参考文献

Theorem 1. D₁ :=

Xg

i=1

n_iP_i−g∞, D₂ :=

X2g

i=g+1

n_iP_i−g∞ とし, 各P_i := (x_i, y_i)はすべ て相異なるもので, branch pointの個数は2g−n以下とする. このとき,

b(x) = X

1≤i1˛i2˛···˛in≤2g

y_i1· · ·y_in·

Y

k̸=i1,i2,···,in

(x−x_k) Y

k̸=i1,i2,···,in

(x_i1 −x_k)· · ·(x_in−x_k) ,

c(x) = X

i≤i1˛i2˛···˛in−1≤2g

yi1· · ·yin−1 ·

nY−1

l=1

(x_il−x) Y

k̸=i1,i2,···,i_n−1

(xi1 −xk)· · ·(xin−1 −xk) .

特に,

ϕ= (b(x)−y·c(x))/(

Yg

i=1

L_i);但し各L_iはinvolutionを与える直線の定義方程式.

Lemma. P³ ∋ P_i := (x_i, y_i) (1 ≤ i ≤ N_m)とする. C[x, y, z, w]のm 次単項式を M₁, M₂, . . . , M_Nm+1とおく. このとき, P_i ∈H_mなるm次曲面H_mの定義方程式は,

Fm(P1, P2, . . . , PNm) =

NXm+1

i=1

det(v1· · ·

z }| {i

−vNm+1· · ·vNm)·Mi + detA·MNm+1.

ここで,v_i = (M_i(P₁),· · · , M_i(P_Nm)) ; (1≤ ∀i≤N_m), A= (v₁· · ·v_Nm)で与えられる.

Theorem 2. P₁, . . . , P_g+1∈Cをgeneralにとる.

D₁+D₂ = Xg+1

i=1

P_i−(g+ 1)P₀ ∼ Xg

i=1

R_i−(g)P₀

を与えるrational function ϕは,

∃{Q_i}^md_i=1^−(g+1), ∃{R_i}^g_i=1 ⊂C, ∃{S_i}^N_i=1^m−md, ∃{T_i}^N_i=1^m−md⊂P³\C s.t.

ϕ= F_m(P₁, . . . , P_g+1, Q₁, . . . , Q_md−(g+1), S₁, . . . , S_Nm−md) F_m(Q₁, . . . , Q_md−(g+1), P₀, R₁, . . . , R_g, T₁, . . . , T_Nm−md).

参考文献

[1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM52, Springer, 1977

[2] F. Leitenberger, About the group law for the Jacobi variety of a hyperelliptic curve, Beitr¨age Algebra Geom. 46 (2005), no. 1, 125–130

[3] 佐竹一郎, 線型代数学, 裳華房, 1974

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