解析学 - レジメ 1
2009 年前期 , 西岡
*11 連続と微分の復習
I.
定義域
D内部の点
aにたいし
,lim
x→a,x∈Df(x) =α
であるとき
,「 関数
fは
x=aで極限
αをもつ」という
. (ここで
f(a)の値と
αにはなんの関係も無いこ とを注意せよ
.)連続の定義
¶ ³
(i)
関数
fが
x=aで極限
αをもち
,しかも
f(a) =αのとき
, ‘fは
x=aで連続
’という
. (ii) Dの全ての点
xで連続な関数を
‘Dで連続な関数
’という
.µ ´
(∗)
この連続関数はいろいろ都合の良い性質を備えている
.中間値の定理
¶ ³
閉区間
[a, b]で定義された連続関数
fが
f(a)< f(b)を満たしている
.このとき
f(a)< c < f(b)であ る任意の
cにたいし
,f(x) =cとなる
x∈(a, b)が存在する
. ⋄µ ´
最大値原理
¶ ³
有限な閉区間
[a, b]で連続な関数
fは
,最大値と最小値をとる
. ⋄µ ´
II.
微分の定義
¶ ³
連続関数
f(x)にたいし
,ある点
x=aで
limh→0
f(a+h)−f(a) h
が存在するとき
, ‘fは
x=aで微分可能
’と言い
,lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h =f′(a) = df dx(a)
と記述する
.また
f′(a)を
aの関数と見たとき
, ‘fの導関数
’と呼ぶ
.µ ´
(∗)
今後必要になる微分公式を表にしよう
.*1http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/ 2号館11階38号室
定理
1.1. (i) f, gは微分可能な関数
,α, βは定数とする
.関数 微分
α f(x) +β α f′(x)
f(x)g(x) f′(x)g(x) +f(x)g′(x) g◦f(x)≡g¡
f(x)¢
g′◦f(x)f′(x)≡g′¡ f(x)¢
f′(x) f(x)
g(x), g̸= 0 f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
¡g(x)¢2
(ii)
初等関数の微分は以下の通り
:関数 微分
指数関数
ex ex対数関数
log|x| 1/x定数
c 0べき乗
xn,ただし
n̸= 0なる整数
, n xn−1べき乗
xα,ただし
α̸=整数 で
x >0 α xα−1正弦
sinx cosx余弦
cosx −sinx ⋄2 平均値の定理とその応用
微分可能な関数にたいして成り立つ有用な定理を述べる
.ロールの定理
¶ ³
定理
2.1. fを 区間
[a, b]で連続
, (a, b)で微分可能な関数とする
. f(a) = 0 =f(b)なら
, f′(c) = 0と なる点
c∈(a, b)が存在する
. ⋄µ ´
!
f (x)
!
a
!
b
!
c
!
f'(c)
[
証明
] Step 1. ‘f(x)>0となる
a < x < bがある
’と仮定する
.「
§1連続関数の最大値原理」より
,ある
x=cで
fは最大値をとる
.この
cだが
定理の仮定
f(a) = 0, f(b) = 0,より
a < c < bである
.f(c)
は最大値なので
,微少な数
h >0にたいし
,f(c)≥f(c+h)となり
, 0≥f(c+h)−f(c)h .
ここで
h→0とする
.(2.1) 0≥ lim
h→0
f(c+h)−f(c)
h =f′(c).
一方 微少な数
k <0にたいしても
0≥f(c+k)−f(c)となる
. k <0だから
0≤ f(c+k)−f(c)k
ここで
k→0とすると
(2.2) 0≤ lim
k→0
f(c+k)−f(c)
k =f′(c).
