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1 連続と微分の復習

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(1)

解析学 - レジメ 1

2009 年前期 , 西岡

*1

1 連続と微分の復習

I.

定義域

D

内部の点

a

にたいし

,

lim

xa,xDf(x) =α

であるとき

,

「 関数

f

x=a

で極限

α

をもつ」という

. (

ここで

f(a)

の値と

α

にはなんの関係も無いこ とを注意せよ

.)

連続の定義

³

(i)

関数

f

x=a

で極限

α

をもち

,

しかも

f(a) =α

のとき

, ‘f

x=a

で連続

という

. (ii) D

の全ての点

x

で連続な関数を

‘D

で連続な関数

という

.

µ ´

()

この連続関数はいろいろ都合の良い性質を備えている

.

中間値の定理

³

閉区間

[a, b]

で定義された連続関数

f

f(a)< f(b)

を満たしている

.

このとき

f(a)< c < f(b)

であ る任意の

c

にたいし

,f(x) =c

となる

x∈(a, b)

が存在する

.

µ ´

最大値原理

³

有限な閉区間

[a, b]

で連続な関数

f

,

最大値と最小値をとる

.

µ ´

II.

微分の定義

³

連続関数

f(x)

にたいし

,

ある点

x=a

lim

h0

f(a+h)−f(a) h

が存在するとき

, ‘f

x=a

で微分可能

と言い

,

lim

h0

f(a+h)−f(a)

h =f(a) = df dx(a)

と記述する

.

また

f(a)

a

の関数と見たとき

, ‘f

の導関数

と呼ぶ

.

µ ´

()

今後必要になる微分公式を表にしよう

.

*1http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/ 2号館1138号室

(2)

定理

1.1. (i) f, g

は微分可能な関数

,α, β

は定数とする

.

関数 微分

α f(x) +β α f(x)

f(x)g(x) f(x)g(x) +f(x)g(x) g◦f(x)≡g¡

f(x)¢

g◦f(x)f(x)≡g¡ f(x)¢

f(x) f(x)

g(x), = 0 f(x)g(x)−f(x)g(x)

¡g(x)¢2

(ii)

初等関数の微分は以下の通り

:

関数 微分

指数関数

ex ex

対数関数

log|x| 1/x

定数

c 0

べき乗

xn,

ただし

= 0

なる整数

, n xn1

べき乗

xα,

ただし

α̸=

整数 で

x >0 α xα1

正弦

sinx cosx

余弦

cosx sinx

2 平均値の定理とその応用

微分可能な関数にたいして成り立つ有用な定理を述べる

.

ロールの定理

³

定理

2.1. f

を 区間

[a, b]

で連続

, (a, b)

で微分可能な関数とする

. f(a) = 0 =f(b)

なら

, f(c) = 0

と なる点

c∈(a, b)

が存在する

.

µ ´

 

     

   

   

!

f (x) 

!

a

 

!

b 

!

c 

!

f'(c) 

[

証明

] Step 1. ‘f(x)>0

となる

a < x < b

がある

と仮定する

.

§1

連続関数の最大値原理」より

,

ある

x=c

f

は最大値をとる

.

この

c

だが

定理の仮定

f(a) = 0, f(b) = 0,

より

a < c < b

である

.

(3)

f(c)

は最大値なので

,

微少な数

h >0

にたいし

,f(c)≥f(c+h)

となり

, 0≥f(c+h)−f(c)

h .

ここで

h→0

とする

.

(2.1) 0 lim

h0

f(c+h)−f(c)

h =f(c).

一方 微少な数

k <0

にたいしても

0≥f(c+k)−f(c)

となる

. k <0

だから

0 f(c+k)−f(c)

k

ここで

k→0

とすると

(2.2) 0 lim

k0

f(c+k)−f(c)

k =f(c).

結局

(2.1)

(2.2)

が同時に成立しているので

,f(c) = 0

となり

,

求める

c∈(a, b)

が見つかった

. Step 2.

つぎに

f(x)<0

となる

a < x < b

がある

と仮定する

.

g(x)≡ −f(x)

とおくと

,g

は 定理 および

Step 1

の仮定を満たしている

.

