Title
水球競技における得点を考慮したランキング手法の開発とその応用について
Sub Title
A new water polo world ranking system considering the score information
Author
鳥海, 崇(Toriumi, Takashi)
榎本, 至( Enomoto, Itaru)
Publisher
慶應義塾大学体育研究所
Publication year
2020
Jtitle
体育研究所紀要 (Bulletin of the institute of physical education, Keiō
university). Vol.59, No.1 (2020. 1) ,p.1- 13
Abstract
In this study, we develop a new water polo world ranking system, and compare it to the ranking
published by FINA. The proposed ranking system is calculated using the Elo rating method, based
mainly on win-loss information, while also considering score information. In particular, the
method based on a sigmoid function showed high accuracy in terms of winning predictions, and
a high rank correlation coefficient with the tournament rank. In addition, this method is able to
identify possible instances of matches being fixed in order to obtain a higher tournament
ranking.
Notes
研究資料
Genre
Departmental Bulletin Paper
URL
https://koara.lib.keio.ac.jp/xoonips/modules/xoonips/detail.php?koara_id=AN00135710-0059000
1-0001
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* 慶應義塾大学体育研究所専任講師 1） Assistant Professor, Institute of Physical Education, Keio University ** 鎌倉女子大学教育学部教授 2） Professor, Faculty of Education, Kamakura Women s University
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．背 景
近年，様々な競技において選手やチームを対象とした ランキングを算出している。有名なランキングとしては， テ ニ ス のATPラ ン キ ン グ（ATP， 2019）や サ ッ カ ー の FIFAランキング（FIFA， 2019）などが挙げられる。これ らは観客が観戦の際に参考にするのみならず，特定の大 会への参加基準とするものもある。このため，公平かつ 正確なランキングの算出方法を確立することは，観客の みならず選手や関係者にとっても重要である。 昔からよく知られたランキング決定方法として，いわ ゆるリーグ戦と呼ばれる，全チームが同じ回数総当たり する場合における勝利数や勝率が挙げられる。リーグ戦 を実施しない場合，適切なランキングを定めることは難 しくなるが，この問題を解決するために試合結果の情報 を基にした様々な計算手法が考案されている。例えば総 当たりと似たような形式として，我が国の大学野球リー グでは全てのチームと2回以上対戦するという勝点制度 を採用している。鳥海らはこの勝点制度による順位決定 方法には不合理が生じることがあることを示し（鳥海と 綿田，2017），また直接対決する機会がほとんどない異 なる大学野球リーグに所属するチームをランキング計算 手法により比較した（鳥海と綿田，2018）。 Stefani（2011）は様々な競技の国際ランキングの決 定手法について調査している。全159種の競技のなかで 国際ランキングを制定していない競技が60種ある一方， 加算方式と呼ばれる，過去の大会で獲得した順位に応じ てポイントを付与し，ある一定期間に獲得したポイント の合計に応じてランキングを作成する競技は84種ある （Stefani， 2011）。世界水泳連盟（FINA）においても，五 輪や世界選手権の出場権を付与する基準としては使われ ていないものの，同様の方式で水球の世界ランキングを 発表している（FINA， 2016）。この手法では自チームの 獲得順位とその順位に付与されるポイント数を積み上げ ていくことでランキングポイントを算出できる。誰にも わかりやすい手法である一方，各チーム間の合計ポイン水球競技
における
得点
を
考慮
したランキング
手法
の
開発
とその
応用
について
鳥海 崇 *
榎本 至 **
a new water polo world ranking system considering the score information
Takashi Toriumi
1）, Itaru Enomoto
2）In this study, we develop a new water polo world ranking system, and compare it to the ranking published by FINA. The proposed ranking system is calculated using the Elo rating method, based mainly on win-loss information, while also considering score information. In particular, the method based on a sigmoid function showed high accuracy in terms of winning predictions, and a high rank correlation coefficient with the tournament rank. In addition, this method is able to identify possible instances of matches being fixed in order to obtain a higher tournament ranking.
