解析力学 講義ノート
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2003 年 4 月 24 日 (東島)1
作用原理とラグランジュ方程式
この章では作用原理に基づくラグランジュ方程式の導出を行う。ニュートンの方程式 はベクトルに対する方程式であるため、直角座標系では簡単な形をしているが、極座標 や回転座標系など、他の座標を用いると形が変わってしまう。ラグランジュ形式では座 標系に依らない作用積分を出発点にとるため、座標の取り方に依らない定式化が可能と なる。1.1
作用原理
物体の位置を指定するには、直線運動ならば直角座標が便利であるが、回転運動なら ば回転角度を、滑らかな曲線上に拘束されている場合には曲線にそった長さを用いた方 が便利である。物体の位置を指定するのに必要な座標qi (i = 1, · · · , N) を一般化座標と いう。N を力学的自由度の数と呼ぶ。一般化座標に対する運動方程式の形を求めるのが この節の目標である。 そのために次の問題を考えてみよう。 [ 問 ] 時刻 t = t0にqi(t0) = q0i を出発した物体が、時刻t1にqi(t1) = qi1に到着した。 途中の時刻t0 ≤ t ≤ t1ではどんな経路を通ってゆくか？ この問に対する答が次の作用原理である。 作用原理 ✏ 時刻t = t0にq0i を出発し時刻t1にq1i に到着する物体は、途中、 S[q(t)] ≡ t1 t0 L(q(t), ˙q(t), t)dt (1) が停留値をとるような経路を通る。S[q(t)] を作用（積分）と呼ぶ。 ✒ ✑ ラグランジアンL(q(t), ˙q(t), t) は一般化座標 q1. · · · , qN、その時間微分（一般化速度）˙q1, · · · , ˙qN、 および時間t の関数としておく。その時間積分である作用は物体の経路 C : qi(t) (i = 1, · · · , N) を定めると値が定まる。このように関数を定めると値が決まる量を汎関数とい う。経路を変えると作用も変化するが、作用原理は、物体が実際に通るのは、経路を少 し変化させても作用が変わらないような経路であると主張する1。 1作用原理はハミルトンの原理または変分原理と呼ばれることもある。 1まずこの作用原理からラグランジュの運動方程式を導く。 経路C : qi(t) を物体が実際に通る経路だと仮定しておく。この経路を少し変化させた経 路をC : qi(t) とすると、qi(t) は経路 qi(t) とわずか違うだけなので qi(t) = qi(t) + δqi(t) (2) と書くとδqi(t) は微少量である。δqi(t) のように、同じ時刻で実際の軌道からの仮想的に 考えたズレを仮想変位という。２つの経路C, Cとも、同じ点を出発して同じ点に到着 するので、両端では δqi(t0) = 0, δqi(t1) = 0 (3) を満たしている。 二つの経路に沿って積分した作用積分の変化は δS ≡ S[C] − S[C] = t1 t0 {L(q(t) + δq(t), ˙q(t) + δ ˙q(t), t) − L(q(t), ˙q(t), t)} dt = t1 t0 i ∂L ∂qiδqi(t) + ∂L ∂ ˙qiδ ˙qi(t) dt (4) ここで仮想変位δqi(t) は同じ時刻における２つの軌道の差を表しているので、時間微 分と順序を交換することができる、すなわち δ ˙qi(t) = ˙qi(t) − ˙qi(t) = d dt(qi(t) + δqi(t)) − d dtqi(t) = d dtδqi(t). (5) 2
式(5) を (4) に代入して部分積分を行えば δS = t1 t0 i ∂L ∂qiδqi (t) + ∂L ∂ ˙qi d dtδqi(t) dt = t1 t0 i ∂L ∂qiδqi (t) + d dt ∂L ∂ ˙qiδqi (t) − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi(t) dt = i ∂L ∂ ˙qiδqi (t) t1 t0 + t1 t0 i ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi(t)dt (6) となるが、出発点と終着点は固定しているので式(3) を代入して、次の式を得る δS = t1 t0 i ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi(t)dt. (7) 作用原理はどんな変化δqi(t) に対しても作用積分が停留値をとる、すなわち δS = 0 を要 求しているので、δqi(t) の係数は零でなければならない。従って、 ラグランジュの運動方程式 ✏ 作用原理に依れば物体が実際に通る軌道は微分方程式 d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = 0 (i = 1, · · · , N) (8) を満たさなければならない。これをラグランジュの運動方程式という。 ✒ ✑
1.2
ラグランジアン
前節において、作用原理から物体が実際に通る軌道はラグランジュの方程式を満たす ことを示したが、ラグランジアンL(q(t), ˙q(t), t) を与えていなかった。この節ではラグラ ンジアンの形を決める。 運動方程式が全ての座標系で同じであるためには、ラグランジアンは座標系に依らな い量すなわちスカラー量でなければならない。例えば、ベクトルの成分は見る座標系に 依るが、ベクトルの長さはどんな座標系から見ても変わらないスカラー量である。ラグ ランジアンの形を決めるために、ニュートンの運動方程式の形が簡単になる直角座標系 で、ラグランジュの運動方程式とニュートンの運動方程式が一致するように、ラグラン ジアンを定める。物体の座標をベクトルr = (x, y, z) で表すと、ポテンシャルエネルギー U(r) の中で運動する質量 m の粒子に対するニュートンの運動方程式は md 2r dt2 = −∇U(r) (9) となる。運動エネルギー T ( ˙r) = 12m dr dt 2 = 1 2m ˙x2+ ˙y2+ ˙z2 (10) 3を用いると、ニュートンの方程式(11) は d dt ∂T ∂ ˙x = − ∂U ∂x, d dt ∂T ∂ ˙y = − ∂U ∂y, d dt ∂T ∂ ˙z = − ∂U ∂z (11) と書き換えることができる。一般化座標をq1 = x, q2 = y, q3 = z とすれば、これを d dt ∂T ∂ ˙qi = −∂U ∂qi (i = 1, 2, 3) (12) と書くことができる。従って、直角座標系においてはラグランジアンを L(r, ˙r) = T ( ˙r) − U(r) (13) と選べば、ラグランジュの運動方程式(8) はニュートンの運動方程式 (11) に一致する。運 動エネルギーT ( ˙r) もポテンシャルエネルギー U(r) も座標系に依らないスカラー量なの で、ラグランジアンを(13) に選んでおけば、ラグランジュの運動方程式 (8) は任意の座 標系で成り立つ。ラグランジュ形式では、物体の位置を一意的に表すことができるなら ば、一般化座標としてどんな変数を用いても良い。 ラグランジアン ✏ ラグランジアンはスカラー量なので、ラグランジアンの中で自由に変数変換を行って 良い。一般化座標で表した運動エネルギーとポテンシャルエネルギーをT (qi, ˙qi), U(qi) とすると、ラグランジアンは L(q, ˙q, t) = T (q, ˙q, t) − U(q, t) (14) で与えられる。 ✒ ✑ 直角座標では運動エネルギーはqiに依らないが、極座標などの曲線座標系では一般化座 標に依存する。また、一般に質量やバネ定数などラグランジアンに入っているパラメー ターが時間に依っていても構わない2。 [ 例 ] ２次元の極座標 平面上の位置ベクトルr = (x, y) = xex + yey を極座標r, φ で表すと、x = r cos φ, y =
