数学スイスイ３年生

≪草加っ子の基礎・基本≫

数学問題集

数学スイスイ３年生

～中学校３年生で必ず身につけたい計算の力～

名前

≪草加っ子の基礎・基本≫

数学問題集

数学スイスイ３年生

～中学校３年生で必ず身につけたい計算の力～

中学校　３年　　 組　　　番

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保護者の皆様へ

「算数スイスイ６年生」について

算数は、学習してきたことを土台として学び、積み重ねていく教科です。そのため、今年度 学習したことをきちんと身に付け、進級することが大切です。

この問題集は、草加市内の全ての小学６年生に基礎的な計算力が確実に身に付くように、

草加市算数・数学学力向上プロジェクトチームが作成し、市内全ての小学６年生に配布しまし た。

問題につきましては、『草加っ子の基礎・基本の基礎学力「計算」』で示される内容を中心に 構成し、児童が自主的に取り組む中で、ポイントが分かるようにしました。

学習の終わりや学期、年度の区切りなどに繰り返し取り組むことで、６年生で身に付けるべ き基礎的な内容が確実に定着します。

学校の授業や補習の教材としてだけでなく、毎日の家庭学習においても繰り返しご活用くだ さい。

　数学は、学習してきたことを土台として学び、積み重ねていく教科です。そのため、

今年度学習したことをきちんと身に付け、進級することが大切です。

　この問題集は、草加市内の全ての中学３年生に基礎的な学習内容が確実に身に付くよ うに、草加市算数・数学学力向上プロジェクトチームが作成し、市内全ての中学３年生 に配布しました。

　問題につきましては、「草加っ子の基礎・基本の基礎学力『計算』」で示される内容を 中心に構成し、生徒が自主的に取り組む中で、ポイントが分かるようにしました。

　学習の終わりや学期、年度の区切りなどで繰り返し取り組むことで、中学３年生で身 に付けるべき基礎的な内容が確実に定着します。

　学校の授業や補習の教材としてだけでなく、毎日の家庭学習においても繰り返しご活 用ください。

保護者の皆様へ

「数学スイスイ３年生」について

目　次

1 章　多項式の計算

p.1 〜 7

　1　多項式と単項式の乗除 p.1 　2　多項式の乗法 p.2 〜 3

　3　乗法公式 p.4

　4　いろいろな式の展開 p.5 〜 7

2 章　因数分解

p.8 〜 15

　1　因数分解 p.8

　2　公式を利用する因数分解 p.9 〜 12 　3　いろいろな因数分解 p.13 〜 15

3 章　平方根

p.16 〜 17

　1　平方根 p.16

　2　無理数と有理数 p.17

4 章　根号をふくむ式の計算

p.18 〜 28

　1　根号をふくむ式の乗除 p.18 〜 22 　2　根号をふくむ式の加減 p.23 〜 26 　3　根号をふくむ式のいろいろな計算 p.26 〜 28

5 章　2 次方程式

p.29 〜 38

　1　平方根の考えを使った解き方 p.29 〜 32 　2　2 次方程式の解の公式 p.33 〜 34 　3　因数分解による解き方 p.35 〜 36 　4　いろいろな 2 次方程式 p.36 〜 38

