4 章 RTK-GPS 高速初期化処理 4-1 処理フロー RTK-GPS 高速初期化技術の処理内容について説明する。全体処理フローを図 4-1-1 に示す。 図 4-1-1 RTK-GPS 処理フロー 4-2 二周波搬送波位相モデルによる電離層遅延の算出 二周波搬送波位相モデルの算出内容を以下に示す。 (1) 機能 電離層遅延誤差をカルマンフィルタで推定するために、二周波搬送波位相モデルを構築する。 (2) アルゴリズム 電離層モデルの算出値は予測値であるため、実際と異なってしまうと、アンビギュイティに 誤差が常に残留してしまい、アンビギュイティを決定することができない。そこで、観測デー タをもとに電離層遅延量を算出するモデルを考え、電離層遅延推定量を真値に収束させ、アン ビギュイティを高速に決定できるにようにする。
a
決定 未決定 電源ON時 検出 検出せず 決定 未決定a
GPS観測データの取得 Saastamoinenモデルによる対流圏遅延の算出 電波強度によるマルチパスの検出 仰角マスクカット マルチパス観測データの削除 検出 衛星増加時 衛星増加時以外 二周波搬送波位相モデルによる電離層遅延の算出 パラメータの初期設定 電源ON時より後で 検出せず 観測式の算出 躍度モデルの算出 サイクルスリップの検出 カルマンフィルタ演算 アンビギュイティの探索 アンビギュイティの検定 移動局位置の算出 位置探索手法 パラメータの初期設定電離層遅延を算出できる観測データとして擬似距離と搬送波位相がある。擬似距離は 0.5m 程度の受信機雑音を含んでいるとされており、これを用いて計算すると、式(4-2-1)に示すよう に、電離層遅延量に約1m の雑音
ε
ρ,Iが含まれてしまう。ここで、f
1及びf
2はL1 帯及び L2 帯搬送波の周波数、ε
ρ,rは擬似距離の受信機雑音である。(
)
(
) (
)
09
.
1
5
.
0
5
.
0
10
1.023
120
10
1.023
154
10
1.023
120
2 2 2 7 2 7 2 7 2 , 2 , 2 2 2 1 2 2 ,≅
+
×
×
−
×
×
×
×
=
+
−
=
r r If
f
f
ρ ρ ρε
ε
ε
(4-2-1) 一方、搬送波位相の受信機雑音は0.002m 程度とされているため、これを用いて計算しても、 式(4-2-2)に示すように、電離層遅延量に 0.004m 程度の雑音しか含まれない。ここで、ε
ϕ,rは 擬似距離の受信機雑音である。(
)
(
) (
)
004
.
0
002
.
0
002
.
0
10
1.023
120
10
1.023
154
10
1.023
120
2 2 2 7 2 7 2 7 2 , 2 , 2 2 2 1 2 2 ,≅
+
×
×
−
×
×
×
×
=
+
−
=
r r If
f
f
ϕ ϕ ρε
ε
ε
(4-2-2) 以上の理由から、受信機雑音が小さい搬送波位相を用いて、電離層遅延を求めることにする。 L1 帯及び L2 帯搬送波位相は式(4-2-3)及び式(4-2-4)で表される。ここで、k
はエポック、λ
i はLi
帯（i
=
1
,
2
）搬送波の波長、ϕ
Li1qku は二重位相差、r
ku1q は衛星と受信機間の距離の二重差、 q kur
1δ
は擬似距離方向の衛星位置誤差の二重差、I
Li1qku はLi
帯搬送波の電離層遅延二重差、T
ku1q は 対流圏遅延二重差、N
Li1qku は衛星番号 1 とq
のLi
帯搬送波二重位相差のアンビギュイティ、 q ku Li 1 ϕε
はLi
帯搬送波位相の観測雑音、q
は衛星番号である。)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1k
r
k
r
k
I
k
T
k
N
k
1k
q ku q ku L q ku q ku L q ku q ku q ku Lδ
λ
λ
ε
ϕLϕ
λ
=
+
−
+
+
+
(4-2-3))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2k
r
k
r
k
I
k
T
k
N
k
2k
q ku q ku L q ku q ku L q ku q ku q ku Lδ
λ
λ
ε
ϕLϕ
λ
=
+
−
+
+
+
(4-2-4) 式(4-2-3)と式(4-2-4)を引き算することにより、式(4-2-5)及び式(4-2-6)を得ることができる。)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 12 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1k
k
I
k
I
k
N
k
N
k
k
q ku q ku L q ku L q ku L q ku L q ku L q ku Lλ
ϕ
λ
λ
ε
ϕ
λ
−
=
−
+
+
−
+
(4-2-5))
(
)
(
)
(
2 1 1 1 1 2 1k
k
k
q ku q ku q kuλ
ε
ϕLλ
ε
ϕLε
=
−
(4-2-6) 一方、Li
帯搬送波の電離層遅延I
Liは式(4-2-7)で表される。ここで、TEC
は総電子数であ る。 23
.