r sin φ より、r = r(cos φ, sin φ) = rerと書くことができる。erと独立な基本ベクトルeφ
を ∂ ∂φer = (− sin φ, cos φ) = eφ (15) で定義する。r, φ をわずかに変化させたときの位置ベクトル r の変化は dr = dr ∂ ∂r + dφ ∂ ∂φ (rer) = drer+ rdφ ∂ ∂φer= drer+ rdφeφ (16) となる。 2このような場合、ラグランジアンは時間に陽に依存するという。 4
右図を見ればer方向の微少線分の長さがdr、eφ方向の微少な弧の長さがrdφ なるこ とは明らかであろう。従って、速度v = dr dt は v = ˙rer+ r ˙φeφ (17) で与えられる。er· er = eφ· eφ= 1 および er· eφ= 0 を用いると、運動エネルギーは T (r, ˙r, ˙φ) = m2v2 = m2( ˙r2+ r2 ˙φ2) (18) となる。従って、ポテンシャルエネルギーをU(r, φ) とすると極座標を用いたときのラグ ランジアンは L(r, φ, ˙r, ˙φ) = m2( ˙r2+ r2˙φ2) − U(r, φ) (19) で与えられる。これより ∂L ∂ ˙r = m ˙r, ∂L ∂r = mr ˙φ 2 ∂L ∂ ˙φ = mr 2˙φ, ∂L ∂φ = − ∂U ∂φ が得られるので、r, φ に対するラグランジュの運動方程式は m ¨r − r ˙φ2 = −∂U ∂r (20) d dt mr2˙φ = −∂U ∂φ (21) となる。中心力の場合にはポテンシャルエネルギーU(r) が角度 φ に依らないので、式 (21) の右辺は零になり、角運動量が保存される。 角運動量保存則 ✏ 中心力の場合、角運動量 pφ≡ mr2˙φ (22) は時間に依らない保存量である。 ✒ ✑ 5
解析力学 講義ノート
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2003 年 5 月 8 日 (東島)1.3
対称性と保存則
一般に、ラグランジアンが一般化座標qiに依らないときには、ラグランジュの運動方 程式より pi ≡ ∂L ∂ ˙qi (1) が時間に依らない保存量であることが分かる。(1) を一般化運動量と呼ぶ。ラグランジア ンに現れない一般化座標のことを、角度変数との類推からサイクリック座標という。一 般に、サイクリック座標が有れば保存則が存在する。 この節では、これを更に一般化して、ラグランジアンが連続的な変換に対し不変なら ば保存則が存在することを示す。 ネーターの定理 ✏ 無限小変換 qi(t) −→ qi(t) = qi(t) + εfi(q, t) (2) に対しラグランジアンが不変ならば I = i ∂L(q, ˙q, t) ∂ ˙qi(t) fi(q, t) (3) は保存量である。 ✒ ✑ ここで、ε は無限小のパラメーターである。δqi(t) = εfi(q, t) とおいて、ラグランジアン の変化を求めると δL(q, ˙q, t) = L(q(t) + δq(t), ˙q(t) + δ ˙q(t), t) − L(q(t), ˙q(t), t) = i ∂L ∂qiδqi (t) + ∂L ∂ ˙qiδ ˙qi (t) ここで、同じ時刻における変化を考えているので、変分δ と時間微分が交換できること を使うと δL(q, ˙q, t) = i ∂L ∂qiδqi(t) + ∂L ∂ ˙qi d dtδqi(t) = i d dt ∂L ∂ ˙qiδqi (t) + i ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi δqi(t) (4) 1ラグランジュの運動方程式を用いると第２項は消える。一方、ラグランジアンが無限小 変換(2) のもとで不変だと仮定しているので、左辺は δL = 0 である。従って、(4) より dI dt = 0, ここに I = i ∂L ∂ ˙qifi が示される。 [ 例 1 ] 運動量保存則 n 個の粒子が互いに力を及ぼし合っている系を考える。ポレンシャルエネルギーは２粒子 の位置の差だけで決まるとする。それぞれの粒子の位置ベクトルをri, (i = 1, · · · , n) と すれば、この系のラグランジアンは L( ˙ri, ri) = n i=1 1 2mi˙r2i − i>j U(ri− rj) (5) 原点をどこにとってもよいので、全粒子を一斉にx, y, z ３つの方向へ平行移動 ri −→ ri = ri+ (6) してもラグランジアンは不変である。従って、ネーターの定理により系の全運動量 P = n i=1 ∂L ∂ ˙ri = n i=1 mi˙ri (7) は時間に依らない保存量である。このように、運動量保存則は空間が一様でどこにも特 別な点が無いことの帰結である。 [ 例 2 ] 角運動量保存則 中心力ポテンシャルの中にある粒子の運動は L(r, ˙r) = 12m ˙r2− U(r) (8) で記述される。ここで、ポテンシャルエネルギーU(r) は、中心からの距離 r = |r| だけ の関数で方向には依らないとする。この時、単位ベクトルn の方向を向いた回転軸の周 りに微少角度ε 回転してもラグランジアンは変わらない。 位置ベクトルr の変化は ε = εn とすると δr = ε × r (9) となるので、ネーターの定理により ∂L ∂ ˙r · (ε × r) = ε · r ×∂L ∂ ˙r が保存される。ε の係数を とおくと、３つの角運動量の成分が保存される。 d dt = 0, ただし = r × ∂L ∂ ˙r = r × p (10) 2
このように、角運動量保存則は空間が等方的で特別な方向が無いことに起因している。 [ 例 3 ] エネルギー保存則 ラグランジアンが陽に時間に依らないときには、時間の原点をどこにとっても良い。時 刻t = ε を新たに時刻 t = 0 と定めると t −→ t = t − ε (11) 新しい時間を用いて表した座標qiを qi(t) = qi(t) (12) で定義し、時間が同じ値を持つときの 座標を比べる qi(t) −→ qi(t) = qi(t + ε) = qi(t) + δqi(t), ここに δqi(t) = ε ˙qi(t). (13) 同じ時刻における変化を考えているので、変分δ と時間微分は交換することができる。こ れまでと異なり、この変換ではラグランジアン自身も同じように変化する L(t) −→ L(t) = L(t + ε) = L(t) + δL(t), ここに δL(t) = εdL(t) dt . (14) 一方、一般化座標が(13) の変換を受けることに依るラグランジアンの変化は、ネーター の定理の証明で行った変形(4) がそのまま使えるので、運動方程式を使った後 δL(q, ˙q) = L(q(t), ˙q(t)) − L(q(t), ˙q(t)) = i d dt ∂L ∂ ˙qi δqi(t) (15) となる。二つの式(14)(15) を比べて dE dt = 0, ここに E = i ∂L ∂ ˙qi ˙qi− L (16) を得る1。ラグランジアンが L(r, ˙r) = 12m ˙r2− U(r) (17) の時には E = 12m ˙r2+ U(r) (18) となり、保存則(16) はエネルギー保存則を表していることがわかる。このように、エネ ルギー保存則は時間の一様性に起因している。ラグランジアンが時間に陽による場合に は、時間の一様性は破れるのでエネルギー保存則はなりたたない。 1E を時間で微分しラグランジュの運動方程式を用いれば、直接エネルギー保存則を導くことができる 3
解析力学 講義ノート