結局
(2.1)と
(2.2)が同時に成立しているので
,f′(c) = 0となり
,求める
c∈(a, b)が見つかった
. Step 2.つぎに
f(x)<0となる
a < x < bがある
’と仮定する
.g(x)≡ −f(x)
とおくと
,gは 定理 および
Step 1の仮定を満たしている
.よって
, gに
Step 1の結論が適 用できる
.→
ある
a <c < bˆで
gは最大値
(= fの最小値
)をとり
, 0 =g′(ˆc) =−f′(ˆc).→
求める
cˆ∈(a, b)が見つかった
.Step 3. ‘Step 1
および
2の仮定が成立しない
’とする
.この場合
,すべての
x∈[a, b]にたいし
f(x) = 0で ある
.つまり
f′(x) = 0となり
,定理 は成立している
. 2(∗)
次の平均値の定理は
,特に応用範囲が広い
.平均値の定理
¶ ³
定理
2.2. fを 区間
[a, b]で連続
, (a, b)で微分可能な関数とするとき
,次を満たす点
c∈(a, b)が存在 する
:f(b)−f(a)
b−a =f′(c). ⋄
µ ´
練習問題
2.3.平均値の定理を証明せよ
. ♠ ( [証明のヒント
] fから
,新しい関数
ϕを
(2.3) ϕ(x)≡f(b)−f(x)−f(b)−f(a)
b−a (b−x), a≤x≤b
と定義する
.これにロールの定理を応用せよ
. )(∗)
関数の増減の判定条件が
,平均値の定理
2.2より導かれる
:関数の増減
¶ ³
定理
2.4. (a, b)を区間
,関数
f(x)は微分可能とする
.(i) x∈(a, b)
で
f′(x)>0 ⇒区間
(a, b)で
f(x)は単調増加
. (ii) x∈(a, b)で
f′(x) = 0 ⇒区間
(a, b)で
f(x)は定数
.(iii) x∈(a, b)
で
f′(x)<0 ⇒区間
(a, b)で
f(x)は単調減少
. ⋄µ ´
例題
2.5. x >0にたいし
, log(1 +x)> x−x22
を示せ
. ⋄[
解答
] f(x) = log(1 +x)−x+x22
とする
. f′(x) = 11 +x−1−x= x2
1 +x>0 ifx >0.
定理
2.4より
,この関数
fは 区間
(0,∞)で増加関数となり
,任意の
x >0にたいし
log(1 +x)−x+x22 =f(x)> f(0) = 0. 2
例題
2.6 (微積分の基本定理
). f(x), g(x)は 区間
(a, b)で微分可能かつ 区間
[a, b]で連続な関数とする
.すべての
x∈(a, b)で
f′(x) =g′(x)かつ
f(a) =g(a) . ⇒すべての
x∈(a, b)で
f(x) =g(x). ⋄ [解答
] F(x)≡f(x)−g(x)とおく
.例題の仮定より
,すべての
x∈(a, b)で
F′(x) =f′(x)−g′(x) = 0.ここで
,定理
2.4 (ii)を
F(x)に適用する
. ⇒区間
(a, b)で
F(x) =定数
.ところが
F(x)は 区間
[a, b]で連続であり
, F(a) =f(a)−g(a) = 0なので
,この定数は
0.つまり
,区間
[a, b]で
F(x) = 0 ⇒ f(x) =g(x). 23 不定形の計算 – ロピタルの定理
0/0, 0· ∞,∞/∞
などは不定形といい
,この計算は数学では許されていない
.ところが 平均値の定理 を拡
張すると
,これらの計算が実行出来る場合がある
.コーシーの平均値の定理
¶ ³
定理
3.1.関数
f, gを 区間
[a, b]で連続
, (a, b)で微分可能な関数とする
. x∈(a, b)にたいし
,g′(x)̸= 0なら
,次を満たす点
c∈(a, b)が存在する
:f(b)−f(a)
g(b)−g(a) = f′(c) g′(c). ⋄
µ ´
練習問題
3.2.この 定理
(コーシーの平均値の定理
)を証明せよ
. ♠(ヒント: つぎの関数ψに ロールの定理2.1を応用せよ:
ψ(x) =f(b)−f(x)−f(b)−f(a) g(b)−g(a)
`g(b)−g(x)´ )
(∗)
コーシーの平均値の定理を利用すると
,不定形の計算が行える
.ロピタルの定理
¶ ³
定理
3.3. (i)関数
f, gは 区間
(a, b)で微分可能
, [a, b]で連続とする
.さらに
f(a) = 0 = g(a), g′(a)̸= 0である
.このとき
lim
b→a
f(b) g(b) = lim
b→a
f′(b) g′(b).
