超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アル ゴリズム

超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アル ゴリズム

著者 橋本 直樹

雑誌名 東京家政大学研究紀要 2 自然科学

巻 48

ページ 29‑51

発行年 2008

出版者 東京家政大学

URL http://id.nii.ac.jp/1653/00010797/

〔東京家政大学研究紀要 第48集（2），2008，pp．29〜51〕

超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

  橋本直樹

（平成19年10月4日受理）

ACondition of the Aasymptotic Expansions of an Oscillating  Integral on a Hypersurface and the Computing Algorithm

 HAsHIMoTo， Naoki

（Received on October 4，2007）

キーワード：振動積分，漸近展開

Key words：oscillating integral， asymptotic expansion

1．はじめに

  （f，g）：（Rn，0）→（R2，0）をRnの原点の近傍での解析関数の芽とする。 f（x）を phase関数、 g（κ）＝0を束縛方程式とした超曲面上の振動積分の漸近展開の方法を文献［1］

で提示した。そこでは、次の積分を実数パラメータτの大きい値に対して漸近展開する。

1（τ・OP）＝＝ f。． ・ τf（x）δ（9（x））ψ（x）dU

（1）

ここで、ψ∈C3（Rn）で、δ（g（x））は拘束g（x）＝0を表すdelta関数である。この振動積 分が異常積分とならないための条件を具体的な関数型について調べる。文献［1］ではその条 件を「関数gが！に対してαクラス」条件として定義した。なお、もし混乱をきたさない ならばこの条件を単にαクラス条件と呼ぶことにする。本稿では、このαクラス条件を満 たす関数が多く存在することを示す。その関数型は重み付き同次多項式で、原点での孤立 特異点がA，D，Eタイプとして分類されるものである。

 αクラス条件はその漸近展開から振動積分指数が求められる条件となるが、特異点の特 徴付けも分類できる可能性がある2）。以下2節でNewton図形とαクラス条件の解説をし て、3節でその条件を計算するためのアルゴリズムを示す。4節で調べる関数型を分類し、

5節で計算の結果を示す。

英語英文学科 第3英語コミュニケーション学研究室

橋本 直樹

2．Newton図形とαクラス条件

 文献［1］で示したように我々はトーラス埋め込みの方法を用いて振動積分の漸近展開を構 成した。その方法はOka2，3）の理論に基づいている。

 h（z）一Σ・vZvをcnにおける角翠析関数としたとき、r．（h）によりN・wt・n多面体、 r（h）

でNewton図形を表す。 r．（h）は、 a．≠0となるvの｛レ＋Rn｝の合併集合の凸包で、 r（h）

は、r．（h）のコンパクトな面の合併集合である。 Rnの双対空間を、ユークリッド内積によ りRnと同一視する。この同一視の下で、2＞＋を正の双対整数ベクトルの集合とする。 N＋の        i7 要素P− （P、，…，P，，）を双対重み付きベクト・レ（dual w・ight v・・t・・）、またP（」C）一Σ鮎        i＝1

（κ，∈R 7）として次の諸量を定義する：

d（P；h）＝min｛P（x）；x∈r．（h）｝ ^（2）

△（P；h）＝｛x∈1「＋（h）；P（κ）＝d（P；h）｝ ^（3）

そして、face関数を次の式で定義する。

       h・−h・，P、h）一ΣVEA，p；h）・．Zγ       （4）

h＝f・gとしてノV＋の空間上に同値関係 〜 を入れる。そこではP〜9が

△（P；f）＝△（9；f）および△（P；g）＝△（9；g）のときかつそのときに限り成立するとする。

この同値類をノV＋の双対Newton図形といい、 r＊ih）又はr＊（f，g）で表す。これは、ノ〉＋の       ホ       ホ多面体分割を定義する。Σをr（f，g）の固定したユニモジュラーな単体分割とする。以下        ＊で扱う双対整数ベクトルはこのΣの要素で、単に双対ベクトルと言うことにする。

 振動積分（1）においては！（x）、g（κ）が実数値実解析関数として与えられるが、その 変数を複素数に拡張して複素解析関数としての完全交差代数多様体に対するトーラス埋め 込みの理論12・3・4）を適用する。その結果得られるトーリック多様体X（r）（r＝r（f，g））の 実形をy（F）と書くことにする。これは、そのX（r）での座標変換がすべて実数で書かれる ことから意味を持っている。

定義1 （f，g）：（cn，0）→（C2，0） で f（6）＝g（6）＝0とするとき、

V：＝｛z∈σ⊂Cn；！（z）＝g（z）＝0｝がNewton図形に関して原点で非退化完全交差代 数多様体とは、任意の双対ベクトル1）に対して、2・form df．〈dgpが

V iP）＝｛z∈C n；fp＝g．＝0｝上で0にならないこととする。

超曲面⊥の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルコリズム

以下、関数∫，gの各項の係数をジェネリックにとり、Vを非退化完全交差代数多様体であ るとして議論する。

定義2任意の双対ベクトルP− （Pi・・…Pn）に対してlPl一Σ1、1Piとするとき・

  指数α（P，g）を次の式で定義する。

         α（P，9）：＝IPI−1−d（P，9）

この指数は、特異点解消写像π：y（r）→Rnを（1）の被積分関数に施したときのべき指 数になるので、振動積分の挙動に大きく関係する。前述のαクラス条件を次に定義する。

定義3 関数gが、関数fに対してαクラスであるとは、r（！，g）の双対ニュートン図形  の単体分割Σ＊の任意の双対ベクトルPに対して、α（P，g）≧0となることである。

3．指数α（P，g）の計算アルゴリズム

 以下ではすべてn＝3として計算する。定義2で見たように指数α（P，g）は、双対ベクト     ホ

ル君∈Σ （iは有限）に対して、

α（君，9）＝1君 1−1−d（君，9） （5）

により定義された。この値をすべての双対ベクトル君∈Σ＊に対して数値的に計算するには プログラミングする方がよい。その計算アルゴリズムを示す。

①関lk f，gの双対Newton図形r＊（f，g）を構成する：f， gの積から得られるすべ   ての項のべき指数から3単体をつくり、それらの整数格子点から第1象限に凸包   を構成する。原点に対する凸体を作成するために、CROSSアルゴリズム5）を作  成した。この結果、有限個の双対ベクトル君が得られる。

