変位関数に曲げ縮み連成項を含む一元複合非線形有限要素法

【論　 文】 UDC ：624

．

02 ：624

．

04 日本 建 築学 会 構造 系 論 文 報 告 集 第 384号

・

昭和 63 年 2 月

変位 関

数

に

曲 げ縮

み

連 成 項

を

含

む

一

次

元

複 合 非 線 形 有 限要 素 法

正 会 員 正 会 員 正 会 員

石

森

山

田

迫

本

修

清

三＊

貴

＊ ＊

靖

＊ ＊ ＊ 　§

1．

序 　設計 対 象骨組の苛 酷な外 乱 条 件 下に お ける力 学 的 限 界 状態と そ の全 崩 壊 過 程を予 測し吟 味する ことは

，

骨 組の 靱 性 を 高める上で有 意 義なことで あ ろ う。 鋼 構 造 骨 組の 崩 壊 過 程 を も含む挙 動の追跡には

，

大変形に_伴う幾何 非 線形 性とし て の重 力 効 果や_， 材 料 非 線 形 性と して の ひず み硬 化などの影 響 が 精 度 よく導 入さ れて いる解 析 法が必 要 である

、

この よ うな観 点に た っ て

，

中 村

・

石 田等は 1973 年に_， 鋼 構 造 平 面 骨 組が静 的あ るい は動 的に崩 壊 す る過 程 を追 跡す る た めの数 値 解 析 法 を提 案 し た2〕

−

s） 。 　以 後

，

筆 者 等は そ の解析 法およ びプロ グラ ム技 法に_若 干の改 良を加えなが ら6，

”

’

9）

_，

_{い くつ かの静 的 お よ び 動 的} 解 析 （例え ば文 献1°）

−

13j な ど）を通 じ て， この解析法が 前述の 目的の使用に十分耐え う るこ とを確 認してきた。 ま た， 中 村

・

鎌 形

・

小坂はこ の解析 法に非 定 常 履 歴 単 軸 構 成 法 則 を 応 用し た詳 細な部 材 解 析 手 法 を 発 表 して い る］D 。 　こ の解 析 法の主な特 徴の

一

つ は

，

要素におけ る剛体運 動 座 標の採 用である

。

こ の移 動座 標の採 用によっ て

，

材 軸 方 向に細 分 化 された個々 の要 素の変 位は

，

剛体変位と 正 味の変 形に分離して取り扱うことがで き

，

要 素の局 所 剛 性を精 度よ く構 築す ること が で き る

。

第二 の特 徴は

，

要素の_直列性に_着目し た伝達行列 法の導 入である

。

骨 組 の_解析で有限 要素 法が敬 遠され る最 大の理由は

，

い たず ら に自由度が増え， 解くべ き方 程 式の元 数が膨 大にな る こ とに あるとされ て い る。 しか し

，

伝 達 行 列を用いるこ と に よっ て

，

最 終 的に解くべ き全体 系の方 程 式の元数は 各部材の_{分割要素数}に か か わ らず， 部材節点ご とに設け た系座標の_数と な り， よ く知ら れ た線 形 弾 性 骨 絽の解 析 に お け る元 数と変わ ら な く な る

。

　 筆者等は最 近こ の解 析 法 を 上 記二 つ の特 徴に ち な ん で，

Einite

旦lement　method 　with 曩igid

・

body

・

motion

coordinates 　and _工ransfer 　matrix　technique

，

略 して

FERT

と呼んで い るls ）

。

本 論 文の概 要 は文 献 1）で発 表 した

。

　＊ _{京 都工芸 繊 維 大 学　教 授}

・

_工博 ＃ 京都工芸繊維大学 　助 手

・

工修 ＊ ＃ 京 都工芸 繊 維 大 学　大 学 院 生 　 （昭 和62年8月4日原 稿 受理1 　有 限 要 素モ デルは

，

い う ま でもなく連 続 体 を 離 散 化し た モ デル であ る。 変位法 型の有 限 要 素モ デル におい て， その_離散 化 とい う 操 作に直接 関 係し て い る の は変形形 状 を近 似 する変 位 内 挿 式 （変位関 数）であ る。 通常，

一

次 元 有 限 要 素 法で は変位 関 数と し て要素の軸方 向変位は軸 方向座 標の

一

_次

，

た わ み方向変位は 三次の _多項 式 を採 用 し て い る。 FERT の ように移 動座 標を採用し

，

ま た材 料 非 線 形へ の対 処か ら要 素の長さ を あ ま り大き く と ら な い ことを 前 提とし た方 法で は

，

変位内挿の近 似は

，

これ らの変 位 関 数で十 分で あると考えられる。 しかし

，

幾 何 非 線 形 問 題の み を扱う場 合にも要素長 を十 分小さ く採ら なけ れ ば な ら ない こと は不経済であ る

。

も し要素 長 を比 較 的 大き く採ろ う と し た場 合， 現状の変位関 数で は曲 げ 変 形に伴う軸 方 向 縮み （以 下

，

曲 げ縮み連 成と略 称 ）の 効 果 を 個々 の要 素に期 待 するこ と ができ ない

。

そこ で_本 論 文で は_， 曲げ縮み連 成 項を含む変 位 関 数を新たに提 案 し

，

これを用い て

一

次 元 複 合 非 線 形 有 限 要素法 （以下，

FERT −B

と呼ぶ）を作成す る

。

　 幾 何 非 線 形 性の み を対 象とする問 題で は

，

解 析 解に よっ て剛性行列 を誘 導 すること が 可 能であり， 比 較 的古 く か ら曲 げ縮み連 成の効 果 を考 慮し た手 法が提 案 されて い た （例え ば

，1963

年の

Saafani6

〕 ， 1964 年の

Willi−

amsi7 〕 な ど）。

1973

年に

Oran

は， 剛体 変位と相対 的 部 材 変 形を分離す る 局所 座標を導入 し

，

その局所 座 標で の 部 材 カ

ー

変形 関係に

Saafan

が提案した もの を 用い て剛 性 行 列 を 誘 導 して い る18 ）

。

最 近， KQndoh

・

Atluri 且9 ， も 剛 体 変 位の分 離と曲 げ縮み連 成を考 慮し た解 析 解を用い て

，

増 分 間の_{内 部}エ ネル ギ

ー

表 現 か ら 剛 性 行 列 を 導 き， い くつ _かの例 題を と お して， その方法が非常に良い 精度 を もつ こ と を示し た

。

ま た

，

繰 り返し軸 荷 重 をう け る弾 塑性材料の棒 材の解 析 解の誘 導に おいて も

，

曲 げ縮み変 位の_{考 慮}が_行わ れ て い る _（例え ば_，

Nonaka2

°｝_{な ど} ）。 し か し

，

本論 文で述べ _る

FERT −B

の よ うに変 位 関 数に 曲 げ縮み 連 成 を 取 り 入 れ た もの は見当た ら ない

。

　