6 章　関数

y

a x

p.39 〜 40

　1　関数

y

a x

y

a x

7 章　円

p.41

　1　円周角の定理 p.41

8 章　三平方の定理

p.42

　1　三平方の定理 p.42

●　確認問題

p.43 〜 46

●　草加市数学検証問題

p.47

1　多項式と単項式の乗除

（教科書P.8 を確認しよう。）

（教科書P.9 を確認しよう。）

分配法則を 使う

分配法則を 使う

除法を 乗法になおす

除法を 乗法になおす 1 章　多項式の計算

【ポイント】

　多項式と単項式の乗法や多項式を単項式でわる除法は，分配法則a（b＋c）＝ab＋acを 使って計算できる。

●多項式と単項式の乗法

【例題】　次の計算をしなさい。

　（1）　3a（2a－ 5b） 　

　　＝ 3a× 2a－ 3a× 5b 　 　　＝ 6a²－ 15ab

　（2）　（3

x

y

y

　　＝ 3

x

y

y

y

y

xy

y

y

【問 1 】次の計算をしなさい。

　（1）　4

x

x

y

a

　（3）　（3

x

y

x

b

●多項式を単項式でわる除法

【例題】　次の計算をしなさい。

　（1）　（6

xy

x

y

x

ab）÷

─3

a

xy

x

y

2

x

ab）×

a

xy

─2

x

x

y

─2

x

─

a

ab

─

a

y

xy

【問 2 】次の計算をしなさい。

　（1）　（12a²

b

x

y

xy

xy

─2

a

x

y

xy

─2

xy

xy 3x 4y 12 分配法則を使ってかっこをはずす

項を並べかえる 同類項をまとめる

●

①●②

●

③

●

④

2　多項式の乗法

●やや複雑な計算

【例題】次の計算をしなさい。

　　3a（5a－ 1）－ 2a（8a＋ 3）

　＝ 15a²－ 3a－ 16a²－ 6a 　＝ 15a²－ 16a²－ 3a－ 6a 　＝－

a

【問 3 】次の計算をしなさい。

　（1）　4a（2a＋ 5）－ 3a（3a＋ 6） （2）　－ 3

x

x

x

x

【ポイント】

　単項式や多項式の積の形の式を，かっこをはずして単項式の和の形に表すことを，

はじめの式を展^てん開^かいするという。

（a＋b）（c＋d）＝a^①c＋a^②d＋b^③c＋b^④d

●多項式と多項式の乗法

【例題】次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

y

　　　＝

xy

x

y

（ x ＋ 4）（ y ＋ 3）

　（2）　（2

x

x

　　　＝ 2

x

x

x

　　　＝ 2

x

x

【問 4 】次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

y

　（3）　（

x

x

（教科書P.11 を確認しよう。）

（教科書P.12 を確認しよう。）

練 習 問 題

1　次の計算をしなさい。

　（1）　2

x

x

y

b）

　（3）　5

y

x

y

a（a

　（5）　（4a－ 3b－ 6）× 2a （6）　（3

x

y

x

2　次の計算をしなさい。

　（1）　（12

x

x

x

b

　（3）　（2a²＋

ab）÷

─2

a

x

y

xy

─5

xy

3　次の計算をしなさい。

　（1）　3a（2a－ 1）－ 4a（a－ 2） （2）　－

x

x

x

x

4　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

y

x

y

　（3）　（

x

x

a

a

（教科書P.14 を確認しよう。）

（教科書P.15 を確認しよう。）

（教科書P.16 を確認しよう。）

3　乗法公式

〈公式 1〉　（x＋a）（x＋b）＝x²＋（a＋b）x＋ab

●X＋aとX＋bの積

【例題】　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

x

x

　　　＝

x

x

x

x

　　　＝

x

x

x

x

【問 1 】　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

x

x

〈公式 2〉　（x＋a）²＝x²＋ 2ax＋a²

〈公式 3〉　（x−a）²＝x²− 2ax＋a²

●和の平方　差の平方

【例題】　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

　　　＝

x

x

x

x

x

x

x

x

【問 2 】　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

〈公式 4〉　（x＋a）（x−a）＝x²−a²

●和と差の積

【例題】　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

x

x

x

x

　　　＝

x

x

【問 3 】　次の式を展開しなさい。

（教科書P.16 を確認しよう。）

（教科書P.19 を確認しよう。）

4　いろいろな式の展開

（教科書P.18 を確認しよう。）

●いろいろな式の展開

【例題】　次の式を展開しなさい。

　①　（3

x

x

x

x

　　＝ 9

x

x

　　＝（5a）²＋ 2 × 3b× 5a＋（3b）² 　　　　　5a＝A，3b＝Bとおくと 　　＝ 25a²＋ 30ab＋ 9b² 　　　　　（A＋B）²＝A²＋ 2AB＋B²