②各双対ベクトル君に対して、（2）式からd（君，g）および、 IR．1を計算する。

③（5）式からすべての双対ベクトル君に対して、それぞれα（君，g）を計算する。

④Newton図形を3次元グラフィックスで図示する。

ここで、④のグラフィックスによる図示は、さまざまな多項式のタイプすなわちNewton 図形を分類するのに非常に役立つ。原理的に、数式上ですべての分類を行うことができる が、視覚化することによりその処理の速度が格段に速まる。

橋本 直樹

 以上の計算アルゴリズムをプログラミングすることで、関数f，gのべき指数を数値的に 与えた場合には、コンピュータで直ちに計算できる。個々の計算量は多くないので、プロ グラミング言語としてどのようなものを使用してもよいが、式のたびたびの変更と、3次元 グラフィックスの容易さからBasic言語を用いた。 Java言語はその次の候補である。 C言 語やc＋＋言語でプログラミングしても同様の結果が得られるがその開発労力が膨大になる だけでメリットは少ない。一方、多項式の指数に変数を含むものは、コンピュータ計算に は不向きなので手計算による証明が必要になる。

4．関数型の分類

 本節では、振動積分のphase関数fと、束縛方程式の関数gに3変数（n＝3）の多項式で、

原点に孤立特異点を持つタイプを選択し、その組み合わせを分類する。特異点の解消グラ フの分類によりA、D、 Eタイプとして知られている次の関数型を用いる2）。ここでkは整 数である。

A，：X2＋ア2＋ノ＋1（k≧1）

D，：x2＋．yk｝1＋）〜z2@（k≧4）

E、：X2＋ア3＋Z4 ^（6）

E，：X2＋ア3＋アZ3

E8：X2＋ア3＋Z5

このタイプの関数のすべての組み合わせをf、gに適用する。 E，、 E，、 E8は、その多項 式の指数がすべて数値的に与えられているので、前節のα（P，g）計算アルゴリズムをプログ ラム化したものによりコンピュータですべて計算できる。超局面でその特異点がA、D、 E タイプに分類されるものは、上述の多項式以外にも多数存在するが、その多くは適当な座 標変換により上の形に変形できる。しかし、我々の場合は2つの関数f、gを同時に座標 変換することが必要になるので、A、 D、 Eのタイプを保ったまま、2つの関数を同時に変 形することは別途研究を要する。従って、以下得られる結果は、上のように与えられた関 数型の場合に限っての結果となる。

 関数f、gに対し、 A、 D、 Eのいずれかの1つを選択する場合に、座標の入れ換えの対 称性を考慮する必要がある。fのタイプを一つ固定し、 gを考えるときgを上の5つの関 数の中から一つ選択する。その場合、座標の入れ換えの対称性がある。例えば、gにE7の タイプの関数を割り当てた場合、3変数のどのような入れ換えでもそれらはすべて同じタイ

超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

プである。これをE，（1）〜E，（6）とすれば、以下のように6通り存在し、これらはすべて E，タイプとなる。

E，（1）：X2＋ア3＋XZ3

E，（2）：x3＋ア2＋アz3

E，（3）：x3z＋y3＋z2

E7（4）：x2＋xア3＋z3

E，（5）：x3ア＋ア2＋z3

E，（6）：x3＋ニソ3z＋z2

従って、fとgを対で扱う場合特別な座標の対称性がない限り、1つのfに対しgのこれ らの6つの同じタイプに属するものとの対も調べる必要がある。このため、A、 D、 Eタイ プにインデックスをつけてA（1）〜A（6）、D（1）〜D（6）、E（1）〜E（6）とする。それぞれが 3変数の巡回置換e，（12），（13），（23），（123），（132）を行って得られる多項式である。eは 恒等置換を表す。Aタイプは、κとyの座標の入れ換えに対し同一なので、必ずしも6種 類のすべてを考えなくてもよい場合もあることに注意する。fとgがEタイプの場合、次 のような組み合わせがある（ただし4＝1，＿，6とする）。

         f−一一9        ！−9      f−9          E・rE・（の   E・＼…E・（e）  Eぎ一・E、（e）

       ぐ＼E，（e）     ＼E，（e）

       ＼E8（e）

関数∫のタイプにはインデックスを付けていないが、これらはすべてE，＝E，（1），

E，＝E，（1），E，＝E8（1）とした。 fとgのいずれかにA、 Dタイプを含むものは、その関 数の多項式の指数に変数が存在するので、コンピュータを用いずに分析・計算をする。そ のため以下の計算上の分類をする。

奄場叫 プ瓦4以4  ①②③④

（∫，〆＝6，7，8）

（ん≧1， ＝6，7，8）

（ん≧4， ＝6，7，8）

（k≧1，kt≧1）

橋本 直樹

のの乏≧んパ4︐1・≧≧・κん︵︵

記ダ

DD

一 一ゐ をDオ

⑤⑥

ここでは、fとgに対して非対称に分類しているが、次の補題によりfとgの入れ換えが 容易に計算できるので、fとgに対して対称的な結果を得ることが出来る。

補題4 振動積分（1）のphase関数！と束縛方程式の関数gを入れ換えたときの   指数α（君，f）は 元の指数α（君，g）と次の関係式が成立する。

       α（1〜，f）＝α（．il，9）十d（1≧，9）−d（」「1，f）      （7）

（証明）

   V＝｛z∈σ⊂cn；f（z）＝g（z）＝0｝に対するトーラス埋め込みは、 fとgの入れ換 えに対して不変である。特異点解消写像により座標変換をした元の振動積分の被積分関数 の中のべき指数αはfとgを入れ換えた場合異なるが、 1君1，d（R，9）， d（．il，f）は双方 で同一なので、定義2により

