フィルター圏

フィルター圏

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2021 年 4 月 29 日

定義. ^圏C^{がフィルター圏}(filtered category)

⇐⇒^{任意の有限圏}J と関手F: J → C に対して，ある対象c∈ C と自然変換F ⇒∆c が存在する．

定義. 圏Cが余フィルター圏(cofiltered category) ⇐⇒C^op がフィルター圏となる．

命題 1. 圏C がフィルター圏⇐⇒^{以下の条件*1を満たす．}

(1) Cは空でない．

(2) 任意のa0, a1 ∈Cに対して，あるc∈Cと射f0: a0 →c，f1: a1 →cが存在する．

a0

a₁ c

f0

f₁

(3) 任意のa0, a1 ∈C とf0, f1: a0 → a1 に対して，ある c∈ C とg: a1 → cが存在 してg◦f₀ =g◦f₁ となる．

a₀ a₁ c

f₀ g

f₁

証明. (=⇒) 明らか．

(⇐=) STEP 1，STEP 2，STEP 3の3段階に分けて示す．

(STEP 1) a0,· · · , an ∈ C ^をC の対象とするとき，ある対象 u ∈ C ^と射 fi: ai → u が存在する．

*1この条件をフィルター圏の定義にしている文献もある．

...

) 条件2を繰り返し適用すればよい．

(STEP 2) f₀,· · · , f_n: a → bをC の射とするとき，ある対象c ∈C と射p: b→v が 存在してp◦f0 =· · ·=p◦fnとなる．

...

) 条件3を繰り返し適用すればよい．

(STEP 3) J ^{を有限圏，}F: J → C を関手とする．対象の有限族{F j}j∈J にSTEP 1 を適用して，対象u∈C と射f_j:F j →uが得られる．次にk:i →jをJ の射とすると き，2つの射fi とfj◦F k: F i→uに条件3を適用してφk: u→ck を得る．

F i

ck

F j

u

F i⁰ ck⁰

F j⁰

fi

fj

f_i0

f_j0 F k

F k⁰

φk

φ_k0

再びSTEP 1を族 {ck}k∈Mor(J) に適用して，対象v ∈C と射gk: ck → vが得られる．

族{gk◦φk: u → v}k∈Mor(J)にSTEP 2を適用して，対象c ∈C と射p: v →cが得ら れる．pの取り方からh:=p◦g_k◦φ_k はkの取り方によらず一定である．

F i

c_k F j

u v c

F i⁰ ck⁰

F j⁰

fi

fj

f_i0

f_j0 F k

F k⁰

φk

φk0

gk

g_k0

p h

そこでθj :=h◦fj: F j →cと定めたときθ: F ⇒∆cが自然変換となることを示せばよ い．そのためにk: i→j ^をJ の射とする．このとき定義から

となり次の図式は可換である．

F i c

F j c

θi

idc

F k

θ_j

よってθ: F ⇒∆cは自然変換である．

例 2. 有限余完備な圏はフィルター圏である．

証明. 有限圏J と関手F に対して，自然変換F ⇒∆(colimF)が存在する．

例 3. 終対象を持つ圏は明らかにフィルター圏である．

例 4. 順序集合X を圏とみなしたとき，これがフィルター圏となるのは，命題1よりX が空でない有向集合となるときである．

定義. 添え字圏がフィルター圏となる余極限をフィルター余極限(filtered colimit) と いう．

Setにおいて，フィルター余極限は有限極限と交換するという重要な性質がある．即ち 命題 5. I がフィルター圏のとき，関手colim : Set^I → Setは有限極限と交換する．故 に，J が有限な圏でT: I×J →Setが関手のとき同型

colim

i∈I lim

j∈JT(i, j)∼= lim

j∈Jcolim

i∈I T(i, j).

