第
12
回 解析A
演習解答(7/23)
学科 学籍番号 名前 得点
次の関数の導関数
y
′ を求めよ．答えは通分するなどして，簡単な形に整理すること．講義中に出てきた初等関数の微分公式は証明なしに自由に用いてよい．
1. y = cosh x
（解答）
y
′= sinh x (
= e
x− e
−x2
)
2. y = x
3e
2x（解答）
y
′= 3x
2e
2x+ x
3e
2x· 2
= (2x + 3)x
2e
2x3. y = − log cos x
（解答）
y
′= − 1
cos x · (cos x)
′= − 1
cos x · ( − sin x)
= sin x cos x
= tan x
4. y = x √ x
2+ 1
（解答）
y
′= √
x
2+ 1 + x · 1 2 √
x
2+ 1 · (x
2+ 1)
′= √
x
2+ 1 + x 2 √
x
2+ 1 · 2x
= √ x
2+ 1
x
2+ 1 + √ x
2x
2+ 1
= √ 2x
2+ 1
x
2+ 1
1.
次の極限値を求めよ．(1) lim
x→+∞
log x x
2（解答）
∞∞ の不定形だから，ロピタルの定理より
x→
lim
+∞log x
x
2= lim
x→+∞
1 x 2x
= lim
x→+∞
1 2x
2= 0
(2) lim
x→0
e
x− e
−x− 2x x − sin x
（解答）
0
0 の不定形だから，不定形が解消されるまで ロピタルの定理を
3
回適用してx
lim
→0e
x− e
−x− 2x
x − sin x = lim
x→0
e
x+ e
−x− 2 1 − cos x
= lim
x→0
e
x− e
−xsin x
= lim
x→0
e
x+ e
−xcos x
= 2
2.
次の関数f(x)
の増減を調べ，極値を求めよ．f (x) = log √
x
2+ 1 − √
3 tan
−1x
（解答）
f (x) = 1
2 log(x
2+ 1) − √
3 tan
−1x
よりf
′(x) = 1 2 · 1
x
2+ 1 · 2x − √
3 · 1 1 + x
2= x − √ 3 x
2+ 1
よって，f′
(x) = 0
となるのはx = √
3
のときだから，増減表はx · · · √
3 · · ·
f
′(x) − 0 +
f(x) ↘ ↗
となる．ここで
