側円術(II) : 側円公式の例題・応用
著者名(日)
米山 忠興
雑誌名
東洋大学紀要. 自然科学篇
号
48
ページ
87-97
発行年
2004-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00002489/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja側 円 術 II＊
-側円公式の例題・応用-米 山 忠 興＊*Ellipse in Japanese Historical Mathematics II．
-Applications of Elliptic Formulae-Tadaoki YONEYAMA
序． 前号の『側円術1』において，楕円の外接円及び内接円に関する公式を紹介した． 和算家はこれらの図形の間の関係を，2本の連立方程式に置き換えて解決していた．し かし，この公式の有用性については，解例が少なく分かりにくかったと思われるので，こ こで再び，この公式の例題・応用を紹介する． なおこれらの例題及び解例は，今からおよそ170年ほど前の幕末の頃の和算家たちによ ってもたらされ，今から50年ほど前に加藤平左工門（＃）著『和算ノ研究 雑論1』（昭 和29年：日本学術振興会刊）によって研究されている．それをさらに，50年後の現在に 再び紹介しようとする意図で，幾つかある誤りを訂正しながらここに掲載する． ＃ 加藤平左工門：大正12年東北帝大数学科卒で，林鶴・・一藤原松三郎両博1：に教えを受け，台北高 等学校・台北帝大（予科長）・台湾大・名城大などの教授を歴任（著者略歴他による）． ＊この研究は，平成15年度文部科学省科学研究費補助金基盤研究（C）「算額及び和算の数学史・文化史 的な調査・研究と解法の探究」，および平成14 一一 15年度東洋大学特別研究（個人研究）による． ’‡ 圏m大学自然科学研究室 〒351－8510埼玉県朝霞市岡2－11－10 Natural Science Laboratory， Toyo University，11－10，0ka 2， Asaka－shi， Saitama 351－8510， Japan楕円の外接円（内接円）公式より
（皿） 2b4r十b2AR－a2R3＝0 （W） －1）4r 2十BR 2十2α2rR3＝0 ． あるいは， （V） b2rA十2BR一ト3a2rR2＝0 ． （VI） 3b4r 2十2b2rAR十BR 2＝0 ． ただし， ノ1＝α2十b2十r2－OF2－CT2 B；aL’b2十α2r2⊥b2r2－b20F2－a2C’F2 内接円のときには，（m）～（VI）でr→－rとおく．図1
『側円術1一楕円の外接円・内接円公式一』 東洋大学紀要自然科学篇2003年 第47号pp．61－72． ［側円解例］ 1．楕円の外接円 村田佐十郎 算法側円詳解（四十四） 2．楕円の内接円 1 内田恭 楕円集解（六） 図2 3．楕円の内接円一2 内田恭 楕円集解（七）側円術ll一側円公式の例題・応用一 89
1．楕円の外接円
村田佐十郎：算法側円詳解（四十四）：（天保四年1833）図3
E－F－一
璽
1＼ 略）答日甲円径三寸一分有奇
円径幾何と問
外円径七寸乙円径極ユ至る其甲
一石一司
と乙円八個を容る灘鋸雛阿
内ユ図の如く側円四個及甲円一
＿o－＿」
図4
図のように，外円径を長径とする楕円4個が（互いに45°の傾きで）外 円に内接し，甲円はそれらの4個の楕円に共通に内接している． さらに，長径端で一つの楕円に内接し，両隣りの2つの楕円に外接す る8個の乙円がある．乙円径が最大になるときの甲円径は幾らか． ［解］ 「乙円径極に至る其の（ときの）甲円径 （＝楕円の短径）は幾らか」という．乙円 が楕円の極円であり，隣り合う2つの楕円 に外接すると謂う条件で，楕円の短径が決 まる． 楕円の長径2αを与えて，甲円径（＝楕 円の短径）2bを求める問題である．乙円は 楕円の極円で，「側円術1』で示したように， b2 γ＝ ．図5