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2003 年 5 月 15 日 (東島)1.4
拘束条件がある場合のラグランジュ方程式
この節では、テーブルの上に置かれた物体やジェットコースターの運動など、滑らかな 曲面や曲線上に拘束された運動を取り扱う。すなわち、ラグランジアンに現れる一般化 座標qi, (i = 1, · · · , N) が独立ではなく、q1, · · · , qN の間にk 個の拘束条件 f(q1, · · · , qN, t) = 0, ( = 1, · · · , k) (1) が存在する場合を考える。この場合にも、作用原理より式(7) は同じようにして導くこと ができる。しかし、N 個の δqiが独立でないために、ラグランジュの運動方程式(8) を導 くことはできない。この場合２種類の有用な方法がある。 消去法 拘束条件(eqn:constraints) を従属変数について解いて独立変数で表し、ラグラン ジアンに代入すればラグランジアンは独立変数だけで表されるので、独立変数に対 するラグランジュの方程式が得られる。ラグランジュの未定乗数法（Lagrange Multiplier Method）拘束条件を用いて従属変
数を消去できない場合や、消去すると著しく複雑になる場合に用いられる。 [ 消去法の簡単な例 ] 長さ の棒の先に質量 m の物体をつなぎ、一方の端を固 定する。この物体は垂直平面内を運動させる。固定軸か らの距離をr、垂直下方から測った物体の角度を φ とすれ ば、ラグランジアンは(??) で与えられる。固定軸からの 距離が一定という拘束条件r = をラグランジアンに代 入し、ポテンシャルエネルギーU(r, φ) = mg(1 − cos φ) を用いると L(φ, ˙φ) = m22˙φ2− mg(1 − cos φ). (2) このようにラグランジュ形式では、ラグランジアンの中 で変数変換を行ったり、拘束条件を代入したりして、問 題を解くのに便利な座標を用いることができる。
g
[ ラグランジュの未定乗数法 ] 拘束条件より、時間を動かさない仮想変位δqiはk 個の条件を満たさなければならない N i=1 Aiδqi(t) = 0, ただし Ai≡ ∂f ∂qi . (3) 1
この拘束条件にt の関数 λ(t) を掛けて t について積分し について和をとると t1 t0 N i=1 k =1 λ(t)Ai(q, t)δqi(t)dt = 0. (4) この式を作用原理から導いた式(7) に加えると t1 t0 N i=1 ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi + k =1 λ(t)Ai(q, t) δqi(t)dt = 0 (5) が得られる。δqi(t) (i = 1, · · · , N) のうち独立なのは N −k 個である。λ(t) ( = 1, · · · , k) は全く任意なので、i = 1, · · · , k については ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi + k =1 λ(t)Ai(q, t) = 0, (i = 1, · · · , k) (6) が成り立つようにλ(t) ( = 1, · · · , k) を選ぶ。λ(t) ( = 1, · · · , k) をこのように選ぶと、 式(5) は t1 t0 N i=k+1 ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi + k =1 λ(t)Ai(q, t) δqi(t)dt = 0 (7) となるが、N − k 個の δqk+1, · · · , δqN は独立なので、この式のδqi, (i = k + 1, · · · , N) の 係数は零でなければならない ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi + k =1 λ(t)Ai(q, t) = 0, (i = k + 1, · · · , N) (8) 従って、すべてのi = 1, · · · , N に対してこの式が成り立つことになる。 ラグランジュの未定乗数法 N 個の運動方程式 d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = k =1 λ(t)Ai(q, t), (i = 1, · · · , N) (9) とk 個の拘束条件 (1) f(q1, · · · , qN, t) = 0, ( = 1, · · · , k) を連立して解き、N 個の qi(t) (i = 1, · · · , N) と k 個の λ(t) ( = 1, · · · , k) を求める。 式(9) の右辺に現れた項 k =1 λ(t)Ai(q, t) (10) 2
は、曲面もしくは曲線上に拘束しておくために必要な力（抗力）と解釈することができる。 一般には微分形(3) でしか表すことのできない拘束条件も存在し、ラグランジュの未定 乗数法を適用することができるが、以上の議論では積分して(1) の形に表すことのできる 拘束条件に限定した。このように、一般化座標の間の関係式として表すことのできる拘 束条件はホロノミックな拘束条件と呼ばれる。ホロノミックな拘束条件の場合には、ラ グランジアンに拘束条件に比例する項を付け加えた新たなラグランジアン L = L + k =1 λf(q, t) (11) を定義することができる。N 個の qi(t) (i = 1, · · · , N) と k 個の λ(t) ( = 1, · · · , k) を独 立変数としてラグランジュの運動方程式を求めると、qiに対する運動方程式(9) と拘束条 件(1) を得ることができる。 3
解析力学 講義ノート
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2003 年 5 月 22 日 (東島)2
ハミルトン形式
2.1
ハミルトンの正準方程式
Lagrange 方程式は自由度の数を N とする時、N 個の一般化座標 qi(t) (i = 1 · · · N) に 対する２階の微分方程式である。Hamilton の正準方程式は一般化座標 qi(t) 及び正準運動 量pi(t) に対する 2N 個の一階微分方程式である。Lagrangian L(q, ˙q, t) は qiと ˙qi の関数 であったが、qiとpiを独立変数として取り扱うために、次の（ルジャンドル）変換を行 いハミルトニアン(Hamiltonian) を定義する。 ハミルトニアン ✏ H(q, p, t) = N i=1 pi˙qi− L(q, ˙q, t) (1) ここで、ハミルトニアンは qiと piで表さなければならない。 ✒ ✑ 2N 個の変数の qiとpiを正準座標と呼ぶ。˙qiは一般化運動量の定義式 pi ≡ ∂L ∂ ˙qi (2) を ˙qiについて逆に解き消去しておく。Lagrange 方程式を用いると dL(q, ˙q, t) = i ∂L ∂qidqi + ∂L ∂ ˙qid ˙qi +∂L ∂tdt = i ( ˙pidqi+ pid ˙qi) + ∂L ∂tdt となることに注意すれば、ハミルトニアンの微分は次のようになる。 dH(q, p, t) = N i=1 dpi˙qi+ pid ˙qi − ∂L ∂qidqi − ∂L ∂ ˙qid ˙qi − ∂L ∂tdt = i ( ˙qidpi− ˙pidqi) − ∂L ∂tdt (3) 上の式をハミルトニアンの微分の定義 dH(q, p, t) = N i=1 ∂H ∂qi dqi+∂H ∂pi dpi + ∂H(q, p, t) ∂t dt (4) と較べるとハミルトンの正準方程式が得られる。