − λ 2 ∆ _F (0)

Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ x ⁰ T ² X

n

,n

Z d ³ p 1 d ³ p 2

(2π) ⁶ e ^−ip

^(x

^−x

⁾ e ^−ip

^(x

^−x

⁾ ∆ _F (p ₁ )∆ _F (p ₂ )

= − λ

2 T ² ∆ F (0) Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ x ⁰ X

n

,n

Z d ³ p 1 d ³ p 2

(2π) ⁶ e ^−i(p

^−p

^)x

e ^−ip

^x

e ^ip

^x

∆ F (p 1 )∆ F (p 2 )

= − λ

2 T ² ∆ F (0) X

n

,n

Z d ³ p 1 d ³ p 2

(2π) ⁶ β (2π) ³ δ n

,n

δ ³ (p 2 − p 1 )e ^−ip

^x

e ^ip

^x

∆ F (p 1 )∆ F (p 2 )

= − λ

2 ∆ F (0)T X

n

Z d ³ p 1

(2π) ³ e ^−ip

^(x

^−x

⁾ ∆ F (p 1 )∆ F (p 1 )

そして、∆

F (0)

T X

l

Z d ³ k (2π) ³ ∆ F (k)

なので

D _β ⁽¹⁾ (iω n , p) = − λ

2 ∆ F (iω n , p)T X

l

Z d ³ k

(2π) ³ ∆ F (iω l , k)∆ F (iω n , p)

図との対応は、

伝播関数：∆

F (iω l , k) = 1

ω ² _l + k ² + m ² = −1

k ² − m ² (k µ = (iω l , k i ))

頂点：

− λ

ループ積分：T

X

l

Z d ³ k (2π) ³

対称因子で割る

といったものになっており、「ファインマン則〜虚時間法〜」でのものと一致しています。

 ここで自己エネルギーなんですが、ゼロ温度のときと定義の仕方が変わります。有限温度では自己エネルギー

Π

D ⁻¹ = D ⁻¹ ₀ + Π

と定義します。Dは厳密な、D

0

D ⁻¹ (iω n , p) = ω ² _n + p ² + m ² + Π

ミンコフスキー空間からユークリッド空間での

2

2

D(iω n , p) = D 0 (iω n , p) + D 0 (−Π)D 0 + D 0 (−Π)D 0 (−Π)D 0 + · · ·

というように変更する必要があります。よって、自己エネルギー

Π

−Π = − λ 2 T X

l

Z d ³ k

(2π) ³ ∆ F (iω l , k)

となります。これの計算は「圧力への寄与」や「リングダイアグラム」のところでやっていて

Π = λ

2 T X

l

Z d ³ k (2π) ³

1 ω ² _l + k ² + m ²

= λ 2

Z d ⁴ k E

(2π) ⁴ 1 k ₄ ² + E _k ² +

Z d ³ k (2π) ³

1 E k

1 e ^βE

− 1

(k 4 = ik 0 , E k = p

k ² + m ² )

k 0

m = 0

Z d ³ k (2π) ³

1

|k|

1

e ^β|k| − 1 = 4π

Z d|k|

(2π) ³

|k|

e ^β|k| − 1

= 4π

(2π) ³ 1 6 ( π

β ) ²

= 1

12 T ²

となるので、m

= 0

Π β = λ 2

1

12 T ² = λ 24 T ²

 そして、ゼロ温度部分の発散は相殺項を入れることで除去できます。入れ方もゼロ温度のときと変わっていなく

L counter = − δm ² 2 φ ²

というのを相互作用項として入れればいいです。そうすると、場の量子論の「くり込み〜φ

⁴

1 − i δm ² 2

Z d ⁴ z

1 i

δ δJ (z)

₂ + · · ·

というように新しく展開される項が出てきます。δm

²

λ

1

1

D ^(counter) _T=0 = iδm ² Z

d ⁴ x ⁰ ∆ F (x ⁰ − x 2 )∆ F (x ⁰ − x 1 )

というのが出てきます。で、これを上で見たのと同じようにして、有限温度に持っていけば

D ^(counter) _β = −δm ² Z _β

0

dτ ⁰ Z

d ³ x ⁰ ∆ F (τ ⁰ − τ 2 , x ⁰ − x 2 )∆ F (τ ⁰ − τ 1 , x ⁰ − x 1 )

δm ²

D β

D β (iω n , p) = −∆ F (iω n , p)(Π T =0 + Π β )∆ F (iω n , p) − ∆ F (iω n , p)δm ² ∆ F (iω n , p)

よって、Π

T =0 = −δm ²

β

 というわけで、温度グリーン関数は質量

0

D β (iω n , p) = 1 ω _n ² + k ² + ₂₄ ^λ T ²

となります。このように、たとえ質量

0