が成り立つ．

証明. colim : Set^I →Setが終対象とpullbackと交換することを示せばよい．

まず終対象について示す．colim(∆1) ∼= `

i∈I1

/∼^である．I ^{がフィルター圏だか} らcolim(∆1)∼= 1^となり，colimが終対象と交換することが分かった．

次にpullbackについて示す．次の図式をSet^I のpullbackとする．

X P₁

P0 Q

π1

π0

Set^I の極限は各点ごとに計算すればよいから，i∈Iに対してXi=∼P0i×QiP1iである．

故に

colimX ∼=a

i∈I

P0i×QiP1i

/∼ colimP_k ∼=a

i∈I

P_ki

/∼

で，colim(π_k) はcolim(π_k)([hu₀, u₁i]) = [u_k]で与えられる．pullbackの普遍性から点 線の射hが得られる．

colimX

colimP0×colimQcolimP1 colimP1

colimP₀ colimQ

p1

p0

colim(π1)

colim(π0) h

このhが全単射であることが容易にわかる．よってcolimはpullbackと交換する．

補題 6. F: C →Dを関手とする．a ∈Cを対象としてE := Hom_C(a,−)とする．この ときF^†E ∼= HomD(F a,−)である．従ってF =yのときy^†E ∼= evaである．

証明. 米田の補題によりHom_Set^C(E,Hom_D(F a, F−))∼= HomD(F a, F a)である．この 同型で右辺のidF aに対応する自然変換をη: E ⇒HomD(F a, F−)とする．

D

C Set

η =⇒

F

E

Hom_D(F a,−)

このときhHomD(F a,−), ηi^がF に沿ったE の左Kan拡張であることを示す．

そのために任意の関手S: D →Setと自然変換θ: E ⇒ SF を取る．米田の補題から 得られる次の同型でθに対応するτ を取る．

Hom_SetC(E, SF) SF a Hom_SetD(Hom_D(F a,−), S)

∈ ∈

∼ ∼

米田の補題の証明より，θa(ida) =τF a(idF a)である．このとき等式 D

C^η =⇒ ⇒^τ U

F

E S

=

D

C U

=⇒

F θ

E S

が成り立つ．

...

) 米田の補題より次の図式は可換である．

Hom_SetC(E,Hom_D(F a, F−)) Hom_D(F a, F a)

Hom_Set^C(E, SF) SF a

∼

τF a

τF◦−

∼

η idF a

τ_F ◦η

θ τF a(idF a)

∼

τF a

τF◦−

∼

故にτ_F ◦η =θとなる．

後はこのτ の一意性を示せばよい．そのためにτ⁰ がτ_F⁰ ◦η = θを満たしたとすると，

再び米田の補題により次の図式は可換である．

Hom_Set^C(E,HomD(F a, F−)) HomD(F a, F a)

Hom_Set^C(E, SF) SF a

∼

τ_{F a}⁰ τ_F⁰◦−

∼

η idF a

τ_F⁰ ◦η

τ_{F a}(id_{F a}) θ θa(ida)

∼

τ_{F a}⁰ τ_F⁰◦−

∼

故にτ_{F a}⁰ (idF a) =θa(ida) =τF a(idF a)が分かり，米田の補題からτ⁰ =τ が分かる．

補題 7. C, Dを圏，d∈Dを対象とする．Cは有限完備で関手F: C →Dは有限極限と 交換するとする．このときコンマ圏d↓F は余フィルター圏である．

C D

d↓F 1

⇒ = d F

証明. 定義により，d↓F の対象はDの射d →F cで，射(d→F c₀)→(d →F c₁)は次

を可換にするCの射c0 →c1 である．

F c₀ c0

d

F c₁ c1

命題1の3条件の双対を示せばよい．

(i) まずd↓F 6= 0^を示す．C が有限完備だから終対象1 ∈ C が存在する．F が有限 極限と交換するからF(1) ∈ D は終対象になる．よってD の射d → F(1)が存在する．