キーワード：イロレーティング，水球，ランキング
Key words ：Elo Rating，water polo，ranking
る研究はこれまでほとんどなかった。そこで本研究では 水球を対象としてEloレーティングに得点情報を加味す ることで，様々な得点状況に細かく対応できるランキン グ作成手法を提案する。 なお，本研究におけるランキングとレーティングにつ いては，小中（2017）の定義を用いることとする。つま りランキングは各チーム間の順位を定めることであり， それに対しレーティングは各チームの実力に相当する値 を算出することと定義する。レーティングの結果に基づ いてランキングを作成することが可能となる。 ある大会後に算出されるレーティングを考える際，以 下の2つの要因が影響すると仮定する。 ① 各チームがある一定期間に獲得もしくは損失して きた結果としての技能，実力 ② 大会の対戦組み合わせなど制度上，もしくは各試 合で生じる不確実性 ここで加算方式のランキングは上記の2つを区別せず， その大会の最終順位からのみ獲得できるポイントを基準 に算出する一方，ポイント交換方式のランキングは，そ れまでの対象期間全ての試合結果から統計的に得られる ものであり，また，対戦相手とのレーティング差により 交換するレーティング量を決定するため，上記 ②の影 響を極力排除している。そのため本研究でのレーティン グは主に上記 ①の要因を指す。 最後に，当然のことながらランキング高位のチームが 常に勝つとは限らない。それがスポーツの醍醐味である 一方，意図的な勝敗操作（無気力試合，意図的な敗戦） の可能性が示唆される事例も指摘されている（泉＆小中， 2016）。本研究では水球のリオ五輪の最終予選及び本戦 を対象として，予選リーグ後の決勝トーナメント初戦と なるたすき掛け戦に向けて，対戦相手の調整のために意 図的な勝敗操作が生じる可能性について検討を加える。
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．目 的
本研究では水球競技を対象として，得点を考慮した Eloレーティングを提案し，この手法を用いて各国のレー ティングを算出する。そしてFINAによる国別ランキン グや従来のEloレーティングによる結果と比較して，本 提案手法の有用性について検討する。 次に，本提案手法を用いてリオ五輪最終予選及び本戦 における意図的な勝敗操作（無気力試合，意図的な敗戦） が生じる可能性について考察を加える。 トの差や比が実力差を定量的に表すためには，各大会・ 各順位に対する付与ポイント，大会参加条件，大会形式 を含めた総合的な設計が不可欠である（小中，2017）。 また，加算方式とは別の方式としてポイント交換方式 が挙げられる。これはチェスのイロレーティング（Elo rating）（Elo， 1979）に代表されるように，全ての対戦 において結果に応じて対戦相手とポイントの一部を交換 し，ある時点でのポイントを比較することでランキング を作成する手法である。この手法では1試合ごとにポイ ントが変化するため常にランキングを更新することがで きる反面，当該チームに関係のない全ての試合の結果と ポイント変化を算出する必要がある。Stefani（2011）に よると，ポイント交換方式に基づきランキングポイント を算出している競技は13種であった。球技では女子サッ カーで用いられている（FIFA， 2019）。 これら加算方式，交換方式の大半は勝敗情報のみを利 用しており，得点情報については考慮していない。得点 情報を考慮にいれてランキングを作成する方法も考案 されている。有名なものではバスケットボール（FIBA， 2019）やラグビー（World Rugby， 2019），女子サッカー （FIFA， 2019）などが挙げられる。しかしながらこれら の方法も原理的にはポイント交換方式を用いているが， 様々な条件が付されており，ポイント加算方式と同様に 全体を通じた総合的な設計が不可欠となっている。具体 的には試合結果の得点差がバスケットボールでは9点差 ごとに交換するポイントが変化し，ラグビーでは15点差 以上で交換するポイントが1.5倍になる。また，女子サッ カーでは0対 0から6対12まで各スコアで交換するポイ ントが一覧表でまとめられている。これは両チームの合 計得点がそれほど多くないため，ほぼすべての得点状況 を想定しているためである。しかし，例えば水球のよう に10点程度の得点がある競技を想定する場合，バスケッ トボールやラグビーのように，恣意的にある点差で区 切ってポイント数を変化させるには得点数が少なすぎ， 女子サッカーのように全ての得点ケースを一覧表にする には得点数が多すぎるという問題がある。 このように得点を競うチーム競技の場合，従来のラン キング手法では得点情報を無視したEloレーティング等 の計算手法は簡便だが妥当性は低くなり，得点情報を加 味すると一定の得点差で交換するポイントを変化させる ため，大会形式や得点差など，全体を通じた総合的な設 計が必要になる。さらに水球のような10点程度の得点情 報を加味したEloレーティングの計算手法の開発に関す3．1．2．ポイント交換方式 ①（Eloレーティングの手法） ここでは広く用いられているEloレーティング（Elo， 1979）について解説する。チームの成績を示すパラメー タ（今後，これをチームiのレーティングと呼ぶ）をri で示し，チームiとjが対戦した場合，iが勝利する確 率 pi,jが次式に従うと仮定する。 