PowerPoint プレゼンテーション

電磁波工学

柴田幸司

平面波の反射と透過

左図に示す様に、平面波が境界面に対して垂直に入射する 場合を考える。この時の入射波をE _i , H _iとすると、入射波は 境界において、透過波E _ｔ, H _ｔとE _ｒ, H _ｒとに分解される。この 時の透過量をT,反射量をΓとおくと、領域２における媒質の 誘電率に対して透過量Tおよび反射量Γは決定される。よっ て、その量を先の電磁波の境界条件から求めてみる。

垂直入射の場合

そのためまず透過係数は、 入射波と透過波の比として i t E E T  _{と定義する。} 次に反射係数は、入射波と反射波の比として i r E E   _{と定義する。} Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 z y E_i , H_i Eｒ, Hｒ Eｔ, Hｔ ε₀ , μ₀ ε, μ そして、これら透過係数や反射係数を計算する為のE_yとH_x成分を持つ平面波の各電 磁界成分は、マクスウェルの方程式より変形される次式の波動方程式の解としてE_yの みを用いて次の様に置くことが出来る。 E_y 屈折率と誘電率 との関係 0 0     v c n c･･･媒質中の光速度  0r ,   0r v･･･真空中の光速度

0

2 2 0 0 2 2













t

z

E

E

_

_



t k z



j yi i

E

e

E



  0



t k z



j yr r

E

e

E



  0



t kz



j yt t

E

e

E



 



t k z



j yi xi i

H

Y

E

e

H

0 0 











t k z



j yr xr r

H

Y

E

e

H

0 0 









t kz



j yt xt t

H

YE

e

H







 

理由

x y

H

E

₀ 0









スカラ表現されたマクスウェル方程式の解より電界と磁界には なる関係が あるので、

H

x

E

y 0 0









・・・

(1)

・・・

(2)

・・・

₍₃₎

・・・

(4)

・・・

(5)

・・・

(6)

となる。ここで、自由 空間インピーダンスは o o

Y

Z

1

0 0









0 0 0













k

ここで、k₀および kは自由空間および媒質中の波数であり、周波数と誘電率によって 決定される波長と関連する定数としてマクスウェルの方程式から波動方程式を導出す れば、その一般解の構成要素として

,

k













を得る。 現時点では未知数であり、境界条件を考慮することにより定数として決定される。 E_y と直交している





 sin j cos ej   であり 波動として振舞う

Y

Z



1







また _である。 Γ、Tを求める方針 1. (1)～(6)式に接線成分の連続条件を適用して 2. 各領域の電磁界の和が等しい性質より、2つの 方程式を組み立てる。 3. そして、Γを求める時には透過電界であるE_t を消去し Tを求める時には反射電界であるE_ｒを消去して関係式を導出する。 よって与式は y x

Y

E

H





₀ となり、(4)および(6)式は直ちに求まる。 なお、磁界の反射波は境界で更に向きが反転して(5)式のごとく( - )が無くなる。 ここで、誘電体境界面において、電磁界には



H

H



K

n



₁



₂











0



E

₁

E

₂

n

2 1

n

E

E

n







・・・ (7) ・・・ (8) ・・・ (9) _{なる関係が存在する。}

境界条件について

異なる媒質の境界（不連続部）では、マクスウェルの方程式はそのまま適用

出来ない。 →境界面に境界条件を適用

媒質内における 電磁波の伝搬 Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 Region1 Region2 ε₁ , μ₁ , σ₁ ε₂ , μ₂ , σ₂ n t τ ⊿ C S 小さな面Sとこれを囲む閉路C（⊿C=0）につ いて拡張されたマクスウェルアンペア(1.4) 式を適用



H

H



K

n



₁



₂



・・・

(1.16)

K ・・・ 境界面を面電流が流れて いる時の電流密度 ［A/m］

(1.16)式

・・・

境界面に面電流が流れている場合、その分の不連続が生ずる。

・・・

_(1.4)

変位電流 線積分

















 





S C

_dt

dS

d

d

s

J

D

n

H

電流Jにより 有限の値

同様に小さな面Sとこれを囲む閉路C（

⊿

_C=0）

についてファラデー(1.7)式を適用

n





E

1



E

2





0

・・・

(1.17)

→

電界の接線成分は連続

領域１および２共に完全導体でなければ、面電流＝０となる。









0



H

₁

H

₂

n









0



E

₁

E

₂

n

・・・

_(1.20)