【問 1 】次の式を展開しなさい。

　（1）　（2a－ 5）（2a＋ 8） （2）　（3

x

y

　（3）　（2

x

y

x

y

x

y

●式の展開と加法，減法を組み合わせた式の計算

【例題】　次の計算をしなさい。

　（3

x

x

x

＝ 9

x

x

x

x

＝ 9

x

x

x

x

＝ 7

x

x

【問 2 】　次の計算をしなさい。

　（1）　（

x

x

x

　（2）　3（a＋ 7）（a－ 1）－（2a＋ 5）（2a－ 5）

練 習 問 題 1

1　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

x

x

　（3）　（a＋ 8）（a－ 3） （4）　（

x

x

2　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

y

3　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

x

x

4　次の式を展開しなさい。

　（1）　（6a＋ 1）（6a＋ 4） （2）　（2

x

y

　（3）　（4a－ 3b）² （4）　（5a＋ 8b）（8b－ 5a）

　（5）　2（

x

x

x

x

練 習 問 題 2

1　次の計算をしなさい。

　（1）　2

x

x

b）×（－ 5a）

　（3）　（21ab－ 49a）÷ 7a （4）　（40m²

n

2　次の式を展開しなさい。

　（1）　（

a

b

x

x

　（3）　（

y

y

x

y

　（5）　（7a＋

b）（7a

b）

3　次の計算をしなさい。

　（1）　（

x

x

x

　（2）　（2

x

x

x

　（3）　（ 1

─3

x

─3

x

1　因数分解

（教科書P.23 を確認しよう。）

2 章　因数分解

●因数分解

【ポイント】

　2

xy

x

y

xy

x

y

　このとき，2 と

x

y

xy

x

x

x

x

x

x

x

x

　このとき，

x

x

x

x

x

x

x

x

多項式をいくつかの因数の積として表すことを，その多項式を因^いん数^すう分^ぶん解^かいするという。

因数分解

x

x

x

x

展　開

●共通因数

【ポイント】

　多項式の各項に共通な因数があるとき，それをかっこの外にくくり出して 式を因数分解することができる。

【例題】　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　

xy

y

b

　 　＝

x

y

y

y

a

b

b

a

a

b

y

xy

【問】次の式を因数分解しなさい。

　（1）　a

x

b x

x

x

x

y

x

x

y

xy

　（5）　9

xy

x

y

x

x

x

2　公式を利用する因数分解

（教科書P.24 を確認しよう。）

〈公式 1'〉　x²＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）

●多項式を因数分解する　公式 1'

【例題】

（1）　

x

x

x

x

b

　したがって，和が 6，積が 8 になる数

a，b

　2 つの数の積が 8 になる数の組のうち 　和が 6 になるのは，2 と 4 であるから，

x

x

x

x

（2）　

x

x

x

x

b

　したがって，和が－ 2，積が－ 15 になる数

a， b

　2 つの数の積が－ 15 になる数の組のうち 　和が－ 2 になるのは，3，－ 5 であるから 　　

x

x

x

x

【問】次の式を因数分解しなさい。

　（1）　

x

x

x

x

　（3）　

x

x

x

x

　（5）　

x

x

x

x

　（7）　

x

x

x

x

x²＋（a和

＋b）x＋a積 b

x²＋　　6　　x＋ 8 積が 8 和が 6

1， 8 ×

－ 1，－ 8 ×

2， 4 ○

－ 2，－ 4 ×

x²＋（a＋b）x＋　 ab　 x²＋（－ 2）x＋（－15）

積が－ 15 和が－ 2

－ 1， 15 × 1，－ 15 ×

－ 3， 5 ×

3， － 5 ○

（教科書P.25 を確認しよう。）

〈公式 2'〉　x²＋ 2ax＋a²＝（x＋a）²

〈公式 3'〉　x²− 2ax＋a²＝（x−a）²

●多項式を因数分解する　公式 2'　公式 3'

【例題】

（1）　

x

x

　　　　6 ＝ 2 ×3，9 ＝3²

　　　であるから，公式 2'を利用して 　　　　

x

x

　　　＝

x

x

x

（2）　

x

x

　　　　8 ＝ 2 ×4，16 ＝4²

　　　であるから，公式 3'を利用して 　　　　

x

x

　　　＝

x

x

x

【問】次の式を因数分解しなさい。

　（1）　

x

x

x

x

　（3）　

x

x

　（5）　

x

x

x

x

　（7）　

y

y

x

x

　（9）　

x

x

x

x

x

x

x

x

練 習 問 題

（教科書P.26 を確認しよう。）

〈公式 4'〉　x²−a²＝（x＋a）（x−a）

●多項式を因数分解する　公式 4'