      α（君，f）＋d（R，f）＝α（R，9）＋d（R，9）

が成立する。

       （証明終り）

この補題から、α（君，g）とd（君，g）、 d（君，f）が得られれば直ちにα（君，f）が求まる。

従って、fとgの関数のタイプを入れ換えた時、これらの量もα（君，g）計算の過程で同時 に求めることが出来るので、上述の分類で、例えば④のA，−Dk，を計算することにより Dk−Akrも同様に求めることが可能である。

5．計算結果と結論

 前節の関数型の①〜⑥分類により分析をする。はじめに関数の多項式の指数が数値で与 えられる①の分類：E，−E，1（i，i「＝6，7，8）について次の結果が得られる。

補題5 fとgをE6， E7， Esのタイプの関数のうちの一つとする。このとき、双対  Newton図形F＊（！，g）のΣ 内のすべての双対ベクトル1）に対しα（P， g）≧0が成立する。

 即ち、関数fに対してそのgはαクラスとなる。

（証明）

  すべての場合について各双対ベクトル君をすべて構成しα（R・．9）をコンピュータで計 算した。君の個数は、組み合わせごとに異なるので、個々に調べる必要がある。プログラ

ミングのチェックも兼ねて手計算でも大半を調べ、そのプログラムの正当性を確認した。

α（R，9）の計算結果を次の表で示す。．ilの個数はα（．il，g）の個数と同じである。なお、計 算は補題4の性質を用いている。

        超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

表1は、E6 一 E，、 E，−E，、 E， 一 Esの場合に、α（君，g）を計算した結果である。

       表1E、−E、．7，、のα（P，9）

！ 9

E6（1） E6（2） E6（3） E6（4） E6（5） ^万6（6）

0 ^{0，0．4 0，1．6 0，0．3 0，2．4} 0，0．6

E7（1） E7（2） E7（3） E7（4） E7（5） E7（6）

E6

0，0．4 0．0 0，0．4 0．6 0，1．6 0，0．3

E8（1） E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

0．0 0，0．4 0，1．6 0，3．0 0，2．4 0，0．6

9

E6（1） E6（2） E6（3） E6（4） E6（5） E6（6）

0 ^4，0．0 6，1．0 0，3．0 6，0．0 0，2．4

E7（1） E7（2） E7（3） E7（4） E7（5） E7（6）

E6

0，2．6 2．0 10，2．4 6．0 10，1．0 0，6．0

E8（1） E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

0．6 10，2．0 8，1．0 0，0．12 8，0．0 6，12．0

表2は、E7−E，、 E，−Esの場合のα（君，g）の計算結果を示している。

      表2E，−E，，、のα（P，9）

！

9

E7（1） E7（2） E7（3） E7（4） E7（5） E7（6）

0 ^{6，0．0 0，0．6} 1，10．0 0．10 6．0

E7

E8（1） E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

6，0．4 0，0．0 0，0．10 6．0 0，0．6 1，10．0

9

E7（1） E7（2） E7（3） E7（4） E7（5） E7（6）

0 ^0，6．0 6，0．0 1，0．10 6．0 0．10

E7

E8（1） E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

0，10．2 0，0．2 12，6．0 0．18 12，0．0 1，0．18

橋本 直樹

表3は、Es−Esの場合のα（君，g）の計算結果である。

表3 E，−E，のα（P，g）

！

9

E8（1） E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

E8

0 ^{0，1．10 0，1．18 0，12．0} 0，6．12 0，18．0

9

E8（1） ．E8（2） E8（3） E8（4） E8（5） E8（6）

E8

0 10，1．0 18，1．0 0，0．12 18，0．0 6，0．12

以上の計算結果の表1、表2、表3で、α（君，g）値はすべて非負である。従って補題5は

証明された。

       （証明終り）

次に前節の②の分類：Ak−E、（k≧1， i＝6，7，8）について次の結果を得る。

補題6 fをAk（k≧1）、 gをE，， E，， E，のいずれか一つのタイプの関数とする。このと き、双対Newton図形r＊ ^{if，g）のZ} 内のすべての双対ベクトルPに対しα（1）， g）≧0が成 立する。また同様に、gをA，（k≧1）、 fをE，， E7， E8のいずれか一つのタイプの関数と

した場合もα（P，g）≧0が成立する。

（証明）

f−gがA，−E，（e） （k≧1，i＝6，7，8，4＝1．．．6）の場合を調べる。以下の表でkごとに分 類したα（君，g）の計算値を示す。 kが数値として与えられる場合はコンピュータでクロス チェックした。ここで、記号｛ao，b． ｝，は、変数んが奇数の場合がa、偶数の場合がbで あることを示している。変数が自明の場合は右括弧 ｝ 右下のkの表記は省く。右下の 添え字は偶奇性の他に、変数の範囲を示すためにも用いる。例えば、「k≧6：｛Oo，1E｝」は、