よって

, g

Step 1

の結論が適 用できる

.

ある

a <c < bˆ

g

は最大値

(= f

の最小値

)

をとり

, 0 =gc) =−fc).

求める

cˆ(a, b)

が見つかった

.

Step 3. ‘Step 1

および

2

の仮定が成立しない

とする

.

この場合

,

すべての

x∈[a, b]

にたいし

f(x) = 0

で ある

.

つまり

f(x) = 0

となり

,

定理 は成立している

. 2

()

次の平均値の定理は

,

特に応用範囲が広い

.

平均値の定理

³

定理

2.2. f

を 区間

[a, b]

で連続

, (a, b)

で微分可能な関数とするとき

,

次を満たす点

c∈(a, b)

が存在 する

:

f(b)−f(a)

b−a =f(c).

µ ´

練習問題

2.3.

平均値の定理を証明せよ

. ( [

証明のヒント

] f

から

,

新しい関数

ϕ

(2.3) ϕ(x)≡f(b)−f(x)−f(b)−f(a)

b−a (b−x), a≤x≤b

と定義する

.

これにロールの定理を応用せよ

. )

()

関数の増減の判定条件が

,

平均値の定理

2.2

より導かれる

:

(4)

関数の増減

³

定理

2.4. (a, b)

を区間

,

関数

f(x)

は微分可能とする

.

(i) x∈(a, b)

f(x)>0

区間

(a, b)

f(x)

は単調増加

. (ii) x∈(a, b)

f(x) = 0

区間

(a, b)

f(x)

は定数

.

(iii) x∈(a, b)

f(x)<0

区間

(a, b)

f(x)

は単調減少

.

µ ´

例題

2.5. x >0

にたいし

, log(1 +x)> x−x2

2

を示せ

.

[

解答

] f(x) = log(1 +x)−x+x2

2

とする

. f(x) = 1

1 +x−1−x= x2

1 +x>0 ifx >0.

定理

2.4

より

,

この関数

f

は 区間

(0,)

で増加関数となり

,

任意の

x >0

にたいし

log(1 +x)−x+x2

2 =f(x)> f(0) = 0. 2

例題

2.6 (

微積分の基本定理

). f(x), g(x)

は 区間

(a, b)

で微分可能かつ 区間

[a, b]

で連続な関数とする

.

すべての

x∈(a, b)

f(x) =g(x)

かつ

f(a) =g(a) .

すべての

x∈(a, b)

f(x) =g(x). [

解答

] F(x)≡f(x)−g(x)

とおく

.

例題の仮定より

,

すべての

x∈(a, b)

F(x) =f(x)−g(x) = 0.

ここで

,

定理

2.4 (ii)

F(x)

に適用する

.

区間

(a, b)

F(x) =

定数

.

ところが

F(x)

は 区間

[a, b]

で連続であり

, F(a) =f(a)−g(a) = 0

なので

,

この定数は

0.

つまり

,

区間

[a, b]

F(x) = 0 f(x) =g(x). 2

3 不定形の計算ロピタルの定理

0/0, 0· ∞,∞/∞

などは不定形といい

,

この計算は数学では許されていない

.

ところが 平均値の定理 を拡

張すると

,

これらの計算が実行出来る場合がある

.

コーシーの平均値の定理

³

定理

3.1.

関数

f, g

を 区間

[a, b]

で連続

, (a, b)

で微分可能な関数とする

. x∈(a, b)

にたいし

,g(x)̸= 0

なら

,

次を満たす点

c∈(a, b)

が存在する

:

f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f(c) g(c).

µ ´

練習問題

3.2.

この 定理

(

コーシーの平均値の定理

)

を証明せよ

.

(5)

(ヒント: つぎの関数ψに ロールの定理2.1を応用せよ:

ψ(x) =f(b)−f(x)−f(b)−f(a) g(b)−g(a)

`g(b)−g(x)´ )

()

コーシーの平均値の定理を利用すると

,

不定形の計算が行える

.