pi,j＝ 1 1＋10（ rHj ri） ………（1） この仮定はロジスティック回帰モデルと呼ばれ，がんの 発症率や迷惑メールの出現率など，幅広い分野で利用さ れている。本研究ではレーティングが正しく設計されてい れば，式（1）から得られる勝率で試合結果を予測する ことが可能となる。ここでHは両チームのレーティング差 の影響を定める定数であるが，多くの競技ではH＝400 が用いられている（Stefani， 2011）。 また，チームi ，j 間の試合結果が si,j＝ 1 （i wins） 1 （i draws） 2 0 （i loses） ………（2） で表されるとしたとき，試合後のレーティングが r′i＝ ri＋k（si,j−pi,j）………（3） と更新される。 この方式では，レーティングの算出には試合前の両チー ムのレーティングが必要である。すなわち，あるチームの レーティングを計算するためには，関与する全チームか つ全期間の対戦結果が必要である。 式（3）の定数 kはk 因子（K-factor）と呼ばれ，レー
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．方 法
本節ではまず対象とする水球の世界ランキングについ て議論し，その後レーティング算出方法を提案する。最 後に提案手法を用いた適用事例としてのリオ五輪最終予 選と本戦への適用について述べる。 3．1 ．提案手法によるランキング・レーティングの算 出及び他指標との比較 3．1．1．ポイント加算方式 国際水泳連盟（FINA）は五輪，世界選手権などの主 要国際大会の順位をランキングポイントに換算し，加算 方式として一定期間の合計をそのチームのランキング ポイントとし，その値で世界ランキングを定めている （FINA， 2019）。各順位に対しランキングポイントをいく つ付与するかの設計により，ランキング上位となるチー ムが異なる。図 1に，主要国際大会の各順位で得られる ランキングポイントを示す。五輪や世界選手権といった 世界大会でも大会により優勝チームが得られるポイント が異なる。また，下位になるに従って各順位間で得られ るポイントの差は小さくなっていくが，この小さくなる 割合も各大会，各順位間で一定でなく，一貫性が保たれ ていない。さらに，下位については一律で同じポイント が与えられるため，勝敗による差異がつきにくい。また， 大陸間の実力差もポイントに反映されていない。このよ うに，FINAのランキングポイントの設計には数理的根 拠が乏しく，したがって，このランキングポイントによ りそのチームの実力を推定し，ランキング化する際の妥 当性には大きな疑問が残る。 0 5 10 15 20 順位 Olympic Games World Championships World League / World Cup Continental Championships OGQT Development Trophy 120 100 80 60 40 20 0 獲得FINAポイント 図1．主要国際大会での順位と獲得できるランキングポイントの関係ムjの失点）をai,j，チームjの得点（チームiの失点） をaj,iとする。 ここでチームi ，j 間の試合結果 si,jを si,j＝a ai j i j＋aj i ………（4） とするものである。試合結果を得点の比で記載する手法 はバレーボールの取得セット数によるレーティング算出 を試みた小中（2017）でも提案されているように，得点 などの試合結果をレーティングに算出する際に用いられ る手法である。 提案手法 ② チームi ，j 間の試合において，チームiの得失点を ai j−aj iとして，試合結果 si,jを si,j＝ 1 1＋10b（ai j− aj i）………（5） とするものである。 ここで以下の式 f（x）＝ 1 1＋10b x ………（6） これはシグモイド関数と呼ばれ，以下のような特徴をも つ単調増加関数である。 lim f（x）＝ 1 x→∞ lim f（x）＝ 0 x→−∞ f（0）＝ 12 ………（7） ここでbをゲインと呼び，図 2に示すように，この値 ティングの更新量を定める定数である。この値の設定に より，レーティングの性質が変化する。例えばkが大きす ぎれば1回の勝利により大きなレーティング変化を生じ させ，逆に小さすぎれば何回勝利しても小さなレーティ ング変化しか生じない。チェスのプロレベルでは16が利 用されており，Eloレーティングを用いている女子サッカー では大会の重要度に応じてkの値を変化させている。 3．1．3．ポイント交換方式 ②（本研究における提案手法） Eloレーティングの手法において，レーティング更新 の式（3）において，pi,jは試合前のレーティング差が 試合後のレーティングに与える影響を示しており，si,j は試合結果（勝敗）が試合後のレーティングに与える影 響を示している。Eloレーティングのようにsi,jが勝敗 のみでレーティングを算出する場合，水球のような球技 で1点差で勝利しても10点差で勝利しても，対戦相手が 同じであればレーティングの更新量は同じであり，これ はより詳細なレーティングの更新を阻害している可能性 がある。このような場合，勝敗だけでなく，得点を考慮 することでより適切なレーティングの更新量を算出する ことができると考えられる。本研究ではこの点を改善す る手法として，試合結果が与える影響を示すsi,jに対し て2つの処理を提案する。 以下に2つの提案手法のそれぞれの概要を以下に述べ る。 提案手法 ① チームi ，j 間の試合において，チームiの得点（チー 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 b=1 b=2 b=3 b=4 b=5 図2．ゲイン（b）の値を変化させた場合のシグモイド関数 f（x）＝ 1 1＋10b x