ハミルトンの正準方程式 ✏ dqi dt = ∂H(q, p, t) ∂pi , dpi dt = − ∂H(q, p, t) ∂qi (5) ✒ ✑ ラグランジアンが時間に陽に依存する場合には dH(q, p, t) dt = i ( ˙qi˙pi− ˙pi˙qi) − ∂L(q, ˙q, t) ∂t = − ∂L(q, ˙q, t) ∂t (6) となる。すなわち、ラグランジアンが陽に時間に依らなければ、ハミルトニアンは時間 に依らない保存量である1。 このように、ハミルトンの正準方程式には、正準変数qi(t), pi(t) がほぼ対等な形で入っ ている。2N 次元の空間 (q1, · · · , qN, p1, · · · pN) を相空間 (phase space) と呼ぶ。これに対 し、ラグランジュ方程式で取り扱うN 次元の空間 (q1, · · · , qN) を配位空間 (configuration space) と呼ぶ。配位空間の一点 qi (i = 1, · · · , N) を定めても、速度が決まらないので運 動は一意的に定まらない。これに対し、相空間の一点qi, pi, (i = 1, · · · , N) を選ぶと、既 に位置と速度が決まっているので運動は一意的に定まる。すなわち、相空間の点は運動 の状態と一対一に対応しており、このため相空間は配位空間より勝っている。 [ 例 ] 調和振動子 安定な平衡点の周りでの線形近似は調和振動子になるので重要である。調和振動子のラ グランジアンは L(q, ˙q) = 12m ˙q2 −12mω2q2 (7) である。正準運動量は p = ∂L(q, ˙q) ∂ ˙q = m ˙q (8) で与えられるので、ハミルトニアン(1) は H(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q) = p 2 2m + 1 2mω2q2 (9) ここで、(8) を用いて ˙q を消去した。ハミルトンの正準方程式 (5) は ˙q(t) = p m, (10) ˙p(t) = −mω2q (11) この２式からp(t) を消去して q(t) に関する２階常微分方程式を導くと、 m¨q = −mω2q (12) となり、ラグランジュ方程式と一致する。初期条件q(0) = qo, p(0) = p0を満たす解は q(t) = q0cos (ωt) + p0 ω sin ωt (13) p(t) = −q0ω sin (ωt) + p0cos (ωt). (14) 1ラグランジアンに含まれるq i(t), pi(t) 以外のパラメーターが時間に依存するとき、L は陽に時間に依 存するという
ラグランジアンが陽に時間に依らないので、エネルギーは保存される H(q, p) = p 2 2m + 1 2mω2q2 = E (一定). (15) これより、相空間((q, p) 平面) における軌道は楕円となることがわかる q2 2E mω2 + p2mE2 = 1. (16) q 軸方向の半径は 2E mω2、p 軸方向の半径は √ 2mE で与えられる。エネルギーが大きい ほど楕円の半径は大きくなる。 ハミルトン正準方程式の数値解法 ✏ 調和振動子に対するハミルトンの正準方程式の解を 図を使って求めよう。簡単のために質量をm = 1、 角振動数をω = 1 とおくと、ハミルトニアンは H(q, p) = 12p2+12q2 となる。(q, p) を相空間におけ るベクトルと見なせば、正準方程式 ˙q ˙p = ∂H(q,p) ∂p −∂H(q,p) ∂q = p −q (17) は相空間の各点で定義された流れのベクトル（速度 ベクトル場）を与えていると考えることができる。 -2 -1 0 1 2 p -1 1 2 q 時刻t に相空間の x = q p にあった点は、この方程式に従って時刻t + ∆t には x = x + ∆x = q p + ˙q ˙p ∆t に移動する。相空間における軌跡(解曲線) を求めるには、微少変位ベクトル ∆x の 矢印を次々につないでゆけば良い。∆t = 0.1 の場合に ∆x を (q, p) 平面の各点で図示 したのが右図である。実線は、時刻t = 0 にそれぞれ (1, 0)、(0, 1.6) にある点の軌跡 を表している。相空間の各点におけるベクトル場の矢印は一意に定まっているので、 相空間における軌道が交わることはない。矢印は厳密に求めた軌跡の接線になってい るので、微少矢印を結んだ数値解は厳密解より少し外側にずれる。時刻t = 0 に原点 (q, p) = (0, 0) にある点は永遠に原点にとどまる。この点のように流れのベクトル場 が零になる点を平衡点という。 ✒ ✑ [ 例 ] (不安定な平衡点周りの線形近似) 不安定な平衡点の周りで線形近似をすると、ポテンシャルエネルギーは上に凸な放物線 V (q) = −12mκ2q2になる。簡単のためにm = 1、κ = 1 とおくとハミルトニアンは H(q, p) = 12p2− 12q2 (18)
となるので、正準方程式は次のようになる。 ˙q ˙p = ∂H(q,p) ∂p −∂H(q,p) ∂q = p q (19) -2 -1.5 -1 -0.5 0 V(q) -2 -1 1 2 q -2 -1 0 1 2 p -2 -1 1 2 q 相空間における軌跡(解曲線) を求めるには、調和振動子の場合と同じように微少変位 ベクトル(∆q, ∆p) ≡ ( ˙q, ˙p)∆t の矢印を次々につないでゆけば良い。右図は、∆t = 0.1 の 場合に(∆q, ∆p) を (q, p) 平面の各点で図示したものである。この場合には正準方程式 (19) からp を消去して、q の２階微分方程式に直すと ¨q = q (20) となるが、この方程式は直ちに解くことができるので、相空間における軌跡と比較して みよう。一般解はA, B を任意定数として q(t) = Aet+ Be−t, p(t) = Aet− Be−t (21) で与えられるので、初期条件q(0) = q0, p(0) = p0を課すと q(t) = q20(et+ e−t) + p20(et− e−t), (22) p(t) = q20(et− e−t) + p20(et+ e−t) (23) が解である。また、初期条件q0, p0を与えたときのエネルギーは、(18) より E = 12p20−12q02 (24) である。 • 下図の a は、時刻 t = 0 に (2, −2) にある点の軌跡を図示したものである。ポテン シャルの山の右側からエネルギーEa = 0 で入ってきた粒子が、次第に減速しながら ポテンシャルの山頂（下図の原点）に向けて無限に近づく様子を表している。左の 図において、エネルギーとポテンシャルエネルギーの差が運動エネルギーなので、 原点に近づくほど運動エネルギーが小さくなることを読みとることができる。実際、 (22) より求めたこのときの解 q(t) = −p(t) = 2e−t は、無限に原点に近づくが有限の時間では決して到達しない。
• 下図の b は、時刻 t = 0 に (2, −1.5) にある点の軌跡を図示したものである。ポテン シャルの山の右側からEb < 0 で入射した粒子が、ポテンシャルの壁にぶつかった ところでp = 0 となり、跳ね返されて p > 0 で遠ざかっていく様子を表している。 • 下図の c は、時刻 t = 0 に (1.5, −2) にある点の軌跡を図示したものである。ポテン シャルの山の右側からEc > 0 で入射した粒子は、山に近づいて減速はするものの、 十分なエネルギーを持っているので山を乗り越え、左側に通り過ぎてゆく様子を表 している。 • 厳密に原点にある粒子は ∆q = ∆p = 0 なので、永遠に原点にとどまる。従って、原 点は平衡点である。 • 流れ図の矢印が示すように、原点の近くにある粒子も、図の a と (4) 以外の点は原 点から離れてしまい、下図の(1) または (2) の方向に遠ざかってゆく。このような 点を不安定な平衡点と呼ぶ。図のd は、時刻 t = 0 に (1, 0) にある粒子の運動を表 している。この場合(22) から求めた解 q(t) = cosh t, p(t) = sinh t は、q = p の方向 に向かうことがわかる。同じく、図のe は時刻 t = 0 に (0, 1) にある粒子の運動を表 している。この場合の解q(t) = sinh t, p(t) = cosh t も、q = p の方向に向かう。 -2 -1 0 1 2 p -2 -1 1 2 q a b c (1) (2) (4) d e