従ってd↓F 6=0である．

(ii) g₀: d→F c₀，g₁: d →F c₁ とする．C が有限完備だから直積c₀×c₁が存在する．

F が有限極限と交換するからF(c₀×c₁)∼=F c₀×F c₁ である．直積の普遍性から次の点 線の射が存在して可換となる．

F c0 c₀

d F(c₀×c₁) c0×c1

F c1 c₁

g0

g1

よって射(d → F(c₀×c₁)) → (d → F c₀) と(d → F(c₀ ×c₁)) → (d → F c₁)が得ら れた．

(iii) g₀: d →F c₀，g₁: d→F c₁として，二つの射p, q: (d −→^g0 F c₀)→(d−→^g1 F c₁)を 取る．即ち次の図式(三角形は可換)を考える．

F c₀ c₀

d

F c1 c1

g₀

g1

F p F q p q

C が有限完備だからequalizer c e c0 p c1

q が存在する．F が有限極限と交換す るからF c ^{F e} F c₀ F c₁

F p F q

もequalizer^{である．今}F p◦g0 =g1 =F q◦g0だから，

equalizer F eの普遍性により次の点線の射が存在して，三角形が可換となる．

F c c

d F c0 c0

F c₁ c1

g0

g₁ F p F q p q

F e e

よって

(d →F c) (d→F c0) (d →F c1)

p q e

はd↓F の射でp◦e=q◦eである．

以上の(i)(ii)(iii)によりd↓F は余フィルター圏である．

定義. C を小圏とする．関手F: C →Setが平坦(flat)とは，y^†F: Cb → Setが有限極 限と交換することをいう．

Cb

C =⇒ Set

y

F y^†F

定理 8. 小圏Cと関手F: C →Setについて以下は同値．

(1) F が平坦

(2) 1↓F が余フィルター圏

(3) F が表現可能関手のフィルター余極限で書ける

証明. (1 =⇒ 2)F: C →Setを関手とする．各点左Kan拡張により，P ∈Cb に対して y^†F(P)∼= colim(y↓P →C −→^F Set)

∼= a

hc,ui∈y↓P

F c

/∼

∼=a

c∈C

a

u∈P c

F c

/∼

∼=a

c∈C

P c×F c

/∼

である．hc, ui,hd, vi ∈ y↓P として f: hc, ui → hd, vi^{を射とする．つまり}f はC の射 f:c→dでP f(v) =uを満たす．このときs∈F cとすると，`

hc,ui∈y↓P F c

/∼^にお いて[s] = [F f(s)]である．`

c∈CP c×F c

/∼^{で考えれば}[hP f(v), si] = [hv, F f(s)i] となる．以下簡単のため[h−,□i] = [−,□]と書く．

まずP =y(a) (a ∈C)の場合を考えると，y^†F(y(a)) ∼=`

c∈CHom(c, a)×F c

/∼ だから，任意のu ∈ y^†F(y(a))^はu = [f, s] (f: c → a^，s ∈ F c) ^{と書ける．このとき} [f, s] = [id_a◦f, s] = [P f(id_a), s] = [id_a, F f(s)]である．一方y^†F ◦y ∼=F だったから y^†F(y(a))∼=F aである．この同型はF a 3u7→[ida, u]∈y^†F(y(a))で与えられる．

P, Q ∈ Cb ^としてθ: P ⇒ Q を自然変換とする．コンマ圏の普遍性により得られる H: y↓P →y↓Q (下の図式参照)はhc, ui ∈y↓P に対してHhc, ui=hc, θ_c(u)i^で与え られる．

1 Cb

y↓Q C Set

y↓P

⇒ =

=

=

y

F Q

H

故にy^†F(θ) : y^†F(P)→y^†F(Q)はu ∈P c，s∈F cに対してy^†F(θ)([u, s]) = [θ_c(u), s]

で与えられる．

∆1 ∈Cb^{は終対象で，}y^†F が有限極限と交換するからy^†F(∆1)^{も終対象である．従っ} てy^†F(∆1)∼= 1^{となる．よって}1∼= (`

F c)/∼^{だから，ある}c∈CについてF c6=∅^で なければならない．故に1↓F 6=0である．

次に hc0, u0i,hc1, u1i ∈1↓F を取る．hc, ui ∈1↓F と射 hc, ui → hc0, u0i^，hc, ui → hc₁, u₁iが存在することを示す．今y^†F が有限極限と交換するから，直積

y(c0)×y(c1) y(c0) ^{p0 p1} y(c1)

