漸近べき級数の起源

第

30

(2019) 1

漸近べき級数の起源

— ^{ニュートンの無限級数} —

長田直樹

^∗

1 ^はじめに

漸近べき級数は

1886

[15]

(

)

(

1)

log n!

1730

[3]

[18]

[4],

[21],

[20](

[1]),

[9]

ド・モアブルは『級数と求積の様々な解析』補遺

[3](1730)

m − ¹ ₂ log .m + 1 − m − 1

12 + 1

12m + 1

360 − 1 360m ³

− 1

1260 + 1

1260m ⁵ + 1

1680 − 1 1680m ⁷ &c

は量

m − 1 × m − 2 × m − 3 × m − 4 · · · 1

と書いている。ここで上線は括弧で、

log

ド・モアブルは、無限級数の和の順序を

m − ¹ ₂ log .m − m + 1

12m − 1

360m ³ + 1

1260m ⁵ − 1 1680m ⁷ &c + 1 − 1

12 + 1

360 − 1

1260 + 1

1680 &c (1)

と変更し、

1 − 1 12 + 1

360 − 1

1260 + 1

1680 − · · ·

∗

[email protected]

図

1 [15]

が

¹ ₂ log 2π

log(m − 1)!

m − ¹ ₂ log .m + ¹ ₂ log 2π − m + 1

12m − 1

360m ³ + 1

1260m ⁵ − 1

1680m ⁷ &c

[3, p.11]

以下現代表記する。

log m

^*1 B ₂ = 1

6 , B ₄ = − 1

30 , B ₆ = 1

42 , B ₈ = − 1 30

log m! ∼ ¹ ₂ log 2π + (

m + 1 2

)

log m − m + B ₂

1 · 2 1

m + B ₄ 3 · 4

1

m ³ + B ₆ 5 · 6

1

m ⁵ + B ₈ 7 · 8

1

m ⁷ + · · · (2)

(2)

^*2

¹ ₂ log 2π

漸近べき級数の定義は確定していない

^*3

f (x)

x

{ c n }

ν

f(x) =

∑ ν

n=0

c n

x ⁿ + o ( 1

x ^ν )

(x → ∞ ) (3)

が成り立つとき、

∑ ∞ n=0

c n

x ⁿ

f (x)

f (x) ∼

∑ ∞ n=0

c n

x ⁿ

*1 ベルヌーイ数

B

, B

, B

, . . .

x e

− 1 =

∑

B

n! x

[2, pp.97-98](1713)

s

(n) = 1

+ 2

+ · · · + n

A =

, B =

−

, C =

, D = −

[15]

B

= A, B

= − B, B

= C

せき

関

たか

孝

かず

和 も遺著『

かつ

括

よう

要

さん

算

ぽう

法 』

[17]

(1712)

s

(n) (c = 1, . . . , 11)

n

b

, · · · , b

1, +

, +

, 0, −

, 0, +

, 0, −

, 0, +

, 0

B

= b

, B

= − b

, B

= b

(n = 2, . . . , 11)

*2 たとえば、真島は「

(

)

[8]

*3

(3)

4

[11, p.683]

II

[10, p.163]

条件

(3)

∑

n=0 cn

xⁿ が発散することを加え、名称は漸近級数である。なお、エルデリ『漸近展開』

[5, p.12]

と表す。

本論文では、収束か発散かを問わなければ漸近べき級数はニュートンまで遡れることを 示す。ニュートンの論文はホワイトサイド編『ニュートン数学論文集』

(MP

)[22],

「前の書簡」はターンバル編『ニュートン往復書簡集』

[19]II

[ ]

2 『解析について』での求積

ニュートンは、

1669

(

)

3

I

y = ax

(

^*4

)

II

規則

III

規則

I

規則

I

ax

= y

_m+n ^na x

ABD

事柄は例によって明らかになるだろう。

A B

D

MP II, pp.206-209

I

6

3

^m _n > 0, a > 0

A

na

m + n x

=

∫ x 0

ax

dx = ABD

となる。

ABD

y = ax

0

つづいて、

^m _n < − 1

2

*4 ニュートンの単純曲線は、単項式で表される曲線を有理数べきに拡張したものである。現代数学で単純 曲線は、閉区間

I

X

m ̸ = 0

規則

I

4

_x ¹

(= x ^{− 2} ) = y

a = n = 1

m = − 2

( 1

− 1 x

= )