40
i Lif
TEC
I
=
⋅
(4-2-7) 式(4-2-5)及び式(4-2-7)により、L1 帯搬送波の電離層遅延二重差は式(4-2-8)のように表され る。(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
(
2 12 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1k
k
N
k
N
k
f
f
f
k
I
q ku L q ku L q ku L q ku L q ku L=
−
λ
ϕ
−
λ
ϕ
−
λ
+
λ
(4-2-8) L1 帯搬送波の電離層遅延二重差の観測量は推定の前に求める必要があるため、アンビギュ イティ実数解の一段予測量を用いることにする。以上のこと及び式(4-2-8)をもとに、L1 帯搬 送 波 の 電 離 層 遅 延 二 重 差 の 観 測 量I
L1qku 1′
を 式(4-2-9)のように表すことにする。ここで、)
1
|
(
1k
k
−
N
q ku Li は二重位相差のアンビギュイティ実数解の一段予測量である。(
(
)
(
)
(
|
1
)
(
|
1
)
)
)
(
2 12 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1−
−
−
+
−
−
=
′
k
k
N
k
k
N
k
k
f
f
f
k
I
q ku L q ku L q ku L q ku L q ku Lλ
ϕ
λ
ϕ
λ
λ
(4-2-9) 式(4-2-9)を用いて、電離層遅延二重差を求めるモデルを二周波搬送波位相モデルを構築する。 4-3 Saastamoinen モデルによる対流圏遅延の算出 Saastamoinen モデルの算出内容を以下に示す。 (1) 機能 対流圏遅延誤差をカルマンフィルタで推定するために、Saastamoinen モデルを構築する。 (2) アルゴリズム Saastamoinenm モデルは GPS の観測点における温度、気圧、湿度を与えて対流圏遅延を計 算するモデル式である。そこで、対流圏遅延量は、λ
λ
cos
2
tan
)
05
.
0
1255
(
10
277
.
2
3⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
×
=
−e
T
P
T
trop (4-3-1) となる。ただし、λ
： 衛星の天頂角[rad]P
： 気圧[hPa]T
： 気温(K
° C
=
°
+
276
.
16
) [K]e
： 水蒸気分圧[hPa] である。ここで、水蒸気分圧e
は、相対湿度RH
[%]から⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
45
.
38
)
4684
15
.
17
(
exp
)
100
/
(
108
.
