球形構造物の波による振動に関する基礎的研究: University of the Ryukyus Repository

(1)

Title

球形構造物の波による振動に関する基礎的研究

Author(s)

河野, 二夫

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(5): 129-212

Issue Date

1972-03

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/24957

(2)

129

球形構造物の波による振動に関する基礎的研究

河

野

夫

Fundamental S

t

u

d

y

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h

e

V

i

b

r

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e

d

by S

u

r

f

a

c

e

W

a

v

e

s

.

Tsugio Kono 序記号説明第l篇波動による球の振動………… 133 第l章緒言…....・H・...・H ・....・H・-…・ 133 第2章基礎方程式…・・・・H・H・...・H ・...134 第l節運動方程式・-…・....・H ・...・H ・134 第2節連続の方程式・・H・H ・....・・H・H・.134 第3章波の進行方向の振動

:

x

振動)135 第l節振動の基本式-…....・H ・....…・ 135 第2節振動方程式・……・…....・H ・-… 136 第3節振動方程式の解・……・・・H ・H・-・139 第4節実験装置と実験方法……-… 141 第5節理論と実験結果の比較……・ 142 第6節句結語...・…・・一…・…・……・ 148 第 4章 j皮の進行に直角水平方向の振動 (y振動) .…・・…・……・ 148 第l節序説-………・-…・....・H ・....148 第2節実験装置と実験内容………… 149 第3節波形と変位の関係・…・……・… 150 第4節 X振動とY振動の変位の関係 152 第5節振動初期の変イ立について…… 152 第6節 Y振動の原因についての考察 153 第7節次元解析と実験結果………・ 155 第8節結語・H ・H ・...…...・H ・...・H-・・1S6 第2篇波動による球の干渉……・-… 157 第l章緒言・…....・H・-…....・H ・....・H ・.157 受付:1971年9月30日 *琉球大学理工学部土木工学科目次頁第2章波の進行方向の干渉:

x

干渉)158 第l節速度ポテンシャJレ...・H・..…・・ 158 第2節運動エネルギー...・H ・...・H・-・161 第3節振動方程式...・H ・....・H ・-… 161 第4節振動方程式の解....・H ・....…...162 第3章波の進行方向に直角水平方向の子渉(1)(Y干渉〉…...・H・..168 第l節序説・……....・H・...・H・…….168 第2節速度ポテンシャノレ...・H・・H・H・168 第3節球に作用する流体力...・H ・-…・ 169 第4節振動方程式とその解-…-・…・ 171 第4章波の進行方向に直角水平方向の干渉(2)(Y干渉〉……… 176 第l節序説....・H・-・...…...・H・...・H・176 第2節球に作用する流体力....・H・-・ 176 第3節振動方程式とその解・…....・H・177 第4節共振曲線主位相曲線....・H・・… 177 第5章実験装置と実験方法・...・H・-… 178 第1節実験装置…・・・……H ・H ・...・H・.178 第2節実験方法....・M・....・…...・H・178 第3節実験内容....・H・-……...… 178 第6章理論と実験結果の比較……・・ 181 第l節 X干渉について...…… 181 第2節 Y干渉について(1)...・H ・...・H ・.186 第3節 Y干渉について包)……… 189 第4節結語・・H ・H ・………...・H・.192 第3篇重複波の中におかれた球の振動 193 第l主義緒言・…H ・H ・...・H・.193

(3)

130 河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究第2章振動方程式とその解…・...193 第1節運動エネノレギー...・H ・193 第2節振動方程式・...・H ・...・H ・…193 第3節振動方程式の解・…・…・…… 194 第3章実験装置と実験方法一・・…… 198 第l節実験装置…・…H・H ・...・・ 193 第2節実験方法....・H・..・H. ・-… ・・・・ 193 第 3節実験内容 … … … … ・ … ……工93 第4章理論と実験結果の比較…-…193 第l節波形と変位の関係・…… -…・ 193 第2節理論と実験結果の比較…・…..200 第3節結語 … … … …...・H ・.202 第4筒球の振動とその防止法… E・E・..・ 203 第ユ章緒言・…...・H ・...・H・...… 203 第2牽実験装置と実験方法……・…ニ04 第l節実験装置・………・・……… 204 第 2節実験方法・………..・..H・....… 204 第3. 実験結果と考察……・・・-……204 第l節球のまわりの流れの状況...・..204 第2節防振装置による球の変位の減少…・…・…・・…… -…205 第3節球に作用する外カ....・H ・-…… 205 第 4節球の変位・……・・…....・H ・-…… 206 第 5節結語・・ … ・ … … … …...207 総括...…・…・……・...・H ・…・・H・H ・...…...203 参考文献………...・H ・-…H・H ・....・H・...……...210 Summary..・・υ ・...ー...…・・・・…-・… 212

(4)

琉球大学理工学部紀要〈工学篇〉 131 序本論文は海中に設置された構造物が，波によってどのような影響を受けるかについて行なった研究結果を取纏めたものであり，とくに構造物が球状のもので，しかも規則波による基礎的な研究である。とのような研究の佼割については，これが単に学問的に興味があるというだけでなく今後の海洋開発計商などについての重要な課題であると考えられる。 1962年フランスのコンセルフl号が10nもの海底に2 人で1週間の居住生活に成功したのを発端に，米国においても1964年にSeaLab

1

号.1965年にSeaLab

E

号，そしてSeaLab :m号の計画などによる海底居住の試みがなされた。また，ペルシャ湾のDubai沖の海底には直径270ftの半球型式石油タンクが設置さ 1) れようとしている。このように海洋開発に対する人類の実際面での活動は近年めざましいものがある。本論文は規則波による球状構造物の流体力学的な基礎的研究ではあるが，将来の実用的目標としては海中石油タンクの設計といった問題も課題にしている。従来，流体の中における球状物体の流体力学的問題については勿論のこと，海岸工学或は海洋工学等の面においてもめざましい研究がなされていることは云うまでもない。実際の波についてスベ名トfレ分布は風速により一定の形になる事をNeumannは見出し，さらに Long -3) uet Higginsが，このスペクトノレ分布と波の不規則性とは密接な関係のあることを確めたことは，今日の海洋，海岸工学にとって極めて重要な意義がある。また，流体中の球の運動についての研究も数多くなされているわけであるが，とくに慣性項を無視した Stokes (1845) の抵抗式や，慣性項を近似的lこ考慮する解法を試みたOseen(J.910)の研究などは充分知 4) られている。さて，海岸，海洋工学的な面から実際の海底構造物のモデルとして，球状物体を水底に固定し，これに表面波を与えた場合の流体力学的な取扱いについての論文は著者の知る限りでは極めて少ない。 R.F. Harle. 5.6) manちは球径0.418ft. 0.518ftの 2種類の球につき.moo叫 lineで水底同定した場合と士 inch のsteelrodで水路上部よりつり下げた場合の波による球の振動の問題を比較した (1958-1960)。また， 7可 Allen T. Hjlmfeltらによると，板ばねに球を取りつけた

J

t

l

立振子を水路底面に固定し. (板ばねば水路面上を移動出来る〉板lまねの時移動による球の振動の history (動粘性係数，球径，箇有振動数で与えられるStokesNumberにより振巾が影響される状態を示す〉を研究したなどの報告がなされている， (1967)

。

彼らの研究はいずれもこれからの海洋開発計画に関連する研究として高〈評価されるものと考えるが，まだ検討すべき問題が多く残されている。例えI'I.構造物を固定する方法も種々考えられるのであり，その固定の仕方によっては構造物と流体との相対的な運動を考えねばならないこともあり，或は複数箇の構造物を接近して設置するととも予想されるが，このような場合のお

E

の構造物による干渉の問題などがある。さらに本論文に関する事でもあるが，実際の波iま不規則であるから規則的な波，或は球の規則的な振動に関する研究結果のみでは実用的な面から考えた場合，更に検討する必要がある。たゾ不規則波に対する問題については，最近統計学的な研究がなされているので，これを応用することは可能である。つまり，不規則な波は周期や波高の異なる素成波をその位相がrandomに重ね合わされたものであると考えると，一つの素成波の波高に対する球の振動の response'operatorを求めておけば，不規則な波に対しては，そのスベクトノレ分布がわかれば，球の振動の累積エネノレギー密度が求められるので，先にのべた Neumannおよび L.Higginsが見出した不規則波のスペクトルに関する結果を応用すると球の振動についての最大値や平均値などが求められることになる。本論文は4篤から構成される。第 l篇では，ー箇の球の倒立振子に対する波の進行方向の振動実験，および理論と波の進行に直角水平方向の振動実験について検討した。第2篇では，ニ筒の球の倒立振子の波による干渉について検討した。大別すると次の3通りになる。 ①:波の進行方向に2笛の球を並べた時の同方向の振動による干渉。 ③:波の進行に対し直角水平方向に2箇の球を並べた場合の直角水平方向の振動による干渉。 ③:③の並べ方に対し，波の進行方向に同様の振動をする場合の干渉。第3篇では. 1箇の球を重複波の中においた場合の球の振動について，とくに直立壁からの球の位置がどのように影響するかを検討した。第4篤では，球の振動を防止する方法について検討した。

(5)

131 河野:球形構造物の波による振動t乙関する基礎的研究記号説明と与に本文中の記号の説明を記しておく，

(

C

.