と交換する．即ち普遍性により得られる次の射hが同型(即ち全単射)を与える．

y^†F(y(c₀)×y(c₁))

y^†F(y(c0))×y^†F(y(c1))

y^†F(y(c₀)) y^†F(y(c₁))

y^†F(p0) ∼ y^†F(p1)

h

y^†F ◦y∼=F だから

y^†F(y(c0)×y(c1)) F c₀×F c₁

F c0 F c1

y^†F(p₀) ∼ y^†F(p₁)

h

としてよい．u:=h⁻¹(hu0, u1i)∈y^†F(y(c0)×y(c1))を取ればy^†F(pi)(u) =uiである．

y^†F(y(c0)×y(c1))∼=a

c∈C

HomC(c, c0)×HomC(c, c1)×F c

/∼ だから，u= [f0, f1, s]となるc∈C，fi: c→ci，s∈F cが取れる．このとき

ui =y^†F(pi)([f0, f1, s]) = [fi, s] = [idci◦fi, s] = [idci, F fi(s)]

だからF fi(s) =ui となることが分かる．故にfi: hc, si → hci, uii^は1↓F の射である．

最後に対象hc₀, u₀i,hc₁, u₁i ∈ 1↓F と射f₀, f₁: hc₀, u₀i → hc₁, u₁i^{を取る．ある対象} hc, ui ∈1↓F と射g: hc, ui → hc₀, u₀i^でf₀◦g=f₁◦gを満たすものが存在することを 示す．Cbでequalizer

X ^θ y(c₀) y(c₁)

y(f0) y(f1)

が存在し，y^†F がこれと交換するから

y^†F(X) F c0 F c1 y^†F(θ) F f0

F f1

がequalizer となる．定義よりF f0(u0) = F f1(u0)だから，あるs ∈ y^†F(X)が存在し てy^†F(θ)(s) =u0 となる．このときs= [v, u] (c∈C, v ∈Xc, u∈F c)^と書けば

y^†F(θ)(s) = [θc(v), u] = [idc₀, F(θc(v))(u)]

である．よってg:=θc(v) : c→c0と置けばF g(u) =u0 となり，g: hc, ui → hc0, u0i^は 射である．またθ がequalizerであるからf₀◦g=f₁◦gも分かる．

(2 =⇒3) ここでは区別のため，米田埋込C^op →Set^C をzと書く．z↓F = (1↓F)^op だから(「コンマ圏」のPDFを参照)，1↓F が余フィルター圏であるとするとz ↓F は フィルター圏である．

1 Set^C

z↓F ⇒ = Cz ^op =⇒ Set^C

z id F

よってF ∼= colim(z↓F →C^op −→^z Set^C)は表現可能関手のフィルター余極限である．

(3=⇒1)フィルター圏Jと関手S:J →C^opを使ってF ∼= colim(J −→^S C^op −→^z Set^C) と書けたとする．即ち

F ∼= colim

j∈J HomC^op(−, Sj) = colim

j∈J HomC(Sj,−) である．y^†ay⁻¹だからy^†は余極限と交換するので，補題6を使うと

y^†F ∼=y^† colim

j∈J HomC(Sj,−)∼= colim

j∈J y^† HomC(Sj,−)∼= colim

j∈J evSj

となる．ev_Sj は極限と交換し，colim_j∈J は有限極限と交換する(命題5)から，y^†F も有 限極限と交換する．

系 9. C を小圏とするとき

colim : Set^C →Setが有限極限と交換する⇐⇒Cがフィルター圏

証明. 随伴colima∆ : Set^C →Setが成り立つから，普遍随伴によりF := colim◦yと 置けばcolim∼=y^†F である．

Set^C

C^{y op} =⇒ Set

F colim

よって定理8から

colim : Set^C →Set^{が有限極限と交換する}⇐⇒F ^が平坦

である．故に1↓F ∼=C^opを示せばよい．その為にはc∈ C に対してHomSet(1, F c)∼= 1，即ちF c∼= 1^{を示せばよい．}c∈Cとx∈Setに対して