全ての試合結果からチームのレーティングを算出す る。 ⅱ ．それぞれの試合において，試合前のレーティング 高位のチームが勝利する確率 qが最も高くなるよ うなk，H，bの値を求める。kとHに関しては1 から1024まで1ずつ，bに関しては0.001から1まで 0.001ずつ変化させて確率 qを求めた。 なお，以下のような場合はqの算出から除外した。 ・試合前のレーティングが等しい場合（ri＝ rj）
・試合後の得点が等しい（同点）場合（ai,j＝ aj,i）
3．1．5．調査対象期間，大会 2012年ロ ン ド ン五輪以降，2016年リ オ五輪ま で の FINAおよび各大陸水泳連盟主催の各種国際大会の結果 を対象とした（全20大会，計749試合）。表 1に対象と なった国際大会の分類と実施年及び試合数を示す。 3．1．6 ．本提案手法の適用事例として，リオ五輪最終 予選および本戦での事例の検討 リオ五輪最終予選及び本戦を事例として，それぞれの 手法用いて実際の試合結果と各チームのレーティングと によりチームi ，j 間の得点差 ai j−aj iの与える影響が変 化し，si,jの値が変化する。 なお，ここでb → ∞としたときはEloレーティング と同等になる。つまり本手法はEloレーティングの拡張 版ということができる。 提案手法 ① 及び②により決定したsi,jに対して，Elo レーティングと同様に pi,j＝ 1 1＋10（ rHj ri） ………（8） として計算し，試合後のレーティングを r′i＝ ri＋ k（si,j− pi,j）………（9） により算出する。 3．1．4．計算の流れ 本研究ではEloレーティング，提案手法 ①，提案手 法②のそれぞれ3つの手法において，以下の流れでパ ラメータを測定した。 ⅰ ．各チームのレーティング初期値を1500とし，ま たk，H，bをパラメータとして調査対象期間中の 表1． 2012年ロンドン五輪後から2016年リオ五輪までの主要国際大会 No. 実施年 大会分類 試合数 1 2012 Asian Championships 28 2 2013 American Championships 10 3 2013 Development Trophy 30 4 2013 World League 56 5 2013 World Championships 44 6 2013 Asian Championships 14 7 2014 World League 66 8 2014 European Championships 44 9 2014 World Cup 24 10 2014 Asian Championships 16 11 2015 American Championships 5 12 2015 Development Trophy 25 13 2015 World League 94 14 2015 American Championships 20 15 2015 World Championships 48 16 2015 Asian Championships 10 17 2016 European Championships 56
18 2016 Olympic Games Qualification Tournament 42
19 2016 World League 75
20 2016 Olympic Games 42
リオ五輪は2016年 8 月 6 日から20日までブラジルのリ オデジャネイロにて行われた。最終予選と同様の形式で 出場12か国を6チームずつ2グループに分け，それぞれ 総当たりの予選リーグを実施してグループ内の順位を決 定する。その後は両グループ上位 4チームずつで相手グ ループとのたすき掛け戦から始まる決勝トーナメントを 実施する。ここでもこのたすき掛け戦に勝利することで 最終順位が大きく変動するため，グループ予選最終日に 試合結果の操作が発生する可能性が考えられる。表 3に グループ予選最終日試合前の勝点表を示す。 両大会における，たすき掛け戦を前にした予選リーグ 最終戦を中心に，対戦チーム同士のレーティング差とそ の試合結果について調べた。 を比較する。それぞれの大会の概要は以下の通りである。 リオ五輪最終予選は2016年 4 月 3 日から4月10日まで イタリアのトリエステで実施された。この大会の上位 4 チームにリオ五輪への出場権が与えられる。参加国12チー ムを6チームずつ2グループに分け，それぞれのグルー プで総当たり戦を実施してグループ内の順位を決定する。 その後，両グループ上位 4チームずつで相手グループと のたすき掛け戦から始まる決勝トーナメントを実施す る。このたすき掛け戦での勝利は上位 4チームの確定， すなわちリオ五輪の出場権獲得を意味するため，出場各 チームにとって最も重要な目標ともいえる。そのため， たすき掛け戦の対戦相手を操作する目的でグループ予選 最終日に試合結果の操作が発生する可能性が考えられ る。表 2にグループ予選最終日試合前の勝点表を示す。
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．結 果