G

.

S

単位〕。なお部分的な例外や，特に下記の記号と一致しないものは本文中で説明する。〔数学に関するもの

1

:等号。宇 :近似的に等しい。 j 積分記号。 1 1 絶対値。 exp 指数関数。 grad:スカラ函数の勾配。

ム :

Laplacian. ーα :比例する。ミ :大小関係。 ~ :総和 e 自然対数の底。 ∞ :無限遠点。

マ:

Nabla. <( 左辺の値は右辺の値に比較して充分小さい。〔振動および流体に関するもの〕

v

速度ベクトノレ。.a :質量力。 ω :角振動数。 E 運動エネルギー。 F : dissipation fun. U ポテンシャノレエネ ctlOn. T 波の周期。 H 波高。ルギー。

φ

:波の速度ポテンシャノレ。 L 波長。。球の運動による流 h .;水路の平均水深。体の速度ポテンシ u 水粒子の水平速度ャノレ。成分。 M 球の質量。 u 球の静水中での移れ球の仮想、質量。動速度。 k ばね定数。 J{，

Y

，Z 座標軸，また

C

減衰係数。は球の変位。

C

:減衰係数比。 qk 一般座標。ニq :

C

/

M+n

じ Pk 一般力。 ν :動粕性係数。 P 球に作用する単位

P

:;水の密度。面積当りの外カ σ :球の密度。 p 球に作用する外力 fJ 重力の加速度。 t 時間。 a，b 球の半径 X， Y， Z : X (t)， Y(t) d 球の直径。 Z (t)の導函数。 s 水底から球の中心

t

板ばねの長さ。

CM

質量係数。

CD:

抗力係数。までの高さ。 r 球の中心よりある点、までの距離。

(6)

琉球大学理工学部紀要(工学簿〉 133 第

1

篇波動による球の振動第

.

1

緒言本論文は球状物体が波によってどのような影響を受けるかについて述べたものであることは既述した通りである。模型として球状のものを考慮したことは，実際的問題として，海中石油タンクの設計と云った課題を考えていることもあるが，流体力学的な点から考えれば，例えば一般に二次元的な運動においては，等角写像などの理論がつかえるが，三次元的なものは，これがつかえない。しかしながら，特に球状の物体すなわち軸対称なものに対する流体の数学的取扱いは可能であると云うことにもよる。白〉 George.R.Algerらは irregularな物体の抗力係数を求めるのに，その物体を球状の物体に仮定して実験結果を比較的統一的に整理している。すなわち，その物体と同じ表面積を有する球および同じ体積を有する球から換算された両方の直径によってSphapefactor なるものを定義し，これをパラメーターとして実験結果を整理している。つまII，複雑な形状のものでもSphapefactorにより分類しておくと球状のものとして仮定して取扱えるので流体力学的な取扱いも容易になると云う意味が含まれているように思う。さて，物体が流体中を運動する場合の研究は古くは Aristoteles(384-3

コ

3B. C) 媒質説や Philoponus の動力説までさかのぼることが出来る。物体が流体中でどのような抵抗を受けるかと云った問題は本論文に取っても極めて重要なことであるが，慣性の法則を発見したGalilei.Galileo (1564-1642)以後の研究はめざましいものがある。彼は振子を用いて実験を行ない抵抗は速度に比例するとした。また HlIyghens (1629-1695)は物体の落下実験によって抵抗は速度の自乗に比例することを見出した。この両者の関係を明らかにしたのはNewton(1642-1727)であるが，彼は抵抗が流体の密度，速度，物体の形状に関係するとして，速度の自乗に比例するものは慣性によるもの (Newtonの抵抗員

I

D

であり，速度に比例するもの 9) は粘性による抵抗であることを明らかにした。またこのような研究は理論的にも古くからなされていることは云うまでもないが，序論にものペたような Stokesや Oseenの研究を初め， Oseenの式を厳密 10) に解いた Goldsteinや Navier.Stokesの式に対する線形近似によって加速度をもっ球の問題を取扱った 11) Bassetによる所謂Bassethistory integralの研究 (183めなど，多くの研究報告がなされている。 12) 以上の外粘性流体中で振動している球の問題や Bassetの理論と比較するため Viscollsoil (ν= 9.56x10-3 sqftper sec) の中で径 2.5ir.chの球の 13) 振動実験など行なったOrdar

・

F (1964) の研究などもあ

P

記述しでも限りがない。 14) 日本では友近らの研究など秀れたものがある。例えば彼らは円柱，楕円柱，平板などの定常運動の場合の Oseenの厳密解ーを求めている。さらに海岸工学，海洋工学的な立場からは，例えば波動中におかれた円柱に 15) 作用する波力の問題を理論的に取扱ったものや砕波に 16) よる実験結果を次元解析的に整理したものなどある。

また Keuleganand Carpenterは Co，CMの値が

波動の場合は Um.T/D (Um : ;最大流速，

T

周期，

D

直径〉によって決められることを示めした 17) (1958)が，同様な事について，A.Paapeらは波動中ではCo'、CMは一定値でない事を実験と理論 (Co， C[唱を一定値にした計算値)で示した。以上のように，波動中の円柱や平板に対する研究は多くあるが，序論でも述べた様に球状の物体で実際のMod，eltankを考えて研究したものは著者は見出すことが出来なかった。本論文は波動による球の振動につい・て著者がこれま例えば， 18)，19)，20) で行なった研究結果を取題めたものである。第 l篇においては図1-1に示すように， 1箇の球をつけた倒立振子を波動の中の水路底に固定した場

z

Wave

x

Fig. 1-1 Schematic dlagram of a submerged sphere. 合の問題を取扱ってある。また，円柱を二次元的な流れの中においた場合は Karman渦によって，円柱には揚力が作用することが一般に認められているが，波動の中におかれた球形物体の場合も波の進行方向に対し，直角水平方向に振動することが本実験において認められた。以上のように，第 l篤での主な内容は波の

(7)

1

3

4

河野;球形構造物の波による振動に関する基礎的研究進行方向の球の振動と，波の進行に直角水平方向の球〈第

l

篤以下の各篇においても同様にナる。例え

I

f

X

の振動の解析が主体になっている。従って説明の便宜干渉など〉。上，前者をX振動，後者をY.振動と呼ぶことにする。第

2 *

基礎方程式第

1

節運動方程式 21) Eulerの運動方程式はベグト Jレ式で表わすと(1.1)式になる。

oV

一

_o

一+

_{t .}(V. _，_. V_.".')V=

.

_~M

o

.

-

_P

~

gradρ (1.1) θ o .•

a

こ ~lに

マ

=1

否王+

ja~y +k

百

z

である。 (1.1)式は渦度ベクトfレW を用いること(1・2)式に変形される。

a

v

.

"'WW7'~~.n.，，-... 1 _~_..J ~ ___..3 1

'

a

-

t

+

(WxV)

=

.

0 .

-

$

'

grad

p

-

grad

・

tV2 (1.2) 質量ガを無視し，かっVの大きさをqとすると， (1.2)式は(1.3)式になあ。

av.