kが6以上の奇数のときは0、偶数の場合は1を表す。

       ・超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

表4は、A，−E，（k≧1）の場合にα（P，，g）を計算した結果で、 kによる場合分けが必要に

なる。

       表4A，−E，のα（P，g）

！ 9

E6（1） E6（2） E6（3）

ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0 ん≧1：0，0，

ん＝2：0，0，1 ん＝2：0，0，1 ｛（2ん一1）o，（ん一1）E｝

ん＝3：0，0 ん＝3：0，0

ん≧4：0，0， ん≧4：0，0，

4

E6（4） E6（5） ^一E6（6）

ん＝1：0，0，0 たニ1：0，0，0 ん＝1：0，0，0

ん＝2：0，1 ん＝2：0，1 ん＝2：0，0，3

ん≧3：0，1， ん≧3：0，1， ん≧3：0，0，

｛（ん一2）o，（2ん一3）E｝ ｛（ん一2）o，（2ん一3）五｝ ｛（k−1）o，（2ん一1）ε｝

9

E6（1） E6（2） E6（3）

ん＝1：4，2，0 ん＝1：6，2，0 ん≧1：6，2，｛Oo，IE｝

ん＝2：4，2，1 ん＝2：4，2，1

ん＝3：4，0 ん＝3：4，0

4

．E6（4） E6（5） E6（6）

ん＝1：6，2，0 んニ1：6，2，0 ん＝1：6，2，0

ん＝2：6，1 ん＝2：6，1 んニ2：6，2，1

ん≧3：6，1，｛Oo，1E｝ ん≧3：6，1，｛Oo，1ε｝ ん≧3：6，2，｛Oo，1ε｝，

      橋本直樹

表5は、Ak−E，（k≧1）の場合にα（君，g）の計算結果を示す。

       表5 Ak−E，のα（P， g）

プ 9

E7（1） E7（2） ^，E7（3）

ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0

ん＝2：0，1 ん＝2：0，1 ん≧2：0，0，

ん＝3：0，0，0 ん＝3：0，0，0 ｛（ん一1）o，（2ん一1）ε｝

ん＝4：0，1，2 ん＝4：0，2，1

ん＝5：0，0 ん＝5：0，0

ん≧6：0，0， ん≧6：0，0，

4

 ん一5

o（    ）。，（ん一4）ε｝  2  ん一5o（    ）。，（ん一4）ε｝  2

E7（4） E7（5） E7（6）

ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0 ん≧1：0，0，

んニ2：0，1 ん＝2：0，1 ｛（ん一1）o，（2ん一1）8｝

ん≧3：0，1， ん≧3：0，1，

｛（ん一2）o，（2ん一3）ε｝ ｛（ん一2）o，（2ん一3）ε｝

9 ^！

E7（1） E7（2） E7（3）

ん＝1：10，2，0 ん＝1：10，2，0 ん＝1：10，2，0

ん＝2：6，1 ん＝2：6，1 ん≧2：10，2，｛Oo，1左｝

ん＝3：6，2，0 ん＝3：6，2，0 ん＝4：6，1，4 ん＝4：6，4，1

ん＝5：6，0 ん＝5：6，0

4

 ん一5

o（    ）o，（ん一4）E｝，  2  ん一5o（    ）o，（ん一4）左｝，  2

E7（4） E7（5） E7（6）

ん＝1：10，2，0 ん＝1：10，2，0 ん≧1：10，2，｛Oo，IE｝

ん＝2：10，1 ん＝2：10，1

ん≧3：10，1，｛Oo，IE｝ ん≧3：10，1，｛Oo，1ε｝

       超曲面上の振動積分の漸近展開コ∫能条件と計算アルゴリズム

表6は、Ak−E8（k≧1）の場合にα（君，g）を計算結果である。

表6Ak−E8のα（P，9）

！

9

E8（1） E8（2） E8（3）

ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0 ん≧1：0，0，

ん＝2：0，1，0 ん＝2：0，0，1 ｛（k−1）o，（2ん一1）ε｝

ん＝3：0，0，0 ん＝3：0，0，0

ん＝4：0，1 ん＝4：0，1

4

ん≧5：0，1，

@｛（ん一4）o，（2ん一7）E｝

E8（4） E8（5） E8（6）

ん＝1：0，0，0 ん＝1：0，0，0 ん≧1：0，0，

ん＝2：0，1 ん＝2：0，1 ｛（k−1）o，（2ん一1）石｝

ん≧3：0，1， ん≧3：0，1，

｛（ん一2）o，（2ん一3）E｝ ｛（ん一2）o，（2ん一3）E｝

9 ^！

E8（1） E8（2） E8（3）

ん＝1：18，2，0 ん＝1：18，2，0 ん≧1：18，2，｛Oo，IE｝

ん＝2：12，1，6 ん＝2：12，6，1 ん＝3：10，2，0 ん＝3：10，2，0

4

ん＝4：10，1

T：10，1，｛Oo，1E｝

E8（4） E8（5） E8（6）

ん＝1：18，2，0 ん＝1：18，2，0 ん≧1：8，2，｛Oo，1ε｝

ん＝2：18，1 ん＝2：18，1 ん≧3：8，1，｛Oo，1ε｝ ん≧3：8，1，｛Oo，IE｝

以上の表4、表5、表6のα（君，g）値はすべて非負である。 従って補題6は証明された。

        （証明終り）

       橋本直樹

次に前節の3の分類：Dk−E，（k≧4， i＝6，7，8）について次の結果を得る。

補題7 fをD，（k≧4）、gをE，，．E，， E，のいずれか一つのタイプの関数とする。この

       ホ      ホとき、双対Newton図形r（！，g）のΣ内のすべての双対ベクトル1）に対しα（P， g）≧0が 成立する。また同様に、gをDk（k≧4）、 fをE，， E，， E8のいずれか一つのタイプの関 数とした場合もα（P，g）≧0が成立する。

（証明）

f−gがD々−E，（e） （k≧4，i＝6，7，8，4・1＿6）の場合を調べる。以下の表でkごとに分 類したα（．i），g）の値を示す。 kが数値として与えられる場合はコンピュータでクロスチェ

