数学解析第 10 回

数学解析 第 10 回

〜 極限の存在

第

回

の最大値定理 〜

桂田 祐史

2020

年

月

日

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 1 / 20

目次

1

本日の内容＆連絡事項

2

期末レポートについて

3 5.

極限の存在

後半

^列と

^の完備性

点列版

^の定理

^の完備性

有界, Cauchy列の定義

収束列、有界、Cauchy列は成分ごとに判定可 R^{N の完備性}

点列版Bolzano-Weierstrassの定理

4 6. Weierstrass

の最大値定理

次元版

定理を紹介

証明

例

使いみち

本日の内容＆連絡事項

期末レポートについて説明する。

本日の授業内容

§5

「極限の存在」の後半、

^{の完備性と、}

^{の完備性、}

^におけ る

^{の定理を説明し、}

で有界閉区間上の連続関 数の最大値の存在を主張する

の最大値定理の

次元版を 証明する。

宿題

を出す。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 3 / 20

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。 提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。 A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。 A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 4 / 20

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。 A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。 A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 4 / 20

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。 A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。

A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 4 / 20

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。

A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。

A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 4 / 20

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。

A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

期末レポートについて

課題の提示は7^月31^日(^土曜) 12:00, Oh-o! Meijiのレポート・システムを使って 行います。なるべく当日アクセスしてPDFを保存しておくことを勧めます。

提出締め切りは8月3日(月曜) 18:00です。

(PDF化などに手間がかかることもあるので、3時間前くらいまでに解答は済ませ ておくことを勧めます。)

課題文自体は、 ^{授業WWWサイト}でも公開します。

内容は問題を解いて解答をレポートする、というものです。問題の量は従来の期末 試験程度で、60分程度の時間で解答できるはずです。もちろん締め切りに間に合う 限り、もっと時間をかけても構いません。

解答しているときに、講義資料やノート、参考書などを見ても構いませんが、他人 と相談することはしないで下さい。事前によく復習しておくことを勧めます。

A4サイズの(なるべく1つの)PDFで提出してもらいます。

ファイルサイズはOh-o! Meijiでは、10MBまでという制限があります。それを超 えた場合、ファイル・サイズを縮小するか、複数のファイルに分割して追加提出し て下さい。

自分の宿題のファイルのサイズを確認しておいて下さい。1MBを大きく超える人 は対策を考えて下さい。スキャンして作ったPDFの場合、例えば ^{how to pdf} で説 明した方法で縮小出来るかもしれません。

何かトラブルが起こった場合は、なるべく早くメールで連絡して下さい。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 4 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 定義}

定義

列

{a_n}

^{を数列とする。}

^が

列

基本列

で あるとは、

(∀ε >0)(∃N∈N)(∀n∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε

が成り立つことをいう。

(

距離空間という言葉は知らないかもしれないが

一般の距離空間にお

いて、上と同様に

列が定義できる。任意の

^{列が収束する}

ような距離空間は完備

^{である、という。}

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 定義}

定義

列

{a_n}

^{を数列とする。}

^が

列

基本列

で あるとは、

(∀ε >0)(∃N∈N)(∀n∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε

が成り立つことをいう。

(

距離空間という言葉は知らないかもしれないが

一般の距離空間にお いて、上と同様に

列が定義できる。任意の

^{列が収束する} ような距離空間は完備

^{である、という。}

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 5 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 収束列は} Cauchy 列

命題

列)

任意の収束列は

列である。

Proof.

{an}

^が

に収束すると仮定する。

を任意の正の数とするとき、

nlim→∞a_n=A

であるから、

(∃N ∈N)(∀n∈N:n≥N) |an−A|< ε 2. n≥N,m≥N

^{を満たす任意の}

^に対して

|a_n−a_m|=|a_n−A+A−a_m|

≤ |an−A|+|A−am|< ε 2+ ε

2 =ε.

ゆえに

ゆえに

^は

列である。

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 収束列は} Cauchy 列

命題

列)

任意の収束列は

列である。

Proof.

{an}

^が

に収束すると仮定する。

を任意の正の数とするとき、

nlim→∞a_n=A

であるから、

(∃N ∈N)(∀n∈N:n≥N) |an−A|< ε 2.

n≥N,m≥N

^{を満たす任意の}

^に対して

|a_n−a_m|=|a_n−A+A−a_m|

≤ |an−A|+|A−am|< ε 2+ ε

2 =ε.

ゆえに

ゆえに

^は

列である。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 6 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 収束列は} Cauchy 列

命題

列)

任意の収束列は

列である。

Proof.