，

.

，

.

"

0 .

1"' dp す 7 + ( W×V)=-grad

(

去

q斗

r

-

j

f

-

)

(1.3) 運動を非回転とするとW=oであり，かっV=grad併なる速度ポテンシャJレゆが存在するから，

J

「

(grad4)=-grad(

わ

2+

r

キ)

故に

す

q

2 +

;

P

J

旦

+

三

十

一

= F(t) 或は

三

十

一

+

す

{

grad

バ

+;p-JL=F(t) 非圧縮性流体とすると， δ

o

.

1 ( __n-'，f.i 2 ， P ++~ grad

φ

ト十与=F (t)

a

t I :4L 0 - - - ' ) • p た'>し

(ω 。 )2=(~~r+(詳y

+(~ ~y である。

(1.7)式は圧力の方程式と云われる。第

2

節連続の方程式 (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) 閉曲面の面積素片をdsとし，その中点から外向きの法線の方向余弦を

t

，

m

，

nとすると，

r~\θP; 〔

¥

-

a

t

-

dv_{十 ¥}_¥ρ

_(R

_._u_，_{+ mu}_y_+nu

，

)

_d_s₌₀ ₍₁_.8₎ たゾしUx，Uy， Uzはdsの中点における実質部分の速度成分であ!)， dVは任意の体積素片を示す。(1.8)式の右辺をgreenの定理によって，体積積分にかえると， (1.9)式が得られる。 dp _+ρ

_・

_d_i_v_V=₀ dt 非圧縮性流体とすると， div V= 0 V=gradrtなる速度Potential併を考えると(1.10)式になる。 (1.9) (1.9)

(8)

琉球大学理工学部紀要(工学需〉 135

L

1 o

=

0 (1.10) 以上の諸式は一般の流体力学の著書に記されていることは云うまでもないが，本論文の説明の便宜上記述したにすぎない。第

3

章波め進行方向の振動

(X

振動〉第

1

節振動め基本式

3 .

1 .

1)Lagrangeの運動方程式振動の基本方程式をたてる場合はカの釣合いを基礎にする D'Alembertの原理による方法と，エネルギー的 22) 考察による Lagrangeの方程式による場合がある。後者の方程式はく1.11)式で示せる。日一川十日一山 ¥l ノ日一山 / I ¥ (1.11) た立しk=1，2，3，

…

・

.n(自由度n)

。

23) (1.11)式の証明は，例えば機械振動などの著書に書かれである。(1.11)式はエネルギ一保存則により成立 23.24) したものであるが，保存力以外の一般力および減衰カも考慮した場合は(1.12)式になる。 d ( _:_-_l

a

E '¥

a

E .

a

u .

a

F _ D，. 一一一一)一一一一十十一ァー=rK dt '-

a

q

kノ

a

q k

a

q k

a

q

k -__

3 .

1 .

2 )

運動エネノレギー図・1.2で半径aの球の中心 (xo，Yo， zo)の速度

v (vx=xo， Vy=Yo， Vz =zo)で運動する場合のP点の速度ポテンシャノレりは境界条件(1.13)式を満足するように Laplaceの式(1.10)を解けばよい。その解は(1.14)式になる。 (1.12) Z P(x

，

y

，

z) (jf)r=a=￨v￨cosoi

(

詳

)r=∞ = 0

f

v (1.13) y

が-_

I

V

l

a

_

3 _

c

2 r2 rやcosθは (1.15)式になる。 (1.4) Fig.1 - 2 : Motion of a soIid sphere in an infinite mass ofIiquid.' r={ (X-Xo) 2 + (グ-Yo)2十 (Z-Zo)2

}

J

)

osθ= .Y..~

.

X -Xo + ~!_.グ - Y 0 + ~~. • Z -Zo (

V

-

l

V

T

_

-rー

'

I

V

I

一一

-r-'TVf--r-)

(1.15)式を用いると， (1.14)式は(1.15)式になる。

。

=

一

会

ベ

Vx(X-Xo) +Vy (グ-Yo.)十Vz

(μ0) }

故に運動エネルギーは， Vy =Vz = 0の場合を考えると， p

"

θ~

J _ _ 1 E= 一 τí ，併す~ds

= す

mV~ く1.15) (1.16) (1.

1

7 )

上式で

s

:

球の表面積，

X:

球面での法線成分，

V

x X方向の球の速度，

m:

仮想質量を示す。(1

.

1

7 )

式は球の運動によっておこされる流体の運動エネルギーであるが，球自体の運動エネルギーを考え，全体のエネルギーを改めてEとすると(1.18)式になる。 E = t〈M +れ)V; (1.18)

(9)

136 河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究た立しMは球自体の質量である。

3 .

1 .

3 )

Potentialエネルギー (Uうと dissipationfunticon (F)

。

23，24) Uおよび Fは(1.19)式で与えられる。 U=th-xz F =

ま

c

(土)2 た立しk'ぱね定数，

c

減衰係数である。

3 .

1 .

4 )

振動の基本式 (1.19) (1.18)式でVxl士球の運動する速度であるが，振動の場合は球の振動速度xlζ書き改め，かつ(1.18)， (1.19)式を(1.12)式に代入すると，振動の基本式が得られる。

エ+2Qx+

ω2 X =

J _

M十叫 (1.20) た立し， ω01ま振子の水中における固有(角〉振動数であり，かっPk=Pとおいた。

1

2

節振動方程式 (1.20)式のPは球に作用する外力を示すが，本論文の場合，外カと云う意味を球の娠動を促進させる様なカ，或は振動を持続させるようなカと云ったように考えると， Pとして次の 2通りの場合が考えられる。まず，波動による動水圧である。次に波動の中の振子の猿動は図1-3 に示す様に， (a)， (b)の2通りの場合が考えられる。 (a)は x-U<oのとき負抵抗となり，振動は増大する。(た三しUIま波の水粒子速度のZ成分〉。エ-U>oのときは減衰の作用を受ける。また(b)の場合はすべての場合において Z Z

x

ー ~J.，_'_." 1._~="，~，* Fig.1ー3: Schematic diagram ofSubmerged

減衰の作用を受ける。以上の」とを要約すると球の振動速 spheres oscillating in wave. 度と水粒子の速度のお互の関係によっては，球の振動を促進させるようなカ，つまり外カとして取扱う〈見倣す〉ことが出来る。故lこ(1-20) のPを(1-21) 式のように仮定する。 P=P1土 εノ _(x-_u_~2 (1.21) たゾしε/は比例定数である。 (1.21)式でPlは波の動水圧によるものを示し，右辺第 2項は流体と球の振動の相対速度の自乗に比例する非線型部分の流体抵抗を示す。±の符号は上述の説明により， x-u>oのとき負，エ-uく0のとき正である。

3 .

2 .

1)Plについて波の速度ポテンシャlレ

φ

は(1.22)式になる。 sh2互 (h

+

Z) φ - H

g.CO

L

ハ

一

-ω-

一

cosh

一

τ

←

仁

一

h

一

.

cosド" -L ;-xーωt) (1.22) たゾし， ω=2πjT， (1. 22)式の

φ

を用Uい、，かつ速度項は充分小さいとして無視すると， (1.7)式によりPlIまく1..23)式になる。 f' 1 ~/'

a

φ

1 ， f'

θ

φ

~

=

¥

，

P {

F(t)-

~7

}

ds =-

¥

，

0 -

'

a

;

ds (1お〉

(10)

琉球大学理工学部紀要(工学篇〉 (1.23)式に(1.22)式を代入すると(1.24)式になる。

p =

丘旦

1

一一「叫

12i(llfz)sin

(半

xーωt) ds 2

_∞

sh

ぞ

1 1 L L ¥』さて，座標系を図1-4のようにとると， (図でSは X

，

Y平面上における任意の方向を示めす)h+Z=l

+

%

(1 + 吋〉， x=3sin0・山rp，ds=

(

%

Y

sin{I.d{I

・

d伊であるから， (1.24)式のPlが球面(S) に垂直方向に作用す

o

ことを考えると，図1-4によってx方向の流体力は方向余弦が sin{Isin rpであることも 137 (1.24) Z

x

考えると(1.25)式に変換される。 Fig.1.4 : Pressure acting on the sphere pg日 d2

_I"ot~."o"

_{( 2 π d d} ，，¥ 1

ド

-JK

一万二子五

7 h c州

十

一

子

u+τ

十すcosO)

~

x

L " U _ i π d SlIl

i

一一了

SlIltl・Sltl

l

P

一

ωt~ 'sln<{I'sin lP

.

d

B

・dqヨ (1.25) (1.25)式は更に(1.26)式になる。 =_

_

f

!