FERT −B

は

_，

_{幾 何非線 形 問}題 を精 度よ く解析するた めに従 来の FERT を改良し た も ので あ る が

，

言う ま で もな く複 合 非 線 形 問 題へ _{の 適用も可 能}で ある。 それ は

，

FERT と同 様

，

内 蔵してい る要 素 自動 分 割機能4 ｝

・

5｝が_有

一

₈₀

一

NII-Electronic Library Service 効に働く こと

，

必 要 要 素 情 報が

FERT

と ほ とんど変わ らない ことに由 来し て い る。 し たがっ て

，

こ こ で の定 式 化 過 程は複 合 非 線 形 問 題へ の 適_用を も_{前 提}と し て_記し_て あ る。 解析例と しては

，

精度検証の た めの幾何非線形解 析

3

例と 比較参 照の た めの複合 非 線 形 解 析

2

例 を 示 して おいた

。

　 §

2．FERT −

B の有限要素基 礎 式 　2

．

1 有限 要素と 座標 系の設 定 　 平面骨組の面 内挙 動 を扱う もの と し， 面外 座屈等は考 慮し ない

。

部 材は材軸方 向に直 列に並ぷn _（≧1 〕個の _「単 純は り 柱要 素 」 （図

一

ユ

_，

2_）に よっ て構 成 さ れ てい る と 考え る

。

ま た， 各 要 素は材軸方向に 並 列に並ぶ m （≧

2

） 個の 「集 中 材 料 線 要素」〔図

一

1 ）に よっ て形 成ざ れてい る と考える

。

し た がっ て， 断面は m 個の集 中 材 料 点に よっ て 理想 化さ れ， m

＝

2の場合は， しばしば 等 価サン ドイッチ断 面 とよ ばれ る

。

各 要 素の降 伏お よ び除 荷は

，

例え ばそ の 線 要 素の ひ ずみ の平 均 値を も とに判 定さ れ る。 また

，

材 軸 方 向の弾 塑 性 境 界は要 素 端の み に生じ る もの と す る。

　

部材の モデル化と要素 座標わくを 図

一

1に

，

また

，

要 素基準座標と要 素 局 所 座 標 （単純梁 柱 型 剛 体 運 動 座 標） と の関係を 図

一2

に示す。 図

一2

（a）に おい て

Ua，

　

Va，

θ。

，

U，

，

　Vbお よび θ， は基準座標で の α

，

．

b

両端で の要 素 端 変 位であ り

，

以 下ま と めて表 す 場 合には

IDI

を用い る。

一

方

，

Ua

，

θ，

，

θ。は正味の変 形 を表すのに必 要な局 所座標変位であり

，

ld

｝で表さ れる。 また図

一

2（

b

）にお い て

，

Pa

，

　

Qa

，

　Ra

，

　P 。

，

　

Q

，およびR，は

，

基 準 座 標で の 要 素 端

_力

で

_φ

り

，

　

IPI

で表さ れ る。

一

方

，

　Pg

，

　Mb

，

　Ma は

，

1

捌に_対応す る独 立な 局 所座標力であ り

，

ヨρ｝で表さ れ る

。

なお

_，L

は_変形前の_要素長で あ る

。

　2

．

2　 曲げ縮み を考 慮し た変 位 関 数 　剛 体 運 動 座 標に お け る変 形 前の _要素 材 軸 上の x 位 置 で の x 方 向，

y

方 向お よ び回 転 方 向 変 位 成 分をそ れ ぞ れ u（X）

，

v（x）

，

θ〔x）とする。　x 方 向変 位 成 分u（コc）は

，

材 軸その もの の伸 縮によ るx 方 向 成 分 a｛x ）と次 式に よっ

广

  　

「

I

　

_III

ー

デ

ヰ

_、

’

‘

　 孑 丶 窪 需 レ 　 ト

τ

　 　 　 　

「

「 　 　

_，

−

：

−

し

』

材 　 の 　 面 化 　 　 部 　 断 ル 　 素 デ 　 喪 モ 集 中 材 料 組 要 妻 　 　 初 期 状 態 　［01 第 r 要棄 マ

「

₁ の ［ r 　 α 　 　 　 r の 悴 Y 素 標 ） 要 座 Yrr 準

，

r 第 基 ぴ 聚 要

口

第

嚠

_x

_．

_，

₋

x［a］i

．

　 r　 　T　　

卜

L

−

f

　 　 　   　 Ue

　　　　　　　 −

x

．

x〔e ］ 第n 要 第 且要 素 　 　 　 yfJJ 　 　 　 r 図

一

1 部 材のモ デル化と_要素座標わ く て表さ れ る曲げ変形によ る縮み _{駅 砌} と か ら成 る と考え る。

　　

　

・（x）

イ

（

−

i

θ（

釣

d

・・

一・

……一 ……

… “　_｝ 頑コじ）をx の

1

次 式

，

y方 向 成 分 v（x）をx の 3次式で表 し

，

u_（x_）

_，

　v（x）

，

θ｛x｝を ま とめ て_表示す る と

，

こ こ に

，

u（x） v（x＞ θ（x）

一

［

工0　　　　　JCφ

一

且（コσx3）／／2 　　　　　L2　　コ匚φ2

−

1（コ_；c♂）／／2

1」

0　1

− 3x2

／L2　

2

二じ

一3x2

／ム

］

ala2 α 3

…・・

…・

…・

・

……・

・

…一 ・

_{（2 ）} va 丶 xtJJ a3 （ 　 砺

）

ガ 万

9

｝

5

十 Z エ ガ

゜

2 　

　

1

（

　

」

＝

φ 　 輪

）

げ

万

．

9

一

5 十 げ

ア

32L1

（

2 　

一

　

　

　

il

・〈・）

一

プ

（

　 x 　3x2 　9 　x3 卜 τ

　

百

了

7

＋

5

万

）

at

　

　　

　　

　

−

_x3

_（

9

−

_・

f

_・

謙

・

一 …・

・

…

（3b ） と書け る。

Ial11

α i α a　 asl

’ は変 位 関 数の末 定 係 数ベ ク

一

bQ 　 ［o ］ Y

．

y X

．

x［0 ユ 　 　 ［_Y

_，

0 ］ y （a ）要 素局所 座標系の_変形量 他、θbe 。

1

と要 素 基 準座標系で　 　（b） 　 　 の要 素 端 変

ft

　

iu

_α Va θa 　Ub　Vb θb｝

・

の関 係 　 　 　 　図

一

2 要 素 基 準 座 標と要 素 局 所座標の 関係 　x　［UJ 　 　 　 Qa 要 素 局 所 座 標 系で の独 立な力

IPa

　Mb 　m 。

1

と要素 基 準座 標系での_要素端力

iPa

　