また， a－r OF＝C’F＝ であるから， A＝a2＋b2＋r2－OF2－C’F2 －。・＋b2＋。・一（a－r）2×2 2 ＝a2十ar十r2－（a2－2αr十r2） ＝3ar このA＝3αrを楕円の外接円公式（皿）に代入するが，このAは，『側円術1』の例題 （村田佐十郎：算法側円詳解（三十六））と同じであるから， 2b2
R＝2r＝一．
α （皿） ⇒ 2b‘r十b2AR－a2R3＝0 2a2r3十αr・3αr・R－a21～3＝0 2r3十3r『R－R3＝0 （r－｛－1～）2（2r－R） ＝0 ．’． 2r＝1～ ． また， B＝a2b2＋a2r2＋b2r2－b20F2－a2C’F2 a2 2a2 －，1・｛b6・・a2b4＋・a‘b2－・6｝ このB及び上のR，rを楕円の外接円公式（IV）に代入する． （VI） ⇒ －b4r 2－f BI～2十2a2rR3＝ 0 ． 一・・aE＋（・・＋・・）・・一（・・…）（?j2
．。・b・＋（。・．b・）旦L（。・．b・）（α2－b2）2 一b・・ ｾ彦｛b・＋・a・b・＋…b・一・・｝箏＋…÷警6－・ －a2bS十（2b6十6a 2b4十6a 4b 2－2a6）」－1602b 4＝0 2b6一ト21a2b4十6a4b2－2α6＝0 （2b2十a2）（2b4－f 20a2b2－4a4） ＝O b2 一（－5±后）α2 ゲ＞0だから b2＝ （3Vli－－5）a2 ．’D b＝后α≒O．44289a （甲円径）
2α＝7寸を代入すると， 2b＝3．10024寸となって，算題の答が正しいことが分かる．側円術ll一側円公式の例題・応用一 91
2．楕円の内接円一1
内田恭 楕円集解（六）図6
一一一
積一得レ数開二平方 得二乾円径一合レ問 ‥ －－ ー1ー五百個開二平方一以減レ極余円積率以除二外
ト トヲ テ 術日置二八個一開二平方一加一一二十個一名・極、 答日乾円径一十九寸有奇
坤円四個⊃只云外積一百三十二寸六分二
厘、欲・使二坤円径至少べ問二乾円径幾何一、図7
ー－‘
云有・如・図側円内容・乾円二晶酪づ瓢
＿＿一
この楕円集解（六）の問題は，少しヒネッてあって，楕円内の6つの円（乾円2個と坤 円4個）を除いた部分の面積を「外積」として与え，坤円径が最小になるときの乾円径を 求める問題である．（後述） しかし，敢えてそんな不自然な問題設定をしなくても，以下のような形で，楕円の内接 円公式を利用する問題にすることが出来る． ［改題］ 図のように，互いに外接する乾円2個が，楕円と長径端一所で切している． さらに，4個の坤円が楕円に内接し，乾円に外接している． このとき，最小となる坤円径を，乾円径で表わせ． ［解］ r 楕円の内接円C’の半径 rl：楕円の半長径を直径とする円Olの半 径 R：楕円の長軸上に中心を持ち，楕円及び その内接円C’と接点を共有する円の 半径（この円は図には描かれていない）図8
楕円の長径・短径を，それぞれ2α，2bとする．楕円の長径を与えれば，乾円径はその 半分である．楕円短径が大きければ，坤円径は大きい．しかし，短径が小さすぎると，乾 円が楕円と1所で接するという条件を満たさなくなる．よって，乾円が楕円の極円である とき，坤円径は最小である． よって乾円の半径r1について
rl－9．かつ・一三
2．・．旦＝b2⇒ b＝a
2 万