6
T
T
RH
e
(4-3-2) で求める。 4-4 躍度モデルの算出 カルマンフィルタで位置を推定するための状態方程式のモデル式として躍度モデルを適用 する。以下に算出内容を示す。 (1) 機能 躍度モデルを組み込んだカルマンフィルタの状態方程式の算出を行う。 (2) アルゴリズム カルマンフィルタにおける予測精度を向上させるため、躍度が一次マルコフ過程であると仮 定した運動モデル（躍度モデル）を考える。このとき、躍度γ
(t
)
は式(4-4-1)のように表される。 ここで、α
は躍度の時定数の逆数である。)
(
)
(
)
(
t
=
−
αγ
t
+
w
t
γ
&
(4-4-1) 連続型状態方程式は式(4-4-2)～式(4-4-8)で表される。ここで、雑音w
(t
)
は平均0、分散I
の 標準正規分布に従うものとし、 3)
(
t
R
r
∈
は移動局位置、 3)
(
t
R
v
∈
は移動局速度、 3)
(
t
R
a
∈
は 移動局加速度、 3)
(
t
∈
R
γ
は移動局躍度、m
は衛星数、σ
wはシステム雑音の標準偏差、 Li Nσ
はLi
帯搬送波二重位相差のアンビギュイティの標準偏差、 1 L Iσ
は電離層遅延二重差の標準偏差、 Tσ
は対流圏遅延二重差の標準偏差、N
Li1qku(
t
)
はLi
帯（i
=
1
,
2
）搬送波二重位相差のアンビギ ュイティ、I
1L1qku(
t
)
はL1 帯搬送波の電離層遅延二重差、T
ku1q(
t
)
は対流圏遅延二重差、q
は衛星 番号、m
は衛星数である。)
(
)
(
)
(
t
=
F
η
t
+
Gw
t
η
&
(4-4-2)[
]
[
T T]
T L T T T T T L T L T L T T T Tt
T
t
I
t
N
t
t
T
t
I
t
N
t
N
t
t
a
t
v
t
r
t
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 2 1ξ
γ
η
=
≡
(4-4-3)⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
F
α
(4-4-4)⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
G
T I N N w L L Lσ
σ
σ
σ
σ
1 2 1 (4-4-5)[
m]
T ku Li ku Li ku Li Lit
N
t
N
t
N
t
N
(
)
=
12(
)
13(
)
L
1(
)
(4-4-6)[
m]
T ku L ku L ku L Lt
I
t
I
t
I
t
I
1(
)
=
121(
)
131(
)
L
11(
)
(4-4-7)[
m]
T ku ku L kut
T
t
T
t
T
t
T
(
)
=
12(
)
131(
)
L
1(
)
(4-4-8) 躍度γ
(k
)
に関する相関関数の代表的なモデルは式(4-4-9)で表される。ここで、σ
γ2は躍度の 分散である。 τ α γσ
τ
γ
γ
τ
=
+
=
−e
t
t
E
r
2)]
(
)
(
[
)
(
(4-4-9) 図 4-4-1 のように躍度の確率分布を設定する。図 4-4-1 においてP
γ(
γ
)
は躍度の確率、Γ
max は躍度の最大値である。図 4-4-1 に示す躍度の確率分布は、加速度が一次マルコフ過程である Singer モデルの加速度の確率分布を参考にして、離散分布と連続分布を取り入れたものである。 躍度の分散を求めると、式(4-4-10)のように表される。(
)
(
)
(
max 0)
2 max 0 2 max max 0 2 max max 2 max max 24
1
3
2
2
1
2
maxP
P
d
P
P
P
P
−
+
Γ
=
Γ
+
−
+
Γ
−
+
Γ
=
∫
Γγ
γ
σ
γ (4-4-10))
(
γ
γP
0P
γ
maxP
maxΓ
0
maxΓ
−
maxP
図 4-4-1 躍度の確率分布式(4-4-9)の相関関数
r
(
τ
)
をフーリエ変換すると、式(4-4-11)のように展開できる。{
}
{
}
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
)
(
1
1
)
1
(
}
{
)}
(
{
)
(
2 2 2 2 2 0 ) ( 0 ) ( 2 0 0 2 0 2 0 2 2 2ω
ω
ω
ασ
α
ω
α
ω
ω
α
ασ
ω
α
ω
α
σ
τ
τ
σ
τ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
σ
τ
ω
γ γ γ τ α ω τ α ω γ ωτ ατ τ ω τ α γ ωτ ατ γ ωτ ατ γ ωτ τ α γ τ αS
j
H
j
H
j
j
j
j
d
e
d
e
d
e
e
d
e
e
d
e
e
d
e
e
d
e
e
e
r
R
j j j j j j j a−
=
⋅
+
−
⋅
+
=
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
−
+
+
−
−
=
+
=
+
′
−
=
+
=
=
ℑ
=
ℑ
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞ − + ∞ − ∞ − − ∞ ′ ′ ∞ − − ∞ − − ∞ ∞ − − − − (4-4-11) ここで、H