Qa

　Ra　P_。　

Q

_，　Relの関 係

一

₈₁

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

トル であり

，一

般 化 座 標 と呼ば れ る

。

φ且（x）

，

φ、（コσ）が a2 お よ び α_{3 の}関 数である ことに注 意 し て_， 増 分を とり

，

局 所 座 標の独 立 変 位 増 分に関する表 現 を 求 めると

，

次の よ うにな る

。

AUa △ θ， Aea

一

［

L

　φ、（L）　φ，（ゐ） 0　 　 1　 　 　 0 0　

−

2　

−

L

］

AaiA α： Aai

・

…・

…・

…・

・

……・

・

……・

…一

_{（4a ）} ま たは_， 　　　

1Adi

＝

［

1「

▼

8］｝

Aal ・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4b ） と書け る

。

なお_{， ［}

rB

_］の上添字

B

は従 来の

FERT

と 異な る内容を 含んでい ること を示して いる

。

以下， 上 添 字

B

はこ の意 味で用い ら れ てい る

。

式 （4） より， 未 定係数増 分ベ ク トル

IA

α

1

は次式で表すこ と が できる

。

　　　 ひずみ_{変位 関 係}式 　せ ん断 変 形 を無 視し得る もの として_， 平 面 保 持 を仮 定 する

。

要 素 内の点 （x

，

y）で の ひずみ e（コc

，

　_y）は次の よ う に変 位と関係づ けられる。

　

　

　

・（x

・

・y）一

警

｝_＋

壱（

dv

（ x）

dx

）

2

−

_・

d

護

尹

） 　　　　　　

tt・

…・

・

・

・

……・

…・

…・

……・

・

…

（

8

） これ を増分表 示す る と

，

次 式 を得る

。

　

　

　

Ae

（副 一

d

讐

）＋

砦

）

・

d

謐

コ゜）

　

　

　

　

　

　

　

　

・

弖（

dA

　v（x） 　

dx

）

！

一

_〆

繁

・

…

_・・） 式 （9 ）の各 導 関 数 を式 （2）より計 算し

，

整 理す ると

，

　　　△ e（x

，

_y）

＝

［｛B尹

17

十（6』十A＆／2）

iB2

｝T

一

奪ノ

IB31T

］

IAal

　 　 　 　

・

………・

……・

……tt

・

…

（10＞ とな る。 こ こ に

，

　 　 　 　

dv

（x） 　　　　　　　＝

・

iB

_，

IT

ヨal

・

…・

…・

……・

…

（lla ） 　 　 　佑≡ _θ（エ）＝ 　 　 　

dx

　

　

　

A・_．… （x）

− d

讐

｝

−

1

・・

1

・

i

_・ ・

1

・

…・

・

…・

（1・

b

） 　　　

1

∠Sa｝

；

［1

「

fi］

『

11∠Sdl

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



t−…



tt

（5） こ こ に

，

・r・ ・

一

・

一

［

1／0

L

　 　 　　 　乃1　 　 　　　　 γ20 　

0

　　　

−

2／L　　

−

1／L

］

一 一

_… ま た

，

　 　 　 φ1（

L

） 　 　 　

2

φ2（

L

） 　 　 　 　

1

　 　

1

　　　　　　

L・ ＝ 百α ・＋_訂 α ・

L

　　　

71＝

−

　

L

　

十

　

　

　

n 一

φ

壬

を

L

含輪

ψ

・

・

…・

……

（・・ ，・） であ る

。

　2

，

3

IB

？

1

＝ ＝

11

　_φ

1

（X）　_φ三（x）

IT

・

・

…・

…・

　

・

……・

・

（

11c

）

1

・21

−

｛

・

1一

移

・・c

−

・

釜

r

………・

（・・

d

）

1

・・

1

−

1

・

一

・

詈

・

一

・

f

］

’

・

一・

・

……・

…・

_（

₁₁

・ ）

一

₈₂

一

ま た

，

・・（・・

一

警

L （

1−

・

ti

）

・（・

1

・

………

（12・ _〉 ・・（・）−

d

砦

L

（

　 　 　

2

コじ

一3

x2 τ

）

・・x）

…・

…

（12b ） で あ る

。

2

．

4　 応 力ひずみ関 係 式 　 各 材 料 点につ い て増分 間の応 力ひずみ関係を次 式で仮 定す る。 　　　△σ（コc

，

y）＝

E

，（x

，

y）△e（x

，

y）

………・

…

（13 ）

ET

は素材の_{接 線}係 数 であ り弾性お よ び 除荷 応 答時はヤ ング係 数

E

に等しい も の と す る

。

　2

．

5　増分型仮想仕 事式と要 素局 所 座標に お け る要素 　 　 　 剛 性 方 程 式 　集中材料線要素の各 付 与 断 面 積 をaJ （

j

；

1

〜

m ｝， 材 軸か らの 各 線 要 素の _ン座 標 を y，としてt 要 素に関 する 増 分 型 仮 想 仕 事 式 を書く と次の よ うに な るa）

・

Zl ♪

_。

　　　

｛・

Adl

’

iApl

＋

bcrAd

｝・ ｛pl

　

　

　

　

　

一

激

・・

［

∫

乙 蝋 曜 （… _ω

剛

　

　

　

　

一

鯊

・’

［

∬

・・幅 ）・△・（_・・ ，y・）…

　

　

　

　

　

・

f

。 L ・（副 ・鵬 ・

司

・

・

……・

……・

（14 ） こ こ に

，

　 　 　

dSA

　_u（x｝ 　 　 　 　

d2

δ∠」ひ（」じ） 　 　 　δA　e＊ （x

_，

_YJ）

＝

　 　 　 十佐δム亀

一

y， 　 　 　 　dx 　 　 　

dx

’ 　 　 　 　

・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔15） である。 上 式 左

・

辺の ［ ］ 内は残留 不つ り合い力による 仮 想 仕 事を表し て いる が

，

こ こ で は

，

増分ス テッ プを 十 分 小さ く と る も の と し て考慮し て い ない

。

　式 （14 ）の仮 想 内 力 仕 事 を以 下の 2項に分けて考え る

。

（

i

） （ii） ・孵

一

毒

・’

∬

・・（x_・卿 ・（x_・・

y

・）

dx

・噌 ・1_一

藻

・・

∬

蝋 鵬 ・激 　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（16a7　

b

） （

i

）；式 （

16a

）の被 積分関数に式 （13 ）， （10 ）を代入 す る。 この と き

，

式 （

10

）中の

4

佐の項は増分 ステッ プを十 分に_小さ く と る も の と し て無視す る

。

ま た

，

幾 何 非 線 形 解 析の_{場 合}は

E

_，が

一

_定値であ り， 複合非線形解 析であ れば

，

要 素 長 を小さ く とる もの とし て

，

各 線 素の

E7

を

一

定であ る と すると

，

　　　