解析力学 講義ノート
5
2003 年 6 月 4 日 (東島)2.2
相空間における流れ
ラグランジュ形式で考えた配位空間(q1, q2, · · · , qN) では、一点を定めても取り得る速 度はいろいろなので、その点からどのように運動するかは定まらない。ハミルトン形式 で考える相空間(q1, · · · , qN, p1, · · · , pN) では、一点を定めると位置と運動量が定まって いるので、その点における運動は一意的に決まる。相空間の各点における運動を定める のが速度ベクトル場である。初期条件により定まる点から出発して、矢印をつないでゆ くと運動が定まる。相空間の各点は可能な初期条件に対応している。矢印は相空間の各 点ごとに定まっているので、各点を通る運動は一意的であり、軌跡は決して交わらない。 2N 次元の相空間のベクトルと微分を x = x1 · · · · x2N = q1 : qN p1 : pN ≡ q p , ∇H = ∂H ∂x1 · · · · ∂H ∂xN = ∂H ∂q1 : ∂H ∂qN ∂H ∂p1 : ∂H ∂pN ≡ ∂H ∂Õ ∂H ∂Ô で表すと、ハミルトンの正準方程式は dx dt = ∂H(Õ,Ô) ∂Ô −∂H(Õ,Ô) ∂Õ ≡ J∇H, ここで J ≡ 0 1N −1N 0 (1) と書くことができる。1N はN 行 N 列の単位行列を表す。 相空間の点x = (q, p) と僅かに離れた点 x + ∆x におけるハミルトニアンの値の変化は ∆H(x) = H(x + ∆x) − H(x) = ∆x · ∇H(x) であるが、∆x をエネルギーが一定となる面内に選ぶと ∆H(x) = 0 なので、∆x と ∇H(x) の内積は零であることがわかる。従って、∇H(q, p) は等エネルギー面に垂直である。∇H
J∇H
ハミルトンの正準方程式(1) 相空間の点の時間的変化を表す速度ベクトル場 v = dÜ dt を 与えているが、速度ベクトルv と ∇H(x) との内積をとると v · ∇H(x) = J∇H · ∇H = N i=1 ∂H ∂pi ∂H ∂qi − ∂H ∂qi ∂H ∂pi = 0となる。これは流れの速度ベクトルv が ∇H に垂直であることを示している。∇H は等 エネルギー面に垂直であるので、流れの速度ベクトルはエネルギー一定の面に接してい ることになる1。 Liouville の定理 時刻t に相空間の閉領域 D 内にある点 x が、時刻 t = t + ∆t に閉領域 Dの点x = x + ˙x∆t に移動する時、領域 D と領域 Dの体積は等しい。すなわち · · · D dq1 · · · dqN dp1· · · dpN = · · · D dq1· · · dqNdp1· · · dpN (2) これを見るために、まず相空間における流れは体積の変化しない非圧縮性の流体と考え ることができる事を示す。実際、相空間における速度ベクトル場v(x) = J∇H は、 div v ≡ ∇ · v = N i=1 ∂ ∂qi ∂H ∂pi − ∂ ∂pi ∂H ∂qi = 0 (3) をみたす。従って、領域Dの体積を領域D における積分で表すときの Jacobian は ∂(x1, x2, · · · , x2N) ∂(x1, x2, · · · , x2N) = 1 + ∇ · v∆t + O(∆t) 2 (4) となり、∆t の１次の精度で 1 となる。ここで、行列式の非対角成分は ∆t に比例するの で、行列式を∆t の一次迄求める時には考慮する必要がない。従って ∆t を十分小さくとっ ておけば · · · D dq1 · · · dqNdp1· · · dpN = · · · D ∂(x1, x2, · · · , x2N) ∂(x1, x2, · · · , x2N)dq1· · · dqNdp1· · · dpN = · · · D dq1· · · dqNdp1· · · dpN となり、体積は変わらないことが示される。無限小の時間発展をを次々と行えば任意の 有限時間発展を行うことができるので、領域D の体積はどんなに時間が経っても変わら ないことになる。
2.3
相空間における作用原理
この章の始めでは、ラグランジュの方程式からハミルトンの正準方程式を導いた。配 位空間における作用原理よりラグランジュの運動方程式が得られたように、相空間にお ける作用原理からハミルトンの正準方程式を導くことができる。この節では、相空間に おける作用原理から正準方程式を導く。 1これはエネルギーが保存することから自明であろう。相空間における作用 S = t1 t0 ( N i=1 pi˙qi− H(q, p, t))dt (5) は、2N 次元の相空間における経路 C を定めると値が定まるので、相空間における経路 C の汎関数である。相空間における作用原理では正準変数q, p を独立変数として扱う。作 用原理は「相空間における経路 C を少し変化させたとき、作用 S が停留値をとるような 運動が実際に実現する」ことを主張する。これを確かめるために、t0 ≤ t ≤ t1における 経路C を qi(t), pi(t) で表し、 qi(t) → qi(t) = qi(t) + δqi(t) pi(t) → pi(t) = pi(t) + δpi(t) (6) と変化させた経路をCとする。経路をC から Cに変化させたときに作用が停留値をと ること、すなわち δS = S[C] − S[C] = t1 t0 ( N i=1 pi˙qi− H(q, p, t))dt − t1 t0 ( N i=1 pi˙qi− H(q, p, t))dt = t1 t0 δ( N i=1 pi˙qi− H(q, p, t))dt = 0 (7) を要請してハミルトンの正準方程式を導く。ただし、出発点と終点は固定しておく2 δqi(t0) = δqi(t1) = δpi(t0) = δpi(t1) = 0. (8) (7) に於いて、正準変数 q, p を (6) のように独立に変化させると δS = t1 t0 N i=1 δpi˙qi+ piδ ˙qi− δqi∂H(q, p, t) ∂qi − δpi∂H(q, p, t) ∂pi dt (9) ここで、経路の変化(6) を同じ時刻で行っているので時間微分と交換できること δ ˙qi(t) = ˙qi(t) − ˙qi(t) = d dtδqi(t) を用いて(9) の部分積分を行うと δS = N i=1 (pi(t1)δqi(t1) − pi(t0)δqi(t0)) + t1 t0 N i=1 δpi ˙qi− ∂H(q, p, t) ∂pi − δqi ˙pi+ ∂H(q, p, t) ∂qi dt. (10) 2配位空間に於いては出発点と終点の座標を自由に選ぶことができる。相空間では出発点と終点の座標 の内２つだけを自由に定めることができるが、残りの２つは運動方程式によって定まってしまう。作用積 分の値を比べる経路としては、t = t0とt = t1の両端で同じ座標を持つ経路を選ぶ。
ここで、両端は固定しているので第一項は(8) により落ちる。正準変数 qi, piはすべて独 立であるとすると、正準変数の任意の変化に対して作用S が変化しないためには、δqi, δpi の係数はすべて零で無ければならない。よってハミルトンの正準方程式を得る ˙qi = ∂H(q, p, t) ∂pi ˙pi = −∂H(q, p, t) ∂qi (i = 1, 2, · · · , N).