また，OF2＝〆， ・’F2 一・’・，2－・IF2－（一十r2）2－（号一・）2 ＝2ar． よって ．4＝α2⊥b2十ア2－OF2－C’F2 。。・．t＋。・．r・．2。r 2 3a2 α ＝2－2・r＝丁（3・－4r）・ B＝α2ゲ＋a2r2＋b2r2－b2・OF2一α2・C’F2 2 2 2 ＝a2． a ＿トa2r2＿トーf｛＿r2＿一≦≧＿．r2＿a2．2αr 2 2 2 2 －；（a2－・・r＋・r2）・ この問題では，円C’（r）は楕円に内接しているから，公式（V）（VDにおいて， r→－rと置き換えたものに，上で計算したA，B及びb2を代入する． （V） ⇒ －b2rA」－2BJ～－3a 2rl～2＝0 2 2 ÷・・；（・・一・・）・・R；（α2－・・r＋・・2）一・α2rR2－・ －ar（3a－4r）十4R（a2－4ar－－2r2）－12r頭～2＝0 ， ・・・・・・… （V）ノ （VI） ⇒ 3b4r 2－2b2rA R十．BR 2＝0 ． 4 2 2 ・｛・ r2－・」丁・rR・9（・・一・・）・号（a2－・ar＋・r2）・R2－・ 3a2r 2－2ar∬～（3a－4r）十2∬～2（a2－4ar十2r2） ＝0 ， ・・… t－・・（VI）’ ここで， （V）’×（a2－4ar十2r 2）十 （VI）’×6r ⇒ 一αr（3α一4r）（α2－4αr十2r2）十4R（α2－4ar十2r2）2十18α2r3－12αr21～（3a－4r） ＝0 ， ∴4R（a4－8a3r＋11a2r2－4αr3＋4r4）－ar（3a3－16a2r＋4αr2－8r3）①側円術ll一側円公式の例題・応用一 93 また， （V）’×3ar十（VI）’×（3α一4r） ⇒ 12ar（a2－4αr十2r2）1～－36αr21～2－2ar（3a－4r）2R一ト2（3α一4r）（a2－4ar－←2r2）1～2＝ 0
∴αr（3α2ヰ4r2）＝R（3a3－16a2r＋4ar2－Sr3）②
①と②からRを消去すると， 4（a4－8a3r十11a2r2－4ar3十4r4）×（3α2十4r2） ＝ （3a3－16α2r十4αr2－8r3）2 これを計算して， 16r4十44a2r2－a4；0 、＿－22±222＋16，＿－22±Vf566－2 r － a 一 α 16 16 － －22±10V信一 2＿ －11±5在一@2
－ a － a l6 8 r2＞0 だから 、 sV5’ 一 11， r ； a ． 8 ところで，楕円集解（六）の元の問題に戻 って，外積を与えて坤円が最小のときの乾円 径を求めてみよう． 外積をSとすると， nr2×…（旦2）2×…一・・b・ 先に求めたように，〆，bをαで表わせば，吋5告’La2・♀｝・・一橿
・一・a2 o10－5万 1 2 ＋万｝ 210－sV5一ト拒一 ＝πa 2 ． 2＿ 2S ．． a 一 π（10－sVs」十，rl｝一）／碗｛
，製積s・ ㌢
／ ＼a l … 丁＼丁 ノ
＼噸ゑ一
／
図9
ここに，S＝132．62を代入すれば， 乾円径＝α≒19．000013となり，元の答と一致する．94
3．楕円の内接円一2
内田恭：楕円集解（七） 米 山 忠 興 大 図10一一一
乗二中径一得二小径一合レ問 術日置二一十二個一開一一平方一内減二一二個一余答日
小円径百十七寸有奇
少小円径幾何
図11 楕円内に大円1個，中円2個，小円4個が上の図のように，各々，内接・ 外接している．大円は楕円短径を直径とし，中円は大円に外接し楕円に長径 端で内接している．さらに，小円は大円・中円に外接している． 中円径が与えられたとき，楕円の短径が最小となるときの小円径は幾らか． ［解］ 中円径が与えられたとき，もし大円 径が大きければ，図12の（a）のよう になり，大円径を小さくしていくと， （b）のように中円が楕円の長径端に おける曲率円になり，さらに大円径を 小さくすると，（c）のように中円が楕 円の長径端から離れてしまう． その間，小円径もだんだん小さくな （b） 図12 曲率円 中 大 小 （c） 中図13