A

σ（エ

，

ωδ4e（x

，

・y」） 　 　 　 　

＝

Er（x

，

　_y」）

Ae

_（x

，

　y_，）　

8A

　e_（x_，　YJ_｝ 　　　　

＝

E，（y、｝泌 α

1

『 ［8e_］

IA

α

1

…一 ・

…・

………・

（17＞ こ こ で

，

　　　 ［sB_］

；

iBfHBf

_｝T＋

e

．（

iBfUB

、｝ T ＋

IB

，

HBM

　　　　　　＋ θ呈

IB

、

I

　

IB

、

r

＋yYB 、

HB

、匹 創、［（｛

B

倒

B

，｝ ア

NII-Electronic Library Service

　　　　　

＋

IB

，

HBfD

＋佑（

IB

、

HB

，

F

＋

IB

、

lIB

、

li

）］ 　 　 　 　

・

…・

…・

・

一

・

・

・

・

…t・

・

…・

・

…一

……

（18） と書け る。 し た がっ て

，

式 （16a ＞は次の よ うにな る

。

　 　 　 m 　 　　δ

W

屮＝ Σ_α ，

E7

（YJ）髭

bAa

｝ τ ［

S

『

1

△α｝

一

・

………

（19） 　 　 　 丿

＝

1 こ こ に

，

［

SB

］は付 録1の

i

）に示さ れ る

。

（ii）；式 （16b ｝の被 積 分 関 数に式 （11b ）を代入 す る と次 式 を 得る。 　 　　σ（x

，

・y」）

A

　

e

．　crA　e．

＝

σ〔x

，

・yi）

1

δAa ｝ T ［s。］

iA

α

1

　 　　　 　　　 　　 　

…・

…………一 ・

………

（20 ） こ こ に

，

　 　　［s，］；

IB2HB

，

IT

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

7『

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

鹽

昌

・

・

・

・

・

…

　（

21

） で ある

。

し たがっ て_， 式 （ユ6b ）は_次の よ うにな る。

　　

　

・wv・

一

∬鶏

・・a（・

，

・yJ）

1

…

IT

［・F］・

1

・・

ld

・・ 　 　 　 　

・

…

　

『

・

・

…

　

一

・

一

・

一

・

・

…

　

P・

…

　

r・

・

…

　

P鹽

…

　（22） こ こ で

，

1

δ

A

α

1

’ ［SF_］

IA

α｝は Y∫に 関す る項 を含ま ない こ と か ら

，

ノの総 和に関 す る 項 を 　　　Nx

＝

Σコa」σ（コσ

，

3ノノ）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　r

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（23 ） 　 　 　 丿

＝

1

ζ

お くこと がで き

，

この

N

_． は軸 方 向 力 を意 味 する。 要 素 端 力と断 面 力の関係を 図

一3

に示す

。

図 中の 処 は曲 げモ

ー

メ ン ト

，

Qx

は せ ん断力である

。

図

一

3の 自 由 体 の つ り合い か ら， 式 （23 ）の 鑑 は局 所 座 標の 力 Pa

，

Mb

，

　Ma を_用いて次の よ う に表さ れ る

。

　 　 　 Ma 十Mb 　 　 　 sin　e

』

・

・

・

・

・

・

・

…



…

_（24_） 　 　 　Nx＝ P αCOS 　

er−

　 　 　 1 こ こに

，

　 　 　

唱

　 　 　

1＝L

十Ua

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25） であ る

。

し た がっ て

，

式 （24）を式 （22）に代入すると

，

　　

・畔

一

f

， L 〔Pa・ ・sex・_q・・i・ e ．）随 ｝ ・ ［・・］

i

・・

1

・x 　　　 　

；

1

δ△α

F

［

S

。］

IA

α

1

…・

・

……・

…・

・

一 ・

…・

…

（26） と な る_。 こ こ に_，

　

　

　

［

S

・］

−

XL

〔・・c・s　ex・ q・s・n・e

．

｝［s・］

dx

・

（27 ） 　 　 　qb＝

一

_（Ma

一

トm ，｝／

1・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7・

…

　

一…

　（28＞ で あ る。 式 （

27

）の積分の実 行上

，

cos 佐

，

　sin 砧につ m ・ 　 　 ア

靴

H

臠

   

『

乂 Pb

＝−

Pa 　 　 　me ＋ mb qb

＝

　 　 　 　 t t

‘

L＋ コ 　 　 　 a 要素端力 と断面 力 の関係 い て_{級 数 展 開}近似を用い る。 採 用 する項 数 を

，

曲 げに よ る縮み を 評 価する際と 同 じ く 佐の 2 乗まで と し た と き の _［SF］を付 録 1の ii）に示す。 　な お

，

複 合 非 線 形 解析で要 素 長 を小さ く と る 必要が あ り

，

σ（x

，

y」）を適 当な代 表 値の σ鰯）_で表せ る場 合に は

_，

式 （26）を 次の よう に表 現す る こ と もで き る

。

　 　 　 　m 　 　　δ

WLm

＝ Σaj_σ（y ，）

1

祕 α｝ 7 ［

S

司恒α髭

・

…・

……・

（29 ） 　 　 　 」

！

1 こ こ に

，

_［

s

｝］は付 録

1

の

iii

）に示さ れ る

。

　

以 上 より

，

式

_（

14 ）に お け る仮 想 内 力 仕 事は

，

　　　　　　　 ド

　 　　δW_｝詔 δ レ1弓D十 δWLLi〕＝ ＝

IOAa

｝『［

WB

］

IAa

｝

……・

_（

30

）

と な る

。

こ こ で

，

δ噌 n を式 （26）で表し た場 合，

　　　

［

1

ワ8］

＝

Σ二α，

E

，（y，）［

ss

］十［

SF

｝

……・

…・

・

∵

…

　

（31） 　 　 　 丿

＝

1 と書ける

。

式 （30）に式 （5）を代入し_， そ れ_を用い て 式 （14）を表すと

，

次式 を得る。 　 　　

1

δ∠」〔

li

「

1

△P ｝

＝

1

δ△

dlT

（［

FA

コ

　

1 ）τ ［

ws

］［

1「

s］

−

lIAd ｝ 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（32） し た がっ て_， 要 素 局 所 座 標に おけ る要素剛性 方程式は

，

　 　　｛△P｛

＝

［

kS

］

1

∠

Sdl・

・

一一一・

・

・

・

・

・

…

∴

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

33

_） こ こ に

，

　 　　［

hfi

］＝　_（［1

−1fi

_］

−

1_）T_［ws ］［1

「

H_］

　