ックした。

 表7は、Dk−E，（k≧4）の場合のα（君，g）の計算結果である。

      表7Dk−E，のα（P， g）

！

9

E6（1） E6（2） E6（3）

ん＝4：0，0，0 T：0，0，2（ん一4）

ん≧4：0，0，2（ん一3） ん＝4：0，1，2

＝５：0，2

U：0，2，2（ん一4）

D々 E6（4） E6（5） E6（6）

ん＝4：0，0

＝５：0，0，0

U：0，0，0，2（ん一5）

ん≧4：4，0，2（ん一3） ん＝4：0，0，2

＝５：0，0，2

＝６：0，2

V：0，2，2（ん一5）

9

E6（1） E6（2） E6（3）

ん＝4：0，2，0 T：0，6，2，0

ん≧4：0，4，0 ん＝4：6，1，0

＝５：6，0 U：6，0，0

D々 E6（4） E6（5） E6（6）

ん＝4：0，3

＝５：0，1，0 U：0，1，0，0

ん≧4：2，6，0 ん＝4：4，2，0

＝５：4，0，0

＝６：4，0 V：4，0，0

       超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

表8は、Dk−E7（k≧4）の場合のα（R．，g）の計算結果である。

表8D， 一 E，のα（P，g）

∫

9

E7（1） E7（2） E7（3）

ん＝4：0，0

T：0，0，2（ん一4）

ん≧4：0，1，2（ん一3） ん＝4：0，1，2

＝５：0，2

U：0，2，2（ん一4）

E7（4） E7（5） E7（6）

D々 ん＝4：0，0

＝５：0，0，0

＝６：0，0，0

V：0，2，0，（ん一6），

@  ん一7

@ ｛（      ）。，（ん一6）。｝    2

ん≧4：2，0，2（k−3） ん＝4：0，2 T：0，

@  ｛2々＜9，（ん一7）を≧9｝，

@  ん一5

@ ｛（      ）。，（ん一4）ε｝    2

9

E7（1） E7（2） E7（3）

ん＝4：4，0 T：4，0，0

ん≧4：6，3，0 ん＝4：10，0，1

＝５：10，0 U：10，0，0

E7（4） E7（5） E7（6）

Dた たニ4：0，6

＝５：0，2，0

＝６：0，2，0 V：0，2，0，0，

@  ん一7

@ ｛（      ）。，（k−6）。｝    2

ん≧4：0，10，0 ん＝4：6，0 T：0，0，

@9一ん       ん一5

o｛（2）・…（2      ）々．8｝。，

o（10一ん）た≦7，（ん一4）た＞8｝ε｝

       橋本直樹

表9は、Dk−E8（k≧4）の場合のα（君，g）の計算結果である。

      表9Dk−E，のα（P， g）

！

9

E8（1） E8（2） E8（3）

ん＝4：0，2，0 ん≧4：0，2，2（ん一3） ん＝4：0，2，1

ん≧5：0，2，0，2（ん一4） ん＝5：0，2

ん≧6：0，2，2（ん一4）

Dた

E8（4） E8（5） E8（6）

ん＝4：0，0 ん≧4：0，4，2（ん一3） ん＝4：0，2，0

ん＝5：0，0，0，0 ん＝5：0，2，0

ん＝6：0，0，0 ん＝6：0，2，1

ん≧7：0，0，0，2（ん一6） ん＝7：0，2

ん≧8：0，2，2（ん一6）

9

E8G） ^{、E8（2） E8（3）}

ん＝4：0，2，5 ん≧4：0，4，0 ん＝4：18，0，1

ん≧5：0，2，8，0 ん＝5：18，0

ん≧6：18，0，0

Dた ^{E8（4） E8（5） E8（6）}

ん＝4：0，12 ん≧4：18，2，0 ん＝4：12，0，6

ん＝5：0，6，2，0 ん＝5：10，0，2

ん＝6：0，4，0 ん＝6：10，0，1

ん≧7：0，4，0，0 ん＝7：10，0

ん≧8：10，0，0

以上の表7、表8、表9のα（君，g）値はすべて非負である。従って補題7は証明された。

      （証明終り）

      超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

次に前節の④の分類：Ak− Ak，（k，kt≧1）について調べる。なお以下で、双対ベクトルに 対し、括弧の前の記号「t」は省く。

補題8 〆をAk（k≧1）、 gをAk，（k ≧1）のタイプの関数とする。このとき、双対Newton 図形ゴ（f，g）の2 内のすべての双対ベクトルPに対しα（P，g）≧0が成立する。

（証明）

Ak（k≧1）タイプの座標κ，．yの対称性と、！， gの入れ換えの対称性により次の2つの場合 を考えれば十分である。上述と同じ記法で、A，一 A，．（1）とA，−A，，（4）を調べる。

（i）Ak−Ak・（1）の場合

 ①k＝k のとき

       k＋lk＋1    双対ベクトルは、1）ニ｛（  ，

       ，1）o，（k＋1，k＋1，2）ε｝の1個なので       2  2

   d（1），g）＝｛（k＋1）o，（2（k＋1））E｝ と IPI＝｛（k＋2）o，（2（k＋2））ε｝から    α（P，g）＝｛Oo，1ε｝が得られる。これは非負である。

 ②k＜k のとき

      k＋lk＋1    双対ベクトルが2つ得られる・ Pi＝｛（2・2

      ，1）o，（k＋1，k＋1，2）ε｝および        k 十l k 十l

   P・＝｛（2・2

       ，1）o，（kt＋1，だ＋1，2）ε｝なので、これらより、 d（君，g）と     IR−1を計算して、α（P，，g）＝｛Oo，1ε｝k，α（P，，g）＝｛Oo，㌔｝k，となる。