(
j
ω
)
、S
(
ω
)
は式(4-4-12)及び式(4-4-13)のように表される。α
ω
ω
+
=
j
j
H
(
)
1
(4-4-12) 22
)
(
ω
=
ασ
γS
(4-4-13) システム雑音の分散 2 wσ
を用いて、式(4-4-14)を得ることができる。 2 22
ασ
γσ
w=
(4-4-14) 式(4-4-2)の解η
(t
)
に対して、関数e
−Ftη
(t
)
を考え、伊藤の連鎖則を適用すると、式(4-4-15) を得ることができる。ここで、Φ
(
t
,
α
)
は状態遷移行列、u
(t
)
はシステム雑音である。∫
−+
=
e
Ft te
F tGw
d
t
0 ) ( 0(
)
)
(
η
τ
τ
η
τ (4-4-15) Fte
t
=
Φ
(
,
α
)
(4-4-16)∫
−=
te
F tGw
d
t
u
0 ) ()
(
)
(
ττ
τ
(4-4-17) 共分散関数を計算すると、式(4-4-18)のようになる。∫
∫
∫
− − − −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
t T F t w t F t T T F t t F td
e
G
GQ
e
dt
e
G
t
w
d
Gw
e
t
T T 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ()
(
)
(
)]
(
var[
τ
τ
τ
η
τ τ τ τ (4-4-18) ここで、Q
wは式(4-4-19)で表される。)
(
)]
(
)
(
[
k
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
k
w
w
E
Q
T w−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
τ
δ
τ
(4-4-19) 式(4-4-20)に示すように、逆ラプラス変換を用いて、状態遷移行列Φ
(
t
,
α
)
を求めていく。}
)
{(
)
,
(
1 1 − −−
=
=
Φ
F
sI
L
e
t
α
Ft (4-4-20))
(
sI
−
F
の逆行列を計算するために、式(4-4-21)及び式(4-4-22)に示すように、(
sI
−
F
)
の固有 値を求める。0
)
(
0
0
)
det(
7+
=
=
+
−
−
−
=
−
α
λ
λ
λ
λ
λ
λ
α
λ
λ
λ
λ
λ
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
I
O
O
O
O
O
O
O
I
I
O
O
O
O
O
O
O
I
I
O
O
O
O
O
O
O
I
I
F
I
(4-4-21)}
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
{
α
λ
=
−
(4-4-22) 固有値及び余因子行列を用いて、式(4-4-23)に示すように、(
sI
−
F
)
の逆行列を求めていく。⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + + + + = − − I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O I s s I s O O O O O O I s s I s I s O O O O O I s s I s I s I s I s s O O O O O O O O I s s O O O O O O O O I s s O O O O O O O O I s s O O O O O O O O I s O O O O O O O I s I s s O O O O O O I s I s s I s s O O O O O sI I s s I s s I s s s s F sI 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 3 4 1 α α α α α α α α α α α α α α α ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + − = I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O O I s O O O O O O O I s s I s O O O O O O I s s s I s I s O O O O O I s s s s I s I s I s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 α α α α α α α α α α α α α (4-4-23) 式(4-4-23)を逆ラプラス変換し、観測データのサンプリング間隔を
Δ
t
とし、離散化すると、状 態遷移行列Φ
(
t
,
α
)
は式(4-4-24)のようになる。(
)
{
}
(
)
(
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
Δ
+
−
Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Δ