不連続部における

一般的な境界条件

(1.20)式を変形すれば

n



H

₁



n



H

₂

(1.20)式の意味

x

y

z

n

H_x H_y

となる。これは、領域１および２の単位法線ベクトル

nに垂

直な磁界の2成分（H

_x

およびH

_y

）が、境界面では等しいと

いうことを意味している。



















S C

_dt

dS

d

dt

d

d

s

B

n

E

・・・

(1.7)

誘電体の境界条件

境界面 媒質２ （ガラスなど） 領域1 領域2 z y 媒質１ （空気）

入射波

透過波

媒質の誘電率に関連して透過



H

H



K

n



₁



₂



K ・・・ 境界面を面電流が流れて いる時の密度 ［A/m］

境界において、磁界はKの不連続が生じ

る。但し、完全金属以外ではK=0となり









0



E

₁

E

₂

n

となる。すなわち、電界の接線成分は連

続（境界での電界の接線成分は等しい）

2 1

n

E

E

n







2 1

n

H

H

n







が成り立つ。また、電界は

アンペアマクスウェルの積分形より

ファラデーの積分形より

n

z

y

x

E

_y

E

_x 1

E

n



とは

n…単位法線ベクトル

（境界面と垂直なベクトル）

1

E

n



とは

nに垂直なE

_y

およびE

_x

成分の

電界のこと

2 1

n

E

E

n







について

つまり、境界において

2 1 y y

E

E



2 1 x x

E

E



領域名

が成り立つ

領域１

領域２

すなわち、(8)式は境界において電界の接線成分が等しいことを表しており 2 1 x x

E

E



,

となる。次に、(9)式のKは境界が完全導体では無い時には零であり









0



H

₁

H

₂

n

より

n



H

₁



n



H

₂ となるから 結局、磁界の接線成分も等しくなり

_,

_を得る。 2 1 y y

E

E



2 1 x x

H

H



H

1_y



H

_y2

接線成分の連続条件の導入

よって、領域１の電磁界の和と領域２の電磁界の和が等しいことより t r i

E

E

E





_,

_H

_i



_H

_r



_H

_t も成り立つ。 この条件より、E_yに関して









j



t kz



yt z k t j yr z k t j yi

e

E

e

E

e

E

  0



  0



  _・・・ (12) が成り立つ。

・・・

(10)

_・・・

₍₁₁₎

また、Hｘに関しては

H

_xi



H

_xr



H

_xt より









j



t kz



yt z k t j yr z k t j yi

e

Y

E

e

Y

E

e

E

Y





















 0  0  0 0 を変形して













j



t kz



yt z k t j yr z k t j yi

e

E

e

Y

E

e

E

Y

  0



  0





  0 ・・・ (13) となる。

(12)と(13)式について z=0, t=0の場合にはe0_{=1となるので、eの項を省略すれば改めて} yt yr yi

E

E

E





・・・

₍₁₄₎

yt yr yi

E

YE

E

Y

₀

(



)



・・・

(15)

反射係数の導出

これらの式より、まず反射係数ΓはE_yiとE_yrとの比であるから透過電界であるE_ytを消 去することを考える。すなわち、(14)式を(15)式に代入すれば

)

(

)

(

0

E

yi

E

yr

Y

E

yi

E

yr

Y







となるので、これを整理すれば yr yr yi yi

Y

E

Y

E

Y

E

E

Y

₀













₀



→

₍

₎

₍

₎

0 0

Y

E

Y

Y

Y

E

_yi





_yr



と変形される。これより、反射係数は





















































0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Y

Y

Y

Y

E

E

E

E

yi yr i r を得る。

・・・

(17)

・・・

(16)

と書き直せる。

i t

E

E

T



透過係数Tは入射と透過の比であるから、(14)および(15)式からE_yrを消去すること を考える。まず、(15)式を yi yt yr

YE

Y

E

E

Y

₀





₀



→

Y

₀

E

_yr



Y

₀

E

_yi



YE

_yt と変形する。一方、(14)式は yi yt yr

E

E

E





・・・ (18) となるので これを(18)式に代入すれば





yt yi yi yt

E

Y

E

Y

E

E

Y

₀





₀







を得る。 これを展開すれば yt yi yi yt

Y

E

Y

E

YE

E

Y

₀



₀



₀



yi yi yt yt

Y

E

Y

E

Y

E

E

Y

₀









₀





₀







_yi yt

Y

Y

Y

E

E

₀





2



₀



より となる。 ここで、透過係数は _{と定義されているのでy方向の電界について}

透過係数の導出

となり、さらに展開して

0 0 0 0 0 0 0

2

2































・・・

(19)