1

＝

_〔

h

_疂P］十_［

h

舜］

・

…

　〔34 ） であrp　t

　　　

［

h

套P］＝ _Σ］a ∫ET（

y

丿）（［1

「

s ］

−

1｝T［ss ］［1

−’

s】

−

1

・

・

・

…

　

（35 ） 　 　 　 ∫

＝

1 　 　　［

k

舜］＝

＝

（［

1「

s］

　

1）「［

SF

］［1

「

fi］

　

1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　_（36_） であ る

。

な お

，

式 （29）を用い た場 合の式 （36）に対 応 す る行列は次式で表せ る。 　 　　［ん望］

＝

Σ】α_丿σ（Y_」）〔［rB 〕

−

1 ）T［

S

月［

rH

］

−

1

・

・

…

　

r・

・

（

37

） 　 　 　 J

百

t 　式 （27）の _［

SE

_］も 式 （29〕 中の _［

S

_司も

，

その _第 1_行 お よび第 1列が すべ _て

0

_{で あ り} ， 式 （

36

）， 式 （

37

）の ［Fn］

−

1 との行 列 演 算 を実 行した結果である ［

h

＃］

，

［κ岡に は曲 げ縮み の係 数を含まな い

。

し た が っ て

，

こ れ らの行 列に従 来の FERT のそ れと 同じ であり， 上 添 字

B

は削

　　　　　　　

1 除して も構わ ない。

　　　　

、

　　　

1．

　な お

，

式 （35）

，

（36）お よ び （37）の剛 性 行 列の内 容 を付 録 2に示 す。 　2

．

6　 要 素 基 準 剛性 方 程 式 　a_{） 要 素 端 変 位 増分}に関 する座 標 変 換 　要 素 基 準 座 標で の変 位ベ _{ク ト}ル

ID

_｝＝

IUa

　

V。

_θ 。　

U

。

Vb

θ、

IT

と局 所 座 標の変 位ベ ク トル

idl

＝

IUa

θ。　e．

IT

の関 係を考える

。

図

一

2（a_）の幾 何 学 的 関 係か ら

，

こ れ ら の 変 位 成 分の _問で次式が成り立つ 。

　　　

L

十U

α

＝

（

Ua− Ub

十

L

）COS θπ十〔

Va− Vb

）sin θ，

　 　 　ea

＝

θa

一

θn

　　　θ_，

＝

θ，

一

θ，

”ttt

”…’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”tt”・

・

…

　（38a，　

b

，　c）

こ こ に

，

一

₈₃

一

　 　 　 　

v

α

一

　

Vb

　 　 　

・

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（39d　） 　 　 　

．

e

，

＝

sin

一

匸 　 　 　

L

十Ua で あ り

，

θ，は要素剛体回転角と呼ばれ る

。

式 （38）の 増 分 をとり

，

sin　

AeR

＝ Aθ ，，　cos 　A　eR

＝

1の近似を 導 入 す る と

，

AUa は次 式で表さ れ る。

　　Au

。

＝

1

−

〔Ua

−

U，＋

L

）sin θ、＋（

Va− Vb

）COS 　

e

，

i

△ θ、

　　　　　十（

AUa − AI

／b）COS θ，十（ムVa

−

A　Vb）sin θ，

　　　　

＝

（

AUa − AUb

）COS θ，十（△

Va− AVb

）sin θ，

　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tS・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（40 ） 上 式の

1

｝内は図

一2

（a_）の_{幾何 学}的 関 係か らoと なっ てい る。 ま た

，

式 （

38b，

　c）よ り，　

Aea

，　

Ae

，の表 現を 求め

，

そ れ らを ま と め る と次 式を得る

。

　 α 　

…

　 目 　

”

ー

010

8

一

〇 〇

…

C

　

00

…

（ UOl

−

　 　 　 011 800 　 　 　 　 R 　 　 　 　 θ cOO 　 △

ー

　

＝

　 魂 　 口 こ こに

，

　　　

c

＝

cos θ，ロ

　

s

＝

sin θガ

・

……・

_…，

…



…

_（42a

_．

　

b

） で あ る

。

次に

，

式 （

39d

） を

　　　

（

L

十Ua）sin θ．

＝

Va

−

V，

……・

…………・

…・

（43 ） と書き換え

_，

その_増分か ら， Aθ，につ い て次の表 現を 得る。 な お

，

こ こで式 （24）よ り

1＝

L十 Ua と おいた。 　 　 　 　AVa

− AV

，

− AUaS

　 　 　A＆

＝

＝ 　 　 　 　

lc

　　　　　十

・ c ・ ・

一

・ ・脚 ｝

・

…・

…・

（44） 式 （44｝を式 （41）に代 入し

，

整 理す る と

，

次の変位に 関す る 座標 変 換 式 を得る

。

　　　

i

∠Ld ｝

＝

_{［T ］}

1

△P卜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

く45 ） こ こ に

，

唾

；

に

ill

　

i

三

襯

1

］

　 　 　 　

・

一一・

・

・

・

・

…

　（46） である

。

_［T ］を要 素 拡 大 回 転 行 列と呼ぶ。 　 b ）要素端 力 増 分に関す る座 標 変 換

　

次に_， 図

一

2（

b

＞の要 素 端 力ベ ク トル

IPI

＝

IPa

　

Qa

　

Ra

P。

Q

，　R』

1

「 と局 所 座 標の 力

lpl

＝

・

lp

。

　Mb 　m 討T の 関係を 考え る

。

「増 分 前の 力」と 「増 分 変 位 」の _間に反傾法 則 （Contragradient　Law _）が_{成 立}す るこ と か ら3）

・

4 ） ， 次の よ うに書け る

。

　　　

Ipi

＝

［T］『

lpl

・

・

・

…

　

7・

・

・

・

・

・

…

　

7r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7P・

…

　

7

（47＞ 式 （47） を 増 分 表 示 する と

，

　　　

IAP

「

＝

［

T

］7 ｝∠LP｝十_［∠

LT

_］T｛ρ｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（48 ） とな る

。

上 式の右辺第 2項［AT ］’

lpl

を さ らに変換す る と次 式 を得る。

一

₈₄

一

［

AT

］T ｛pl＝

fi

／l　

f

，／‘　 0 　

−

fi

／

Z

　

一

ゐ／

10

ft

／

l

　　

f3

／‘　 0 　

一

五／‘　

一

ゐ／’₀ 　0　 　 　

0

　 　

0

−

_f

］／

1

　

−

f2

／ε　

0

−

_ft

_／

₁



−

_fs

／1　0 　

0

　 　 　

0

　 　

0

乾 ％

8

。 脇 玲 軌 ム ム ム ム ム ム

0

　 　 　

0

　 　0

f

，／

l

　

f

，／

1

　