【例題】　

x

x

x

　　　　　 ＝（

x

x

【問】　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　

x

x

　（3）　

x

a

　（5）　16 －

x

x

1　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　

x

x

　（3）　a²－ 26a＋ 48 （4）　

y

y

　（5）　

x

x

y

y

　（7）　

y

x

練 習 問 題

2　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　6

x

x

　（3）　

x

x

x

x

　（5）　

x

x

3　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　4a²

b

x

x

　（3）　

x

x

y

y

　（5）　

x

x

y

　（7）　pm－

qm

y

y

　（9）　

x

x

x

かっこの中を因数分解する（公式 1'の利用）

共通な因数をくくり出す

かっこの中を因数分解する（公式 4'の利用）

共通な因数をくくり出す

（教科書P.27 を確認しよう。）

3　いろいろな因数分解

●いろいろな式の因数分解

【例題】　4

x

x

　　　4

x

x

x

x

　　＝ 4（

x

x

【例題】　5

x

　　　5

x

x

　　＝ 5（

x

x

【問】　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　5a²＋ 5a－ 60 （2）　－ 3

x

x

　（3）　9

y

y

　（5）　－ 18

x

x

y

xy

y

　（7）　a

x

x

x

b

x

　（9）　2

x

x

x

x

（教科書P.27 を確認しよう。）

（教科書P.27 を確認しよう。）

公式 2'の利用　　　X²＋ 2X＋ 1 ＝（X＋ 1）²

2x＝Xとおいて，4x²＋ 4x＋ 1 ＝X²＋ 2X＋ 1 とみる

公式 3'の利用　　　X－ 2A＋A²＝（X－A）²

4y＝Aとおいて，x²－ 8xy＋ 16y²＝X²－ 2A＋A²とみる

公式 4'の利用　　　x^2－a^2＝（x^＋a^）（x^－a^）

【例題】

（1）　4

x

x

　　4

x

x

　＝（2

x

x

x

（2）　

x

xy

y

x

xy

y

　＝

x

y

x

y

x

y

【問 1 】次の式を因数分解しなさい。

　（1）　4a²＋ 4a＋ 1 （2）　

x

xy

y

　（3）　9

y

y

【例題】　9

x

y

　　9

x

y

x

y

　＝（3

x

y

x

y

【問 2 】　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　4

x

y

y

　（3）　49 － 9a² （4）　－ 16

x

y

練 習 問 題

1　次の式を因数分解しなさい。

　（1）　8m²

n

x

x

　（3）　

x

x

y

y

　（5）　

x

x

　（7）　3

x

x

　（9）　49

x

y

x

xy

y

　（₁₁）　3

x

x

x

x

1　平方根

（教科書P.41 を確認しよう。）

（教科書P.42 を確認しよう。）

3 章　平方根

2 乗（平方）

平方根

√

－

√

3

－ 3 9

● 2 乗してaになる数

【ポイント】

　ある数

x

a

x

a

x

a

　・正の数には平方根が 2 つあって，絶対値が等しく，符号が異なる。

　・0 の平方根は 0 だけである。

　・負の数には平方根はない。

【例題】　9 の平方根をいいなさい。

　　3²＝ 9，（－ 3）²＝ 9

であるから，9 の平方根は，3 と－ 3 である。

（3 と－ 3 を 2 つまとめて，± 3 と書いてもよい）

【問 1 】　次の数の平方根をいいなさい。

　（1）　16　　　　　　　　（2）　49　　　　　　　　（3）　 4

25─　　　　　　　　（4）　0.25

【ポイント】

　aが正の数であるとき，aの 2 つの平方根のうち 　　正のほうを　　　√a　（ルート

a

　　負のほうを　　－√a　（マイナスルート

a）

　と書く。

　この記号√ を根^こん号^ごうという。

【例題】　5 の平方根をいいなさい。

√

√

√

【問 2 】次の数の平方根をいいなさい。

　（1）　3　　　　　　　　（2）　10　　　　　　　　（3）　0.5　　　　　　　　（4）　 2

─3 2 つをまとめて

±√a（プラスマイナスルート

a）

と書くこともある。

2 乗（平方）

平方根

（教科書P.43 を確認しよう。）

√ a

－

√ a a

2　無理数と有理数

（教科書P.44 を確認しよう。）

【ポイント】

　一般に，

a

（√a）²＝a

（－√a）²＝a

【例題】　

√

√

√

√

　　－

√

√