ロピタルの定理

³

定理

3.3. (i)

関数

f, g

は 区間

(a, b)

で微分可能

, [a, b]

で連続とする

.

さらに

f(a) = 0 = g(a), g(a)̸= 0

である

.

このとき

lim

ba

f(b) g(b) = lim

ba

f(b) g(b).

(ii)

関数

f, g

は 区間

(R,)

で微分可能かつ連続とする

.

さらに

x∈ (R,)

g(x) ̸= 0

であり

, limx→∞g(x) =∞

である

.

このとき

xlim→∞

f(x)

g(x) =γ

なら

lim

x→∞

f(x)

g(x) =γ

である

.

µ ´

例題

3.4.

次の極限を計算せよ

: (i) lim

t0

√x+ 11

x , (ii) lim

t0

sinx ex1. [

解答

] (i), (ii)

共に ロピタルの定理

3.3

を応用する

.

(i) lim

t0

√x+ 11

x = lim

t0

1/(2 x+ 1)

1 = 1

2, (ii) lim

t0

sinx ex1 = lim

t0

cosx ex = 1

1 = 1. 2

4 高階微分とテイラー展開

高階微分

³

(i)

関数

f

の導関数

f(x)

にたいし

,x=x0

(4.1) lim

h0

f(x0+h)−f(x0)

h ≡f′′(x0) = d2f dx2(x0)

が存在するとき

, ‘f

x0

2

階微分可能

と言い

,

上式右辺の様に記述する

.

また

f′′(x)

を2階導関数 と呼ぶ.

(ii)

順次

, 3

階微分

,· · ·,n

階微分も考える

.

すなわち

,

関数

f

n−1

次導関数

f(n1)(x)

にたいし

, x=x0

lim

h0

f(n1)(x0+h)−f(n1)(x0)

h ≡f(n)(x0) = dnf dxn(x0)

が存在するとき

, f

x0

n

階微分可能 と言い

,

上式右辺の様に記述する

.

また

f(n)(x)

n

階導 関数と呼ぶ

.

µ ´

(6)

()

この高階微分の重要な応用として

,

テイラー展開がある

.

テイラー展開

³

定理

4.1.

関数

f

は 区間

(a, b)

n+ 1

階まで微分可能をする

.

c, x∈(a, b)

にたいし

,

次が成立

:

あ る点

y

があり

(4.2) f(x) =f(c) +f(c)

1! (x−c) +f′′(c)

2! (x−c)2+· · ·+f(n)(c)

n! (x−c)n+Rn+1,

ここで

,|y−c|<|x−c|

であり

Rn+1 f(n+1)(y)

(n+ 1)! (x−c)n+1.

µ ´

[

証明

] m

を任意の自然数とする

.

「コーシーの平均値の定理

3.1

」を

g(x)≡f(b)

Xn k=0

f(k)(x)

k! (b−x)k, h(x)≡(b−x)m

に応用する

. a < y < b

とすると

g(b) = 0, g(a) =f(b) Xn

k=0

f(k)(a)

k! (b−a)k, g(y) =

Xn

k=0

f(k+1)(y)

k! (b−y)k+ Xn

k=1

f(k)(y)

(k1)!(b−y)k1=−f(n+1)(y)

n! (b−y)n, h(b) = 0, h(a) = (b−a)m, h(y) =−m(b−y)m1.

これより

,

ある

a < y < b

があり

g(b)−g(a)

h(b)−h(a) = g(y)

h(y)=−f(n+1)(y)

n!m (b−y)n+1m.

これを整理して

,

f(b) Xn k=0

f(k)(x)

k! (b−a)k= f(n+1)(y)

n!m (b−y)n+1m(b−a)m.

ここで

b=x, a=c

とおけば

(m=n+ 1

なら

(4.2)

になる

)

f(x) = Xn k=0

f(k)(c)

k! (x−c)k+Qn+1

Qn+1≡f(n+1)(y)

n!m (x−y)n+1m (x−c)m. 2 (4.3)

例題

4.2.