であり、この式にYおよびY₀ を代入して与式は を得る。また、たとえばガラスなどの誘電体を仮定してμ=μ₀とすると 0 0 0 0 0 0 0 0



























































0 0 0 0 0 0 0

2

2

T

となり、これが2媒質による平面波の反射係数及び透過係数の公式である。

Y

Y

Y

E

E

E

E

T

yi yt i t









0 0

2

Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 z y

E

_i

, H

_i

E

_ｒ

, H

_ｒ

E

ｔ

, H

ｔ

ε

₀

ε

そこで、具体的に領域２の媒質の比誘電率が与え られた時の反射係数について考える。もし、媒質 ２の比誘電率がε_r =１の場合には

0

1

1

1

1

1

1

0 0 0 0



























r r r r

















となるから次式を得る。

1

1

1

2

1

2

2

0 0 0



























r r

T

また、媒質２の比誘電率がε_r =２の場合には

171

.

0

414

.

2

414

.

0

1

414

.

1

414

.

1

1

1

2

2

1

_



_

_















829

.

0

414

.

2

2

414

.

1

1

2

2

1

2













T

_となる。

r









₀



Γ

、Tの計算例

等価回路との関係

Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 z y

E

_i

, H

_i

E

_ｒ

, H

_ｒ

E

ｔ

, H

ｔ

ε

₀

ε

交流電圧源 電源抵抗

z=0

Z

Z

₀ なお、この様なモデルは等価回路に置き換 えることが出来て、ΓおよびTはそれぞれ 0 0 0 0 0

2

1

1

1

2

2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

T













0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

Y





















となる。つまり、インピーダンス不連続 問題に帰着する。 領域1 領域2

同様の手法により、厚みを持った媒質による透過波も計算が可能である。 E_i , H_i Eｔ, Hｔ z=0 z=d z=dでの境界条件から領域２と３との電磁界の関係式を組み立て、領域１と２ に関する関係式も含めて4元連立方程式からE_tおよびH_tを導出 → ガラス窓などによる光の透過係数の計算が可能 Region1 Region2 Region3

Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 z y 左図に示す様に、自由空間ε₀中の電界および磁界が εなる誘電媒質に対して入射面と水平に平面波がθ_iな る角度で入射する場合を考える。 この時の入射波はyz面に対して時間項は省略してｙ方 向およびｚ方向成分の合成として

E

_i

, H

_i

E

ｒ

, H

ｒ





j k ysin _i zcos _i  i i o

ˆ

cos

ˆ

sin

e

E









     



y

z

1 i

E

ysin i zcos i k j o

_ˆ

_e

Z

E

_

_{     }





1 1

x

Η

_i と表現出来る。ここで、E₀ は電界強度の初期値である。 ・・・ (2a1) ・・・ (2a2)

電磁波の媒質への斜め入射

水平偏波の場合

θ_i θ_r

E

_t

, H

_t θ_t E_zi E_yi H_xi

ε

₀

ε

z方向成分 y方向成分

電界が入射断面であるyz面に平行して振動

E₀ i cos ˆzE₀  i sin ˆyE₀  つまり、水平偏波の場合には入射面であるyz面に対し て電界Eは平行でありE_y およびE_z が存在する。一方、 磁界はフレミングの左手の法則よりH_x のみが存在する。 さらに、境界面からの反射波を

とおく。この式は反射量の表現式であるから、zの符号のみを逆にすることを留意する。ここで k₁およびZ₁は領域１における波数および特性インピーダンスであり、空気（真空）中において 0 0 0 1

c

k

















0 0 1

_





Z









,

e

sin

ˆ

cos

ˆ

E

j k ysin r zcos r r r o  





_

_

   









y

z

1 r

E

,

xˆ

( sin cos ) 1 1 y r z r k j o

e

Z

E

_{     }













r

H

・・・

(2a3)

・・・

(2a4)

となる。また、θ_ｒは反射角でありΓは境界における反射係数である。 さらに、領域２への透過波を

,

角周波数を真空中の光の速度で割った値 とおけば、T は透過係数である。ここで、k₂ およびZ₂ は領域2における波数および特性イン ピーダンスとして

・・・

(2a5)

,

)

sin

ˆ

cos

ˆ

(

j k2 (ysin t zcos t) t t o

T

e

E











     



y

z

E

_t

.

xˆ

( sin cos ) 2 2 y t z t k j o

_T

_e

Z

E

_{     }









t

H

・・・

(2a6)