− x ^{− 1} (

= − 1 x

)

= αBD

α

BD

B D

α MP II, pp.208-209

BD

x-

αBD =

∫ _∞

x

t ^{− 2} dt = lim

b →∞

∫ b x

t ^{− 2} dt = lim

b →∞

( − b ^{− 1} + x ^{− 1} )

= x ^{− 1}

とニュートンとは符号が反対であるが、ニュートンは線分

BD = x ^{− 2}

y = x ⁻²

0

αBD

− x ^{− 1}

^*5

規則

II

規則

II

y

[

]

[

]

MP II, pp.206-209

a _i x

I

a i n i

m _i + n _i x

+ni

ni だから、規則

II

∑ ∞ i=0

a _i x

∑ ∞ i=0

a _i n _i m i + n i

x

+ni ni

すなわち、それぞれの項の原始関数の和

^*6

*5 ニュートンは、面積と原始関数を一致させる方法を『解析について』においてのみ用いており、二年後に 執筆した『方法について』では面積は通常の意味で用いている。ニュートンは、ライプニッツとの先取権 論争の最中の

1713

(MP II, p.273)

*6 原亨吉は規則

I, II

r

∫ ∑

a

x

dx = ∑

a

x

/(r + 1)

[7, p.289]

規則

II

3

x ² +x ^{− 2} = y

¹ ₃ x ³ − x ^{− 1}

BD

正確には

BF = x ² , FD = x ^{− 2}

¹ ₃ x ³

BF

ABF

− x ^{− 1}

DF

DFα

[

]

A β B

ϕ

δ F

D α

MP II, pp.210-211

BD = x ² + x ^{− 2}

ABF ∪ DFα

と し て い る 。カ ヴ ァ リ エ リ の 原 理 に よ り

DFα

BEα ^′

I

4

− x ^{− 1}

BD

1

3 x ³ − x ^{− 1}

に等しい。この面積は

x ² + x ⁻²

0

BE = x ^{− 2}

α ^′

A B

F D

E α

α ^′

2

x-

(

E

α ^′

2

)

3 除算で得られる漸近べき級数

ニュートンは、『解析について』

(1669)

割り算による

[

]

aa

b + x = y

方程式をその分母から自由にするため割り算を以下のように実行する。

b + x )

aa + 0

( aa

b − aax

bb + aax ²

b ³ − aax ³ b ⁴ &c aa + aax

b 0 − aax

b +0

− aax

b − aax ² bb 0 + aax ²

bb +0 + aax ²

bb + aax ³ b ³ 0 − aax ³

b ³ +0

− aax ³

b ³ − a ² x ⁴ b ⁴ 0+ aax ⁴

b ⁴ &c

A B

D C

α

そして、この方程式

aa

b + x = y

aa

b − a ² x

b ² + a ² x ²

b ³ − a ² x ³ b ⁴ &c

が現れる。ここで、級数は無限に続く。規則

II

ABDC

a ² x

b − a ² x ²

2b ² + a ² x ³

3b ³ − a ² x ⁴ 4b ⁴ &c

に等しくなるだろう。無限級数は最初の数項で役に立ち、

x

b

同じ方法で、もし

1

1 + xx = y

1 − xx + x ⁴ − x ⁶ + x ⁸ &c

II

ABDC = x − ¹ ₃ x ³ + ¹ ₅ x ⁵ − ¹ ₇ x ⁷ &c

xx

1

xx + 1)1

y

x ⁻² − x ⁻⁴ + x ⁻⁶ − x ⁻⁸ &c

II

BDα = − x ^{− 1} + ¹ ₃ x ^{− 3} − ¹ ₅ x ^{− 5} + ¹ ₇ x ^{− 7} &c

x

MP II, pp.212-215

a ²

b + x = a ²

b − a ² x

b ² + a ² x ²

b ³ − a ² x ³

b ⁴

とそれへの項別積分の適用は、

a = b = 1

(1668)