指数関数

ex

0

を中心としたテイラー展開は

,

以下の通り

:

(4.4) ex= 1 +x+x2

2! +· · ·+xn

n! +· · · .

(7)

[

証明

] f(x)≡ex

とおく

.

§1

微分」より

,

f(x) =ex=f(x)

なので

,

定理

4.1

c= 0

すると

(4.5) f(x) = 1 + 1

1!x+ 1

2!x2+· · ·+ 1

n!xn+Rn+1, Rn+1= exp{y} (n+ 1)!xn+1. Rn+1

を評価する

.

どんな

x

に対しても

,

ある自然数

K

があり

|x|< K

となるから

, n > K

なら

¯¯Rn+1¯¯= |x|n+1

(n+ 1)! < Kn+1

(n+ 1)! < KK ( K K+ 1)nK

ここで

( K

K+ 1)nK 0 as n→ ∞

だから

, (4.5)

の最後の項は

n→ ∞

のとき

0

に収束する

.

よって

, (4.5)

n→ ∞

として

, (4.4)

が得られ る

. 2

例題

4.3.

三角関数

sinx, cosx

0

を中心としたテイラー展開は

,

以下の通り

: sinx=x−x3

3! +x5

5! · · ·+ (1)n1 x2n1

(2n1)! +· · ·. (4.6)

cosx= 1−x2 2! +x4

4! +· · ·+ (1)n1 x2n

(2n)!+· · · . (4.7)

[

証明

] f(x)sinx

とおく

.

f(x) = cosx, f′′(x) =sinx, f(3)(x) =cosx, f(4)(x) = sinx.

f(x) = sinx

4

回目の微分で元に戻る

.

これより

f(0) = 0, f(0) = 1, f′′(0) = 0, f(3)(0) =1, f(4)(0) =f(0) = 0

となるので

,

定理

4.1

より

(4.8) f(x) = 0 + 1 1!x+ 0

2!x2+1

3! x3+· · ·+f(n)(0)

n! xn+Rn+1, Rn+1=f(n+1)(y) (n+ 1)! xn+1.

ここで

,f(n+1)(y)

cosy, siny, cosy, siny

のどれかであるから

,|f(n+1)(y)| ≤1.

つまり

¯¯Rn+1¯¯= ¯¯f(n+1)(y)¯¯

(n+ 1)! |x|n+1 |x|n+1 (n+ 1)!.

あとは

,

例題

4.2

の証明と同じ議論で

,

¯¯Rn+1¯¯0 as n→ ∞

が判るから

, (4.8)

の最後の項は

n→ ∞

のとき

0

に収束する

.

よって

, (4.8)

n→ ∞

として

, sinx

の テ イラー展開

(4.6)

が得られる

.

さらに

cosx

のテイラー展開

(4.7)

も同様にして証明できる

. 2

(8)

5 テイラー展開の応用

5.1 複素数への拡張

()

例題

4.2, 4.3

のテイラー展開を使い

,

指数関数の定義域を複素数に拡張しよう

.

虚数単位

³

x2=1

となる架空の数

x

を 虚数単位 といい

,

常に

i

で表す

.

また

,

実数

a, b

にたいし

,a+b i

を複素 数という

.

µ ´

(4.4)

の両辺で

,x→ix

と置き換える

: i2=1, i3=−i, i4= 1,· · ·

に注意すると

ei x= 1 +ix−x2

2! −ix3 3! +x4

4! +ix5 5! −x6

6! +· · ·

=

³ 1−x2

2! +x4 4! −x6

6! +· · ·´ +i

³ x−x3

3! +x5 5! +· · ·´

一方

, (4.6)

(4.7)

より

cosx=

³ 1−x2

2! +x4 4! +· · ·´

, i sinx=i

³ x−x3

3! +x5 5! +· · ·´

,

なので

,

両者を比べると下の等式が得られる

.

オイラーの等式

³

(5.1) ei x= cosx+isinx.

µ ´

例題

5.1.