+
Δ
−
Δ
Δ
=
−
=
=
Δ
Φ
Δ − Δ − Δ − Δ − − −I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
e
O
O
O
O
O
O
O
I
e
I
O
O
O
O
O
O
I
e
t
tI
I
O
O
O
O
O
I
e
t
t
I
t
tI
I
F
sI
L
e
t
t t t t Ft α α α αα
α
α
α
α
α
α
1
1
1
1
2
1
1
2
1
)
,
(
2 2 2 3 2 1 1 (4-4-24) 式(4-4-17)をもとにシステム雑音u
(k
)
は式(4-4-25)のように展開できる。但し、離散型で表現 した。 { } { } { }[
]
(
)
[
]
(
)
∫
∫
∫
Δ + Δ − + Δ− − Δ + − − Δ + − − Δ + − Δ + Δ − + Δ− − Δ + − − Δ + − − Δ + − Δ + Δ − Δ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − Δ + + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + Δ − + + Δ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − Δ + + − − Δ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + Δ − + + Δ − − − Δ + − Δ + = = t k t k T I N N t t k w t t k w t t k w t t k w T I N N w t k t k k tt t t k t t k t t k t k t k t t k F dt t w I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I e O O O O O O O I e O O O O O O O I e t t k O O O O O O O e t t k t t k O O O dt t w I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I e O O O O O O O I e I O O O O O O I e t t k I t t k I O O O O O I e t t k t t k I t t k I t t k I dt t Gw e k u L L L L L L ) 1 ( } ) 1 {( } ) 1 {( } ) 1 {( 2 } ) 1 {( 2 2 3 ) 1 ( } ) 1 {( } ) 1 {( } ) 1 {( 2 } ) 1 {( 2 2 3 2 ) 1 ( ) , ) 1 (( ) ( 1 } ) 1 {( 1 } ) 1 {( 2 } ) 1 {( 1 ) ( 1 1 } ) 1 {( 1 1 ) 1 ( } ) 1 {( 2 } ) 1 {( 1 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 σ σ σ σ σ α σ α α σ α α α σ σ σ σ σ σ α α α α α α α α α α α α α α α (4-4-25)式(4-4-25)をもとにシステム雑音
u
(k
)
の共分散行列Q
(k
)
を式(4-4-26)～式(4-4-30)のように展 開できる。[
]
dt I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I d cdI bdI adI O O O O cdI I c bcI acI O O O O bdI bcI I b abI O O O O adI acI abI I a dt I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O dI cI bI aI O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O I O O O O O O O O dI O O O O O O O cI O O O O O O O bI O O O O O O O aI O O O k u k u E k Q t k t k T I N N w w w w w w w w w w w w w w w w T I N N w w w w t k t k T I N N w w w w T L L L L L L L L L∫
∫
Δ + Δ Δ + Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (4-4-26)⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
Δ
+
+
−
Δ
+
−
=
2 − {( +1)Δ−} 2 3{(
1
)
}
2
}
)
1
{(
1
1
k
t
t
k
t
t
e
k t ta
α
α
αα
(4-4-27)[
{( 1) }]
21
{(
1
)
}
1
k
t
t
e
k t tb
=
−
+
α
+
Δ
−
+
−α + Δ−α
(4-4-28)(
{( 1) })
1
1
e
k t tc