HomSet(F c, x) = HomSet(colimy(c), x)∼= HomSet^C(y(c),∆x)∼= ∆x(c) =x だからF c∼= 1^である．

系 10. ^平坦関手F: C → Setは有限極限と交換する．圏C が有限完備ならば逆も成り 立つ．即ち有限極限と交換する関手F: C →Setは平坦である．

証明. F: C →Setが平坦ならばyとy^†F が有限極限と交換するからF ∼=y^†F ◦yも有 限極限と交換する．

Cb

C =⇒ Set

y

F y^†F

圏C が有限完備でF: C →Setが有限極限と交換するならば，補題7により1↓F が余 フィルター圏だから，定理8よりF は平坦である．

例 11. a∈C に対してF := Hom_C(a,−) : C →Setは平坦関手である．

証明. 定理8 より1↓F が余フィルター圏であることを示せばよいが，1↓F は始対象 ha,idaiを持つから余フィルター圏である．

定理 12. C, Dを小圏として，C は有限完備とする．このとき

関手F: C →Dが有限極限と交換する⇐⇒F^†: Cb→Db が有限極限と交換する 証明. (⇐=)F^†◦y ∼=y◦F である．yとF^†が有限極限と交換するから，y◦F ∼=F^†◦y も有限極限と交換する．yは忠実充満だからF が有限極限と交換することが分かる．

(=⇒) Cb の有限極限 limP_i に対して F^†(limP_i) ∼= limF^†P_i を示す．その為には 各 d ∈ D に対して F^†(limP_i)(d) ∼= (limF^†P_i)(d) を示せばよい．(limF^†P_i)(d) ∼= lim(F^†Pi(d))であるから F^†(limPi)(d) ∼= lim(F^†Pi(d))，即ちF^†(−)(d) : Cb → Setが 有限極限と交換することを示せばよい．

P ∈Cbに対して，各点Kan拡張によりF^†P(d)∼= colimP ◦P0 である．

1 D^op

F^op↓d ⇒ = C^opF^op ⇒ Set

P F^†P d

P0

故に F^†(−)(d) ∼= (Cb ^P

−1

−−−→0 Set^Fop↓d −−−→^colim Set) ^である．P₀^† a P₀^{−1 だから} P₀^{−1 は} 右随伴，よって極限と交換する．故にcolim : Set^Fop↓d → Setが有限極限と交換する ことを示せばよい．その為には系 9 より，F^op ↓d がフィルター圏であればよいが，

F^op↓d= (d↓F)^op だから，補題7より明らか．

例13. Setでない場合，有限極限とフィルター余極限が交換できない場合がある．圏I を 順序集合Nを圏とみなしたものとして，J := ( 0 1 )とする．関手T: I ×J →Top を定義する．即ち，Topの図式

T(0,1) T(1,1) T(2,1) · · ·

T(0,0) T(1,0) T(2,0) · · ·

k0 k1 k2

h0 h1 h2

f₀ g0 f₁ g1 f₂ g2

を定義する．まずT(i,0) := [0,1/(i+ 1)]としてT(i,1) := (T(i,0)qT(i,0))/∼^と置く．

ここで∼^{は同値関係であって，}2つの0を同一視し，2つの1/(i+ 1)を同一視するもの である．(よってT(i,1)は位相的には円周になる．) そして標準的に得られる二つの単射 をfi, gi: T(i,0)→T(i,1)とする．次に関数hi: T(i,0)→T(i+ 1,0)を

h_i(x) :=







 x

0≤x≤ 1 i+ 2

1 i+ 2

1

i+ 2 < x≤ 1 i+ 1

で定義し，h_iqh_iから得られる射をk_i: T(i,1)→T(i+ 1,1)とする．

さ て ，X := {a, b} ^{の 位 相 を} {∅,{b}, X} に よ り 定 義 す る と colim_iT(i,0) ∼= X， colimiT(i,1)∼=Xであり，よってlimjcolimiT(i, j)∼=X が分かる．一方，limjT(i, j) は2点からなる離散位相空間なのでcolimilimjT(i, j)^も2点からなる離散位相空間であ る．故に