0

f

，／

1

　

fs

ノ‘　

0

0　 　 　 0　 　

0

≡≡_［KFa］

IAI

）

1

・

・

∴

・

・

・

・

　

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（49） ここ に

，

　　　

fi

＝

siPa十2scqb

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

…

　　　

f

，

＝−

scp α十（S ！

−

_ct ）qb

・

・

…・

………・

・

　　　

fs

＝

c2P．

−

2scq 、

”・

・

一 ・

・

……・

一 ”’

で あ る

。

し たが っ て

，

式 （48）は

，

　　　

1

△

P

｝

＝

［

T

］7幽 ｝＋［κ。cl 　

IAD

卜

………・

7

と書ける

。

　c_{） 要 素 基 準 剛性 方 程 式}

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_{（50a ）}

・

…

_{（50b ）}

・

…・

_（

_50c

_）

・

・

・

・

・

…

_（51） 　式 （51）に式 （

33

）

，

（45 ）を代入 する と_， 次の基 準座 標の要 素 剛 性 方 程 式を得る

。

　　　

IAP

｝

＝

［Ka］

IADI

・

……・

……・

……・

……・

…・

…

（52）

こ こ に_，

　　　

［

Kc

］

＝

［

T

］T［

hB

］［

T

］十［

KFa

］

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（53） であ る

。

　

2，

7 要 素の自 動 分 割 　本 解 析 法で は

，

図

一4

に示す よ うに変 形 が 進 むにつ れ て要 素を自動 的に分割さ せ る方 式 をとる

。

分 割の指 令は 例え ば母 要 素 （分 割前の要 素 ）の端 部の ひずみが降 伏ひ ずみ の あ る割 合に達し たと きに下 され る。分割に際して， 母要 素の情 報が分 割された各 要 素の情報に正 し く変 換さ れ る必要が あ る。 単 純は り柱 有限 要 素 を 採 用 する場合の

罫

t

＝

IIII

_；；

1

_；

_；

1

_；

_；

：

_：：

_：

7

　 　 　 　 母 要 素 （弾 性要 素 ）

　

／ ひず み硬 化 域

Ll

：

ll

：

；：

IZIInz7

　 ひ ず み 硬化 域

旗

　 　 　 除荷 域 図

一

4 要 素の 自動 分 割とひず み硬 化域 の 進 展 〔サンド イッチ断 　 　 　 面 材の場 合 ｝

NII-Electronic Library Service 変 位関係の情報

変

換につ い て は_， 文 献6い5）_{を参照さ れ た} い

。

　

以 下

，

部 材剛性行 列は

，FERT

の主要な特徴の

一

っ で あ る伝達行 列法 を用い て得られ_，系 全体の_{剛 性 行 列}は

，

通常の _{剛 性 行 列 法}の手 順に従っ て作 成さ れ る。 これ らの 点につ

．

い ては

，

例え ば

，

文 献3L4L ］s） に_詳しい。 　 §

3．

数 値 解 析 例

　

幾何非線 形 問 題に対 する精 度 検 証 例 題と して

，KQn −

doh ・Atluri

が文献tg ，で取り上げて いる ものの う ちの 3 例 を選定し た

。一

つ は

，

いわ ゆるエ ラ スチカ_{曲 線}の追跡 で あり_， 残りは_{， 勾配}の_異な る二 つ の三角ラ

ー

メ ンで あ る。 二 つの 三 角ラ

ー

メ ン につ いて は

，

材 料を図

一

5のバ イリニ ア応 力ひずみ関係に従 う と した場 合の解 析 結 果も Ptす。 な お

，

部 材 断 面はすべ て等価サ ン ドイッチ断 面に モ デル化して い る

。

幾 何 非線形問題 を扱う場 合の等 価 サ ン ドイッ チ断 面 近 似は妥

半

で あ る

h「，

複 合 非 線 形問題で は

，

塑 性 域の分 布 状況 が挙 動に_{影 響}を

_濠

ぽすの で_， 断 面 形 状に よっ ては サン ドイッチ 近似では

不

十 分とな ること も あ る

。

し た がっ て

，

こ こで の複 合 非 線 形 問 題は 2個の 断面材料点を有す る もの の_{挙 動}の_{解 析}で あることに注 意

凵

α

≧ O

．

甸

頃

_．

N O

．

N n

_『

冖

夢

0

，

尸

σ σ　 　 　 t己n

−

kH

・

E y

．

’

tarlE ε

一

σ y H

＝

O

．

O］

’

図

一

5　バ イリニ _{ア応力ひずみ闕 係} 頃

．

O

，

O ・・…

酬

ll

：

：

8

FE・

鴫

二

．

一一

一

FERTδ_H

・

観

髭

） 棄 要 2 （ TREF F

一

素 T 要 RlE 〔 F

／

丿

’ ，

，

／

　 ） ） T 素 素 R 要 賈 　 　 じ E82F （ （ 、

澎

ろ

　 　 　 　 　

ノ

一

〕 ） ） T 嚢 素 棄 R 要 要 要 E248

い

睡

−

「

A　

＝

　0

。

48cm2 r　

＝

　0

．

OS56cmU L　

詈

亅OOcm E

＝

2100ton／c頃2 e／L

＝

0

，

0001 0

．

1　　　　0

．

2　　　　D

．

3　　　　0

．

4

1

er

F

し

込

　