3つの手法を用いてqとH，kの関係性を調べた結果 の一例として提案手法 ①による結果を等高線図として 図 3に示す。Eloレーティングや提案手法 ②も同様の 傾向で，おおまかにH ＜ kの領域でqが最大値を取っ ていることが確認できた。 次にH＝300，400，500の そ れ ぞ れ に お い て，kと ｑの関係を調べ た。そ の一例と し て提案手法 ① に よ る結果を図 4に示す。Hとkが そ れ ぞ れH＝400， 262＜ k ＜268及び，H＝500，319＜ k ＜337においてq が最大値 q＝77.1%を取っていることが確認できた。 表2．リオ五輪最終予選のグループ予選最終日，試合前の勝点表 グループA 国名 勝 分 負 勝点 グループB 国名 勝 分 負 勝点 得失点 1 HUN 3 1 0 7 1 ITA 3 0 1 6 ＋35 2 CAN 2 2 0 6 1 NED 3 0 1 6 0 2 FRA 3 0 1 6 1 ESP 3 0 1 6 ＋18 4 ROM 1 1 2 3 4 GER 1 1 2 3 ＋13 5 RUS 1 0 3 2 5 KAZ 1 1 2 3 − 9 6 SVK 0 0 4 0 6 RSA 0 0 4 0 −57 表3．リオ五輪のグループ予選最終日，試合前の勝点表 グループ予選最終日（2016/ 8 /14）試合前の勝点表 グループA 国名 勝 分 負 勝点 グループB 国名 勝 分 負 勝点 1 GRE 2 2 0 6 1 ESP 3 0 1 6 1 BRA 3 0 1 6 1 CRO 3 0 1 6 3 HUN 1 3 0 5 1 ITA 3 0 1 6 4 SRB 1 2 1 4 4 MNE 2 0 2 4 5 AUS 1 1 2 3 5 USA 1 0 3 2 6 JPN 0 0 4 0 6 FRA 0 0 4 0本提案手法 ②を用いて計算した，リオ五輪最終予選 のグループ予選最終日の結果とレーティングを表 5に， そ し てFRA-CANの よ う に8点差と な っ た対戦と そ の 時のレーティング差を表 6に示す 。全42試合中，FRA-CANのレーティング差29.4というのは5番目に小さな レーティング差であった。表 7に決勝トーナメントの結 果と最終レーティングを示す。結果としてたすき掛け戦 ではFRAがNEDに12対11で勝利してリオ五輪出場を獲 得した一方，CANはESPに7対 8で敗れ，リオ五輪出 場を逃している。なお，大会後の各チームのレーティン グ を見て も，FRAが1508，CANが1647で あ り，リ オ五 輪出場のFRAの方が不出場のCANよりも低位であった。 同様にリオ五輪のグループ予選最終日の結果とレー ティングを表 8に，そしてCRO-FRAのようにレーティ ング低位のチームが勝利（いわゆる番狂わせ）した中で， レーティング差が大きい上位10試合を表 9に示す。当該 試合が上位から4番目にレーティング差の大きい試合で あった。表10にリオ五輪の決勝トーナメントの結果と 最終レーティングを示す。CROがFRAに敗れたことで， たすき掛け戦で対決しなかったCROとSRBがそれぞれ 順当に勝ち上り，決勝戦で対戦した結果，SRBが11対 7 で勝利して優勝，CROが準優勝となった。 また，提案手法 ②による，H＝400の際のqとk，b の関係を等高線として図 5に示す。100＜k＜400の領域 でqが最大値を取っていることが確認できた。 最後に提案手法 ②による，H＝400，k＝190の際の qとbの関係を図 6に示す。 0.133＜ b ＜0.142に お い てqが最大値 q＝79.5%を取 ることがわかった。 また，調査対象期間中に実施された各大会の順位と， それぞれのチームのレーティングの順位との相関を調べ る目的で，スピアマンの順位相関係数及びケンドールの 順位相関係数をそれぞれ求め，全20大会から得られたそ れぞれの結果の平均値を算出した。これらの結果と各手 法におけるqの最大値を表 4にまとめた。各手法にお けるqの最大値はEloレーティングがq＝75.9%，提案 手法 ①がq＝77.1%，提案手法 ②がq＝79.5%であった。 また，各大会前のFINAランキングを基に同様のqを求 めるとq＝76.9%となった。スピアマンの順位相関係数 は提案手法 ②の0.914が最も高く，続いてEloレーティ ングの0.853，提案手法 ①の0.825の順となった。また， FINAラ ン キ ン グ か ら同様の順位相関係数を求め る と 0.752となった。また，ケンドール順位相関係数は提案 手法 ②の0.840が最も高く，続いてEloレーティングの 0.746，提案手法 ①の0.714の順となった。また，FINA ランキングから同様の順位相関係数を求めると0.633と なった。 76-78 74-76 72-74 70-72 q 10 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 k H 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 10 図3．提案手法 ① における，定数 k と H を変化させたときの確率（q）の等高線図 表示は黒色から白色まで4段階に分けられて おり（70%＜q＜72%では黒色，72%＜q＜74% で は濃 灰 色，74%＜q＜76%で は淡 灰 色， 76%＜q＜78%では白色），確率 qが高くなる につれて黒色から白色へと変化する。図の左上 部（H＞kの領域）で は70%＜q＜72%，右下 部（H＜kの領域）では72%＜qとなっており， 特に直接 H ＝0.4kの周辺で76%＜q＜78%の領 域があることがわかる。