(ii)
関数
f, gは 区間
(R,∞)で微分可能かつ連続とする
.さらに
x∈ (R,∞)で
g′(x) ̸= 0であり
, limx→∞g(x) =∞である
.このとき
xlim→∞
f′(x)
g′(x) =γ
なら
limx→∞
f(x)
g(x) =γ
である
. ⋄µ ´
例題
3.4.次の極限を計算せよ
: (i) limt→0
√x+ 1−1
x , (ii) lim
t→0
sinx ex−1. ⋄ [
解答
] (i), (ii)共に ロピタルの定理
3.3を応用する
.(i) lim
t→0
√x+ 1−1
x = lim
t→0
1/(2√ x+ 1)
1 = 1
2, (ii) lim
t→0
sinx ex−1 = lim
t→0
cosx ex = 1
1 = 1. 2
4 高階微分とテイラー展開
¶
高階微分
³(i)
関数
fの導関数
f′(x)にたいし
,x=x0で
(4.1) lim
h→0
f′(x0+h)−f′(x0)
h ≡f′′(x0) = d2f dx2(x0)
が存在するとき
, ‘fは
x0で
2階微分可能
’と言い
,上式右辺の様に記述する
.また
f′′(x)を2階導関数 と呼ぶ.
(ii)
順次
, 3階微分
,· · ·,n階微分も考える
.すなわち
,関数
fの
n−1次導関数
f(n−1)(x)にたいし
, x=x0で
limh→0
f(n−1)(x0+h)−f(n−1)(x0)
h ≡f(n)(x0) = dnf dxn(x0)
が存在するとき
, fは
x0で
n階微分可能 と言い
,上式右辺の様に記述する
.また
f(n)(x)を
n階導 関数と呼ぶ
.µ ´
(∗)
この高階微分の重要な応用として
,テイラー展開がある
.テイラー展開
¶ ³
定理
4.1.関数
fは 区間
(a, b)で
n+ 1階まで微分可能をする
.点
c, x∈(a, b)にたいし
,次が成立
:あ る点
yがあり
(4.2) f(x) =f(c) +f′(c)
1! (x−c) +f′′(c)
2! (x−c)2+· · ·+f(n)(c)
n! (x−c)n+Rn+1,
ここで
,|y−c|<|x−c|であり
Rn+1≡ f(n+1)(y)
(n+ 1)! (x−c)n+1. ⋄
µ ´
[
証明
] mを任意の自然数とする
.「コーシーの平均値の定理
3.1」を
g(x)≡f(b)−Xn k=0
f(k)(x)
k! (b−x)k, h(x)≡(b−x)m
に応用する
. a < y < bとすると
g(b) = 0, g(a) =f(b)− Xn
k=0
f(k)(a)
k! (b−a)k, g′(y) =−
Xn
k=0
f(k+1)(y)
k! (b−y)k+ Xn
k=1
f(k)(y)
(k−1)!(b−y)k−1=−f(n+1)(y)
n! (b−y)n, h(b) = 0, h(a) = (b−a)m, h′(y) =−m(b−y)m−1.
これより
,ある
a < y < bがあり
g(b)−g(a)h(b)−h(a) = g′(y)
h′(y)=−f(n+1)(y)
n!m (b−y)n+1−m.
これを整理して
,f(b)− Xn k=0
f(k)(x)
k! (b−a)k= f(n+1)(y)
n!m (b−y)n+1−m(b−a)m.