=
−
−α + Δ−α
(4-4-29) } ) 1 {(k t te
d
=
−α + Δ− (4-4-30)t
t
k
Z
=
(
+
1
)
Δ
−
とおくと、式(4-4-26)を式(4-4-31)～式(4-4-41)のように展開できる。dZ
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
d
cdI
bdI
adI
O
O
O
O
cdI
I
c
bcI
acI
O
O
O
O
bdI
bcI
I
b
abI
O
O
O
O
adI
acI
abI
I
a
Z
d
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
d
cdI
bdI
adI
O
O
O
O
cdI
I
c
bcI
acI
O
O
O
O
bdI
bcI
I
b
abI
O
O
O
O
adI
acI
abI
I
a
dt
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
O
O
O
O
I
d
cdI
bdI
adI
O
O
O
O
cdI
I
c
bcI
acI
O
O
O
O
bdI
bcI
I
b
abI
O
O
O
O
adI
acI
abI
I
a
k
Q
t T I N N w w w w w w w w w w w w w w w w o t T I N N w w w w w w w w w w w w w w w w t k t k T I N N w w w w w w w w w w w w w w w w L L L L L L L L L∫
∫
∫
Δ Δ Δ + Δ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1)
(
)
(
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
(4-4-31)⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
−
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
− − − − − Z Z Z Z Ze
e
Z
Ze
e
Z
Z
Z
Z
e
Z
Z
a
α α α α αα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
2 2 2 4 4 3 3 2 2 6 2 2 2 3 22
2
4
2
2
1
1
2
1
1
(4-4-32)(
)
(
Z Z Z)
Ze
Ze
e
Z
Z
e
Z
b
α α α αα
α
α
α
α
α
2 2 2 4 2 2 22
2
2
1
1
1
1
− − − −+
+
−
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
+
=
(4-4-33)(
)
(
Z Z)
Ze
e
e
c
α α αα
α
2 2 2 22
1
1
1
1
− − −+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
(4-4-34)( )
Z Ze
e
d
α α 2 2 2 − −=
=
(4-4-35)(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
+
−
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
− − − − − − Z Z Z Z Z Ze
e
Z
Ze
e
Z
Z
Z
e
Z
e
Z
Z
ab
α α α α α αα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
2 2 2 3 3 2 2 5 2 2 2 32
2
2
2
2
3
2
1
1
1
1
2
1
1
(4-4-36)(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
− − − − − − Z Z Z Z Z Ze
e
Z
Ze
e
Z
Z
e
e
Z
Z
ac
α α α α α αα
α
α
α
α
α
α
α
α
2 2 2 2 2 4 2 2 32
2
2
1
1
1
1
2
1
1
(4-4-37)⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
− − − − − − Z Z Z Z Z Ze
e
Z
Ze
e
e
e
Z
Z
ad
α α α α α αα
α
α
α
α
α
2 2 2 3 2 2 32
1
2
1
1
(4-4-38)(
) (
)
(
Z Z Z)
Z Ze
Ze
e
Z
e
e
Z
bc
α α α α αα
α
α
α
α
α
2 3 22
1
1
1
1
1
1
− − − − −−
−
+
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
+
=
(4-4-39)(
)
(
Z Z Z)
Z Ze
Ze
e
e
e
Z
bd
α α α α αα
α
α
α
2 2 21
1
1
− − − − −+
+
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