・

彗

0

．

5　fiHIL 0

．

0

．

20

．

40

．

60

．

8亅

、

0δ_V！L 　 　 　 図

一

6　単 純はり柱の弾 性 座 屈 後 挙 動 されたい

。

また， 解 法は すべ て変位増 分 法 ZZ）

・

9）_によ っ た。 　 3

．

1　単 純は り柱の弾性座 屈後挙動 　典 型 的な幾 何非線形問題 と して図

一

6中に示す単 純は り柱の_{弾 性 座 屈後挙 動}を示す。 図 中に示した

A

は断 面 積

，1

は断 面2 次モ

ー

メ ン ト

，

E はヤング係 数である （以 下の図におい て も 同 様）

。

比較 対 象とした理 論 解は荷 重 偏心 0， 軸その も のの縮みの ないエ ラ スチカ曲 線 231 で あ る

。

こ の例 題に お け る部材断 面諸量は

，

文献19）_{の もの と} 異な り

，

以 前に筆 者 等が文 献6）

・

_{η で 採 用 し た もの である}

_。

荷 重の_{偏 心 量}は文 献19 ）で は部 材 長の

1

_／

1000

で あ る が

，

こ こ では 1／10000 とし て解析 を行っ た

。

　図

一

6の_横軸は頂 部の 鉛 直 変 位 δ，お よ び 中央の横た わ み δH を部 材 長

L

で無 次 元 化し たもの であり， 縦 軸は 鉛直荷 重

P

を オイラ

ー

の座 屈 荷 重 Pεで無 次 元 化し た も の である

。FERT −B

に ょ る結 果の うち横た わ み δ”に関 す る曲線を実線で

，

頂 部の鉛 直 変 位 δ，に関す る も の を

一

_{点鎖線で示す} 。 ま た

，

従 来の

FERT

に よる横たわ

』

み δ

。

に_関す る曲線を破線で表す

。

図中 ○ 印

，

口 印は理論 解に よ る もの で あ る。 大た わみ領 域 まで十 分な精 度 を得 る に は，

FERT

で は

20

以上の要 素 数が必 要で あるが

，

FERT −B

で は 4 要 素 で十 分 で あ るこ と が わ か る

。

FERT −B

の 2_{要 素}の_曲線は

，

剛 性 行 列を微 分 方 程 式 解 か ら作 成す る Kondoh

・Atluri

に よ る も の19）_{と ほ ぼ同 精} 度で ある こと が

，

その文 献 を参照 す ることで理解さ れ る であ ろ う。

　

1要 素の場 合の座 屈 荷 重

_憧

は

，

式 （34 ）の剛性 行 列に お け る変位 関 数の た わ み成 分に関 する係 数 α，

，

a3 を0と お き

，

その_行列 式の値を 0と する ことで求め られ_， そ の 値は

12E

∬／

L2

と な る。 これ は図

丁

6の FERT

−B

の 1

．

O

」

．

O

り

｛

_ρ

こ 巳

，

O 旧

．

O 可 9

．

ON

．

O

尸

，

O ’ 　 ） 　 素 　 要 　 5T 材 R 部 ELF （ 唱 町 陀 ’ 厂 ’ ’ ’ ’ ” 舳  

゜

川 r   欣 　 『 　 　 m 　 ぬ 肝 11 陀 幽

曹

，

’ ’ ’ ’ ’ ’

ノ

’

　

　 　

　

　

　

ノ ， ’ × ， 躰

劇

濃

諾

卜 部

曹

  X 　 O 　 　 ノ 　 　 　 〆 　 　 　 　 ノ 　 　 ’ 　 　 ！ ノ 客 ／ 　 ／ 　 　 　 　

！

　 　 　

ノ

　 　 　 　

ノ

！

　 　

’

！

’

　 ） 　 素 　 要 　 2T 材 R 部 E 匸 勦 　 　 ．

’

入

F 〔 　 賈 　 　 　 　 　 　 　

’

T 彬

＼

義

、

路

　

丶

、

_丶

　 　 　 　

、

_、

F （ 　 　 　 　 こ 　 棄 綮 B 要 要

　

量 2T 封 材 B 部 部 E 且 lF （ （

阜

ρ

、

’

’

’

！ ， ’ ’ 　 ） 　 素 B 要

　

5T 賜 R 部 ElF （ ∠ 。

禦

_， 歪゜

’

243c’”） 匸　

ヨ

　1

．

03　x　IO孔〔1b／in2

1e

　 　 　 O　385Cin ｝ 一 O

．

　　　O

．

1　　　0

．

2 　　　0

，

3 　　　0

．

4　　　0

．

5　　　0

，

5　　　0

．

7 　 　 　 δ“n） 図

一

7　非 常に 浅い 三角ラ

ー

メ ン の弾 性 座 屈 後 挙 動

一

₈₅

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

要 素の座屈値に対 応している

。

1要素で は本有 限要 素モ デル の性 能 上， 座屈荷重 値を高く見積も ること に な る。 しか し， 2 要素 以 上にな れば

，

剛体運動座標の効果も加 わ り

，

精度が飛 躍的に向 上す るこ と が わ か る

。

　 3

．

2　非 常に浅い三角ラ

ー

メ ンの_{座 屈後挙 動} 　図

一

7中に示す非 常に ライズの 小さい 2 部材か ら な る 三角ラ

ー

メ ンを 解 析する。 こ の ラ

ー

メ ンは

WMiams

に よる文

tu17

）_で 扱われた もの であり

，

その後多くの解 析 法 研究者に ベ ンチマ

ー

ク テス トと して採 用さ れて い る。 な お

，

図

一

7 中の三角ラ

ー

メ ンはライ ズの み を10倍し て 描い てあ る。 　a _{＞幾何非線形 問題}

一

_図

一7

_に ， 材料を線 形 弾 性と した場 合の

FERT

お よび

FERT −B

によ る荷 重

P

と中 央の鉛直変 位δの_関係を示す。

FERT

にょる曲線は破 線で_，

FERT −B

にょ る曲線は実線で示し て あ る。 図中 ×印は

Wllliams

の_実験結果】7） を

，

○ 印は

Kondoh ・

Atluri

によ る もの で 1 部材を

1

要素と し た解 析 結 果’9 ）

_e

示 し て い る

。FERT −B

に よ る曲線は

，

要素数に関す る 収 束 性が よ く

，

Kondoh

・

Atluriの もの と 同様 1部 材を

1

要 素と し た も の で も 十分な精度を得ている と言える

。

し か し， 従来の

FERT

に よる もの で は 1部 材 を5要 素 程 度に分割する必要がある

。

　

b

） 複 合 非 線 形 問 題

一

図

一8

は

，

降 伏 応 力 ay を

5　OOO　

lb

_／inz_{お よ び} 10　

OOO

　

lb

_／in2_{と し た と き}の

FERT −B

による解析結 果を示して いる

。

解 析では2

．

7節の 自動 分 割 を 採 用し

，

分割指令は母要素 （初め は部材その もの_） の両 端の 上 あ るいは下の フ ランジの ひずみ が降 伏ひずみ の 80％ に達 し た時 点で 下 され て い る

。

a_．　＝　10　OOO

ib

_／inZにっ い て は

，．

分割後の_{子 要素長}を部材長の 1／5

_，

1／10，1／20お よ び 1／40 と した場合の

結

果を示 し た

。

δ

；

_O

_，

_7in で子 要素 長が部材長の 1／5の もの はすべ て

，

1／10で は両側そ れ ぞ れ 3個

，1

／20

，

1／40で は両 側そ れ ぞ れ 5，10個が子 要 素になっ て い る

。

ay

＝

_{50001b ／}in2に つ い て は

，

分 割 後の子要素長 を部 材 長の 1／20とした場 合の結 果を示し た

。

ま た

，

図 中に は a_，

＝

100eOlb／in2

，

子 要 素長 が 部 材長の 1／20の曲 線の折 点 直後の 塑性 域の 状 況も示し た

。

な お， こ の変 形 図 もラ

ー

_メ ン の ライズお よび 鉛 直 変 位 を10倍に し て描い てあ る。 　

3．3

三角ラ

ー

メ ンの座屈後 挙 動 　 9 室 鞭

囗

一

三 ， O

冖

co の 貯 N 素 〕 棗 ） 素 〕 索 ） 葉） 素 ） 素 〕 素， in ） ） nり o 　O

．

　　 　　 　 1

．

0 　 　　 　　　 2

．

0 　　 　　 　 3

，

0　　 　　 　　4

．

O 　 　 　 　δ伽 ） 　 　 　

’