   これらは非負である。

 ②k＞k のとき

   k＜k と同様なので略する。

（i）Ak−Ak．（4）の場合

   この場合は、3つの双対ベクトルが存在する。

       k＋lk＋l    P，＝（1・1・1）・P・＝｛（2・2

      ，1）o，（k＋1，k＋1，2）E｝，

      kt十l k 十l

   P・＝｛（2・2

       ，1）o，（k「＋1，k ＋1，2）E）｝

   これらよりd（君，g），1君1を計算して

      α（P，，9）＝0，   α（」ら，9）＝｛（k−1）o，（2k−1）E｝k，

      α（P3，9）＝｛0。，1。｝k

   が得られる。これらは非負である。

故に、k≧1， k「≧1のとき、（i）、（li）の場合のα（P， g）はすべて非負となる。従って補題8

橋本 直樹

は証明された。

（証明終り）

次に前節の⑤の分類：D々一 Dk，（k， k ≧4）について調べる。

補題9 fをD々（k≧4）、gをD々，（kt≧4）のタイプの関数とする。このとき、双対Newton

   ＊      ホ

図形F（f，g）のΣ内のすべての双対ベクトルPに対しα（P，g）≧0が成立する。

（証明）

 以下で、Dk−D，，（e）（k， k ≧4，4＝1，＿，6）にっいて個々に計算する。

（1）D，一 Dk，（1）の場合

  Newton図形を構成することにより、 k＝k「、 k＜k 、 k＞k の3つに分類できる。

 （i）k＝ktのとき

   双対ベクトルは、P＝（k−1，2，k−2）の1個で、α（P，g）ニ0。

 （i）k〈k のとき

   2個の双対ベクトルが得られる。」『＝（k−1，k，k−2）とR，＝（だ一1，2，んL2）である。

   これより、α（P，，g）＝0及びα（P，，g）＝0が得られる。

 （皿）k＞だのとき

   2個の双対ベクトルが得られる。P，＝（k −1，k ，k −2）とP，＝（k−1，2，k−2）である。

   これより、α（P，，g）＝0及びα（P，，g）ニ2（k−k ）が求まる。

 これらの結果は、すべてα（．il，g）≧0を示している。

（2）D々−Dk，（2）の場合

Newton図形の位相的なタイプは1種類である。双対ベクトルは3個である。それらは、

P，＝（2，3，2）、彦＝（2，2，1）、P3＝（k−1，2，k−2）であるから、それぞれに対応して α（P，，g）＝O、α（P，，g）＝0、α（P，，g）＝2（k−3）が得られる。 k，だ≧4からこれらの α（，il，g）はすべて非負である。

（3）Dk−D，，（3）の場合

 Newton図形の位相的な考察により、k ＝k、 k ＝k−1、だ≦k−2、 k ＝k＋1、

k ≧k＋2の5つに分類できる。

 （i）k ニkのとき

  双対ベクトルは3個ある。それは、」『＝（k−1，k，k−2）、P，＝（k−2，2，k−1）及び、

     k−1

         k−1

  P，＝｛（

       ）o，（k−1，2，k−1）E｝である。これより、α（P，，9）＝2、

        ，1，

      2   2

  α（P，，g）＝0、α（P，，g）＝｛Oo，1ε｝，が得られる。

 （i）k ＝k−1のとき

超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

 2個の双対ベクトルがある。P，＝（k−3，2，k−2）、 P，＝（k−1，2，k−2）なので、

 α（」『，g）＝0、α（P，，g）＝2となる。

（iti）k「≦k−2のとき

  双対ベクトルは3個ある。P，＝（k −2，2，k −1）、ろ＝（k ，2，k −1）、及び  P3＝（k−1，k，k−2）なので、α（P，，g）＝0、α（P，，g）＝2、α（P，，g）＝2（k−kt）を  得る。

（iv）だ＝k＋1のとき

 2個の双対ベクトルがある。P，＝（k−1，k，k−2）、 P，＝（k−1，2，k）なので、

 α（P，，g）ニ2、α（P，，g）＝0となる。

（v）だ≧k＋2のとき

 双対ベクトルは3個ある。P，＝（k−1，2，k−2）、 P，＝（k−1，2，k）、及び  P，＝（kt−2，2，k −1）であるので、α（P，，9）＝2、α（P，，9）＝0、α（P，，9）＝0