解析力学 講義ノート
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2003 年 6 月 11 日 (東島)4
正準変換
ラグランジュの運動方程式は座標変換 qi → Qi = fi(q1, q2, · · · , qN, t) (i = 1, 2, · · · , N) (1) を行っても形が変わらない。正準形式においては、qi とpiを混ぜるもっと広い範囲の変数 変換を行っても、正準方程式の形は変わらない。この章では、そのような変換を考える。 (qi, pi) がハミルトンの正準方程式 ˙qi = ∂H(q, p, t) ∂pi , ˙pi = −∂H(q, p, t) ∂qi を満たすとき、Qi(q, p, t), Pi(q, p, t) もまた別の正準方程式 ˙Qi = ∂K(Q, P, t) ∂Pi , ˙Pi = − ∂K(Q, P, t) ∂Qi を満たせば、(q, p) から (Q, P ) への変換 Qi = Qi(q, p, t) (2) Pi = Pi(q, p, t) を正準変換と呼ぶ。 正準方程式は相空間における作用原理から導かれ、また正準方程式が成り立てば作用 原理が成り立つ。従って(q, p) に対する作用原理から、(Q, P ) に対する作用原理が導かれ る事を示せば、(q, p) に対する正準方程式から、(Q, P ) に対する正準方程式を導いたこと になる。作用原理では両端で変分を固定している。従って N i=1 pi˙qi− H(q, p, t) = N i=1 Pi ˙Qi− K(Q, P, t) + dF dt (3) であれば t1 t0 N i=1 pi˙qi− H(q, p, t) dt = t1 t0 N i=1 Pi ˙Qi− K(Q, P, t) dt + F (t1) − F (t0) となるが、F (t1) は t1, qi(t1), pi(t1) の関数であり、F (t0) は t0, qi(t0), pi(t0) の関数でで あるので変分にはきかない。すなわち、 δ t1 t0 N i=1 pi˙qi − H(q, p, t) dt = δ t1 t0 N i=1 Pi ˙Qi − K(Q, P, t) dt となり、(q, p) に対する正準方程式から (Q, P ) に対する正準方程式を導く事ができる。従って、変数変換(2) が正準変換であるための条件は、次の組み合わせが全微分の形 N i=1 (pidqi− PidQi) − (H(q, p, t) − K(Q, P, t))dt = dF (4) になることである。 最初に、F が qi, Qi, t の関数である場合を考える。F = F1(qi, Qi, t) と書くと dF (q, Q, t) = N i=1 ∂F1 ∂qi dqi+∂F1 ∂Qi dQi + ∂F1 ∂t dt となるので、これを式(4) に代入して、独立変数 dqi, dQi, dt の係数をそれぞれ等しくお くと、次の関係式が得られる。 pi = ∂F1(q, Q, t) ∂qi , Pi = −∂F1(q, Q, t) ∂Qi (5) K(Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F1(q, Q, t) ∂t 正準変換の例1 F1(q, Q) = iqiQiは正準変数qiとpiを入れ替える正準変換である。実際、q, Q を独立 変数に選んだときの式(5) より pi = ∂F1(q, Q, t) ∂qi = Qi, Pi = − ∂F1(q, Q, t) ∂Qi = −qi 従って、Qi = pi, Pi = −qiとなり、qiとpiが入れ替わっている1。ラグランジュ形式で はqiをq の任意の関数 Qi = fi(q1, · · · , qN, t) に変数変換してもラグランジュ方程式の形 を変えなかったが、正準変換ではq と p の役割を入れ替えることも可能である。 次に独立変数をqi, Piに選ぶために F = − N i=1 PiQi + F2(qi, Pi, t) (6) とおけば2 dF = − N i=1 (dPiQi+ PidQi) + N i=1 ∂F2 ∂qi dqi+ ∂F2 ∂PidPi +∂F2 ∂t dt となるので、これを式(4) に代入すれば dQi に比例する項は消えてしまう。独立変数 dqi, dPi, dt の係数をそれぞれ等しくおくと、 pi = ∂F2(q, P, t) ∂qi , Qi = ∂F2(q, P, t) ∂Pi (7) K(Q, P, t) = H(q, p, t) +∂F2(q, P, t) ∂t の関係式が得られる。F1やF2のことを正準変換の母関数という。 1ただし、正準方程式の形を保つにはどちらかの符号を変えておかねばならない 2独立変数をQ iからPiに変えるこの変換をLegendre 変換と呼ぶ
正準変換の例2 F2(q, P ) = iqiPiは恒等変換である。実際、q, P を独立変数に選んだときの式 (7) より pi = ∂F2 (q, P, t) ∂qi = Pi, Qi = ∂F2 (q, P, t) ∂Pi = qi 正準変換の例3 母関数F2(q, P, t) =Ni=1fi(q1, · · · , qN, t)Piによって引きおこされる正準変換は Qi = ∂F2 (q, P, t) ∂Pi = fi(q1, · · · , qN, t) (8) pi = ∂F2 (q, P, t) ∂qi = N j=1 ∂fj ∂qiPj = N j=1 ∂Qj ∂qi Pj (9) となるが N i=1 ∂Qj ∂qi ∂qi ∂Qk = δjk を用いて(9) を Piについて解くと Pi = N j=1 ∂qj ∂Qipj (10) 変換(8) は点変換と呼ばれ、ラグランジュ形式で許される最も一般的な変数変換である が、正準変換はもっと一般的な変換も許している。piの変換則は∂q∂i の変換則と同じもの である。 [ 練習問題 ] 1. 独立変数を pi, Qiに選ぶためにF = ipiqi + F3(pi, Qi, t) とすれば、次の関係式が 得られることを示せ。 qi = −∂F3 (p, Q, t) ∂pi , Pi = −∂F3(p, Q, t) ∂Qi (11) K(Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F3(p, Q, t) ∂t (12) 2. 独立変数を pi, Piに選ぶためにF = i(piqi− PiQi) + F4(pi, Pi, t) とすれば、次の関 係式が得られることを示せ。 qi = − ∂F4(p, P, t) ∂pi , Qi = ∂F4(p, P, t) ∂Pi (13) K(Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F4(p, P, t) ∂t (14) 3. 質量 m1とm2の粒子がポテンシャルU(r1− r2) の力を及ぼし合っている場合のラグ ランジアンは L = m21 ˙r12+m22 ˙r22− U(r1− r2) (15) 一つの慣性系から速度V で等速直線運動をする慣性系への座標変換 r −→ r = r − V t (16) をガリレイ変換という。正準方程式の形が２つの慣性系で同じになるように、ガリ レイ変換に対する正準変換の母関数を求めよ。
4.1
無限小正準変換
を無限小のパラメーターとして、 F2 = i qiPi + G(q, P, t) (17) とすれば、このF2によって引き起こされる正準変換は pi = ∂F2(q, P, t) ∂qi = Pi+ ∂G(q, P, t) ∂qi Qi = ∂F2 (q, P, t) ∂Pi = qi+ ∂G(q, P, t) ∂Pi ∆qi = Qi− qi, ∆pi = Pi− piを の１次の精度で求めると ∆qi = ∂G(q, p, t) ∂pi , ∆pi = −∂G(q, p, t) ∂qi (18) となる。ここで、変数P と p の差は の程度なので、G(q, p, t) の中では P を p で置き換 えた。G(q, p, t) を無限小正準変換の生成子という。この式を ∆x = J∇G (19) と書けば、ハミルトンの正準方程式と同じ形である。すなわち、相空間における運動は ハミルトニアンを生成子とする正準変換と見なすことができる。また、無限小正準変換 は相空間における流れのベクトル場を定義することがわかる。 無限小正準変換の例 1. 無限小平行移動 Qi = qi+ , Pi = piは全運動量で生成される。 Qi = qi+ = qi+ ∂G(q, p, t) ∂pi Pi = pi = pi− ∂G(q, p, t) ∂qi を満たす生成子G(q, p, t) を求めると G(q, p, t) = i pi = Ptotal 2. z 軸周りの無限小回転 (θ = ε) は全角運動量の z 成分によって生成される。 X = x cos θ − y sin θ = x − y = x + ∂G ∂px Y = x sin θ + y cos θ = y + x = y + ∂G ∂py より無限小正準変換の生成子G(x, y, px, py, t) を求めると G = xpy− ypx= Lz = 角運動量の z 成分 (20) 同じく、x, y 軸周りの回転は、角運動量の x, y 成分 Lx, Lyで生成される。解析力学 講義ノート