76 76.5 77 77.5 78 78.5 79 79.5 80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 q b 図6．提案手法 ② における H＝400，k＝190でのゲイン（b）と確率（q）の関係 55 60 65 70 75 80 0 200 400 600 800 1000 q k 300 400 500 図4．提案手法 ① における，H=300，400，500のときの定数 k と確率（q）との関係 k 77.5-80 75-77.5 72.5-75 70-72.5 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 10 b q 図5．提案手法 ② における，定数 k とゲイン（b）を変化させたときの確率（q）の等高線図（H＝400） 表示は黒色から白書まで4段階に分けられて おり（70%＜q＜72.5%では黒色，72.5%＜q＜75% で は濃 灰 色，75%＜q＜77.5%で は淡 灰 色， 77.5%＜q＜80%で は白色），確率 qが高く な るにつれて黒色から白色へと変化する。図の 左端上部の み70%＜q＜72.5%の領域が あ り， 100＜k＜400かつ0.1＜b＜0.5に77.5%＜q＜80% の領域がある。
表4． 調査対象期間の国際大会大会における，各種ランキング手法の確率（q），及び 大会後の順位との順位相関係数の平均（ s：スピアマン，τ：ケンドール） 確率 順位相関係数 q s τ Eloレーティング 75.9 0.853 0.746 提案手法 ① 77.1 0.825 0.714 提案手法 ② 79.5 0.914 0.840 FINAランキング 76.9 0.752 0.633 表5．リオ五輪最終予選のグループ予選最終日，試合の結果と試合後の勝点表 2016/ 4 / 7 13:50 FRA（1576） 5-13 CAN（1606） 15:10 HUN（1753） 16-7 SVK（1481） 16:30 RUS（1534） 8-8 ROM（1547） 17:50 ESP （1720） 16-4 KAZ（1514） 19:10 NED（1530） 17-7 RSA（1277） 20:30 ITA （1728） 12-6 GER（1500） グループA 国名 勝 分 負 勝点 グループB 国名 勝 分 負 勝点 得失点 1 HUN 4 1 0 9 1 ITA 4 0 1 8 ＋41 2 CAN 3 2 0 8 2 NED 4 0 1 8 ＋10 3 FRA 3 0 2 6 3 ESP 4 0 1 8 ＋30 4 ROM 1 2 2 4 4 GER 1 1 3 3 ＋ 7 5 RUS 1 1 3 3 5 KAZ 1 1 3 3 −21 6 SVK 0 0 5 0 6 RSA 0 0 5 0 −67 勝点が同じ場合，直接対決の勝点，直接対決の得失点の順に比較 グループB： ① 直接対決の勝点は，ITA，NED，EPSが2で並ぶ ② 直接対決の得失点はITAが＋ 5で1位
③ NEDとESPの直接対決の勝ち点はNEDが2，ESPが0
表6． 調査対象期間の国際大会において8点差がついた試合と提案手法 ② によるその時のレート差
（僅差上位10試合）
No. 実施日 対戦国A 対戦国B レートA レートB レート差 得点A 得点B 点差
1 2012/11/19 HKG THA 1500 1500 0.0 4 12 8 2 2013/ 1 /31 ARG CAN 1528 1536 7.6 6 14 8 3 2013/10/ 3 SIN CHN 1450 1467 16.6 8 0 8 4 2013/ 5 / 8 TUN PER 1414 1394 20.2 10 2 8 5 2016/ 4 / 7 FRA CAN 1576 1605 29.4 5 13 8 6 2014/ 9 /30 JPN KOR 1511 1474 36.6 13 5 8 7 2016/ 8 / 8 JPN BRA 1571 1623 51.5 8 16 8 8 2016/ 1 /20 MLT SVK 1398 1458 59.6 9 17 8 9 2013/ 5 / 9 PRI RSA 1521 1459 62.4 14 6 8 10 2016/ 6 /21 GRE JPN 1556 1618 62.6 15 7 8
表8．リオ五輪のグループ予選最終日，試合結果と試合後の勝点表 グループ予選最終日（2016/ 8 /14）の結果 2016/ 8 /14 12:50 MNE（1751） 9-9 ESP （1544） 14:10 AUS（1670） 12-7 GRE（1777） 15:30 USA（1665） 10-7 ITA （1681） 16:50 FRA（1538） 9-8 CRO（1725） 19:30 SRB（1754） 12-8 JPN（1527） 20:50 BRA（1649） 6-10 HUN（1764） グループ予選最終日（2016/ 8 /14）試合後の勝点表 グループA 国名 勝 分 負 勝点 グループB 国名 勝 分 負 勝点 1 HUN 2 3 0 7 1 ESP 3 1 1 7 2 GRE 2 2 1 6 2 CRO 3 0 2 6 3 BRA 3 0 2 6 3 ITA 3 0 2 6 4 SRB 2 2 1 6 4 MNE 2 1 2 5 5 AUS 2 1 2 5 5 USA 2 0 3 4 6 JPN 0 0 5 0 6 FRA 1 0 4 2 勝点が同じ場合，直接対決の勝点，直接対決の得失点の順に比較