側円術H一側円公式の例題・応用一 95 っていく．よって，（b）が条件を満たす最小の大円径（＝楕円の短径）である．図13のように， 楕円の長径＝2α，短径＝2bとする． また，大円径＝2b，中円径＝2rl，小円径＝2rとする． 中円は曲率円だから，前間と同様に b2 「1＝ ・ a 図13から 2b2 a＝ b十2ri＝ b十 a a2一αb－2b2＝0 （α＋の（α一2め＝0 ．’． a＝2b ， ゆえに， b 「1＝2・ （すなわち，a＝2b＝4r！ ．） また，△OO，C’において第二余弦定理を用いると， （rl 十r）2＝（b十rl）2十（b十r）2－2（b十rl）・OF 2rir＝2b2十2b（rl十r）－2（b十rl）・OF br＝2b2十b2十2br－3かOF 3b・OF＝3b2十br ．・． OF＝b十」二． 3 C’F2－（b＋r）2－（b＋9）2 4br 8r2 ＝ 十 3 9 これらを用いて， A＝a2＋b2＋r2－OF2－C’F2 －・・＋・・＋r・一（ rb十一 3）2－（4iγ⊥8；2） ＝a2－2br＝4b2－2br ＝2b（2b－r） ， B＝α2∂⊥a2r2＋ゲγ2－b2・ OF2一α2・C’F2 －・・b・＋…W－b2・（ rb十一 3）2－…（41γ＋8；2） 一 4b・⊥4b・r・＋b・r・．b・一！1’ib・－b2r2－16δ3L 32b2・2 3 9 3 9 －・b‘一・b3r ・9b2・2一ゲ（・b2－・b・＋9r2）・
ここで側円公式を用いる． （V） b2r 4＋2BR 十 3a2rR 2＝0． （VI） 3b4r 2十2b2rA 1～十BI～2＝0 ． ただし，内接円だから，r→－rとする．
巴∴芸；llll露：竺：°
上の2式を，それぞれ，2b2， b2で割るとL二llご：∵㌶∴ ：1：
まず， （1）・（・b2－・br＋1・2）・（・）・・r⇒ R｛（・b2－・br＋｛ト2）2－24・2b（・b－r）｝ 一｛br（・b－r）（・・2－・b・斗i・2）－18b2r3｝ ∴R｛・b4－36b3r－・b2・2＋…3阜4｝－b・｛・b3－15b2・一芸・・2－gr3｝，（・） 次に， （1）×3br 十 （2）×（2b－r） ⇒ R｛・br（・b－r）2－・b・（・b2－・br＋9・2）｝ －R2｛（・b－・）（・b2－・br＋丁・2）－18b・2｝ ∴b・｛・b2・・br｝－R｛・b3－15b2・－ll’Lbr2－9・3｝・ （・） （3）と（4）からRを消去して， ｛・b4－36b3r－・b2・2＋・br3＋剖・｛・ゲ＋・b・｝一｛・b3－15b2・一誓ゲ÷3｝2 この式を展開し，bの降幕の順に整理し，－9を掛けると， －243b6十486bsr一ト1917b4r2十1944b3r3十888b2r4⊥192br5十16r6＝0 さらに・b6で割り㌃一・とおき・その左辺をf（・）とする・ f（t） ≡ 16t6十192t5十888t4十1944t3十1917t2十486t－243 ． この式を因数分解するために，各項の係数を素因数分解して調べてみると，16＝24 192＝26×3 888＝23×3×37 1944＝23×35 側円術ll一側円公式の例題・応用 1917＝33×71 486＝23×5 243＝35 97 f（t）が有理数の範囲で因数分解出来るならば， 3「n