7
2003 年 6 月 26 日 (東島)5
ラグランジュ括弧とポアッソン括弧
5.1
正準変換の条件
正準変換には、時間はパラメーターとして入っているだけであり、時間を一定に保っ た変換を考えてもかまわない。正準変換の母関数F の時間依存性は、ハミルトニアン K を変えるだけであり、正準変数の変換は同じ形である。従って、dt = 0 とおいて次の式 を正準変換の条件と考えることができる。 正準変換の条件 ✏ 相空間の点(q1, · · · , qN, p1, · · · , pN) が次の変換により (Q1, · · · , QN, P1, · · · , PN) に移 るとき Qi = Qi(q, p). (1) Pi = Pi(q, p), (2) この変換が正準変換であるための条件は次の式が全微分となることである N i=1 (pidqi− PidQi) = dF. (3) ✒ ✑ [ 例題 ] 一次変換 Q = αq + βp, P = γq + δp が正準変換となるためには、定数 α, β, γ, δ はどのような条件を満たさなければならないか？ [ 答 ] P dQ − pdq = (γq + δp)(αdq + βdp) − pdq = γαqdq + δβpdp + δαpdq + γβqdp − pdq = d(12γαq2+ 12δβp2+ γβqp) + (δα − γβ − 1)pdq これが全微分になるのはδα − γβ = 1 の時である。（了） 式(3) の右辺は全微分の形なので、左辺を相空間における任意の閉曲線 C に沿って積 分したものは零になる。 C N i=1 (pidqi− PidQi) = 0 (4) 1ただし、左辺第２項では閉曲線C 上の点 (q, p) が変換 (1)(2) によって閉曲線 C 上の点 (Q, P ) に移る時に C N i,j=1 Pi(q, p) ∂Qi(q, p) ∂qj dqj +∂Qi(q, p) ∂pj dpj ≡ C N i=1 PidQi (5) と考えて相空間における線積分を行う。
C
Phase Space
D
C’
D’
(Q,P)
(q,p)
従って、(1)(2) が正準変換である条件は、任意の閉曲線 C に対して C N i=1 pidqi = C N i=1 PidQi (6) が成り立つことである。 次のこの線積分を面積分に書き換えるためにストークスの定理を使う。 ストークスの定理 ✏ 閉じた曲線に沿った線積分は面積分の形に書くことができる。平面上に座標(u, v) を とり、閉じた曲線C0に囲まれた領域をD0とすれば C(Au(u, v)du + Av(u, v)dv) =
D ∂Av ∂u − ∂Au ∂v dudv. (7) ✒ ✑ 相空間における閉曲線C を含む曲面を考えて、曲線に囲まれた曲面の領域を D とする。 閉曲線C を境界とする曲面は任意に取って良い。任意の２次元曲面は２つの座標で表す ことができるので、その曲面上の点を座標(u, v) で表す。閉曲線 C が (u, v) 平面では閉曲 線C0に対応し、閉曲線C により囲まれる曲面が (u, v) 平面では領域 D0に対応するもの とする。 2
曲面D 上では (qi, pi) は (u, v) の関数なので、式 (6) の左辺を式 (7) の左辺の形に表せば C N i=1 pidqi = C0 N i=1 pi ∂qi ∂udu + ∂qi ∂vdv (8) となるので次のようにおけばよい Au(u, v) = N i=1 pi∂qi ∂u, Av(u, v) = N i=1 pi∂qi ∂v. (9) これを用いて式(7) の右辺を計算すると ∂Av ∂u − ∂Au ∂v = N i=1 ∂pi ∂u ∂qi ∂v − ∂pi ∂v ∂qi ∂u = N i=1 ∂(pi, qi) ∂(u, v), (10) ただし、ヤコビアンは次の式で定義される ∂(pi, qi) ∂(u, v) = ∂pi ∂u ∂pi ∂v ∂qi ∂u ∂qi ∂v = ∂p∂ui ∂qi ∂v − ∂pi ∂v ∂qi ∂u. (11) 式(10) をストークスの定理に代入すると C N i=1 pidqi = D N i=1 dpidqi (12) ただし、ここで相空間における曲面上の面積分を D N i=1 dpidqi ≡ D0 N i=1 ∂(pi, qi) ∂(u, v)dudv (13) で定義した。変換(1)(2) によって曲面 D は Dに移る。曲面D上の(Q, P ) は (q, p) の関 数であり、曲面D 上では (q, p) は (u, v) の関数なので、曲面 D上の(Q, P ) も (u, v) の関 数である。従って、曲面D上の面積分を同じように定義する D N i=1 dPidQi = D0 N i=1 ∂(Pi, Qi) ∂(u, v) dudv. (14) 積分不変式 ✏ 式(3) の左辺が全微分となる条件、すなわち正準変換の条件は D N i=1 dpidqi = D N i=1 dPidQi (15) と表される。すなわち、相空間における任意の２次元曲面上の領域における面積分は 正準変換の不変量である。右辺の積分領域Dは領域D を正準変換 (1)(2) で写像した 領域である。 ✒ ✑ 3
5.2
シンプレクティック変換
(15) の被積分関数に (13)(14) を代入すると D0 N i=1 ∂(pi, qi) ∂(u, v)dudv = D0 N i=1 ∂(Pi, Qi) ∂(u, v) dudv. これが任意の積分領域に対して成り立つためには、被積分関数自身が等しくなければな らない。これより次のことが分かる。 ラグランジュの括弧式 ✏ u と v のラグランジュの括弧式を {u, v}q,p≡ N i=1 ∂qi ∂u ∂pi ∂v − ∂pi ∂u ∂qi ∂v (16) で定義すれば、正準変換の条件(15) は次のように書くことができる。 {u, v}q,p = {u, v}Q,P (17) ラグランジュの括弧式は正準変換に不変であるので、添え字のq, p は省いても良い。 特にu, v として qiやpjを取ると {qi, qj} = 0, {pi, pj} = 0, {qi, pj} = δij (18) ✒ ✑ [ 証 ] {qi, pj}q,p = N k=1 ∂qk ∂qi ∂pk ∂pj − ∂pk ∂qi ∂qk ∂pj =N k=1 δikδjk = δij （了） 相空間における流れの所で使ったベクトル記号を用いることにして、2N 個の正準座標 をまとめて縦ベクトルで表す。 x = x1 · · · · x2N = q1 : qN p1 : pN , X = X1 · · · · X2N = Q1 : QN P1 : PN , J ≡ 0 1N −1N 0 1N はN 行 N 列の単位行列を表す。xT, XT は転置した横ベクトルを表すことする。こ の記号を用いると、ラグランジュ括弧式は {u, v}q,p = N i=1 ∂qi ∂u ∂pi ∂v − ∂pi ∂u ∂qi ∂v = ∂x ∂u T · J∂x ∂v (19) {u, v}Q,P = N i=1 ∂Qi ∂u ∂Pi ∂v − ∂Pi ∂u ∂Qi ∂v = ∂X ∂u T · J∂X ∂v (20) 4と書くことができる。 変数変換 xi → Xi = Xi(x1, · · · , x2N) (21) を行ったとき ∂Xi ∂u = j ∂Xi ∂xj ∂xj ∂u = j Mij∂xj ∂u となる。ここで行列M を Mij = ∂Xi ∂xj (22) で定義した。ベクトル記号を用いると ∂X ∂v = M ∂x ∂v, ∂X ∂u T = ∂x ∂u T MT. (23) これを式(20) に代入し、式 (19) と較べると、行列 M が次の条件を満たすときに変数変 換(21) が正準変換になることが分かる。 シンプレクティック行列 ✏ 変数変換(21) が正準変換になる必要十分条件は MTJM = J. (24) この条件式を満たすM をシンプレクティック行列と呼ぶ。 ✒ ✑ この式の両辺の行列式を求めるとdet J は両辺でキャンセルするので (det M)2 = 1 従って、 det M = ±1 となり、正準変換は相空間の体積を変えないことが分かる(Liouville の定理) dQ1· · · dQNdP1· · · dPN = ±dq1· · · dqNdp1· · · dpN. 特に、恒等変換から連続的に無限小変換で結ばれる正準変換の場合には det M = 1 となる。 シンプレクティック行列の条件式(24) に右から M−1を掛けると MTJ = JM−1 5