ここで
b=x, a=cとおけば
(m=n+ 1なら
(4.2)になる
)f(x) = Xn k=0
f(k)(c)
k! (x−c)k+Qn+1
Qn+1≡f(n+1)(y)
n!m (x−y)n+1−m (x−c)m. 2 (4.3)
例題
4.2.指数関数
exの
0を中心としたテイラー展開は
,以下の通り
:(4.4) ex= 1 +x+x2
2! +· · ·+xn
n! +· · · . ⋄
[
証明
] f(x)≡exとおく
.「
§1微分」より
,f′(x) =ex=f(x)
なので
,定理
4.1で
c= 0すると
(4.5) f(x) = 1 + 1
1!x+ 1
2!x2+· · ·+ 1
n!xn+Rn+1, Rn+1= exp{y} (n+ 1)!xn+1. Rn+1
を評価する
.どんな
xに対しても
,ある自然数
Kがあり
|x|< Kとなるから
, n > Kなら
¯¯Rn+1¯¯= |x|n+1
(n+ 1)! < Kn+1
(n+ 1)! < KK ( K K+ 1)n−K
ここで
( K
K+ 1)n−K →0 as n→ ∞
だから
, (4.5)の最後の項は
n→ ∞のとき
0に収束する
.よって
, (4.5)で
n→ ∞として
, (4.4)が得られ る
. 2例題
4.3.三角関数
sinx, cosxの
0を中心としたテイラー展開は
,以下の通り
: sinx=x−x33! +x5
5! · · ·+ (−1)n−1 x2n−1
(2n−1)! +· · ·. (4.6)
cosx= 1−x2 2! +x4
4! +· · ·+ (−1)n−1 x2n
(2n)!+· · · . ⋄ (4.7)
[
証明
] f(x)≡sinxとおく
.f′(x) = cosx, f′′(x) =−sinx, f(3)(x) =−cosx, f(4)(x) = sinx.
f(x) = sinx
は
4回目の微分で元に戻る
.これより
f(0) = 0, f′(0) = 1, f′′(0) = 0, f(3)(0) =−1, f(4)(0) =f(0) = 0
となるので
,定理
4.1より
(4.8) f(x) = 0 + 1 1!x+ 0
2!x2+−1
3! x3+· · ·+f(n)(0)
n! xn+Rn+1, Rn+1=f(n+1)(y) (n+ 1)! xn+1.
ここで
,f(n+1)(y)は
cosy, −siny, −cosy, siny
のどれかであるから
,|f(n+1)(y)| ≤1.つまり
¯¯Rn+1¯¯= ¯¯f(n+1)(y)¯¯
(n+ 1)! |x|n+1≤ |x|n+1 (n+ 1)!.
あとは
,例題
4.2の証明と同じ議論で
,¯¯Rn+1¯¯→0 as n→ ∞
が判るから
, (4.8)の最後の項は
n→ ∞のとき
0に収束する
.よって
, (4.8)で
n→ ∞として
, sinxの テ イラー展開
(4.6)が得られる
.さらに
cosxのテイラー展開
(4.7)も同様にして証明できる
. 25 テイラー展開の応用
5.1 複素数への拡張
(∗)
例題
4.2, 4.3のテイラー展開を使い
,指数関数の定義域を複素数に拡張しよう
.¶
虚数単位
³x2=−1
となる架空の数
xを 虚数単位 といい
,常に
iで表す
.また
,実数
a, bにたいし
,a+b iを複素 数という
.µ ´
(4.4)
の両辺で
,x→ixと置き換える
: i2=−1, i3=−i, i4= 1,· · ·に注意すると
ei x= 1 +ix−x22! −ix3 3! +x4
4! +ix5 5! −x6
6! +· · ·
=
³ 1−x2
2! +x4 4! −x6
6! +· · ·´ +i
³ x−x3
3! +x5 5! +· · ·´
一方
, (4.6)と
(4.7)より
cosx=
³ 1−x2
2! +x4 4! +· · ·´
, i sinx=i
³ x−x3
3! +x5 5! +· · ·´
,
なので
,両者を比べると下の等式が得られる
.オイラーの等式
¶ ³
(5.1) ei x= cosx+isinx.