{an}

^が

に収束すると仮定する。

を任意の正の数とするとき、

nlim→∞a_n=A

であるから、

(∃N ∈N)(∀n∈N:n≥N) |an−A|< ε 2. n≥N,m≥N

^{を満たす任意の}

^に対して

|a_n−a_m|=|a_n−A+A−a_m|

≤ |an−A|+|A−am|< ε 2+ ε

2 =ε.

ゆえに

ゆえに

^は

列である。

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 収束列は} Cauchy 列

命題

列)

任意の収束列は

列である。

Proof.

{an}

^が

に収束すると仮定する。

を任意の正の数とするとき、

nlim→∞a_n=A

であるから、

(∃N ∈N)(∀n∈N:n≥N) |an−A|< ε 2. n≥N,m≥N

^{を満たす任意の}

^に対して

|a_n−a_m|=|a_n−A+A−a_m|

≤ |an−A|+|A−am|< ε 2+ ε

2 =ε.

ゆえに

ゆえに

^は

列である。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 6 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

定理

の完備性

任意の

列は収束列である。すなわち

^{は完備である。}

証明

^は

列と仮定する。

第

^段

は有界であることを示す。まず

^{列であるから、あ} る

^{が存在して}

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |an−am|<1

が成り立つ。このとき

^{を満たす任意の}

^{に対して、}

|an|=|an−a_N+a_N| ≤ |an−a_N|+|a_N| ≤1 +|a_N|.

そこで

R := max{|a₁|,|a₂|,· · · ,|a_N−1|,1 +|a_N|}

とおくと、

は実数であり、任意の

^{に対して、}

が成り

立つ。

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

定理

の完備性

任意の

列は収束列である。すなわち

^{は完備である。}

証明

^は

列と仮定する。

第

^段

は有界であることを示す。

まず

^{列であるから、あ}

る

^{が存在して}

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |an−am|<1

が成り立つ。このとき

^{を満たす任意の}

^{に対して、}

|an|=|an−a_N+a_N| ≤ |an−a_N|+|a_N| ≤1 +|a_N|.

そこで

R := max{|a₁|,|a₂|,· · · ,|a_N−1|,1 +|a_N|}

とおくと、

は実数であり、任意の

^{に対して、}

が成り 立つ。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 7 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

定理

の完備性

任意の

列は収束列である。すなわち

^{は完備である。}

証明

^は

列と仮定する。

第

^段

は有界であることを示す。まず

^{列であるから、あ} る

^{が存在して}

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |an−am|<1

が成り立つ。

このとき

^{を満たす任意の}

^{に対して、}

|an|=|an−a_N+a_N| ≤ |an−a_N|+|a_N| ≤1 +|a_N|.

そこで

R := max{|a₁|,|a₂|,· · · ,|a_N−1|,1 +|a_N|}

とおくと、

は実数であり、任意の

^{に対して、}

が成り

立つ。

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

定理

の完備性

任意の

列は収束列である。すなわち

^{は完備である。}

証明

^は

列と仮定する。

第

^段

は有界であることを示す。まず

^{列であるから、あ} る

^{が存在して}

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |an−am|<1

が成り立つ。このとき

^{を満たす任意の}

^{に対して、}

|an|=|an−a_N+a_N| ≤ |an−a_N|+|a_N| ≤1 +|a_N|.

そこで

R := max{|a₁|,|a₂|,· · · ,|a_N−1|,1 +|a_N|}

とおくと、

は実数であり、任意の

^{に対して、}

が成り 立つ。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 7 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

定理

の完備性

任意の

列は収束列である。すなわち

^{は完備である。}

証明

^は

列と仮定する。

第

^段

は有界であることを示す。まず

^{列であるから、あ} る

^{が存在して}

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |an−am|<1

が成り立つ。このとき

^{を満たす任意の}

^{に対して、}

|an|=|an−a_N+a_N| ≤ |an−a_N|+|a_N| ≤1 +|a_N|.

そこで

R := max{|a₁|,|a₂|,· · · ,|a_N−1|,1 +|a_N|}

とおくと、 は実数であり、任意の

^{に対して、}

^が成り

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

第

段

^{は有界であるから、}

の定理により、

{an}

は収束部分列を持つ。すなわち、ある部分列

と実数

^が 存在して

klim→∞a_nk =A.

第

^段

^は

に収束することを示す。

ε

を任意の正の数とする。

^は

列であるから、ある自然数

が存在して

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε.

n≥N,k ≥N

を満たす任意の

^{に対して、}

が成り 立つから

|an−an_k|< ε.