グループA：直接対決の勝点，GREが3，BRAが2，SRBが1
グループB：直接対決の勝点，CROが2，ITAが0
表7．リオ五輪最終予選の決勝トーナメントの結果
たすき掛け戦（準々決勝；勝利チームはリオ五輪出場権獲得） 準決勝
2016/ 4 / 8 16:00 HUN（B1） 8-7 GER（A4） 2016/ 4 / 9 19:00 HUN 15-9 FRA
17:30 CAN（B2） 7-8 ESP （A3） 20:30 ESP 5-6 ITA
19:00 FRA （B3） 12-11 NED（A2） 決勝
20:30 ROM（B4） 7-8 ITA （A1） 2016/ 4 /10 17:50 HUN 10-8 ITA
順位 国名 レーティング 1位 HUN 1747 2位 ITA 1699 3位 ESP 1726 4位 FRA 1508 5位 NED 1583 6位 CAN 1647 7位 ROU 1548 8位 GER 1519 9位 RUS 1537 10位 KAZ 1492 11位 SVK 1474 12位 RSA 1266
相関（s＝0.914，τ＝0.840）があり，Eloレーティング 及び提案手法 ①は中程度の相関（s＝0.853，τ＝0.746 及びs＝0.825，τ＝0.714）が あ る こ と が確認で き た。 これらの結果より，特に提案手法 ②に基づくレーティ ングは各チームの実力を適切に評価し，その後の試合結 果をある程度予測できることが示された。
5
．考 察
5．1．結果の妥当性について 表 4の結果より，対戦前に算出したレーティングを比較 し，高位のレーティングを有するチームが勝利する確率 qは提案手法 ②が79.5%で あ り，提案手法 ①の77.1% やEloレーティングの75.9%よりも高値であった。また， 各大会の実際の順位と比較すると，提案手法 ②は強い 表9． 調査対象期間の国際大会においてレート下位のチームが勝った試合と，提案手法 ② に よるその時のレート差（レート差上位10試合）No. 実施日 対戦国A 対戦国B レートA レートB レート差 得点A 得点B
1 2016/ 4 / 3 ESP NED 1731 1423 308.5 5 7 2 2014/ 2 /15 RUS ROU 1634 1391 243.3 7 13 3 2016/ 1 /15 GRE RUS 1753 1514 239.2 8 9 4 2016/ 8 /14 CRO FRA 1725 1539 186.6 8 9 5 2015/ 7 / 8 ECU ARG 1463 1283 179.6 8 21 6 2016/ 8 /10 SRB BRA 1802 1623 179.3 5 6 7 2015/12/16 IRI JPN 1729 1552 177.0 2 23 8 2015/ 2 / 2 FRA TUR 1478 1309 168.6 7 9 9 2013/ 6 /16 CHN SRB 1731 1572 159.0 5 13 10 2016/ 6 /22 ITA GRE 1778 1626 152.6 4 15 表10．リオ五輪の決勝トーナメントの結果 たすき掛け戦（準々決勝） 準決勝
2016/ 8 /16 11:00 HUN（B1） 11-13 MNE（A4） 2016/ 8 /18 12:20 CRO 12-8 MNE
12:20 BRA（B3） 6-10 CRO（A2） 16:30 SRB 10-8 ITA
15:10 GRE（B2） 5-9 ITA （A3） 決勝
16:30 SRB （B4） 10-7 ESP （A1） 2016/ 8 /20 17:50 SRB 11-7 CRO
順位 国名 レーティング 1位 SRB 1807 2位 CRO 1724 3位 ITA 1723 4位 MNE 1694 5位 HUN 1774 6位 GRE 1693 7位 ESP 1673 8位 BRA 1599 9位 AUS 1737 10位 USA 1698 11位 FRA 1588 12位 JPN 1536
5．3．2．リオ五輪について
表 8のグループ予選最終日は，SRB（1754）のグルー
プA 4 位が濃厚であった。グループBの予選最終試合は
CRO 対 FRAであった。ここでCROが勝つとグループ
B 1 位となり，たすき掛け戦でグループAの4位である
SRBもしくはHUN（1764）との対戦が予定されていた。
結果としてCRO 対 FRAの試合はCROが8対 9で敗北し，
CROがグループBの2位となった。ここで表 8からこ の試合前のレーティングはCROが1725でFRAが1539で あり，レーティング差が186.6であった。そして表 9から， この試合は4番目に大きな番狂わせの試合であった。こ れらのことから，レーティングが十分に高いCROがたす き掛け戦でSRBとの対戦を意図的に避ける目的でFRA に敗北した可能性がうかがえる。表 8のグループ予選最 終日の試合結果と試合後の勝点表から，結局 SRBがグ ループAの4位，CROがグループBの2位となり，両チー ムのたすき掛け戦での直接対決は回避され，表10のよう に結果としてSRBが優勝，CROが準優勝となった。 このように本手法を用いて対戦チームのレーティング を比較することで，無気力な試合や意図的に試合に敗れ たと考えられる現象が確認できた。これは各チームが大 会において高い順位を目指すあまり，たすき掛け戦の対 戦相手を操作する目的で，予選リーグ最終戦間近にあえ て敗北を選ぶ，もしくは無気力な試合をすると疑われる 事例として挙げられる。 このような事例がもし本当に行われていたとしたなら ば，レーティングの正確性を低下させる要因になりうる ものであるだけなでなく，そもそもスポーツの品位を貶 める行為である。このような事態を避けるためにも今後， 現状の対戦方式を採用しているFINAルールの見直しを することが重要になるだろう。
