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Weyl 群作用の不変行列式の双対公式
黒木 玄
2005
年12
月3
日更新(2005
年11
月28
日作成)
そうそう以下の行列式の公式が証明できました. やはり
1
年生レベルの問題でした. あ まりにも簡単なので, 証明できた瞬間に「1年生に先に解かれずに終わってラッキーだっ た」と思いました.定理
1
行列K i , L j
を次のように定める:K i =
x i1 1 x i2 . ..
. .. 1
z x in
(n × n
行列,i = 1, . . . , m),
L j =
x 1j 1 x 2j . ..
. .. 1
w x mj
(m × m
行列,j = 1, . . . , n).
n
次の単位行列を1 n
と書くことにする. このとき次の公式が成立している:det ¡
K 1 · · · K m + (−1) m−1 w1 n
¢ = det ¡
L 1 · · · L n + (−1) n−1 z1 m
¢ .
補題
2 m
個のn × n
行列X 1 , . . . , X m
に対してdet
X 1 1 n X 2 . ..
. .. 1 n
w1 n X m
= det ¡
X 1 · · · X m + (−1) m−1 w1 n ¢ .
証明
. X i
たちが可逆であると仮定してもよい. そのときLHS =
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
X 1 1 n
X 2 . ..
. .. 1 n
X m−1 1 n
w1 n X m
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
=
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
X 1 1 n X 2 . ..
. .. 1 n
X m−2 1 n
−wX m −1 X m−1 1 n
0 X m
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
2
=
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
X 1 1 n
X 2 . ..
. .. 1 n
(−1) 2 wX m−1 −1 X m −1 X m−2 1 n
0 X m−1 1 n
0 X m
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
= · · ·
=
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
X 1 + (−1) m−1 wX 2 −1 · · · X m −1 1 n
0 X 2 . ..
... . .. 1 n
0 X m
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
= |X 1 + (−1) m−1 wX 2 −1 · · · X m −1 ||X 2 | · · · |X m | = RHS.
定理の証明. 次の
mn
×mn
行列を考える:T 1 =
K 1 1 n K 2 . ..
. .. 1 n
w1 n K m
(mn × mn
行列).この行列は自然に
C m ⊗ C n
に作用するoperator T
とみなせる. 基底の並び方を変えるとT
は次のように表示される:T 2 =
L 1 1 m
L 2 . ..
. .. 1 m
z1 m L n
(mn × mn
行列).上の補題より
det T 1 = det T 2
の左辺と右辺のそれぞれが証明したい公式の左辺と右辺に 等しい.死ぬほど簡単でした.
上の行列式公式はある種の
unipotent crystals
の双対性に関係しています. その双対性 の親玉はT 1
やT 2
の表示を持つC m ⊗ C n
上のoperator T
だということがわかったこと になります.Berenstein-Kazhdan (geometric and unipotent crystals
の論文) にもKajiwara-Noumi-
Yamada (2
つのWeyl
群作用の論文) にも以上のような視点は無かったと思います.前に話したのですが, (m, n) = (2, n) で
n
が奇数の場合の量子化は長谷川さんのWeyl
群作用のA n−1
型の場合に変数変換によって同値になります.あと上と同様の考え方をすれば, 2 個のテンソル積ではなく,
C n
1⊗ · · · ⊗ C n
N に作用する
operator T
を考えることもできます. それによってN
個の互いに可換なWeyl
群作用を構成できるかもしれません.
問題
3
上に登場したoperator T
の正体は何か?問題
4 q
差分古典ソリトン系からのリダクション?問題