（4）Dk−D々，（4）の場合

Newton図形の位相的な考察によりk ＝k＝4、 k  ・4，k≧5、 kニ4， k ≧5、

k≧5，k ≧5の4つ場合に分類できる。

 （i）k  ＝k＝4のとき

  双対ベクトルは、P＝（3，2，2）の1っで、α（P，g）＝0  （i）k ＝4，k≧5のとき

  双対ベクトルは3個ある。P，＝（3，2，2）、 P，＝（k−1，2，k−2）、及び      k−1

       ，1，k−3）o，（k−1，2，2（k−3））E｝k であるので、α（P，，g）＝O  P，＝｛（

     2

       k−5

 α（ろ，9）＝k−4、  α（P，，9）＝｛（

      ）o，（k−4）E｝k となる。

      2  （皿）k＝4，k「≧5のとき

  双対ベクトルは3個ある。」『＝（3，2，2）、P2＝（4，3，2） 及び      k −1

       ，k「−3，1）o，（k −1，2（k −3），2）ε｝kt によりα（P，，g）＝0、α（P，，g）＝O  P，＝｛（

      2

       k −5

      ）o，（k −4）．｝，．となる。

 α（P，，9）＝｛（

        2

 （iv）k≧5， k「≧5のとき

 双対ベクトルは5個ある。P，＝（3，2，2）、 P，＝（k −1，k −2，2）、

     んLl

       ，k −3，1）o，（k −1，2（kt−3），2）E｝kl 、 P，＝（k−1，2，k−2）

 P，＝｛（

      2      k−1

       ，1，k−3）o，（k−1，2，2（k−3））E｝k によってα（P，，g）ニ0、α（P，，g）＝O  P，；｛（

      2

橋本 直樹

      k −5

α（P3・9）＝｛（2）・・（kt−4）E｝kl・α（P・・9）−k−4

      k−5

α（P，，9）＝｛（

        ）o，（k−4）E｝k となる。

      2

（5）Dk− Dk，（5）の場合

Newton図形の位相的なタイプは1種類であり双対ベクトルは3個である。しかし、

d（P，g）計算の場合分けが更に必要になる。

   1『＝（k −2，k「−1，2）

        kf十3 kt＿1         （  ，

      ，1）

         4   2          k ＋3    乃＝  （

       ，k −1，2）

      2

        （k ＋3，2（kt−1），4）

［k ＝5＋4n    （nニ0，1，2，．＿）］

［k ＝7＋4n    （n＝0，1，2，．＿）］

［k ＝4＋2n   （nニ0，1，2，＿．）】

P，＝（k−1，2，k−2）

この双対ベクトルに対して、α（P，g）を求める。

α（P，，9）＝0

α（P，，9）＝

 0    ［ん ＝5】

      ［ん ＝9＋4〃ん −9

 4

ん −7

      ［ん ＝7＋4η

 2

8一ん      ［た ＝4，6］

ん −6    ［たρニ8＋2刀

（n＝0，1，2，．＿）］

（n＝0，1，2，．＿）］

（n＝0，1，2，．＿）］

   α（P，，9）＝2（k−3）

が得られる。

（6）Dk−D々，（6）の場合

Newton図形の位相的な考察により3つの場合に分類される。

 （i）kt≧4， k＝4，5，6のとき

  双対ベクトルは3個ある。それぞれ P，＝（k−1，2，k−2）、

  P，＝｛（2，1，2）k．5，（2（k−1），4，k＋3）k．4，6 ｝、 P3＝（2，k −2，k −1） となるので、

超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

 α（P，，g）＝2、  α（P，，g）＝｛Ok＝5，（k−2）k＿4．6｝、  α（P，，g）＝0

 が得られる。

（i）k ≧4，k＝7のとき

 双対ベクトルは2個ある。それは、」『＝（2，k −2，k −1）とP，＝（6，2，5）であるので、

 α（P，，g）＝0、 α（P，，g）＝2 となる。

（U1）k「≧4，k≧8のとき

 双対ベクトルは4個ある。P，＝（2，k −2，k −1）、 P，＝（6，2，5）、

       k−2

       ）ε｝k P，＝（k−1，2，k−2） であるので

 P，＝｛（2（k−4），2，k−2）o，（k−4，1，

      2

       k−6

       ）E｝k及び

 α（P，，g）＝0、  α（P．．一，g）＝2、  α（P3，g）＝｛（k−5）o，（

      2  α（P，，g）＝k−5 となる。

以上で得られるすべてのα（P，g）は非負となる。従って補題9は証明された。

（証明終り）

次に前節の⑥の分類：Ak−D，，（k≧1， k「≧4）にっいて調べる。

補題10 fをAk（k≧1）、gをD〆ん ≧4）タイプの関数とする。このとき、双対Newton 図形ガ（f，g）のΣ＊内のすべての双対ベクトル1）に対しα（P，g）≧0が成立する。また、同 様にgをAk（k≧1）、 fをD〆だ≧4）タイプの関数とした場合にもα（1）， g）≧0が成立す

る。

（証明）

 Ak（k≧1）、 D，，（k ≧4）に対してfとgを入れ換えた計算は、補題4により同時に計算 できるので、元のα（君，g）の計算に対しfとgを入れ換えた場合の同じ量をα（君，∫）と同 一視して結果を示す。

（1）A，−D々，（1）の場合

Newton図形の位相的な考察により5つに分類できる。

 （i）k＝1，k ＝4のとき

  双対ベクトルは2個ある。P，＝（1，1，1）， P，＝（3，2，2）から

  α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0 及びα（P，，f）＝0，α（P，，f）＝2となる。

 （ti）k＝1， kt≧5のとき

橋本 1自：樹

 双対ベクトルは3個ある。P，＝（1，1，1）、 P2ニ（3，2，2）、 P，＝（k −1，2，k −2）から  α（P，・9）ニ0，α（P，，9）＝0，α（P，，9）＝0及びα（P，，f）＝0，α（P，，f）＝2  α（P3，f）＝2k −6 となるがk ≧5なので非負である。

価）k＝2，k ≧4のとき

 双対ベクトルは3個でP，＝（3，2，2），P，＝（7，6，4），P3＝（k −1，2，k −2）であるから  α（P，，g）＝1，α（P，，g）＝2，α（P，，g）＝0及びα（」『，！）＝1，α（P，，f）＝4  α（P，，f）＝2k −6となりすべて非負である。

（iv）k＝3， k「≧4のとき

 双対ベクトルは2個でP，ニ（2，2，1），君＝（k −1，2，k −2）となるので  α（P，，g）ニ0，α（P，，g）＝0及びα（P，，f）＝0，α（P，，！）＝2だ一6となる。

（v）k≧4，だ≧4のとき

 双対ベクトルは4個である。P］＝（2，2，1），P，＝（5，5，2）， P3＝（k −1，2，んL2），

    k＋1

 P，＝｛（

      ，k−1，1）o，（k＋1，2（k−1），2）E｝kとなるので、α（P，，g）＝0，

     2

      k−3

α（P2，9）＝2，α（」P3，9）＝0，α（P，，9）＝｛（

       ）o，（k−2）ε｝k及びα（P，，f）＝0        2

       k−3

α（P，，f）＝1，α（P3，！）＝2k −6，α（P，，〆°）＝｛（

       ）o，（k−2）E｝kとなる。

      2

（2）Ak−D々，（2）の場合

Newton図形は5つに分類できる。

 （i）k＝1，k ＝4のとき

 双対ベクトルは2個ある。P，＝（1，1，1），君＝（2，3，2）から

  α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0 及びα（P，，f）＝0，α（P，，f）＝2となる。

 （ii）kニ1， k ≧5のとき

  双対ベクトルは3個ある。P，＝（1，1，1）、 P，＝（2，3，2）、 P3＝（2， k −1，だ一2）から   α（Pi，g）＝0，α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0及びα（P，，！）＝0，α（P，，！）＝2   α（P3，f）＝2kt−6 となるので非負である。

 （iii）k＝2， k「≧4のとき

  双対ベクトルは3個でP，＝（3，3，2），P，＝（6，7，4），P，＝（2，だ一1，k −2）であるから   α（P，，g）＝1，α（P2，g）＝2，α（R，，g）＝0及びα（P，，f）＝1，α（R，，f）＝4   α（P，，f）＝2k −6となりすべて非負である。

 （iv）k＝3， k「≧4のとき

  双対ベクトルは2個でP，＝（2，2，1），P，＝（2，だ一1，k −2）となるので   α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0及びα（P，，！）＝0，α（P，，f）＝2k −6となる。