1665

1666

10

ニュートンが最初の

4

1 x ² + 1 =

∑ ∞ n=1

( − 1) ^{n − 1} x ^{− 2n}

| x | > 1

江沢は「漸近展開とは、一つの級数展開で、その級数は必ずしも収束しないが、変数

(

)

[6]

と述べているが、ニュートンが書いている「無限級数は最初の数項で役に立ち、

x

b

x

1660

1670

x

ニュートンが与えた

x ^{− 2} − x ^{− 4} + x ^{− 6} − x ^{− 8} &c

1

(3)

4 開平で得られる漸近べき級数

ニュートンは、『解析について』において、開平により得られるべき級数を与えている が、漸近べき級数は与えてない。

開平による

[

]

√

: aa + xx = y

aa+xx (

a + x ² 2a − x ⁴

8a ³ + x ⁶

16a ⁵ − 5x ⁸

128a ⁷ + 7x ¹⁰

256a ⁹ − 21x ¹² 1024a ¹¹ &c aa

0+xx xx+ x ⁴

4aa 0 − x ⁴

4aa

− x ⁴ 4aa − x ⁶

8a ⁴ + x ⁸ 64a ⁶ 0+ x ⁶

8a ⁴ − x ⁸ 64a ⁶ + x ⁶

8a ⁴ + x ⁸

16a ⁶ − x ¹⁰

64a ⁸ + x ¹² 256a ¹⁰ 0 − 5x ⁸

64a ⁶ + x ¹⁰

64a ⁸ − x ¹² 256a ¹⁰ &c.

それゆえ、

√

: aa + xx = y

y = a + xx 2a − x ⁴

8a ³ &c

ABDC = ax + x ³

6a − x ⁵

40a ³ + x ⁷

112a ⁵ − 5x ⁹ 1152a ⁷ &c

A C

B D

MP II, pp.214-217

(

)

[12]

[13, pp.149-155]

ニュートンは、

1671

(

)

項の順序を

xx + aa

x + a ² 2x − a ⁴

8x ³ + a ⁶

16x ⁵ &c

MP III, pp.40-41

ニュートンは開平により

√ a ² + x ² =

∑ ∞ n=0

( ₁

2

n

) x ²ⁿ a ^{2n − 1}

を

7

(n = 6)

x

a

√ x ² + a ² =

∑ ∞ n=0

( ₁

2

n

) a ²ⁿ

x ^{2n − 1} (4)

を

4

(n = 3)

(4)

0 < a < x

5 「前の書簡」での一般二項定理による漸近べき級数

「前の書簡」は、

1676

6

P + P Q }

= P

+ m

n AQ + m − n

2n BQ + m − 2n

3n CQ + m − 3n

4n DQ + &c (5)

2

9

P + P Q

P

1

Q

1

A, B, C, D, ...

A =P

= ( _m

n

0 )

P

, B = m

n P

Q = ( _m

n

1 )

P

Q, C = m − n

2n m

n P

Q ² = ( _m

n

2 )

P

Q ² , D = m − 2n

3n

m − n 2n

m

n P

Q ³ = ( _m

n

3 )

P

Q ³ ,

(5)

(P + P Q)

=A + B + C + D + · · ·

=P

+ ( _m

n

1 )

P

Q + ( _m

n

2 )

P

Q ² + ( _m

n

3 )

P

Q ³ + · · ·

第

2

3

6

7

2

例

2

√

c ⁵ + c ⁴ x − x ⁵ (i.e. c ⁵ + c ⁴ x − x ⁵ }

)

=c + c ⁴ x − x ⁵

5c ⁴ [+] − 2c ⁸ xx + 4c ⁴ x ⁶ − 2x ¹⁰ 25c ⁹ + &c

は、上に引用した規則

[

]

m

1, n

5, P

c ⁵

Q

c ⁴ x − x ⁵

c ⁵

P

− x ⁵ , Q

c ⁴ x + c ⁵

− x ⁵

√

c ⁵ + c ⁴ x − x ⁵

= − x + c ⁴ x + c ⁵

5x ⁴ + 2c ⁸ xx + 4c ⁹ x + [2]c ¹⁰

25x ⁹ + &c (6)

となります。最初の方法は

x

2

きです。

[19, pp.21-22,33]