_

坦竺

.cosh

{子(

l

+~-)}

∞

sh

子

h

〔

I1ー12

J

1 塑坐

sinh

{

ぞ

(

l

+

%

)

}

ふ百「

〔

I3ー14

J

(1.26) たヌし

Il=

ー

t.

"";OSil

(千∞

so).

s

仇千

S

i

n

O

•

s

i

叩 )

sin2

_B

_・

sinrp• d {I

・

drp 12吋 nω t.

S

cosh(

牛

ω s O l c o s ( 4 5 Msin

判

sin2

B・

sinrp

・

dB

・

drp t-，. . ~ I πd ^ ' π d 1 J

=coswt (

(

"

¥

"

¥

_

s

.

i

.

n

.

h

¥ L

(一一一

cosO~-

-

)

I

・

_s..，， in(一一一s

L

inO

・

sin

l

P

)

sin2IJ

・

Sl!lψ

・

dO

・

匂

14吋 n

叫

sinh

(

千

COS(J)'cos

(千

sonBsin

伊)

sin2B's

川

(1.27)式を数値積分法で解く場合の簡単な説明をすると次の様になる。 1

=~:~" .LS~~m 勾 F

(0ψ) .dO .d

タ

(1.28) (1.27)

(11)

河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究 138 9'm) 9'0) +F (θ0， 1=

坐子主

(F(θ0， 9'm)

J

+68:

ム

E.5712-1fF(Oo，￠J〉， :; i=l i=l ' -+F(8n

，

ψ

。)+F (θn

，

一

﹂

い

伊0)+F (θi， 9'm) +F (8i ，

、

l f J 、_‘ ，，，

。，

﹁₁ i ノ、_， J ・ 3 0 ' +ムθ - M - Z

主

l(FCθ1， +F (θn， (1.29) たゾし， n， mは

8

，9'を等分したその筒数である。なおF

(8

，

ψ

〉は(1.27)式の右辺の積分値を示す。本文においては，球径は波長に比較して充分小さいものとすると，近似的lこは次式が得られる。 cosh

(

子

∞

sθ)=1

寸

r

(

千

∞

sθ)2 sinh

(

ぞ

m θ ) =

乎

c叫

山(乎

sin8 • sin9')

=

千

s川・sinタ

∞

s

(

ぞ

ω

・

ω ) =1-/

了

(

千

sin8

・

仰

の

2 (1.30)， (1.30) (1.31) (1.32) 11

=∞

s

ω

t

{

さ(弓旦)+守(千

y}

(1.30)式を(1.26)式に代入すると(1.31)式または(1.32)式が得られる。

=一竺土竺

∞

c

0 ベ

s

ベ

h

(

子

:

に

;

f

→

%

)

汁

l

(

い

1+

也

占

叔

(

千

〉

η2

つ

)

.

∞

6 L ∞⑪四Csnニ」一一n -- L P { = t ρ M L

∞

sh{

号

;

7

4 )

1

(1+

占(千

y

)

sin

(ωt-f)

smnLn Pl" (1.33)

t

を充分小さいとすると， cosh{

ぞ

(l+%)}

P1=t p π 3 d 3 7 . t ? rr

l

.

.sin

(

ω

t

-

f

)

sinh"~' h (1.34)

3 .

2 .

3 )

t' (エ-u) 2について uは (1 .34)式で与えられる。 sh羊互 (

t

+

と ) 、

uzPJLH1

・

∞

L¥

l T

"

2

j.sin

f2Ez

ー

ω

t'

)

:

d X J sinh

子

h リノ

故に，

(1.35)

(12)

139 琉球大学理工学部紀要〈工学篇〉

3 .

2 .

3 )

振動方程式 (1.21)式に(1.33)式と(1.35)式を代入し，かっその値を(1.20)式に代入すると，式が得られる。 (1.36)式と(1.37) (1.36)

… 引 -

;

)

土

εI

{~一平 τ27し叫…t)f

L

±ε{

一

台

-sin

(

そ

x -

叫

}

2 J

ぷ

+

2

0 i

+ω

~

x =ー~

_{M + m}

(

_._.

s

_._._.

i

_._.

n

_、

(

ω

t

-

.

!

_;_._:

.

¥

_I (1.37) たヌし，上 3..

H

COS

I

-

r

与

(

.

0 +

会

)

P

o

=

イ

ト

m

d

- 7

n

。 f 2

s

i

n

h

千

h

Z

E

(

2 斗 )

s

i

呼

h

~ Hπ 一一勺

T

(1.38)

cosh

与

(

.

0 +

会)

3.C

o・

H

e=

ー守互一一

S

i

n

h

子

h

ε

，

=

i

-

'

C

O

小

π

.

d

2 (1.39) 解の式種 (1.37)式の解として. (1.39)式を仮定する。 x=xo+ e Xl + ε2 X2

+

・・…・.n Xn た立し， enxnはn次の近似解を示めす。 (1-39)式を(1.37)式に代入すると(1.40) •

.

=

0

の場合方動按第

3

節 (1.41)式になる。

x

o

+2a x o 十ω

~

x

ローよ

-

O

-sin

(

ωt

一芸

)

可。

M+m

-

，

-

'

"

(1.40)

Coshiι(2+JL)

円一何

:

押

=-sin

(

午

L

x

ー

ω

t

)

r

S

i

n

h

よ

f

1

】

ε=ε1

の場合

ギ1+2

叫

+ω

axl=

:

t

九

件

。

-

q

p

₍₁_.41) PO 1

F

2

=一_M一一一・一一ーである。十押し _F

“

た;;し，以下同様にして，

ε=εn

の場合

(n=

2

，3，…〉の微分方程式が得られる.

3 .

1 )

0

次近似解 (1.40)式の解は (1.42). (1.43)式になる。 Xo

=Ao s

i

n

(

ω t+

s) ₍₁_.42)

(合

l

九一(が

2 }2

+

12A

o

(M+m)

Md3C054

(

2 斗 )

/

S

i

n

h

争

A

。

十年計五→

2 (1.44) 川一、川川町一十

，

f L U U A

ω

一

r t f

、

-Z リ， Mao

- - ω

-1_{・一} ff

- ω

一

C

一一

n n

・

n n a

(13)

河野:球形構造物の波による指言動に関する基礎的研究 140

l

ノ

{

l

一(合

j

2} 2

十(告

L

可云 }

2 増巾率をMagとおくと， Mag (1.45) 球に作用する外力を無次元表示すると， (1.33)式により Po cosh

主

(l+

4 -

'

)

po =ー.三、~，仰がd3「

T

f

sinh

子

h π d 3 - P ，3=M+??L M =一一一σ，m πd3，故 l

:

o

d3=-~. ，一一 12 -， -~.-_ ~+丘主となり，これらを (1.38) f\: I;:_tt不し，多少変形すると， 6 目 12 ← ー白 sh

三

!