(

この左辺を番号

についての数列とみなすと

^のとき

|a_n−A| ≤ε.

これは

n→∞a_n=A

であることを示している。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 8 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

第

段

^{は有界であるから、}

の定理により、

{an}

は収束部分列を持つ。すなわち、ある部分列

と実数

^が 存在して

klim→∞a_nk =A.

第

^段

^は

に収束することを示す。

ε

を任意の正の数とする。

^は

列であるから、ある自然数

が存在して

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε.

n≥N,k ≥N

を満たす任意の

^{に対して、}

が成り 立つから

|an−an_k|< ε.

(

この左辺を番号

についての数列とみなすと

^のとき

|a_n−A| ≤ε.

これは

n→∞a_n=A

であることを示している。

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

第

段

^{は有界であるから、}

の定理により、

{an}

は収束部分列を持つ。すなわち、ある部分列

と実数

^が 存在して

klim→∞a_nk =A.

第

^段

^は

に収束することを示す。

ε

を任意の正の数とする。

^は

列であるから、ある自然数

が存在して

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε.

n≥N,k ≥N

を満たす任意の

^{に対して、}

が成り 立つから

|an−an_k|< ε.

(

この左辺を番号

についての数列とみなすと

^のとき

|a_n−A| ≤ε.

これは

n→∞a_n=A

であることを示している。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 8 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

第

段

^{は有界であるから、}

の定理により、

{an}

は収束部分列を持つ。すなわち、ある部分列

と実数

^が 存在して

klim→∞a_nk =A.

第

^段

^は

に収束することを示す。

ε

を任意の正の数とする。

^は

列であるから、ある自然数

が存在して

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε.

n≥N,k ≥N

を満たす任意の

^{に対して、}

が成り 立つから

|an−an_k|< ε.

(

この左辺を番号

についての数列とみなすと

^のとき

|a_n−A| ≤ε.

これは

n→∞a_n=A

であることを示している。

5.4 Cauchy 列と R ^の完備性 R ^{の完備性とその証明}

第

段

^{は有界であるから、}

の定理により、

{an}

は収束部分列を持つ。すなわち、ある部分列

と実数

^が 存在して

klim→∞a_nk =A.

第

^段

^は

に収束することを示す。

ε

を任意の正の数とする。

^は

列であるから、ある自然数

が存在して

(∀n ∈N:n≥N)(∀m∈N:m≥N) |a_n−a_m|< ε.

n≥N,k ≥N

を満たす任意の

^{に対して、}

が成り 立つから

|an−an_k|< ε.

(

この左辺を番号

についての数列とみなすと

^のとき

|a_n−A| ≤ε.

これは

n→∞a_n=A

であることを示している。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 8 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 完備距離空間}