ここで、

√

5 は

5

(6)

√

c ⁵ + c ⁴ x − x ⁵ = − x (

1 − c ⁴ x + c ⁵ x ⁵

)

= − x (

1 + 1 5

(

− c ⁴ x + c ⁵ x ⁵

)

− 2 25

(

− c ⁴ x + c ⁵ x ⁵

) 2

+ o(x ^{− 11} ) )

= − x + c ⁴ x + c ⁵

5x ⁴ + 2c ⁸ x ² + 4c ⁹ x + 2c ¹⁰

25x ⁹ + o(x ^{− 10} )

= − x + c ⁴

5x ³ + c ⁵

5x ⁴ + 2c ⁸

25x ⁷ + 4c ⁹

25x ⁸ + 2c ¹⁰

25x ⁹ + o(x ^{− 10} ) (x → ∞ )

6 『解析について』での複合方程式の文字解法

複合方程式とは、

3

y ³ − 2y − 5 = 0

y ³ + a ² y − 2a ³ + axy − x ³ = 0

y ³ + a ² y − 2a ³ + axy − x ³ = 0

y ³ + (a ² + ax)y + ( − 2a ³ − x ³ ) = 0

y

3

x

a

ニュートンは『解析について』

(1669)

f (x, y) = 0

y

x

x

a

f (y) = 0

y

^*7

数値方程式の解法に引き続き、文字方程式の解法を扱っている。まず、

y ³ + aay − 2a ³ + axy − x ³ = 0

y = a − x 4 + x ²

64a + 131x ³

512a ² + 509x ⁴

16384a ³ &c (7)

になることを導いている。

f (x, y) = y ³ + a ² y − 2a ³ + axy − x ³

y

x ⁿ

y _n

f (x, y _n ) = o(x ⁿ ) (x → 0) (8)

となる。たとえば、

n = 3

y ₃ = a − ^x ₄ + _64a ^xx + ^131x _512aa

f (x, y ₃ )

O(x ⁴ )

a ³ , a ² x, ax ² , x ³

0

f (x, y 3 ) = O(x ⁴ ),

f (x, y 3 ) = o(x ³ )

f (x, y) = 0

ϕ(0) = a

ϕ(x)

x = 0

(7)

さらにニュートンは

y ³ + axy + xxy − a ³ − 2x ³ = 0

y = x − a 4 + aa

64x + 131a ³

512xx + 509a ⁴

16384x ³ &c (9)

を与えている。

f(x, y) = y ³ + axy + x ² y − a ³ − 2x ³

y

x ^{− n+1}

y _n

f (x, y n ) = o(x ^{− n+3} ) (x → ∞ ) (10)

*7 たとえば、

f (y) = y

− 2y − 5 = 0

(

)

y

= 2

y

= y

− f (y

)

f

(y

) = y

− y

− 2y

− 5

3y

− 2

y

= 2

y = y

+ y

= 2 + y

f (2 + y

) = (2 + y

)

− 2(2 + y

) − 5 = 0,

f

(y

) = y

+ 6y

+ 10y

− 1 = 0

1

10y

− 1 = 0

y

= 0.1

y

= 0.1 + y

(0.1+ y

)

+6(0.1+y

)

+10(0.1+y

) − 1 = 0,

f

(y

) = y

+6.3y

+11.23y

+0.061 = 0

1

11.23y

+ 0.061 = 0

y

= − 0.0054

y

+ y

+ y

+ y

= 2.09455148

(

)

かい

解

いん

隠

だい

題

の

之

ほう

法 』

[16](1685)

[13, pp.155-162]

となる。たとえば

n = 4

y 4 = x − a 4 + a ²

64x + 131a ³

512x ² + 509a ⁴ 16384x ³

(y ₄ ) ³ + axy ₄ + x ² y ₄ − a ³ − 2x ³ = o(x ⁻¹ ) (x → ∞ )

である。

x

f (x, y) = 0

ϕ(x)

(9)

(7)

(9)

[12]

[13]

(8)

(10)

[13]

[14]

7 漸近べき級数の原始関数

『解析について』における複合方程式

y ³ + axy + xxy − a ³ − 2x ³ = 0

(9)