_

(

l

+-~-

'

i

Po 一 π H_ ---.. L ¥. V

'i)

布

石アg

一石市ロア

L cosh"

予ー

(1.46) (1.47) 1次近似解 IOは(1.48)式になる。 3.3.2) (1. 42)式により，

ェ

。

=Ao

・

ω

・

cos(ω

t+

s) (1.48)式を(1.41)式に代入すると，、、(1.48) s inω

t

}

ωh

ぞ(R+岳

)

Sinh

_

g

子

h

(

{

(

~

X1 +2

q

，

X

t +ω~Xj =士F2・ω2 C

川ぞ

(p十す

)

smhzfh

(1.49) では，球径は波長に比較して充分小さいとし，かつ振子の振巾も小さいとしたが，とで， (1.49)式の右辺の±の条件は sinωtによって決まると考える。そうすると， (1.21)式にのベた条件は(1.5の式で示せる。 sin ωt < 0のとき (π<ωt<2π) : + ¥ sin ωt

>

0のとき (0<ωt<π) - j (1.50)式を用いて， (1.49)式の土sin2ωt，:tsin2ωtを Fourier展開すると(1.51)式が得られる。土sin2ωt

=-

-

~

sin ωt

+~

sin3ωt

+

…

1

15π 1 土sin2ωt=-3-cωωt+τι cos3ωt+

…

l

，j7 τ 5 π J (1.51)式と(1.49)式により

e

Xl は次のようになる。一ρCu'd2

(ま)

2・A2s in(ωt-γ

-o)

6(M+m)

~{i一(合)

2 } 2十 ( な)2(z

立石 )

2 Ao sinβ)

l

A

+-Ei

・

Cos

β との様な仮定のも (1.5

の

(1.51) _j_ . sin2ω

t

J

主工円 / 臼﹁ D

+

ρC

o

.

d

2

(

台;

_;

_-

_.

₎

_z

_.Az

_・s_i_n₍₃

_ωt

_十

_y

_'

_一

_δ

I)

川

+m)/

{

l

一(ザ

)

i

I

(

合 )

2

乍話再}

2

ω h

子(12+岳)

，

~

cOsh

子

(p

+

g

)

日一ド -2HAosins • n _ sinh

三

fh

s

川民inh一苛主壬乞 (1.53) ただし

(14)

141 琉球大学理工学部紀要(工学篤〉 (1.64) (1.63)式のA2の値を代入すると(1.62)式は一M M a - - 一 n 。 A υ n a tand恒

三竺イw

!

{1-(

立

Y

}

(M+

叫〉 ¥ ω 0ノ (1.62)式で波の振動数の 3倍以上のものを考えないときは，次式に書きかえられる。

+ 一

h

出一ソ

A tan

r

= tan

r

I = - 3 tan

r

~+会)

...._-} 'sin (ωt-y -o)

-Z

L

BL

ーし cosh

与

(

R

+

4

1

，. slA

←

一

号

τ

一一一}

2 _

~子山β

nh ':" h JJ L CvHAo f:X，=一ーー=_z一_π一_α一一一一 (1.66) (1.66) 従って(1.42) ， (1.66)式を(1.39)式に代入すると， x=xo

+

ε工l=Al

・

sin(ωt+α〉 Al = Ao

C

1 + B

~

+ 2 Bl

{

C

O

S

c

r

+ d +

s

)

}

J

y

z

tanα_sins-Blsin (r +d) 一面ss-+B

工

面

5(了干の (1.67) (cosh

ぞ

(

R

+

~)】のい。

βJC叫 2/'

(

R

+

え

"ーー「白』ー一一一一一一

SJn/j ¥

川ぞ

h H sinh

子

h ' つぎに，球と流体聞の相対速度の自乗に比例するような，非線型部分の抵抗を考えた場合の球に作用する外カは(1.33)式であるが， (1.65)式を導いたと同様な手法により計算すると，その結集は(1.68)式になる。たゾし - p

p

.

= - - - ' ム

1

一合川

3

示

ムボ白

一

+ 一

(

i

一

π

一

L

主

L

川

cosh2~

(R

+

~

)

ノ

フπ

/

1 +

(ヲァう

sinh

寸了

h ー (1.68) た立し， Plはく1.36)式のPの絶対値であり， P1はP1を無次元の型に示したものである。法

3 .

4 .

1) 実験装置実験に使用した水路は二次元造波水路で水路巾60cm

，

水路長約11m

，

高さ1 mのもので，水路の半分は両面ガラス張りになっており，実験の現象が観測できるようになっている。造波板はf!utter.typeのもので，約24-90c.p.mの回転が可能である。実験に使用した球はプラスチック製品〈セノレロイドおよび塩化ピニーノレ〉であり，板ばねば燐青銅である。また波高計は抵抗線式波高計を使用した。方験実と置装験実第

4

飾

3 .

4 .

2 )

測定方法図 1-1に示したような燐青銅の板ばねに球を取りつけ，これを水路底に固定して表面波を与えた場合の振子

(15)

142 河野;球形構造物の波による振動に関する基礎的研究の振動を測定する。振動の測定には板ばねの両側面に straingage (PL・5・type)をはりつけ，防水のためgage面はアラノレダイトでコーティングした。これをトランスデューサーとして板ぽねの変位を直流増巾器によってピゾグラフに記録させた。また同様に波高も測定してピジグラフに記録させた。板ばねば巾が約 9mm，厚さ 0.2mm-0.5mmであるので，一定の方向にしかたわまないようになっている，従って振動の測定ではX振動とY振動は別々に行なった。

3 .

4 .

3 )

実験内容直径が3種類の球について質量やばねの長さを色々にかえ，かっ波形勾配をいろいろに変化させて測定を行なった。表 1 -1，表 1-2にこれらの実験内容についての諸元を示した。表 1-1 板ばね，球および波の諸元 (X振動〉球径球の計台乗車d??

皇官

7

2

1

2

期いん摘要示水扇深 Nol d 質量量の厚さ定 H I H/L M l m l I l l b l k h (CIII)I (9) 1 (9) I (mm)1 (pt)I (CIII)I (dyn/cm)I (rad/sec)IC9/sec)1 (sec) 1 (CIII) (CIII) 11 3.75 2.47 13.8 0.2 5.2 0.9 1.54x104 28.2 8.7 0.68_-2.22.8_-1.₄₅_-0.0030.12 35 213.75 24.4 13.8 0.2 5.2 0.9 7.18x104 16.57 40.8 0.64 ， J2.5 n .I0.0~9" I 30 -0.11 315.4 14 41 0.4 7.5 0.951.27X104 20.3 23.5 415.4 14 41 0.4 7.5 0.951.27X104 20.3 23.5

一

515.4 83 41 0.4 7.5 0.951.27x104 10.5 80 表 1-2 補足実験 (X振動〉 No. I d I M I

乱

!

日

1 I b Iωo I

c

I T H H L 補足 l 5

~

I

~

竺官

:

竺

2 " 2 5 171 136.4 8.13

I

130

!

v

'

-

:

1.2P.2-6.2I

v

:":-o.073 一一 " 3 5 171 1 36.4 8 . l 3 1 3 0 2 7 . 5 0.0004.08 一一 " 4 5 171 136.4 0.2 15.5 10.9 0.004 第

5

節理鈴と実験結果の比較

3 .

5 .

1)波形と変位の関係

CX

振動〉 0.0~2， ^J 30 0.005 40 -0.094

，

-0.064 h 25 30 40 50 波形とX振動の変位の関係についての-f?lJを図-51乙示した。 X振動は，表 1 -1，表 1-2および図- 5 に示された全部の実験(つまり，水深 h:;:::24-5Ccm，球径 d:;:::3.75-5.4cm，固有振動数， ω。=6.93-28.2 前 S叫

(1+与)

/

h =0.16-0.34) について次の 2積類に分類される。 1)波の周期と振子の周期が一致するもの。図- 5の(刈，(札 (C)に示したようなもので， Iまねが特に弱く，しかも水深が充分浅い場合以外はほとんどこの型に属する。

(16)

琉球大学理工学部紀要(工学禁〉 143

t~件 dミ三1.6secユホ

ノン・、も<'.・4endulmx-4

に

j "

①

+s/崎 Pendulum

① t 〆て~ぜて仁一一

①

t

ぞ喜二三盃子、

①

t

①

t Fig 1 -5 : Wave-profiles aild def!ections in X-direction. 仏J，に)はω/ω

。<1

の場合で位相角 Cs!ω〉が正の場合の例である。また(B)はω/ω

。

>1

の場合で位相角

C

(

s

!

ω〉が負の場合の例を示した。以上の図から球に作用する外カは波の特定の周期的な要素(例えば水圧などうに支配される強制振動であることがわかる.

