解答速報数学 2017 年度大阪医科大学 ( 前期 ) 一般入学試験 1 (1) 0, 8 1 e9 進学塾 0t= $ e e 0t= 11 2e -1 1 = 2 e 0t= -11 dy dx = -2 - t te 3t 2-1 = = ビッグバン dy (2) x

１

(1)　

8 9

0 ,

1

e

　0t=

$1

1

dy

dx

=

-

2

te

-t2

-3

t

2

1

=

=

-

2

e

2

-1

e

0

t 1

=

1

=

2

e

-1

2

1

e

0

t

=

-

1

1

(2)　x 軸と平行　

dy

dt

=-

2

-2 t

te

=

0 　.　t =0 , x

=

0 , y

=

1

　　y 軸と平行　

dx

dt

=

3

2

t

-

1=0　.　t =$

1

U

3

, x

=

P

2

3

U

3

, y

=

-1 3

e

　(複号同順)

(3)　

dy

dx

=

-

2

te

-t2

-3

t

2

1

より，

　　t<

-

1

U

3

, 0

<

t <

1

U

3

のとき

dy

dx

>

0

　　

-

1

U

3

<

t <0,

1

U

3

<

t のとき

dy

dx

<

0

(4)　増減表をかくと下のようになる。

t

-

*

…

-

1

U

3

…

0

…

1

U

3

…

*

dx

dt

+

0

-

-

0

+

dy

dt

+

+

0

-

-8 9

x

y

8 9

-

*

0

@ A

2

3

U

3

1

1 3

e

8 9

0

1

@ A

-

2

3

U

3

1

1 3

e

8 9

*

0

解答速報 数学

2017

年度 大阪医科大学（前期） 一般入学試験

ビッグバン

進学塾

ビッグバン

進学塾

x

y

O

(0 , 1)

(0 ,

1

e

)

(

2

3

U

3

,

1

1 3

e

)

(

-

2

3

U

3

,

1

1 3

e

)

２

x

y

O

y

O

x

z

A B A B C D-F- E-(0 , -1) (0 ,1) x=

U

3 2 C E F D U3 02-t1 U3 01-t1 60, B F D X Y t 1 U3 (1)　平面 z=t と線分BF，BDの交点を点X，Yとする. 　このとき△BDFQ△BXYであり，相似比 1 : t であるから 　 XY＝tDF=

_U

3 t (2)　八面体 K の平面 z=t による切り口の面積を S0 1t とすると 　S0 1t=1₂ 2

6

U

3 02-t sin 60, -3･1

7

1 2 2

6

U

3 01-t sin 60,1

7

　 =3

U

3 4

0

-2 2 t +2t+1

₁

(3)　八面体 K の体積を V とすると 　V=

Q

0 1 ₃

_U

₃ 4

0

-2 2 t +2t+1 dt=

₁

3

U

3 4 0 1

<

-2 + +

=

3 3 t _t2 _{t =}3

U

3 4

8

2-

9

2 3 =

U

3

ビッグバン

進学塾

ビッグバン

進学塾

３

(1)

　¦

ABC

：¦

ACM

=BM:CM であり，

　¦

ABC

：¦

ACM

=

1

2

･c･AM･sin

A

2

:

1

2

･b･AM･sin

A

2

=c:b

より，

　BM:CM=c:b

(2)

　

BM=

ac

+

b c

より

AI

：

IM=c

：

ac

+

b c

=

0

b

+c

1

：

a

AI

=

b c

+

+

+

a b c

･

+

bAB

cAC

+

b c

=

+

bAB

cAC

+

+

a

b

c

ここで、（左辺）＝

aIA

+

bIB

+

cIC =bAB

+

cAC

_-0

a+b

+c

₁

･

AI

=bAB

+

cAC

_-0

a+b

+c

₁

･

bAB

+

cAC

+

+

a b c

=

0

=（右辺）

(3)

　