µ ´
例題
5.1.三倍角の公式を導け
. ⋄ [解答
] (5.1)を
2回使うと
cos 3x+isin 3x= exp{3ix}=¡
exp{ix}¢3
=¡
cosx+isinx¢3
= (cosx)3+ 3i(cosx)2(sinx)−3 (cosx) (sinx)2−i(sinx)3
=©
(cosx)3−3 (cosx) (sinx)2ª +i©
3 (cosx)2(sinx)−(sinx)3ª .
実数部分と虚数部分を分けて考えるので
,cos 3x= (cosx)3−3 (cosx) (sinx)2, sin 3x= 3 (cosx)2(sinx)−(sinx)3. 2
5.2 ロピタルの定理の一般化
定理
(ロピタル
) 3.3で述べた公式を 定理
(テイラー展開
) 4.2を使って拡張する
:定理
5.2 (ロピタル
2).関数
f, gは
n階微分可能で
,f(a) = 0, f′(a) = 0, · · ·, f(n−1)(a) = 0,
g(a) = 0, g′(a) = 0, · · · , g(n−1)(a) = 0, g(n)(a)̸= 0.
このとき
limx→a
f(x)
g(x) =f(n)(a) g(n)(a). ⋄
5.3 極値
極値は
,関数
f(x)の挙動を調べる上で大事な性質である
.極値の定義
¶ ³
定義
5.3. (i)次が成立するとき
, f(x)は点
aで極大値 をとる という
:|x−a|
が十分小さいとき
f(x)≤f(a).(ii)
次が成立するとき
, f(x)は点
aで極小値をとる という
:|x−a|
が十分小さいとき
f(x)≥f(a). ⋄µ ´
(∗)
定理
(テイラー展開
) 4.2から
,f(x)が
x=aで 極大
/極小 となるためのより詳しい判定条件が導かれる
:極値の判定
1¶ ³
定理
5.4.関数
f(x)は
2階微分可能
.(i) f′(a) = 0
かつ
f′′(a)<0 ⇒ f(x)は点
aで極大値をとる
. (i) f′(a) = 0かつ
f′′(a)>0 ⇒ f(x)は点
aで極小値をとる
. ⋄µ ´
極値の判定
2¶ ³
定理
5.5. nを自然数とし
,関数
f(x)は
2n階微分可能
.(i) f′(a) = 0,· · · , f(2n−1)(a) = 0
かつ
f(2n)(a)<0 ⇒ f(x)は点
aで極大値をとる
. (ii) f′(a) = 0,· · · , f(2n−1)(a) = 0かつ
f(2n)(a)>0 ⇒ f(x)は点
aで極小値をとる
. ⋄µ ´
5.4 関数の近似
関数の近似を行う
. f(x)が高階微分可能なとき
,定理
(テイラー展開
) 4.2より
f(c+h) =Pn(h) +Rn+1.Pn(h)≡f(c) +f′(c) h
1!+f′′(c)h2
2! +· · ·+f(n)(c)hn n!
Rn+1≡f(n+1)(y) hn+1
(n+ 1)!, c < y < c+h, (5.2)
である
.従って
,f(c+h)と
Pn(h)との誤差の限界は
(5.3) max
c<y<c+h
¯¯Rn+1¯¯= max
c<y<c+h
¯¯¯f(n+1)(y) (n+ 1)! hn+1¯¯¯
となる
.例題
5.6. √4.1
を近似し
,その誤差を評価せよ
. ⋄ [解答
] f(h)≡√4 +h
とする
.この
fにたいし
,n= 2とおいて
(5.2)を応用する
: 4< y <4 +hにたいし
√4 +h=√ 4 + 1
2
√1 4
h 1!−1
2 1 2
1 43/2
h2 2! +1
2 1 2
3 2
1 y5/2
h3 3!
= 2 +h 4 −h2
64+ h3 16y5/2; P2(h) = 2 +h
4 −h2
64, R3= h3 16y5/2. h= 0.1
として
√4.1
を近似し
, (5.3)に従ってその誤差を評価する
.√4.1∼2 +1 4
1 10− 1
64 1
100 = 2.02484· · · ,
¯¯
誤差
¯¯≤ max4<y<4.1
1 16y5/2
1
103 = 1 16 45/2
1
1000 = 1
512000. 2