6
．まとめ
得点情報を加味したEloレーティングを用いて各チー ムのレーティングを算出することで水球の世界ランキン グを作成し，FINAが発表しているランキングと比較し た。提案手法 ②についてはFINAのランキングよりも 勝利予想確率（q）も大会順位との順位相関係数につい ても高値であった。また，本手法を用いることで大会上 位を目指しての意図的な敗戦や無気力試合の可能性につ いて言及することができた。 5．2．FINA ランキング，他競技のランキングとの比較 提案手法 ① 及び②とFINAのランキングから算出し た結果を比較すると，提案手法 ②はqおよび順位相関 係数のどちらにおいてもFINAのランキングよりもよい 結果が得られた。なお，qに関してはFINAランキング が提案手法 ①と同等であり，Eloレーティングより高 くなった一方，順位相関係数に関してはFINAのランキ ングが最も相関が低くなった。 Stefani（2011）ではサッカー（FIFA2010 ワールドカッ プ），バスケットボール（FIBA2010 ワールドカップ）， テニス（2006∼2010のグランドスラム）のそれぞれの国 際大会におけるqについて算出している。それによると， サッカーでq＝48%，バスケットボールでq＝69%，テ ニスの男子でq＝78%，女子でq＝77%であった。本研 究では最も高い提案手法 ②でq＝79.5%であり，最も 低いEloレーティングでq＝75.9%であった。異なる競 技間でのqの値の直接比較はできないが，大まかな大 小関係からも本研究の結果が試合結果をある程度予測で きることが示された。 5．3．試合前のレーティング差と試合結果について 5．3．1．リオ五輪最終予選について 表 5のグループ予選最終日は，第 4 ∼ 6 試合となるグ ループBはそれぞれの対戦においてレーティングが大き く離れており，対戦結果及びグループ内順位の予想がほ ぼつく状態であった。その一方で第 1 試合のグループA のFRA 対 CANはレーティング差が29.4と非常に拮抗し ており，接戦が予想された。ただし，この試合に勝つと グループA 2 位となり，その後のたすき掛け戦でグルー プB 3 位のESP（レーティング1700）との対戦が，負け るとグループA 3 位となりグループB 2 位のNED（同 1532）との対戦が予想された。このように予選最終日に 負けた方がその後の大事な試合でレーティングの低い相 手との対戦が予想される状況となった。結果的に表 5の ようにこの試合はFRAが5対13の8点差で敗北した。 ここで表 6から，この試合は8点差がついた対戦の中 で5番目に小さなレーティング差であった。そしてこの 試合よりもレーティング差が小さい試合というのは，調 査開始から1年以内の各チームのレーティング差が小さ い試合のみであった。これらのことから，レーティング 差が小さい試合にも関わらず8点差という大差で敗れた ということは，FRAがあえて敗北を選ぶ無気力試合を 行った可能性がうかがえる。参考文献
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6．FINA Water Polo World Ranking 2012-2016
https://www.fina.org/sites/default/files/general/fina_ water_polo_world_ranking_2012-2016_4.pdf,
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7．FINA WATER POLO WORLD RANKING MEN POINTS SCORE https://www.fina.org/sites/default/files/general/points_ tables.pdf, accessed 2019/8/31 8．泉武志，小中英嗣． Ｊ1リーグ2ステージ＋ポストシーズ ン制度の統計的分析． 日本オペレーションズ・リサーチ 学会論文誌 59．（2016）：21-37． 9．小中英嗣．バレーボール各国代表チームのレーティング 手法の提案および結果予測・大会形式評価への応用． 統 計数理 65．2 （2017）：251-269.
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11．鳥海崇，綿田博人． 東京六大学野球リーグ戦において勝 敗結果から計算する優勝チームと勝点・勝率との比較研 究． 慶應義塾大学体育研究所紀要 56．1 （2017）：45-53． 12．鳥海崇，綿田博人． 東京六大学野球リーグ及び東都大学 野球リーグを含めた各大学野球連盟における過去30シーズ ンの平均競技力の比較研究． 慶應義塾大学体育研究所紀 要 57．1 （2018）：43-56．
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