完備性は非常に重要である。特にそれを用いて

∑∞ n=1

|a_n|

^が収束

n=1

a_n

が収束

絶対収束級数は収束する

が証明できる

これから「優級数が収束すれば収束」，

の

M-test

などが導かれる

これらは、一般に完備ノルム空間

空

間

^{で成り立つ}

^。

級数については、この講義では論じる時間の余裕がないが、秋学期の

「複素関数」では詳しく説明する。

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 完備距離空間}

完備性は非常に重要である。特にそれを用いて

∑∞ n=1

|a_n|

^が収束

n=1

a_n

が収束

絶対収束級数は収束する

が証明できる

これから「優級数が収束すれば収束」，

の

M-test

^{などが導かれる}

これらは、一般に完備ノルム空間

^空

間

^{で成り立つ}

^。

級数については、この講義では論じる時間の余裕がないが、秋学期の

「複素関数」では詳しく説明する。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 9 / 20

5.4 Cauchy 列と R ^{の完備性 完備距離空間}

完備性は非常に重要である。特にそれを用いて

∑∞ n=1

|a_n|

^が収束

n=1

a_n

が収束

絶対収束級数は収束する

が証明できる

これから「優級数が収束すれば収束」，

の

M-test

^{などが導かれる}

これらは、一般に完備ノルム空間

^空

間

^{で成り立つ}

^。

級数については、この講義では論じる時間の余裕がないが、秋学期の

「複素関数」では詳しく説明する。

5.5 点列版 Bolzano-Weierstrass の定理 , R

^の完備性

5.5.1有界, Cauchy列の定理

多次元の場合への一般化を目指す。

Bolzano-Weierstrass

の定理

列の収束性

空間の完備性

など は、

の点列の場合にも成り立つ。

まず、数列の場合と同様に、

^{の点列の「有界」、「}

^列」を定 義する。

(i) {a_n}

^が有界

(ii) {a_n}

^が

^列

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 10 / 20

5.5 点列版 Bolzano-Weierstrass の定理 , R

^の完備性

5.5.1有界, Cauchy列の定理

多次元の場合への一般化を目指す。

Bolzano-Weierstrass

の定理

列の収束性

空間の完備性

など は、

の点列の場合にも成り立つ。

まず、数列の場合と同様に、

^{の点列の「有界」、「}

^列」を定 義する。

(i) {a_n}

^が有界

(ii) {a_n}

^が

^列

5.5 点列版 Bolzano-Weierstrass の定理 , R

^の完備性

5.5.1有界, Cauchy列の定理

多次元の場合への一般化を目指す。

Bolzano-Weierstrass

の定理

列の収束性

空間の完備性

など は、

の点列の場合にも成り立つ。

まず、数列の場合と同様に、

^{の点列の「有界」、「}

^列」を定 義する。

(i) {a_n}

^が有界

(ii) {a_n}

^が

^列

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 10 / 20

5.5.2 収束列、有界、 Cauchy 列は成分ごとに判定可

多くのことが成分ごとに考えれば良い。記述の簡単化のため

で 説明する。

命題

{a_n}

^が

^{の点列であるとき、}

bn

)

とおく。

(0) {a_n}

^が収束列

^と

^が収束列

^{これは証明済み}

(1) {a_n}

^が有界

^と

^が有界

(2) {a_n}

^が

列

^と

^が

列 証明

一般に成り立つ次の不等式からすぐ分かる。

|a_n|,|b_n| ≤ |a_n| ≤√

2 max{|a_n|,|b_n|}. (2)

一般に成り立つ次の不等式からすぐ分かる。

√

5.5.3 R

^の完備性

定理

の完備性)

R^N

^の点列

^が

^{列ならば、}

^{は収束する。}

証明

^やはり

^{の場合に示す。}

^が

^{列であれば、}

(a_n bn

)

で定まる

^と

^は

^{列である。}

R

^{の完備性から、}

^と

^{はどちらも収束する。} ゆえに

^{は収束する。}

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 12 / 20

5.5.3 R

^の完備性

定理

の完備性)

R^N

^の点列

^が

^{列ならば、}

^{は収束する。}

証明

^やはり

^{の場合に示す。}

^が

^{列であれば、}

(a_n bn

)

で定まる

^と

^は

列である。

R

^{の完備性から、}

^と

^{はどちらも収束する。}

ゆえに

^{は収束する。}

5.5.3 R

^の完備性

定理

の完備性)

R^N

^の点列

^が

^{列ならば、}

^{は収束する。}

証明

^やはり

^{の場合に示す。}

^が

^{列であれば、}

(a_n bn

)

で定まる

^と

^は

列である。

R

^{の完備性から、}

^と

^{はどちらも収束する。}

ゆえに

^{は収束する。}

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 12 / 20

5.5.3 R

^の完備性

定理

の完備性)

R^N

^の点列

^が

^{列ならば、}

^{は収束する。}

証明

^やはり

^{の場合に示す。}

^が

^{列であれば、}

(a_n bn

)

で定まる

^と

^は

列である。

R

^{の完備性から、}

^と

^{はどちらも収束する。}

ゆえに

^{は収束する。}

5.5.4 点列版 Bolzano-Weierstrass の定理

定理

における

の定理)

R^{N の点列}{an}^{が有界ならば、}{an}^{のある部分列}{an_k}k∈N が存在して、収束する。

証明 {an}^をR^{2の有界な点列として、}an= (an

bn

)

とおく。 {an},{bn}^{は有界である}(|an|,|bn| ≤ |an| ≤R)。

R^におけるBolzano-Weierstrassの定理より

(∃{an_k}k∈N:{an}^の部分列) (∃A∈R) lim

k→∞an_k =A. {bn_k}k∈N は有界であるから、やはりBolzano-Weierstrassの定理によって

(∃{bn_kj}j∈N:{bn_k}k∈N の部分列)

(∃B ∈R) lim

j→∞bn_kj =B. {

an_kj

}

j∈N は{an_k}kの部分列であるから、lim

j→∞an_kj =A. ゆえに

lim

j→∞an_kj = lim

j→∞

(an_kj

bn_kj

)

= (A

B )

.

この証明は2次元の場合に行ったが、同じやり方で、任意のN∈N^{に対して、}R^{N で}

「同様に」出来ることは分かるであろう。

桂田 祐史 数学解析 第10回 2020年7月13日 13 / 20