図

一

一

9　三角ラ

ー

メ ン の弾 性 座 屈 後 挙 動 O

卜

．

O

り

（

ヨ ご 8 O す O

冖

ON 旱 20 00

．

　　 0

．

1　　 0

．

2 　 　 0

．

3　 　 0

．

4 　　 0

．

5　　 0

．

6 　 　 0

，

ア 　 　 　 　δ伽 ｝ 　 図

一

8　非 常に浅い 三角ラ

ー

メ ン の弾 塑 性 座 屈 後 挙 動 ON 　 　

．

oコ P

　

〔

_潤

C

_α

O

［

サ

冖

N

冖

　 ヨ 　 　 仭 ゆ

首

創

00 0 ¢ 0 　0

．

　　　 　　1

．

0　　　　　2

．

03

．

04

．

0 　 　 　 6“n｝

’

　 　図

一

10 三角ラニ メン の_弾塑性座 屈後挙 動

一 86 一

NII-Electronic Library Service 　図

一

9中に示す2 部材か ら な る 三角ラ

ー

メンを解析す る

。

こ の ラ

ー

メ ンは

Britvec・Chilver

に よ る文 献241で 扱わ れ たもの で_，非対称分岐の_{問 題}と して知 られて い る。 　a_{） 幾 何 非 線 形 問 題}

一

_図

一9

_に ， e の違いに よ る

2

つ の 変 形モ

ー

ドにつ い て

，

荷 重

P

と節点の 鉛直変位δ の_関係を示す

。

実線は

FERT −B

によ る もの であ り

，

破 線は

FERT

に よ る もので あ る

。

口

，

■ 印は

Britvec・

Chilver

の 実 験 結 果z4｝ を

，

○

，

● 印は

Kondoh ・Atluri

に よる もの で 1 部材を 1 要素と し た解析 結果19♪_を示して い る。 また，

一

_{点 鎖 線は}

_Britvec

_の理 論 解25）を示 し てい る

。

こ の問 題で は

，

ほ ぼ妥 当な分 岐 点 荷 重 を得るの に FERT

−

B で も 2要 素 以上必 要である

。

こ れ は 3

．

1節の 座 屈 荷 重 値が高かっ た こ と と対 応 して い る。 FERT

−

B の 4_要素と

8

要素の 2つ の曲 線はほ ぼ重なっ て お り

，

4 要 素 で収 束 してい る といえ る

。一

方

，

従 来の FERT で は_， 1 部材を 40 要素に_分割したもの が

，FERT −B

の 4 要素の曲線と ほ ぼ

一

致す る

。

　b

） 複合 非線形 問 題

一

図

一

ユ0は

，

降 伏応 力 qyを 300001b ／

in2

と し た と きの

FERT −

B に よ る解 析 結 果を 示し てい る

。

解析は最初

1

部材を

4

つ の母 要素か ら な る と し て 始 め

，

降 伏ひず みの 80％ で 自動 分 割を行っ た。 図に は_{子 要 素}長 を部材長の 1_／20

，

1_／40と した と きの結 果 を 示し た

。

ま た

，

図中に子要素長 1／

40

の δ

需2．oin

の とき の変 形お よび塑 性 域の状況 を 示ず

。

部 材に沿っ た 数 値は_， そ の区間の_要素 数を示し ている

。

　 幾 何 非 線 形 問 題に関し

，

図

一

7の問 題で は 1要 素で十 分であっ た の に対し_， 図

一

6_， 図

一

9の_問題 では 2要素 以 上 必要であっ た。 前 者は曲 げが支 配 的な飛び移り問 題 で あ り

，

後 者は分 岐 点 問 題で ある。

FERT −B

の 剛性 行 列の性能 上

，

前 述し た よう に

，

1要 素で は分 岐 点 荷 重を 必ずし も 正確に と ら え ることは できな い

。

し か し

，

乏要 素にす る だけで精 度 を飛 躍 的に向 上 させる こと が 可 能で ある

。

　§

4．

結　び 　 本 論 文では

，

曲 げ変 形に伴う軸 方 向縮みを考 慮し た変 位 関 数を新た に提 案し

，

こ れを用い た

一

次元複 合 非 線 形 有 限 要素法 （FERT

−

B）の定式化 過 程を示し た

。

次に_，

FERT −B

に よ る幾 何 非 線 形 問 題の解 析 例を示し

，

従 来 の 曲 げ 縮み連 成を考慮 し ない変 位 関 数で定 式 化さ れた FERT に ょる結果

，

な らび に解 析 解 を 用い て剛性行 列 を誘 導 し幾 何 非 線 形 問 題に は非 常に良い精 度を有す る Kondoh

・Atluri

の方 法による結 果］9〕 との比 較 を 行っ た

。

’

さら に

，

部 材がか な り の大 変 形 を被っ た後_， 材 料の降 伏 が生 じるよ うな問題 をFERT

−B

を用い て解析し た結 果 を示し た。 　以 上よ り，

FERT −B

に関し て次の結論を得た二 　（

1

） 変 位関 数の_曲げ縮み連成項を導入するこ とに よっ て， 幾何非 線 形解析の精 度は同

一

要 素数の

FERT

に比して飛 躍 的に向 上す る

。

　（2）

FERT −B

は材料非 線 形 を 含む複 合 非線形問 題 の_解析に も適 用 可 能で ある_{。 特}に_{， 幾 何 非線形 性}の_強い 問 題では_， 要素自動分割機 能と の連 携で効率の よい計算 が可 能 となる

。

　 （3 ）

FERT

と

FERT −

B で は

，

数 値 計 算 プロ グ ラ ム上での_変数の数は， まっ た く変わ ら ない。 　 謝 　 辞 　本解析プロ グラム の_試計算時に は

_，

_{佐 藤}正 巳氏 （現熊 谷 組）の協 力を得た

。

ま た， 本 論文掲載の 図の作成で は 京 都工芸 繊 維 大 学 院 生 関 井 　 徹

，

西 村 　督 両 氏の協 力 を 得た

。

こ こ に記し て

，

感 謝の意 を表す

。

また

，

本 解 析 法 の_原プロ グラム で あるFERT の開 発にあたっ て_， 京 都 大 学 中 村 恒 善 教 授を は じめ

，

§1

．

で引 用した文 献の著 者 の方々 に多大の御 助 力 を得た

。

こ こ に深 甚の謝 意 を表す

。

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一

₈₇

一