+
=
(4-4-40)(
)
(
Z Z)
Z Ze
e
e
e
cd
α α α αα
α
21
1
1
− − − −−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
(4-4-41) 式(4-4-31)を計算すると、式(4-4-42)～式(4-4-56)のようになる。⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
I
q
O
O
O
O
O
O
O
O
I
q
O
O
O
O
O
O
O
O
I
q
O
O
O
O
O
O
O
O
I
q
O
O
O
O
O
O
O
O
I
q
I
q
I
q
I
q
O
O
O
O
I
q
I
q
I
q
I
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O
O
O
O
I
q
I
q
I
q
I
q
O
O
O
O
I
q
I
q
I
q
I
q
t
Q
88 77 66 55 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11)
(
(4-4-42)(
)
t t t we
e
t
e
t
t
t
t
t
q
Δ − Δ − Δ −+
Δ
−
+
Δ
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Δ
−
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+
Δ
−
Δ
+
−
=
α α αα
α
α
α
α
α
α
σ
2 2 2 5 5 4 4 3 3 2 2 7 2 1130
60
120
3
15
40
60
60
90
60
(4-4-43)(
)
t t t t we
e
t
te
e
t
t
t
t
q
q
Δ − Δ − Δ − Δ −+
Δ
−
Δ
+
−
Δ
+
Δ
−
Δ
+
Δ
−
=
=
α α α αα
α
α
α
α
α
α
σ
2 2 2 4 4 3 3 2 2 6 2 21 124
4
8
8
4
8
8
4
8
(4-4-44)(
t t t)
wt
t
t
e
t
e
e
q
q
=
=
−
+
α
Δ
−
α
Δ
+
α
Δ
+
−αΔ+
α
Δ
−αΔ−
−αΔα
σ
2 2 3 3 2 2 2 5 2 31 139
6
3
12
3
3
6
(4-4-45)(
t t t)
we
t
e
e
q
q
=
=
−
−αΔ−
α
Δ
−αΔ+
−αΔα
σ
2 2 2 4 2 41 141
2
2
(4-4-46)⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Δ
−
Δ
+
Δ
−
Δ
−
=
wt
t
t
te
− Δte
− Δtq
α
α
α
α
α αα
σ
2 2 3 3 2 5 2 224
3
2
2
2
1
2
(4-4-47)(
t t t)
wt
t
te
e
e
q
q
=
=
−
α
Δ
+
α
Δ
+
α
Δ
−αΔ−
−αΔ+
−αΔα
σ
2 2 2 4 2 32 231
2
2
2
2
(4-4-48)(
t t)
wte
e
q
q
=
=
−
α
Δ
−αΔ−
− αΔα
σ
2 3 2 42 241
2
2
(4-4-49)(
t t)
wt
e
e
q
=
−
+
α
Δ
+
−αΔ−
−αΔα
σ
2 3 2 333
2
4
2
(4-4-50)(
t t)
we
e
q
q
=
=
−
−αΔ+
− αΔα
σ
2 2 2 43 341
2
2
(4-4-51)(
t)
we
q
=
−
−αΔα
σ
2 2 441
2
(4-4-52)t
q
L NΔ
=
2 55σ
1 (4-4-53)t
q
L NΔ
=
2 66σ
2 (4-4-54)t
q
L IΔ
=
2 77σ
1 (4-4-55)t
q
=
T2Δ
88σ
(4-4-56) 4-5 イノベーションによるサイクルスリップの検出 カルマンフィルタのイノベーションを用いたサイクルスリップの検出手法を以下に示す。 (1) 機能 サイクルスリップの検出を行う。 (2) アルゴリズム サイクルスリップ検出方法はカルマンフィルタのイノベーションを用いてχ2検定で検出を 行う。 カルマンフィルタのイノベーションν
ϕ(k
)
は共分散行列M
ϕ(k
)
の正規性白色過程である。し たがって、コレスキー因子分解により、M
ϕ(k
)
に対して式(4-5-1)となるような正則な行列)
(k
L
が存在する。)
(
)
(
)
(
k
L
k
L
k
M
=
T ϕ (4-5-1) 式(4-5-2)に示すようにν
s(k
)
を定義すると、ν
s(k
)
の共分散行列は式(4-5-3)のように単位行列 になる。)
(
)
(
)
(
k
L
1k
k
sν
ϕν
≡
− (4-5-2)[
]
[
]
[
]
I
k
L
k
M
k
L
k
L
k
k
k
L
E
k
k
L
Cov
k
Cov
T T s=
=
=
=
− − −)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕν
ν
ν
ν
(4-5-3) 式(4-5-3)より、ν
s(k
)
のそれぞれの要素は互いに独立な標準正規分布に従う。したがって、式(4-5-4)で表される検定統計量