2 )

振子の振動数が波の振動数の3倍に近い振動の型のもの。このような場合の例を図- 5の⑮，⑤，⑦に示した。 ⑨はどちらかと云うと，波と同周期と考えられないこともないが，た，>'3倍振動に近づこうとする状態が見られる。 X振動が波の 3倍の振動数で振動することは，理論式(1.52)に示したように，流体抵抗の非線型項を考えた結果であるが，このような振動が優越する条件比

G

・町式によりまとの僚が%に近づくこと，および(1.53)式のA2の値が大きいことくつまり，

t

+(~-)

!

L の傭が大きく，かつ 2πh

!

Lが充

分小さい事，および波高が大きいことなどである〉である。そこで，実験的にもそのような事がいえるかを調べるため，図--"-5の実験内容を表1-3に示した。表lー 3によると実験的'にも上述の理論的条件がいえる。〈注)， X振動では波の振動数の 2倍で振動するものは全くなかった事を附記する。表1 -3:図ー5に対する実験条件記号

%

1 (

此

g

幻心〉イ←(ト叫

叫

詑

〆

引

S

川

[

ト

い

t川山

α

(

…

c

州

…

的m

イ

m

川

…

ペ中沖〕(ド一川川

ωω

山……(ぽ引C

w

肋山

g

釘件山山!川畑ss鈴悶e伐c

川

1:

:

l

片÷刊

1 (

ι

:

(

医

云

(

汗

与

f

凶

(

f

J

|

土

1ヒ己と

i

己

ニ

斗止土

l

也己三

~I

_a

l

川O口=川お

つ@

I日

τ

了一

I

-

~

干

1 I弓

二7

(

ワつ:二

o

口

1工

司1

-

1平;J

一-

1πτ;ζ~I日二

J

ロ7

乙1

a 1

川

0

O

叩川

ω

白5刺8創￨

ω

叩叩

釘倒￨

a 11.391 3.8 1 0.2 40 0.65 102;5 ⑨ ⑧ ② 5 119 36.4 11.4 5.5 122 2.5 1.51 24 b !0.221 0.4081 0.33 5 171 36.4 7.0 5.5 102.5 2.5 1.41 30 a 10.361 0.4561 0.27 一一一一一一一一一₁_.₅

-

;

-

I

-a

Iλ1 0.4081

平

1 24 2.5 102.5 5.5 7.0

3

6 .

4

171 5 注).表lー 3でSは振子の振巾を示すが，当することを示す。

a

は図面上の 1cIIIが3.4111111， b I土図面上のl鳴が2.61111111こ相

(17)

144 河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究

3 .

5 .

2)球に作用する外力について，球に作用するX振動の外力は (1-46)式および (1.58)式で与えられるが，これらの式と表1-1の実験値を比較したものが，図1-6である。たジし実 1.6 IP:; 』

。

I~ 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

。

_。

e

。

p， =eg. (1.58) P，=eg.(1.46)

e

ぷにし

2 21th L 3 4 Fig. 1-6 : Computed curves and experimental results. (Pressures acting on the sphere) 験値のPoまたはPlの値はピジグラフ上の記録から読み取った値を (1-45)式によって修正したものである。図によると平均的には理論と実験値は一致している。

3 .

5 .

3 )

球の変位について球の変{立について

O

次近似解(1-43)式と表 1-lおよび表 1-2，による実験値を比較したものが，図1ー7である。図によると実験債と理論値は比較的一致する。 0.5 0.1 0.(15 4司 o b f a 0'

。

‘

@ A 0.6 ーーーー.... f'g(l・43) x 1 d ω 九1+m f

、

× 51 8.17 2071 0.07 25 4‘・ "1 " " 30 .13.75 16.5738.2 0.06 "1 5.420.3 5510.04 81 " 10.5 1241 0.03 013.75 28.2 16.3 0.06 35! ① 5.' 20.3 55 0.04 .0 .1 5 8.17 2010.071 " ロ " " 50 i = C/2ω，.(九1十m 0.8 1.0 1.2 ω/ω。 Fig.1ー7: Theoretical curves and experimental data. (deflections of the sphere due to the wave)

(18)

_1.6 r~;_~旬、.!e

~

I

""'"ー①①

。

0.4 0.8 琉球大学理工学部紀要(工学篤〉 145

3 .

5 .

4 )

位相曲線 (1-44)式を書きかえると(1-59)式になる。

s=

〓

_-_-_-n-l[ _{- 1}_.___1ー〈ω/ω。〉~:.₂

，

_ω/ω

_。

J (1.59) ただし、 c=去， Co= 2ωo伽めである。 ( 1-59)式と表1-1および表lー2の測定値のl 部について比較したものが，図1-8である。減衰係数

(0

の値が小さいものしか測定してないが，実験値と理論値は比較的一致する。

Fig.1-8 : Phase angles between pendulum

and wave.

3 .

5 .

5 )

x

振動の l次近似値 (1.56)式により 0次近似解の振巾 (Ao) と1次近似解まで含めたときの振巾 (Al〉の比率を考えると(1.60)式になる。る.

会

=J1+B:-2BISinT tan

r

= 2叫 1

~{1-

(

去

)2f+{2C:_of fJ -

云

7 . ( J L

〉

2

/

(すト)

2

B

，

=E 0 Jl-8~ ， 'sims " • y { 1 - ( τ )

2 }

2

+

cosh

互

_

1 '

:

(t

_~

'

)

5-CD?

_{。-一一つ孟一→}

・

L V -

"

2 ノ

一

叫山n凶h

壬

土

h ~ 1 =

.

_M+m

.

-

n

:

.

質量比 C 2ωo (M+

可

減衰係数比

C

{255

汁

2 (1.60)

，

(1.61)式および図 1-8の

F

の値を用いて理論値を調ペたものが， (1.60) (1.61) 図1-9から図1-11であ

(19)

146 球形構造物の波による振動に関する基礎的研究

0.4 08 1 2 1 6

ω/ω。

Fig.l-9:(Cl=O.l， C=0.05) Fig.1-10:(';1=0.8， C=0.05) Fig.1-11: (c[=O.l， C=0.5) T 叩h悶 “凶山icωalcurv " A o ω oノ l次近似解に対する方程式は複雑なため，いくつかの仮定をおいてその解{ (1-52)式}求めた。従って不 2 合理な点〈例えば，図工.，.... 9 ，図 1-10で B~

<

0) も出て来た。このことについて考えると，まず(1-41) 式のIOに (1-48)式を代入しかっ (1-43)式のAoの値を代入すると， (1-41)式は (1

→

2) 式に書きかえれらる。ぉ C

叫与乙

(

R

+

会)

Xf

+

2 q

x

l

+

ω

5X:

=

土九侍一一 ¥ 押

}

2

• S

i

n

h

そ

h

X

{4 ・.;~

. ω s +(l-2C2

・山仰}

xsin2 ₍_ω_山 ₁₎ _{(1. 6~)} tan

r

1 = __ 2_

・

C2

・

cωF

1-2

・

';2

・

si

印

-~

2 = "

~

:

r

7u ω/ω

。

2 = 2

C

(M+?吟

、

.

/

1 τ

百

F予

一

(1.63) 故に (1-50)式に相当する士の条件は sin (ωt+

r

つ >0のとき負， sin (ω

t+r')

<0

のとき正である.

r

l

_{は ß=ß( ω/ω0 ・ O~';2 の函数であるから，これらの値で土の条件も変ってくる。例えば正五=0.8 ，}

C =0.5の場合につき，っ生-=0.4-1.1の範囲で土の条件を求めると次の様になる。 wo 〈表の計算は， (1.59)式から

P

の値を計算し，その値を用いて (1-33)式により

T

ノを求め， sin (ωt十

T

つが正負になる様な ωtの範囲を求めたものである。 0.4 0.6 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 0663 0 6551 l 0M 678 0.3 I 0.482

-

正 ωt 1，926! 1.769 1.668 I 1.665 I 1.678 1.3 I 1.482 π-0.074 ー0.231 -0.ぉ2 1-0.335 1-0.322

-

負 0.926 I 0.769 0.668I 0.665I 0.678 故に上表の条件でsin2 (ωt+

r

つを展開し， (1.62) 式に代入して振動方程式を解くか或は数値計算することになる。表の見方は例えば， ω/ω

。

=0.4の場合は ωt= (0.926-1.926)π の範囲では(1.62) 式右辺の±の符号は正に取ることを示す。また，図1-9図-1-11によると，ごoの増加 (h/Lが減少することなど〉に伴なって，非線型流体抵抗の影響が，増すことがわかる。

(20)

147 ばねが充琉球大学理工学部紀要〈工学篇〉

3 .

