共形不変性 vs スケール不変性

共形不変性 vs スケール不変性

中山 優 （Kavli IPMU & Caltech）

スケール不変な野菜

繰り込み群とは？

•ウィルソンのアイディア

•高エネルギーの自由度を積分し、低エネルギー の自由度だけを残す

•理論の低エネルギーでの振舞いは普遍的

•赤外固定点の分類  場の量子論の分類

スケール不変 = 共形不変 ?

•場の量子論、繰り込み群はスケール不変な点で 分類される （ウィルソンの哲学）

•共形不変性は２次元における場の理論の分類

（＝臨界現象の分類）を可能にした

•スケール不変性は共形不変性を意味しない！

スケール不変

共形不変

スケール不変 = 共形不変 ?

• スケール不変性は共形不変性を意味しない！

• 場の量子論の基本的な大問題

• AdS/CFT

• 臨界現象において実際に示すのは数学的にと ても難しい （ｃｆ スミルノフ）

繰り込み群の構造について

ウィルソンの素朴な期待

• 繰り込み群：大自由度系の赤外での振る舞いを理 解するために導入

• 臨界現象はその固定点で分類される

• スケール変換＋粗視化 （path integral で高エネル ギーモードを積分）

• 情報量（自由度）は減少している？

• 繰り込み群は不可逆？

• 赤外固定点は必ず存在する？

• スケール不変なら共形不変？

時空の対称性と保存則

• 並進対称性

エネルギー・運動量テンソルが保存する

• ローレンツ対称性

エネルギー・運動量テンソルが対称

固定点

=

• スケール不変性

EMテンソルのトレースがビリアルカレントの発散

• 共形不変性

EMテンソルがトレースレスにできる。

スケール変換と共形変換

自由なマスレススカラー

• ナイーブなエネルギー運動量テンソル

• トレースはノンゼロ (d ≠ 2 なら)

しかし、 運動方程式からビリアルカレントの発散に かける

 理論はスケール不変

• さらに、ビリアルカレントは自明なので理論は共形 不変である

• 実際、改良したエネルギー運動量テンソルが存在し て

スケール不変だが共形不変でない例

• 高次元 (d>4) の Maxwell 理論

• EMテンソルとビリアルカレント

• 運動方程式を使った。

• ビリアルカレント は何かの微分でか けないので EMテンソルはトレースレスにできない。

• スケールカレントはゲージ不変でないがチャージは 不変

QCD +

• 量子論的なエネルギー運動量テンソルのトレース

• Banks-Zaks固定点（2-ループ）

• スケール不変のみならず共形不変

• 原理的にはベータ関数が消えなくても、スケール不 変性を持ってよい。しかし、今の例では、ビリアルカ レントの候補は摂動論では存在しない。

• 非摂動論的に、スケール不変が共形不変を意味し ているかどうかは、この場合にも難しい問題（格子で 計算？イジングでの証明はフィールズ賞。）

理論がスケール不変であるには？

• ４次元の繰り込み可能な理論は古典的には共形不変なので、

EMテンソルのトレースは量子効果からくる

• ベータ関数が消える  共形不変

• もし、演算子恒等式（e.g 運動方程式）があれば、ベータ関数 が消えなくてもスケール不変

• このとき、ベータ関数は任意性を持っている

• Yukawa や phi^4 は原理的には可能？

• 非摂動的な議論はもっと難しい…

繰り込み群のリミットサイクル

• たとえば、摂動論的に Yukawa や phi^4 のベータ 関数がスケール不変だが共形不変でない「固定点」

を持ったとする。

• ベータ関数の任意性をなくすために、B関数を導入 する（繰り込み群上でのゲージ自由度）。

• EMテンソルの全部スカラー演算子に押し付ける ゲージでは、「固定点」上で結合定数が走り続ける

• 繰り込み群のリミットサイクル（サイクル上で物理は 不変）

リミットサイクル？

• スケール不変性

• ベータ関数は消えない

• 固有値は虚数

繰り込み群の局所的・大域的構造 を調べることが重要

 特に場の理論の自由度

知られている事実

• 1+1

• d+1

d+1>4

• d+1 = 4

• C-

ザモロドチコフ・ポルチンスキーの

定理 (1988):

次の仮定の下で、スケール不変な

（１＋１）次元の場の理論は共形不 変である。

1. 理論がユニタリである 2. ポアンカレ不変

3. スペクトラムが離散

(4). スケール変換のカレントが存在

場の理論の証明

ザモロドチコフにしたがって C を定義する

繰り込み群の固定点では なので 

 C-定理!

４次元では … ？？

• 厳密な証明はまだ存在しない

• 繰り込み可能なスケール不変な古典作用は 共形不変

• 摂動論ではスケール不変共形不変？

（Luty-Rattazzi-Polchinski）

• 摂動論で存在するとしたら繰り込み群は cyclic になる

• しかし、その場合 a-定理と矛盾する

リミットサイクル？

• スケール不変性

• ベータ関数は消えない

• 固有値は虚数

• a定理と矛盾

4

a-

ε-

• ４次元の conformal anomaly a は繰り込み群に 沿って単調減少

• Komargodski と Schwimmer は CFT 間のフロー に対して物理的な「証明」を与えた

• 彼らの証明は fixed point がスケール不変であるが 共形不変でないときは適用できない

• 共形不変でないがスケール不変でない場合にも摂 動論で調べることができる。

• ポルチンスキーらによると、a が（ほとんどの場合）

減り続けるので不合理

• 将来の完全な証明が望まれる！

Part 2. 重力による証明

重力側からの主張

スケール不変性を持つ場の配位



AdS

ヌル・エネルギー条件と運動 方程式から出す

まずは幾何から始めよ

d+1

d

AdS

物質場は共形不変性を破る？

非自明な物質場の配位は

AdS

Example 1:非自明なベクトル場

Example 2: 非自明なｄ－１フォーム場

しかし、実はそのような非自明な配位は ヌル・エネルギー条件を破る

Null energy condition:

(例)

基本的に、ヌル・エネルギー条件は、m² と λが正である

（＝安定性）を要求して、その元で、 a = 0 が導ける。

ホログラフィック

c-

ホログラフィック c-定理 によると:

ヌルエネルギー条件は strong c-theorem を導く

厳密なヌルエネルギー条件は計量の正値性と strongest c-theorem を導く

ベータ関数とビリアルカレントの変換の自由度  シグマ模型はゲージ化される

ユニタリゲージでは、ベータ関数がビリアルカレントで書ける（スケール不変 だが共形不変でない）  （バルク）ベクトル場の凝縮

仮定の検証

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– 計量の対称性としてあからさまに仮定

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– バルクの場の数が可算有限個だと 暗に仮定

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– おそらく、ヌル・エネルギー条件と深く関わっ ている。ブラックホールの熱力学法則や解 の安定性と深い関係。

(strict) null energy condition

• ブラックホールホログラフィーでの意味

• Null energy condition はブラックホールのホ ライズンの面積が非減少であるという証明の ために十分条件を与える

• ブラックホールエントロピーは単調増加

• ヌルエネルギー条件があるとタイムマシンを作 ることができない

• 周期的繰り込み群 ＝ タイムマシン

まとめ

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5

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