この式に両側からJ を掛けて J2 = −1 (25) を用いると JMT = M−1J この式の左からM を掛けると、シンプレクティック行列の条件を次のように書くことも できる MJMT = J (26)
5.3
ポアッソン括弧
ポアッソン括弧 ✏ qk, pk (k = 1, 2, · · · , N) を正準変数とするとき、次の式で定義されるポアッソン括弧 (Poisson Bracket) は正準変換に不変である。 [u, v] = N k=1 ∂u ∂qk ∂v ∂pk − ∂v ∂qk ∂u ∂pk (27) ✒ ✑ [ 証 ] 再びベクトル記法を用いることにして、相空間における微分を次のように表す ∇ = ∂ ∂x1 · · · · ∂ ∂x2N = ∂ ∂q1 : ∂ ∂qN ∂ ∂p1 : ∂ ∂pN , ∇ = ∂ ∂X1 · · · · ∂ ∂X2N = ∂ ∂Q1 : ∂ ∂QN ∂ ∂P1 : ∂ ∂PN (28) この記法を用いると、ポアッソン括弧式は次のように表すことができる。 [u, v]q,p = N k=1 ∂u ∂qk ∂v ∂pk − ∂v ∂qk ∂u ∂pk = 2N i,j=1 ∂u ∂xiJij ∂v ∂xj = (∇u) T · J (∇v) (29) さて、 ∇iv = ∂v ∂xi = j ∂v ∂Xj ∂Xj ∂xi = j Mji ∂v ∂Xj (30) をベクトル記法で書くと ∇v = MT∇v (31) (∇v)T = (∇v)TM (32) 6これを(31) に代入すると [u, v]q,p = (∇u)T · J (∇v) = (∇u)T · MJMT (∇v) = (∇u)T · J (∇v) = [u, v]Q,P (33) となり、ポアッソン括弧式が正準変換に不変であることがわかる。ここで、M がシンプ レクティック行列であること(26) を用いた。 定義に従って計算すると [qi, pj] = N k=1 ∂qi ∂qk ∂pj ∂pk − ∂pj ∂qk ∂qi ∂pk = N k=1 δikδjk = δij (34) [qi, qj] = N k=1 ∂qi ∂qk ∂qj ∂pk − ∂qj ∂qk ∂qi ∂pk = 0 (35) [pi, pj] = N k=1 ∂pi ∂qk ∂pj ∂pk − ∂pj ∂qk ∂pi ∂pk = 0 (36) となる。 ポアッソンの基本括弧式 ✏ 正準変数に対するポアッソン括弧式を基本括弧式と呼ぶ。 [qi, qj] = 0 [pi, pj] = 0 (37) [qi, pj] = δij ✒ ✑ ポアッソン括弧の計算するには、この基本括弧式といくつかの公式を使うと見通しよ く計算できる。 ポアッソン括弧の性質 ✏ [u, v] = −[v, u] (38) [αu + βv, w] = α[u, w] + β[v, w] (α, βは定数) (39)
[uv, w] = u[v, w] + [u, w]v (40)
[qi, F (q, p)] = ∂F
∂pi,
[pi, G(q, p)] = −∂G
∂qi
(41)
[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0 (Jacobi 恒等式) (42)
✒ ✑ このうち(38)(39)(41) は定義から明らかであろう。(40) は ∂(uv) ∂qk = ∂u ∂qkv + u ∂v ∂qk, ∂(uv) ∂pk = ∂u ∂pkv + u ∂v ∂pk 7
を定義式に代入すれば直ちに示すことができる。ヤコビ恒等式の証明をしておこう。ま ず反対称行列Jij を用いたポアッソン括弧の定義式(31) から出発しよう。ただし、ここで は微分を次の記号で表すことにする ∂u ∂xi ≡ u,i ∂ 2u ∂xi∂xj ≡ u,ij (43) そうすればポアッソン括弧を次のように書くことができる [v, w] = 2N k,l=1 v,kJklw,l (44) ヤコビ恒等式の最初の２項は
[u, [v, w]] + [v, [w, u]] = [u, [v, w]] − [v, [u, w]]
= ij u,iJij([v, w]),j− ij v,iJij([u, w]),j = ij kl JijJkl(u,i(v,kw,l),j−v,i(u,kw,l),j) = ij kl JijJkl(u,iv,k−v,iu,k)w,lj+ ij kl JijJkl(u,iv,kj−v,iu,kj)w,l (45) となる。ここで ([v, w]),j= kl Jkl(v,kw,l),j= kl Jkl(v,kjw,l+v,kw,lj) を用いた。式(45) の第一項の u,iv,k−v,iu,kはi と k の入れ替えに反対称なので、JijJkl をi, k の入れ替えに反対称化してもよい。 第一項= ij kl 1 2(JijJkl− JkjJil)(u,iv,k−v,iu,k)w,lj そうすると、JijJkl− JkjJilの部分はl と j の入れ替えに対し反対称になるが、微分は順 序を交換できるのでw,ljはl, j の入れ替えに対し対称である。従って、第一項は l, j につ いて和をとると、必ず逆符号の項が現れるため零になってしまう。式(45) の第２項 ij kl JijJkl(u,iv,kj−v,iu,kj)w,l の最後の項でi と j を入れ替えると Jijが反対称なので ij kl JijJkl(u,iv,kj+v,ju,ki)w,l = ij kl JijJkl(u,iv,j),kw,l = kl Jkl[u, v],kw,l = [[u, v], w] = −[w, [u, v]] 了 8
[ 練習問題 1 ] ３次元空間における角運動量Lx= ypz− zpy, Ly = zpx− xpz, Lz = xpy− ypxのPoisson Blacket を次の順序で求めよ。 • 基本括弧式を用いて [x, Lz], [y, Lz], [z, Lz] を求めよ。 • [px, Lz], [py, Lz], [pz, Lz] を求めよ。 • [Lx, Ly], [Ly, Lz], [Lz, Lx] を求めよ。
5.4
ポアッソン括弧を用いた正準変換の条件
シンプレクティック行列であるための条件(26) は (24) と同値なので、q, p から Q, P へ の変数変換Q = Q(q, p), P = P (q, p) が正準変換であるための条件は MJMT = J であ る。この条件を書き下して、2N × 2N 行列の (i, j) 成分を見てみよう。 2N k,l=1 ∂Xi ∂xk Jkl∂Xj ∂l = Jij (46) ここで、添え字i, j を 1から N までと N + 1 から 2N までに分け、k に関する和も k = 1, · · · , N 迄の場合と k = N + 1, · · · , 2N の場合を分けて考えると N k=1 ∂Qi ∂qk ∂Qj ∂pk − ∂Qi ∂pk ∂Qj ∂qk = 0 N k=1 ∂Qi ∂qk ∂Pj ∂pk − ∂Qi ∂pk ∂Pj ∂qk = δij (47) N k=1 ∂Pi ∂qk ∂Pj ∂pk −∂Pi ∂pk ∂Pj ∂qk = 0 N k=1 ∂Pi ∂qk ∂Qj ∂pk − ∂Pi ∂pk ∂Qj ∂qk = −δij これをポアッソン括弧を用いて書く。 正準変換の条件 ✏ q, p から Q, P への変数変換 Q = Q(q, p), P = P (q, p) が正準変換であるための必要十 分条件は [Qi, Pj] = 0, (48) [Qi, Pj] = δij (49) [Pi.Pj] = 0 (50) すなわち、新しい変数がポアッソンの基本括弧式(37) を満たすことである。 ✒ ✑ 9[ 練習問題 2 ] １自由度の系(N=1) を考える。q, p から Q, P への変数変換 Q = Q(q, p), P = P (q, p) が 正準変換であるための条件はMJMT = J である。ただし、 M = ∂Q ∂q ∂Q ∂p ∂P ∂q ∂P∂p J = 0 1 −1 0 これを具体的に書き下し、正準変換の条件を次のように書くことが出来ることを示せ。 [Q, Q] = 0, [P, P ] = 0, [Q, P ] = 1