【問 1 】　次の数を根号を使わずに表しなさい。

　（1）　

√

√

【ポイント】

　5 ＝ 5

─1 ，0.6 ＝ 3

─5 のように，aを整数，bを 0 でない整数としたとき，

─

a

b

　いっぽう，

√

　nが自然数のときの

√ n

自然数の 2 乗になっているとき以外は無理数である。

　また，円周率πも無理数である。

　（例）　－

√

√

√

√

√

√

【問 2 】　次の数のなかから，無理数を選びなさい。

　㋐　－ 3　　　　　㋑　0.5　　　　　㋒　

√

√

2 乗（平方）

平方根

16 ＝ 4²，16 ＝（－ 4）² であるから

16 の平方根は± 4

1　根号をふくむ式の乗除

（教科書P.50 を確認しよう。）

（教科書P.50 を確認しよう。）

4 章　根号をふくむ式の計算

●平方根の乗法

【ポイント】

　a，bを正の数とするとき

√a ×√b ＝√a b， √a

─√b ＝

√

【例題】　次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

√

─

√

√

　　　＝

√

√

　　　＝

√

√

＝ 2

【問 1 】　次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

√

√

　（3）　

√

√

√

√

【例題】　次の数を

√ a

　3

√

√

√

√

√

√

√

　　　 ＝

√

√

【問 2 】　次の数を

√ a

　（1）　2

√

√

　（3）　4

√

√

練 習 問 題

1　次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

√

√

　（3）　

√

√

√

√

　（5）　

√

√

√

√

　（7）　

√

─

√

√

√

2　次の数を

√ a

　（1）　2

√

√

　（3）　4

√

√

　（5）　3

√

√

（教科書P.51 を確認しよう。）

素因数分解する

（教科書P.54 を確認しよう。）

【ポイント】

　根号の中の数が，ある数の 2 乗との積になっているときは，変形をして根号の中の数はで きるだけ小さい自然数にしておく。

　　√a²×b ＝a√b

●根号のついた数の変形

【例題】次の数を

a √ b

　（1）　

√

√

√

√

＝

√

√

√

√

√

＝ 3

√

√

＝ 6

√

3

【問 1 】次の数を

a √ b

　（1）　

√

√

　（3）　

√

√

　（5）　

√

√

●根号をふくむ式の乗法

【例題】次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

＝ 3

√

√

＝ 3 × 2 ×

√

√

＝ 6

√

　（2）　

√

√

＝

√

√

＝

√

＝

√

＝

√

√

＝ 2

√

【問 2 】次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

√

√

練 習 問 題

1　a

√ b

　（1）　

√

√

　（3）　

√

√

　（5）　

√

√

2　次の計算をしなさい。

　（1）　

√

√

√

√

　（3）　

√

√

√

√

　（5）　

√

√

√

√

　（7）　

√

√

√

√

（教科書P.53 を確認しよう。）

●分母の有理化

【ポイント】

　分母と分子に分母と同じ根号の数をかけると，

分母に根号がない形に表すことができる。

　分母に根号がない形に表すことを分母を有理化するという。

【例題】　次の数を分母に根号がない形に表しなさい。

　（1）　

√

─

√

√

√

─

√

√

─3

√

√

√

√

　　　　　　　 ＝

√

─2 　　　　　　 ＝ 2 ×

√

─3 × 6

＝

√

─9 　

【問 1 】　次の数を分母に根号のない形に表しなさい。

　（1）　

√

√

─2

√

【問 2 】　次の分母を有理化しなさい。

　（1）　

√

√

─2

√

　（3）　 1

√

√

√ a

─

√ b

√ a

√ b

─

√ b

√ b

√ a b

─

b

1

3

（教科書P.55 を確認しよう。）

（教科書P.56 を確認しよう。）

2　根号をふくむ式の加減

【ポイント】

　同じ数の平方根をふくんだ式は，同類項をまとめるのと同じようにして 簡単にすることができる。

●平方根の加法・減法

【例題】

　（1）　3

√

√

√

√

＝（3 ＋ 4）

√

√

＝ 7

√

√

【問 1 】　次の計算をしなさい。

　（1）　7

√

√

√

√

【例題】　次の計算をしなさい。

　　 4

√

√

√

√

　＝ 4

√

√

√

√

　＝（4 － 2）

√

√

　＝ 2

√

√

【問 2 】　次の計算をしなさい。

　（1）　4

√

√

√

√

　（2）　5

√

√

√

√