5 .

6 )

抗力係数 (Cn) について，波動の中におかれた球の抗力係数を実験で求める。球に作用する外カは(1.36)式で与えられるが，分固い場合はxは無視出来るので， (1.36)式は(1.64)式になる。占、， coshZEft+511 P=P=P_o_ossin(ωtin(CLlt ー令_) -

*

-

)

~

e

I f

f

ω

.

~

!

.

;

-

・

ふ

内閣，j " .c." ¥..~山htLh inωtf (1.64) (1.65) 土の条件は(1.50)式と同じである。さて，流体の粒子速度の水平方向の成分をu，静水面との水位差をザとすれば，る。 ωt=-3とおくと，

P=+

_一

主主主主坐

一 S (1.64)式で， (1.66)式で示せ守l土 u，

)

(

i

l

j

万

=

一

手

inωt s h 2_1( (

t

+

_

g

_

)

L¥. -. 2ノ . 白 ~ _ SlUCLlt s

川王ニ

h (1.66) Hπ

u=-l

亡

ωt=-3のときはザ=手 u=Umax，u= 0の場合に当用する。故に波峯通過時の球に作用する外カから， Cnを(1.65)式によって逆算して求めることになる。レイノーノレズ数をReとすると(1.66)式を用いて， s h 2_1( (

t

+

_

g

_

)

Re 1 =生司ニ竺

ームーとーノ

ω t = - i A ν s i n h

千

h 実験は相当に固いばねの倒立振子を造波水路底に固定し表面波を与えた場合の球の変位をストレインゲージで測定し，球の位置での波形も同時に測定して(1.65)， (1.67) 式により， Cn-Reの関係を求めた。実験に使用した振子はω。 =62.8rad/sec， k =1.36x105 dyn/cm， C =250fj/sec， d =5.4cm， M = 14fj，

t

+-~-=

7帆水深 (h)は丸 40， 50cmの3種類につき計算した。実験結果を図1-12(a) に示す。た三し ν (動粘性係数〉は0.01cm2/secとする。 (1.38)式のεの値は(1.67) 式の関係を用いると， (1.67) ー、

3.¥¥¥

土/山

0-3 7・、、 _ー_ー_ー_ー_ー_・_・_ー_・

e

"

，_ 、、、、 Tv/d2=5x10・4

• -•

_-_-_-_{_}

•

_・_、

.

、

ご

、

Tv/d2=2x10・4 -・".、、、』ι 1+10

ω

1

0

3

0.5 0.1 、、、

•

Re Fig. 1-12 (a) : Relationship between drag coefficients and Reynolds nUmbers 10

・

•

、、

•

8X10

・

•

6X10' ーーー:Co

-

一

.

e .=F.lP。 2X10' 4X10' 0.0;+0.副 0.01.10.11

。

s-VF:-Fo=

_三.

_

f

_

l

2 _

壬

_l'___];>p PO Po 8 π d 2 _- -(1. 33) / 図1.12のCnとReの実験値に対し平均的と思われる線〈図1.12の実線〉を引き，この平均値を用いて (1. 38)ノ式により， εとReの関係、を求めたものが同図の点線で示したものである。

(21)

148 河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究図によると， ε=FojPoの値は波の周期が大きくかっ球径が充分小さいと lに近づくか，或はl以上になる事が予想される。従ってこの時は(1.37)式の右辺第2項はsのベき級数として求める場合，高近似解まで求めねばならぬが，或は解は発散する事になる。解が発散する場合は，物理的には流体抵抗の非線型項が優越する事を示すから，摂動項を(1.37)式の右辺第一項で考慮する事になろう。た立し図に示されたパラメーター (TUjd2) の範囲は本実験のすべての値 (T=0.63-2.4秒)..(d =3.75-5.4cm)を含むから本実験についてのみ考えれば，大体，基本的に?土近似解として正しい。つぎ!に， CDやCMの値は，周期変数 (Um

・

TjD)

に

よって整理出来ることを第l章緒言で述べたが，本文でもこのような整理を行なった。これを図1-12(blに示した。 10

。

に」 0.5 0.1 Fig. 1 -12 (bl

。

J

db/

ノ / 〆ノノノ r

、

。

示

。

v 0.5

。

_。

。

_〆

。

〆

。

ノー。ノ / 1.1

o

.

/

。 / 0/ f J ノ / 0 ノ

。

D : diamefer ofsphere T : wave pericd U : eq(1・65) S~D/T.U : Experimental data (relation of CD to S) 第

6

節結語以上得られたX振動の結果について要約すると次のようになる。 a)

X

振動の理論では娠子の振動数は波の振動数と同ーであるか，或はその 3倍になることがわかったが，このことは実験的にも得られた。 b)娠子の振動数が波のそれの約3倍になる場合は，理論的には，球と流体との相対速度に関係する非線型抵抗の項が優越する場合であるが，それは ω/ω。が%に近い場合であり，かっS/h(S :水底から球の中心までの高さ〉が大きく，さらに

h

/

L

が充分小さい時などはその効果は大きい。この事は実験結果と一致する。 c)球に作用する外力および，球の変位についての理論と実験値は比較的一致する。 d)変位に対する球と流体との相対速度の自乗に比例するような抵抗の項は(blにのべたようにく1.61)式のと。の値が充分大きい場合を除いては一般に小さいと考えられる。 e)球の変位についての波形との位相角は短論と実験値が比較的一致する。 f)波動の中におかれた球の抗力係数を実殺により求めた。第.f.j震波の進行に直角水平方淘の振動

(

Y

振動〕第

1

節序鋭第4章においては造波氷路底におかれたl箇の球が波によって波の進行方向に対し鹿角水平方向(以下Y 振動と略称する〉にどのような作用を受けるかについて検討した。このような問題に関連して一般によ〈知られているものは，一様流の中におかれた円柱や平板などに作用する揚力についてジあろう。物体(例えば野球のポー/レ〉に回転カを与えて投げると，進行方向に垂直方向のカが作用することは， Magnus (1852年〉が考えたものとされているが，同様のことについて，例えば循環を有する円柱を一様流の中におくと，揚力が作用することなどにつ?で研究 25) したKutta(1902年〉やJoukowski(1906年)の定理は充分知られている。しかし，上述の如き回転の作用を物体に与えなくとも揚力が作用する例として翼がある。翼は回転せずに，そのまわりに循環を生ずる。翼の問題に関連したものを考えると，平板を流れ方向に対し僅かばかり傾けると抗力に比較して充分大きな揚 26) カが作用することである;本章での研究の目的は波動による球状物体のY振動ということであるが，本主主でいうY振動に関する研究はほとんど行なわれていないと考える。た三Y振動に関連するような研究としては，上述のように多くなされているのであるが，主として二次元的な問題についてであるe こ〉では 27) Strouhal以後の主要な研究につきG.H. Koopmannが記述した論文があるので，彼の説明について簡単な記述を行ない，従来の研究について少しでも把握してお

(22)

琉球大学理工学部紀要(工学徐〉 149 きたいと思う。 Strouhal (1878年〉はAeoliantones (風の作用によって生ずる音:著者の訳〉に関する研究を発表した。これは一様速度の回転軸のまわりに鉛直のwireを取りつけたものを使用し wlreの運動と空気(風〉との作用で発生する音の振動数はwirl!の径や速度に関係するとのべている。との事からストロノVレ数(= 笠智引の定義内されたと思う。また， Lord.Rayleigh(1878年〉はviolinの糸が風により振動するのを観察して，糸の振動は風向きに鉛直にした場合がより起りやすいことを見出した。これは， violinの糸の風下側の K

.