三倍角の公式を導け

. [

解答

] (5.1)

2

回使うと

cos 3x+isin 3x= exp{3ix}

exp{ix}¢3

cosx+isinx¢3

= (cosx)3+ 3i(cosx)2(sinx)−3 (cosx) (sinx)2−i(sinx)3

(cosx)33 (cosx) (sinx)2ª +i©

3 (cosx)2(sinx)−(sinx)3ª .

実数部分と虚数部分を分けて考えるので

,

cos 3x= (cosx)33 (cosx) (sinx)2, sin 3x= 3 (cosx)2(sinx)−(sinx)3. 2

5.2 ロピタルの定理の一般化

定理

(

ロピタル

) 3.3

で述べた公式を 定理

(

テイラー展開

) 4.2

を使って拡張する

:

定理

5.2 (

ロピタル

2).

関数

f, g

n

階微分可能で

,

f(a) = 0, f(a) = 0, · · ·, f(n1)(a) = 0,

g(a) = 0, g(a) = 0, · · · , g(n1)(a) = 0, g(n)(a)̸= 0.

(9)

このとき

lim

xa

f(x)

g(x) =f(n)(a) g(n)(a).

5.3 極値

極値は

,

関数

f(x)

の挙動を調べる上で大事な性質である

.

極値の定義

³

定義

5.3. (i)

次が成立するとき

, f(x)

は点

a

で極大値 をとる という

:

|x−a|

が十分小さいとき

f(x)≤f(a).

(ii)

次が成立するとき

, f(x)

は点

a

で極小値をとる という

:

|x−a|

が十分小さいとき

f(x)≥f(a).

µ ´

()

定理

(

テイラー展開

) 4.2

から

,f(x)

x=a

で 極大

/

極小 となるためのより詳しい判定条件が導かれる

:

極値の判定

1

³

定理

5.4.

関数

f(x)

2

階微分可能

.

(i) f(a) = 0

かつ

f′′(a)<0 f(x)

は点

a

で極大値をとる

. (i) f(a) = 0

かつ

f′′(a)>0 f(x)

は点

a

で極小値をとる

.

µ ´

極値の判定

2

³

定理

5.5. n

を自然数とし

,

関数

f(x)

2n

階微分可能

.

(i) f(a) = 0,· · · , f(2n1)(a) = 0

かつ

f(2n)(a)<0 f(x)

は点

a

で極大値をとる

. (ii) f(a) = 0,· · · , f(2n1)(a) = 0

かつ

f(2n)(a)>0 f(x)

は点

a

で極小値をとる

.

µ ´

5.4 関数の近似

関数の近似を行う

. f(x)

が高階微分可能なとき

,

定理

(

テイラー展開

) 4.2

より

f(c+h) =Pn(h) +Rn+1.

Pn(h)≡f(c) +f(c) h

1!+f′′(c)h2

2! +· · ·+f(n)(c)hn n!

Rn+1≡f(n+1)(y) hn+1

(n+ 1)!, c < y < c+h, (5.2)

である

.

従って

,f(c+h)

Pn(h)

との誤差の限界は

(5.3) max

c<y<c+h

¯¯Rn+1¯¯= max

c<y<c+h

¯¯¯f(n+1)(y) (n+ 1)! hn+1¯¯¯

となる

.

(10)

例題

5.6.

4.1

を近似し

,

その誤差を評価せよ

. [

解答

] f(h)≡√

4 +h

とする

.

この

f

にたいし

,n= 2

とおいて

(5.2)

を応用する

: 4< y <4 +h

にたいし

4 +h= 4 + 1

2

1 4

h 1!1

2 1 2

1 43/2

h2 2! +1

2 1 2

3 2

1 y5/2

h3 3!

= 2 +h 4 −h2

64+ h3 16y5/2; P2(h) = 2 +h

4 −h2

64, R3= h3 16y5/2. h= 0.1

として

4.1

を近似し

, (5.3)

に従ってその誤差を評価する

.

4.12 +1 4

1 10 1

64 1

100 = 2.02484· · · ,

¯¯

誤差

¯¯ max

4<y<4.1

1 16y5/2

1

103 = 1 16 45/2

1

1000 = 1

512000. 2

参照

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