      超曲面上の振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

（v）k≧4，k「≧4のとき

 双対ベクトルは4個である。P，＝（2，2，1），P，＝（2，k −1，k −2），

       k＋1

P・ニ｛（k−1・2・1）・・（2（k−1）・k＋1・2）・｝k・

    k＋lk＋l  P・＝｛（2・2

      ，1）o，（k＋1，k＋1，2）ε｝k

       k−3  となるので、α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0，α（P3，g）＝｛（

      ）o，（k−2）E｝k       2

       k−3

α（P・・9）＝｛（2）・・（k−2）E｝k・及びα（P，・！）＝0・・α（ろ・f）−2kt−6・

        k−3

α（P・・f）＝｛（2）・・（k『2）E｝k・α（P・・f）＝｛0・・IE｝kとなる・

（3）A，−Dk，（3）の場合

Newton図形は2つに分類できる。

 （i）k≧1，だニ4のとき

       k＋lk＋1   双対ベクトノレは2個でP，＝（2・2・3）・ろ＝｛（2・2

      ，1）o，（k＋1，k＋1，2）E｝k   となるのでα（P，，g）＝0，α（P，，g）＝｛（k−1）o，（2k−1）ε｝k 及び

  α（P，，f）ニ2，α（P，，！）＝｛Oo，1ε｝，となる。

 （i）k≧1，kt≧5のとき

      k＋Ik＋1   双対ベクトルは3個でP，＝（2・2・3）・P・＝｛（2・2

      ，1）o，（k＋1，k＋1，2）E｝k   P3＝（k −2，2，k −1）なのでα（P，，g）＝0，α（P，，g）＝｛（k−1）o，（2k−1）ε｝k   α（P，，g）；0及びα（P，，f）＝2，α（P，，f）＝｛Oo，1ε｝k，α（P，，f）＝2k −6   となる。

（4）Ak−Dk，（4）の場合

Newton図形のタイプは4つに分類できる。

 （i）k ≦k＋1のとき

      kρ一l kt−1   双対ベクトルは3個で」『＝｛（  ，

      ，1）o，（k −1，k「−1，2）E｝k・

       2   2

P・一（k −1・k −2・2）・P・一｛（ん ?ｨ1・1）・・（k＋1・k＋1・2）。｝kなので

 α（P，，g）＝｛Oo，1ε｝k，，α（P，，g）＝0 ，α（P，，g）＝｛（k−k ＋2）o，（2（k−k ）＋5）E｝k  及び、 α（P，，f）＝｛Oo，1ε｝k，，α（P，，f）＝2，α（P3，！）ニ｛Oo，1石｝kとなる。

橋本 1直樹

（ij，）k ＝k＋2のとき

      k＋lk＋1双対ベクトノレは2個でP， ＝＝｛（2・2・1）・・（k＋1・k＋1・2）・｝k，

乃＝（k＋1，k，2）なので、α（P，，g）＝｛Oo，1ε｝，，α（∫㍉g）＝0及び、

α（P，，f）＝｛Oo，1ε｝，，α（君，f）＝2となる。

（皿）k ＝k＋3のとき

       k＋lk＋1

双対ベクトルは2個矧＝｛（2・2・1）・・（k＋1・k＋1・2）・｝k・

 君＝（k＋2，k＋1，2）なので、 α（P，，g）＝｛Oo，1ε ｝，，α（P，，g）＝0及び、

 α（P，，f）＝｛Oo，1ε｝，，α（乃，！）＝2となる。

（iv）kt≧k＋4のとき

       k＋1k＋1

双対ベクトルは3個でPi｛（2・2・1）・・（k＋1・k＋1・2）E｝k，

 P，＝（k＋2，k＋1，2），P，＝（だ一1， k −2，2）なので、α（P，，g）＝｛Oo，1．｝k  α（P，，g）＝0，α（P，，g）＝0及び、α（Pi，！）＝｛Oo，1ε｝，，α（P，，！）＝2，

 α（P3，f）＝2（k −k）−4となるが、（k −k）≧4なので非負である。

（5）A，−D々，（5）の場合

   これは、f＝X2＋y2＋zk＋1とg＝X2Z＋ア2＋zk −1の場合なので、 gは、

  A，−D々，（4）の変数κ，アを入れ換えたものとなるが、fもx，．yの入れ換えで対称なの   で、A，−Dk，（4）の結果と同様になる。

（6）Ak−D，，（6）の場合

 Newton図形のタイプは位相構造により2つに分類できる。

 （i）k ＝4，k≧1のとき

      k＋lk＋1

  双対ベクトルは2個 （sPi＝｛（2・2・1）・・（k＋1・k＋1・2）・｝k・R・一（2・2・3）

  よりα（P，，g）＝｛（k−1）o，（2k−1）ε｝k，α（P，，g）＝0及び、α（P，，f）＝｛Oo，1ε｝，，

  α（P，，f）＝2となる。

 （i）k ≧5，k≧1のとき

  双対ベクトルは3個でP，＝（2，だ一2，kt−1），P，＝（2，2，3）

     k＋lk＋l

  P・＝｛（2・2・1）・・（k＋1・k＋1・2）E｝kよりα（P，・9）−0・α（P・・9）一゜・

超曲面 ．Lの振動積分の漸近展開可能条件と計算アルゴリズム

α（R，，g）＝｛（k−1）o，（2k−1）E｝k 及び、α（P，，f）＝2k −6 ，α（P，，f）＝2 α（」『，∫）＝｛Oo，IE｝kとなる。これらは非負である。

以上で得られるすべての

された。

α（君，g），α（君，f）はすべて非負となる。従って補題10は証明

（証明終り）

これらの補題5〜10の結果をまとめて次の定理を得る。

定理11 fを振動積分（1）のphase関数、 gを超局面を表す束縛関数とする。

  また、fとgをそれぞれ（6）のA，D，Eタイプの1つの関数とする。このとき、

  gは関数！に対してαクラスとなる。

参考文献

1・ N・ Hashimoto， （ユ995）， Asymptotic expansion of an oscillating integral   on a hypersurface， J．Math． Soc． Japan， Vo l．47， No．3， PP．441−473

2・ M・ Oka， （1986）， On the Resolution of the Hypersurface Singularities，

   Advanced Studies in Pure Mathematics， 8， pp．405−436

3・ M・ Oka， （ユ997）， Non−Degenerate Complete Intersection Singularity， HERMANN 4．金子晃，（1981）， 「ニュートン図形・特異点、・振動積分」，上智大学数学教室 5． In preparation

       Abstract

 We investigate a condition of the asymptotic expansion of an oscillating integral which is defined on a hypersurface． The condition relates to whether this is the proper integral or not． When the phase function and the con−

straint function are together the A，D，E types， then the oscillating integrals on ahypersurface are well defined．