である．

系9の有限極限を有限直積に弱めることで，次の定義を得る．

定義. 小圏C がsifted ⇐⇒colim : Set^C →Setが有限直積と交換する 小圏C がcosifted ⇐⇒C^op がsifted

定義. ^{添え字圏が}sifted^{な余極限を}sifted colimit^という．

定義. C ^{を小圏とする．関手}F: C → Set^がsifted flat^とは，y^†F: Cb → Set^が有限直 積と交換することをいう．

系9によりフィルター圏はsiftedである．特に有限余完備な圏はsiftedである．

定義. 圏C の図式a ←c →bをaからbへのspanという．双対的に，図式a →c←b をaからbへのcospanという．

定義. C を圏，a, b∈C を対象とする．aからbへのspanがなす圏Span(a, b)を以下の ように定める．

• Ob(Span(a, b)) :={hf, gi ∈Mor(C)² |c∈C, a←−^f c−→^g b}

• hf, gi,hf⁰, g⁰i ∈ Span(a, b)とする．c := dom(f)，c⁰ := dom(f⁰)とする．hf, gi からhf⁰, g⁰iへの射は，次の図式を可換とする射h: c→c⁰ である．

a b

c⁰

c

f⁰ g⁰

f g

h

同様にしてcospanがなす圏Cospan(a, b)が以下のように定まる．

• Ob(Cospan(a, b)) :={hf, gi ∈Mor(C)² |c∈C, a−→^f c←−^g b}

• hf, gi,hf⁰, g⁰i ∈ Cospan(a, b)とする．c:= cod(f)，c⁰ := cod(f⁰)とする．hf, gi

からhf⁰, g⁰iへの射は，次の図式を可換とする射h: c→c⁰ で定める．

c⁰

c

a ^{f g} b

f⁰ h g⁰

補題 14. ^関手F: C →Set^がsifted flat^{ならば，任意の}s, t∈1↓F ^{に対して，}1↓F ^に おけるspanからなる圏Span(s, t)は連結である．

証明. まず定理8の=⇒^{の証明により，ある}hc, si ∈1↓F とf_i: hc, si → hc_i, u_ii^が存在 することが分かる．故にSpan(hc0, u0i,hc1, u1i)6=0である．

次に二つの span hc0, u0i ←− h^f0 c, ui −→ h^f1 c1, u1i^，hc0, u0i ←− h^f00 c⁰, u⁰i −→ h^f10 c1, u1i を取る．この二つが zigzag で結ばれることを示そう．直積の普遍性から θ: y(c) → y(c0)×y(c1)，θ⁰: y(c⁰)→y(c0)×y(c1)が存在する．

y(c)

y(c0)×y(c1)

y(c0) y(c1)

y(f₀) y(f₁)

θ

y(c⁰)

y(c0)×y(c1)

y(c0) y(c1)

y(f₀⁰) y(f₁⁰)

θ⁰

定理8の=⇒の証明と同様，次の図式を得る．

F c

y^†F(y(c₀)×y(c₁))

F c0×F c1

F c0 F c1

p₀ p₁

F f0 F f1

y^†F(θ)

∼h

F c⁰

y^†F(y(c₀)×y(c₁))

F c0×F c1

F c0 F c1

p₀ p₁

F f₀⁰ F f₁⁰

y^†F(θ⁰)

∼h

故に

ui =F fi(u) = pi◦h◦y^†F(θ)

(u) =pi(h(y^†F(θ)(u))) u⁰_i =F f_i⁰(u⁰) = p_i◦h◦y^†F(θ⁰)

(u⁰) =p_i(h(y^†F(θ⁰)(u)))

を得る．よって集合の直積の定義から，h(y^†F(θ)(u)) =h(y^†F(θ⁰)(u⁰))である．h が同 型だからy^†F(θ)(u) =y^†F(θ⁰)(u⁰)を得る．同型F c∼= y^†F(y(c))はu 7−→[idc, u]で与 えられていたから，

y^†F(y(c))

y^†F(y(c₀)×y(c₁))

y^†F(y(c₀)) y^†F(y(c₁))

y^†F(y(f0)) y^†F(y(f1)) y^†F(θ)