a

PA

2

+

b

PB

2

+

c

PC

2

＝0

a+b

+c

₁

AP

2

-

2

0

bAB

+

cAC

1

･

AP

+

b

AB

2

+

c

AC

2

=

0

a+b

+c

1

2

-AP

bAB

+

cAC

+

+

a b c

+定数

よって、

AP

=

bAB

+

cAC

+

+

a b c

=

AI

で最小となる

ビッグバン

進学塾

ビッグバン

進学塾

４

(1)　(i)　a=0 のとき 　袋の中は赤玉0個，白玉20個なので，P0 1a =1 　(ii)　a=17 のとき 　袋の中は赤玉17個，白玉3個なので，P0 1a =17C1･3C3 4 20C = 24 ･ ･ 20 19 18 　(iii)　a)18 のとき 　袋の中に白玉が2個以下なので，P0 1a =0 　(iv)　0(a(16 のとき 　　4個中赤が0個または1個となればよいので， 　　　　P0 1a =20 a- C +4 aC1･20 a- C3 4 20C = 020 a- 1019 a- 1018 a- 103a+171 ･ ･ ･ 20 19 18 17 　　　　　　　 　　なお，これにa=0 を代入すると20 19 18 17･ ･ ･ ･ ･ ･ 20 19 18 17=1 　　　　　　　　a=17 を代入すると 3 2 1 68･ ･ ･ ･ ･ ･ 20 19 18 17= 24 ･ ･ 20 19 18 　　　　　　　　a=18, 19, 20 を代入すると0 　(i)～(iv) より，0(a(20 で P0 1a = 020 a- 1019 a- 1018 a- 103a+171 116280 と表わせ， 　P0 1a はa の多項式である。 (2)　P_{0a 1}+1 -P_{0 1}a 　　 =019 a- 1018 a- 1017 a- 103a+201-020 a- 1019 a- 1018 a- 103a+171 116280 　　 = 019 a- 1018 a- 16017 a- 103a+201-020 a- 103a+1717 116280 　　 =-12a019 a- 1018 a- 1 116280 　よって， 　　　a=0，18，19 のときP0 1a =P_{0a 1}+1 　　　a=1，2，……，17 のとき P0 1a >P_{0a 1}+1 (3)　(2) より，P_{0 1}a は減少関数となる。 　　　P0 10 =1 ₀>0.95₁ 　　　P0 11 =19 18 17 20･ ･ ･ ･ ･ ･ 20 19 18 17=1 0>0.951 　　　P0 12 =18 17 16 23･ ･ ･ ･ ･ ･ 20 19 18 17= 92 95 0 =0.968…>0.951 　　　P0 13 =17 16 15 26･ ･ ･ ･ ･ ･ 20 19 18 17= 52 57 0 =0.912…<0.951 　よって，a=0 ，1，2

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５

(1) △OMR と△OM Rにおいて　ORは共通･･･①1 またOM,OM はそれぞれ弦AB,1 A1B の垂直二等分線より1 4OMR=4OM R₁ =90 ,　･･･②　OM=OM1　･･･③ ①②③より△OMR6△OM R1 (2)　AB の中点Mを表す複素数はa b+ 2 であり， 　u=cos 2h+i sin2h とすると，A₁₀au ，₁ B₁₀bu と表わせ₁ 　A₁B の中点1 M 1

8

+ a b 2 ･u と表せる。

9

　よって，4MOM₁=2h であり，(1) より，4MOR=4M OR であるから，1 　4MOR=h (3)　 M はM より偏角が2h 進んでいることと，4MOR＝h₁ かつ，Rの偏 　角はMとM ₁の間にあることから，RはMよりも偏角がh進んでいる 　とわかる。また， OR OM = 1 cos h であるから，R を表す複素数をz とす 　ると， 　　 z + a b 2 = 1

cos h 0cos h+i sinh1

　　z=cos h+i sinh

2cos h ･0a+b1=k0a+b1

　同様にして，P，Q も求まり，P00b+c k ，Q1 1 _00c+a k ，R_{1 1 00a}+b k_{1 1} (4)　P，Q，R に対応する複素数をa -，b -，c - とおく。 　a --d -a d = -b - d -b d = -c - d -c d となるD0 1d が存在すればよい。 　a --d -a d = -b - d -b d を満たすd を求める。 　　　0a--_{d 0b 1}1 - d =_{0b -}-_{d 0a 11} - d 　　　_d2 -0a-+b d1 +a -b=_d2 -0a+b - d1 +ab -　　　60a 1- b -_0a--b - d₇₁ =ab --a -b 　ここで，a -=_0b+c k₁ ，b -=_0c+a k₁ より， 　　　0a-_{b 0}11+k d₁ =_0a-_{b 0a1} +b+c k₁ 　　　+　d=0a+b+c k1 + 1 k 　同様に，b --d -b d = -c - d -c d を満たすdは，d=0 1 + + a b c k + 1 k と表せる。 　よって，Dは存在し，d=0a+b+c k1 + 1 k

ビッグバン

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【 講 評 】 私立大医学部最難関校にふさわしい問題となり、昨年度より難化した。 １番,３番,４番は医学部受験生ならば解いた経験のある問題であろうから、ここで得点したい。 初等幾何についての重要性はレギュラー授業の中でもよく話していたが、２番,３番,５番と幾何的な問題が 多いのも今年の特徴であろう。全体として６割程度は解けていてほしい。 １ 微分 難易度： 標準 問題文の意味が読み取りづらかったかもしれないが、それさえわかれば標準的な媒介 変数を用いた関数の問題である。誘導に上手く乗って、最後のグラフまで描いておき たい。 ２ 積分 難易度： やや難 図形をイメージするのが難しかったかもしれないが、(1)の考え方がわかれば切断面の 面積から体積を求めるといういつもの求積問題となる。出来るかできないか大きく分 かれる問題であろう。 ３ 平面ベクトル 難易度： 標準 (1)は角の 2 等分線の性質の証明である。(2)(3)は始点をそろえて式を整理するという頻 出問題であるから、確実に得点したい。 ４ 確率 難易度： 標準 (1)は組合せから求める確率の問題である。(2)は確率の隣接する 2 項の間に成り立つ大 小関係を、差を取ることから調べればよい。(3)は計算が大変であるが、単調性を考え 地道に調べていこう。 ５ 複素数平面 難易度： やや難 (1)(2)は中学数学の三角形の合同条件を用いる問題。(3)(4)は複素数の積・商を用いた回 転・拡大の問題である。誘導に従って、前の問題をどのように利用するか考えながら 解いていくとよい。

解答速報 数学

2017 年度 大阪医科大学（前期） 一般入学試験

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