e

rm釦渦の発生する可能な状態につき述べたものと予想される。さて Karm釦渦の研究は1900年代になってからであるが，円柱の背後の渦列について実験的な研究を行なったのは，初めBenard.(1998年〕とされている。彼の研究は後に Karman (1911-19) によって理論的にも解明されたことはよく知られている。また物体が振動する場合のVortexwakeの問題を取扱ったのは， Wehrmann (1965年〉である。以上が Koopmannの説明した内容であるが，彼自身も振動体と Vortexwakeの相互作用の関係を調べている。 Strouhal数は物体が振動する場合と振動しないとき 28) では異なる値になることを日里子も述べているが，物体がある。彼は 6inx 6 inの4角柱の変動圧を風洞で実験し変動揚カ係数

c

r

.m.S)はsmoothと turbulentstreamの場合について調べると迎え角の小さい所で大きな値を示している。とくにsmooth の場合がturbulentの場合より大きな値を示めしている。以上種々の文献から流れの中におかれた物体の受ける流体力の問題について考察したつもりであるが，結局物体背後の流体の運動，とくに渦と物体との相対的な関係、についての研究が主体になっている。以上の様な事から考えても，波動の中の球のY 振動の原因は，やはり球の背後のwakeの問題，とくに渦の問題が主要な点になると著者は考え声。そこで定常流の中におかれた球の背後の渦の発生をカマンガン酸カリを用いて調べてみたそれを写真に示した。写真によると球の下流側にvortexringが発生している Flow past a sphere in a steady flow (photographed by author) のがわかる。(注:との実験では，水深h=15.Ecm，球径d=5.3Ecm， Re=6. 7 X 104である。〕とれと同 33)

様の事を R.S.Brodkeyが model化して描いてある図面を見出したので参考のために図1-13に示しておく。 Fig. 1 -13: Schematic diagram ofvortexring on a sphere. 第

2

節実車産装置と実験内容実験装置と実験方法については，第3章第4節にのべたものと全く同一であるので省略する。た立し，ばねは波の進行に直角方向にしかたわまないようになっている。実験内容を表1-4に示す。

(23)

150 河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究表 1-4，板ばね，球および波の諸元 (Y振動〉振子の種類波の特性

1 M

I

れ

I

l

I

b

f

I

訪

問

R ￨ω o

I

c

I

T H L h 0.15 6 3.75 24.4 13.8 10 l 0.40.51x 10413.25 47.3 同 4.5-14 135-380 50 1.9 0.67 3.5 7 3.75 2.4713.8 10 l 0.4 1.09

x

104 22.8 8.9 四 63-380 50 1.9 12.71 0.67 8 3.75 2.47 13.8 10 1 0.41.08

x

104 22.4 8.9 3.7-13 63-380 50 1.9 9 3.75 24.4 13.8 10 1 0.40.65X 10413.35

2

0.6868-8.81 66-72 1 50 .65 7.5 10 5.84 17.5353 9 0.95 0.40.66X 10415.5

二

1 4 0 .7 11 5.4 14 41 7.5 0.95 0.4 1. 27X 104 20.3 1.25 注)

Y

振動の実験は，表 1-4以外にも多く行なっているが，これらについてはその都度説明することにする。第

3

節波形と変位の関係 Y振動の原因が何であろうかを調べるためは，その振動の波形がどのようなものであるか，或はX振動とはどのように異なるかなど明らかにする必要がある。そこで，波形と変位の関係およびX振動との違いなどについて，実験結果を取纏めることにする。 Y振動のときの波形と変{立の関係を調べると，本実験で得られた範囲内では，大別すると次の6種類に分けて考えられると思う。た立し， ωs 振子の角振動数， ω:波の角振動数である。 a)ωs /ω=1で援巾もほ立一様の場合 (type， No.1) この場合のl例を図1-14に示めした。図に示した実験は，表 1-4の NO.8によるものであるが，実験条件は，波高 (H)=8.1C1/1，波の周期 (T)

=

0.67秒，波長 (L)=62c1IIであり，振子の平均振巾は 0.12mmである。 b)ωs/ω=1および 2が共存する場合 (type. No. 2) この場合の 1{fI

J

を，図 1-15に示した。図に示した実験は表 1-4のNo.10によるものである。ばねの強さにもよると思うが，本実験で得られたY振動の型は以上のめ， b)の場合がほとんどであった。なお，振子の振巾 lま図上で1mmが実際の4mmである。 c)ω

s

l

ω=3の場合 (type.No. 3) この場合の 1{fIJ を，図 1-16に示した。図に示した実験は表 1-4のNO.llによるものである。波の周期は0.95秒，日=9.1c1II. h=4白mの場合であるが，平均的な振手の振巾は0.4mmである。なお，

与孟

3の場合の振動はあまりみられない。 d)ωs /ω=4の場合 (type，No. 4) この場合の 1例を図 1-17に示した。実験条件は表 1-4の No.llによるものであるが， T =1.25秒， H = 7c1II， h =40c1IIであり，振子の平均振巾は0.23mm である。 e)自動振動的なもの (type，No. 5) このような場合の 1例を図 1-18に示した。図では，H=7.6c1II.T=0.7秒.h =30c1IIであり，ばねや球は表 1-4のNo.llによる。なお， 10波回附近の振子の振巾は，約0.68mmである。図の中に記されたNは造波してから波頂の通過した数である。 f)複雑な振動をするもの (typeNo. 6) この場合の 1{fIJを図 1-19に示した。ばねや球は表 1-4のNo.llによる。 T =0.7秒.H =8.2C1/1， h = 40mmであり， N=10附近の振子の振巾は1.03mmである。

(24)

琉球大学理工学部紀要(工学篤〉一一 " しートー0.67・"-1 1¥ WI~t fT

、

A

、

、、 ‘ ー、_{、 "}_、_一 _，_ー_、_一 “ ー_一_・ ' 、、，、、 J 、J 、ー一' ¥・ヘよ旦垣二一 -Fig. 1-14 : (type， No，l) 0，65sec

〆

W

N: 20-60 IN=80-95 _'・、...、 Jヘ，，'、~ :'<=120-135 ・"'-'~、，-、 J・..~.'.‘ IE，~ :'>1=140-155 I吾、...~.、 I~ N=160-170 “‘・...ー司・-、_' N=180-190 、"、J、.，' IQ. Fig.l一日 (type，No.2) N : Number of wave peaks passing over the pendulum.) Pendulum

.>0

二

人

、

.

/

'

.

ノ

.

_

.

Fig. 1-16 : Wave profiles and def!ections in Y direction(type

，

No. 3) Fig.1-17: (type， No. 4) Fig. 1-18: (type， No， 5) N=10 ノ'九、 r、、、，'-N

・

-18 八、戸 N-3ZI ~ i ¥ 、( 2、 r

、

I^U 、

!

¥

j

¥

i

・同 Fig. 1-].9: Wave profiles an，d deflections in Y direction. (type

，

No. 6) 151

(25)

152 _{河野:球形構造物の波による振動に関する基礎的研究} 第

4

節 X振動とY振動の変位の関係 Y振動の特性を調べるため，第 4節では，波高H に対するX振動の振巾仏)とY振動の振巾刷の割合いが，ぞhによってどのようになるかを単純に比較した。その結果を図1-20に示す。なお，図の実験債に対する条件は表1-5に示してある。図の中の測定値に対し，平均的な値を示めすと恩われる曲線(実線，点線，破線〉を引き，その曲線から A/Hの値が最大になっていると考えられる X振動と Y振動の各々の値を比較すると，大体

t

w

0

2/〉から占

(

N

o

・

3

勺

4

つになっている。また，図から単純に判断するとX振動と Y振動はその傾向が異なるように恩われる。注)，図の中のY振動の実験値は ω

s

l

ω=1の場合だけを示しである。表1-5 振

N

o

.

d 21 41 第

5

節振動初期の変位について図1-21から図1-23に振動初期の波形と球の変{立の関係を示めした。 X振動については図面に向って上向きが波の進行方向である。球の直径は5.4

c

m

，質量は179，仮想、質量 49，ばねの長さは

o

.

:

c

m

，固有振動数〈水中)33.6rad/secの場合である。なお， XおよびY振動の感度は同一である。図によると， X振動では，波の変動すると共に球の変位があらわれているが， Y振動は一様な振動をするまでにかなりの時間を A H

ノ守

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2 3 2πh 4 Fig.1-20 : Deflections in X and Y directions. 波深

生

型

2

30

〈抗日

r

(

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〉

Fig.1-21 要