[idc, u]

[θ_c(id_c), u]

[f₀, u] [f₁, u]

で考えればθc(idc) = hf0, f1iとなることが分かる．同様にしてθ_c⁰0(idc⁰) =hf₀⁰, f₁⁰i^であ る．また[hf₀, f₁i, u] = y^†F(θ)(u) = y^†F(θ⁰)(u⁰) = [hf₀⁰, f₁⁰i, u⁰]が分かる．これが成り 立つ為には，次の右側の可換図式とv0 ∈F d0,· · · , vn ∈F dnであって

u ∈ F c v0 ∈ F d0

v1 ∈ F d₁ ... ... vn∈ F dn

u⁰ ∈ F c⁰

F k0

F k1

F k_n

c

d0

d₁

c0 c1

... dn

c⁰

k0

k1

k_n f0

f₀⁰

f1

f₁⁰

F k0(u) = v0, F k1(v1) = v0, F kn(u⁰) =vn となるものが存在しなければならない．こ れは圏1↓F における二つのspan hf₀, f₁i^，hf₀⁰, f₁⁰i^がzigzagで結ばれることを意味す る．

命題 15. 小圏Cに対して以下の条件は同値．

(1) Cがsifted

(2) 任意のa, b∈Cに対してCospan(a, b)が連結 (3) 対角関手∆ : C →C×C がfinal

証明. (1 =⇒ 2)F := colim◦y: C^op →Setと置く．

Set^C

C^{y op} =⇒ Set

F colim

C がsiftedだからF はsifted flatである．一方1↓F = C^op であった．よって補題14 により，任意のa, b∈C に対してCospan(a, b)が連結であることが分かる．

(2 ⇐⇒ 3) ∆ : C → C ×C を対角関手とすれば，a, b ∈ C に対して ha, bi ↓ ∆ = Cospan(a, b)^{である．よって「}∆^がfinal⇐⇒^任意のa, b^に対してha, bi ↓∆^が連結」(^随 伴関手定理のPDFで証明済)より明らか．

(2 =⇒ 1) 略

よって有限余直積を持つ圏はsiftedである．

双対を考えれば「小圏 C が cosifted ⇐⇒ ^任意の a, b ∈ C に対して Span(a, b) が connected」である．

定理 16. 関手F: C →Setに対して以下の条件は同値．

(1) F がsifted flat (2) 1↓F ^がcosifted

(3) Fは表現可能関手のsifted colimitである．即ちsiftedな圏J と関手K:J →C^op が存在してF ∼= colim(J −→^K C^op −→^y Set^C)と書ける．

証明. (1 =⇒ 2)補題1より明らか．

(2 =⇒ 3) y^†y∼= id ^{だから各点}Kan^{拡張により} 1 Set^C

=⇒

⇒ = y id F

F =∼ y^†y(F)∼= colim(y↓F →C^op −→^y Set^C)であるが条件2よりy↓F = (1↓F)^op は siftedである．

(3 =⇒ 1) siftedなJ とS: J → C^op が存在してF ∼= colim(J −→^S C^op −→^y Set^C) = colim

j∈J HomC(Sj,−)と書けるとする．y^† ay⁻¹ だからy^†は余極限と交換し y^†F =y^† colim

j∈J Hom_C(Sj,−)∼= colim

j∈J y^† Hom_C(Sj,−)∼= colim

j∈J ev_Sj

である．ev_Sj は極限と交換し，colim_j∈J は有限直積と交換するから，y^†F も有限直積と 交換する．

参考文献

[1] J. Adamek and J. Rosicky, On sifted colimits and generalized varieties, Theory and Applications of Categories, Vol. 8 (2001), No. 3, 33–53, http://www.tac.

mta.ca/tac/volumes/8/n3/8-03abs.html

[2] Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, Cambridge Uni- versity Press (1994)