商

x − a 4 + aa

64x + 131a ³

512xx + 509a ⁴

16384x ³ &c

面積は

x ² 2 − ax

4 + aa

64x − 131a ³

512x − 509a ⁴

32768x ² (11)

である。これに関連することは規則

II

3

[

]

MP II, pp.226-227

aa

64x

0

∫ a ²

64x dx,

a ²

64 log x

*5

(11)

x − a 4 + aa

64x + 131a ³

512xx + 509a ⁴ 16384x ³ &c

の原始関数である。ニュートンが言及している規則

II

3

(2

)

x ² + x ^{− 2}

[

]

¹ ₃ x ³ − x ⁻¹

なお、『ニュートン数学論文集』の編集者ホワイトサイドは、おそらく面積を文字通り

に受け取り

^*8

(11)

x ²

2 − ax 4 +

[∫ a ² 64x · dx

]

[+] 131a ³

512x [+] 509a ⁴ 32768x ² · · ·

と

[ ]

[22, II,p.227]

8 ニュートンは何故漸近べき級数を考えたか

分数関数や無理関数、あるいは陰関数に無限級数の方法

(

)

x

(

)

x

(

)

たとえば、

∫ b a

dx

1 + x ²

1 1 + x ² =

{ 1 − x ² + x ⁴ − x ⁶ + · · · 0 ≤ x < 1 x ^{− 2} − x ^{− 4} + x ^{− 6} − · · · x > 1

0 ≤ a < b < 1

∫ b a

dx 1 + x ² = [

x − ¹ ₃ x ³ + ¹ ₅ x ⁵ − ¹ ₇ x ⁷ + · · · ] b a

により、

1 < a < b

∫ b a

dx 1 + x ² = [

− x ⁻¹ + ¹ ₃ x ⁻³ − ¹ ₅ x ⁻⁵ + · · · ] b a

により計算できるのである。漸近べき級数を使うことにより無限級数の方法の適用範囲が 大幅に広くなる。

べき級数のみを用いるときは、

1 < a < b

x = ¹ _t

∫ b a

dx 1 + x ² =

∫

1 b

dt 1 + t ²

の右辺により計算しなければならないが、一般には必ずしも使える方法ではない。

*8

∫

I

4

x

x

.dx = − ∫

∞

x

.dx = x

(MP II, p.209)

また、複合方程式

y ³ + axy + xxy − a ³ − 2x ³ = 0

x

(

x

f (x, y) = 0

)

ニュートンはこのようなことから、漸近べき級数を考え出したと思われる。そのため、

「

x

(MP II,

p.215)

x

2

[19,

p.22]

9 ^おわりに

ニュートンは『解析について』

(1669)

f (x, y) = 0

(x

)

(1671)

(1676)

ニュートンが与えた負数べきの級数展開は、漸近べき級数の定義をみたしているばかり でなく、ニュートン自身「変数が十分に大きければ有限和がよい近似を与える」という漸 近べき級数の核心を指摘しており、ニュートンが漸近べき級数の発見者であるということ ができる。ニュートンが発見した漸近べき級数は、彼から多大な影響を受けたド・モアブ ルとスターリングにより、

1730

参考文献

[1]

2002 ([20]

)

[2] Jacobi Bernoulli, Ars Conjectandi, Basileæ, 1713

https://rmda.kulib.kyoto-u.ac.jp/item/rb00028894

[3] Abraham de Moivre, Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis, London, 1730, (Gale ECCO print editions)

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RIMS

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1712

https://rmda.kulib.kyoto-u.ac.jp/item/rb00028417

[18] James Stirling, Methodus differentialis, G. Brower and Straham, London, 1730 https://archive.org/details/bub_gb_71ZHAAAAYAAJ/page/n143

[19] H.W. Turnbull, The Correspondence of Isaac Newton, Vol II, Cambridge Uni- versity Press, 1960

[20] I. Todhunter, A History of Mathematical Theory of Probability, Cambridge and London, 1865, Repr. New York, 1949

https://archive.org/details/ofmathemahistory00todhrich/

[21] Ian Tweddle, James Stirling’s Methodus Differentialis, Springer, 2003

[22] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol.II,III, Cam-

bridge University Press, 1968,1969.