Z方向のみ向きが変化する

0 1 2













k

1 0 2

_





Z

で与えられる。なお、現時点においてはΓおよびT 、さらにθ_r , θ_ｔは未知数である。 以上の様に定義した電磁界について、z=0点における接線成分の連続性より 0 ) 2 ( 0 ) 1 (  



y z z y

E

E

_{・・・ (2a7)} 0 ) 2 ( 0 ) 1 (  



x z z x

H

H

_{・・・ (2a8)} を適用する。その際に入射、反射および透過波の関係を考慮すれば、垂直入射の時と同様 0 0 0   



yr z



yt z z yi

E

E

E

_および 0 0 0   



xr z



xt z z xi

H

H

H

なる関係を得る。 さらに、z=0における境界面に平行な成分について上記の式に(2a1)～(2a6)式を代入すれ ば、zに関する関数はすべて消え以下の2式を得る。

,

cos

cos

cos

1 sin i 1 sin r j k2 ysin t

t y k j r y k j i

e

e

T

e

           

_

_

_

_

_

_

_

_

_





.

1

sin 2 sin 1 sin 1 2 1 1 y i j k y r j k y t k j

e

Z

T

e

Z

e

Z

           

_



_

_

_

_





・・・ (2a10) ・・・ (2a9)

(2a9)および(2a10)式の両辺はy座標の関数であり、 この時点では未知数であるΓおよびTは定まらな い（つまり、Γ、Tは一定とならない）。 ここで、先程の境界条件が成り立つということは、 図に示す様にz=0における境界面に沿ってｙ＝ y₁ ,y₂ ,y₃ ・・・y_n において同じ状態にあることである。 つまり、この２つの式がすべてのy座標について 成り立つ為には指数関数の変数同士が相等しい 必要があり、その為に次式を満足する必要がある。

,

sin

sin

sin

_{1 2} 1

y

i

k

y

r

k

y

t

k

















・・・

(2a11)

このyに関する式の解は、一般にスネルの反射および屈折に関する法則として、次式で表さ れることが知られている。

,

r i







・・・

_(2a12)

.

sin

sin

₂ 1 i

k

t

k









・・・

(2a13)

.

sin

sin

2 1

k

k

i t







周波数は関係無 い（光でも電波 でも同じ） 上記の式は、(2.9)および(2.10)式の位相項がいかなるyに対しても境界の両面にて同じ比 で変化することを表しており、しばしばこれを位相の整合条件と呼ぶ。 ここで、θ_t に着目すると より

i t

sin

k

k

sin





2 1



より、透過波の角度は

_













 i t

sin

k

k

sin





2 1 1 となる。 式（2a9）および（2a10）に（2a12）および（2a13）の条件を適用し、両式からΓまたはTだけに ついて整理すれば、以下の2媒質における反射および透過係数を得る。 t i i j k y t y k j i y k j i

e

e

T

e

  

_

_



₁ sin ₁ sin ₂ sin

cos

cos

cos



  









  







   まず、(2a9)式に i r







を代入して





i j k y t t y k j i i

e

T

e

 

_





₁ sin ₂ sin

cos

cos

cos









  







  

1

cos

cos

cos

sin sin 2 1













      i i t y k j y k j

T

e

e

t i







  ・・(2a11a) _{（y=0の場合について）} となるので、これを 整理すれば y=0の場合には ₀ 1 0  e e となるから となる。一方、(2a10)式にy=0を代入して両辺に－を掛けると 2 1 1

1

Z

T

Z

Z







_{・・(2a11b) となるので、これをTについて整理すれば}











1

1 2

Z

Z

T

_{・・(2a11c) となる。また、Γにて整理すれば}

2 1 1

1

Z

T

Z

Z







,



















2 1 1

1

Z

T

Z

Z

_{・・(2a11d)} となる。そこで、これらの関係よりまず反射係数Γを求めることを考える。すなわち、 Tを消去するために(2a11c)式を(2a11a)式に代入して





_{t i i}

Z

Z

_

_

_

cos

cos

cos

1

1 2















i i t t

Z

Z

Z

Z

_

_

_

_

cos

cos

cos

cos

1 2 1 2



















t i i t

Z

Z

Z

Z

_

_

_

_

cos

cos

cos

cos

1 2 1 2



















i t t i

Z

Z

Z

Z

_

_

_



cos

cos

cos

cos

1 2 1 2



























t i i t t i i t

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

















cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

2 1 1 2 1 2 1 2



























となる。

次に、透過係数TはΓを消去するために(2a11d)式を(2a11a)式に代入して i i t

Z

T

Z

Z

T

cos



cos



1

cos



2 1 1



































_{t i i}

T

_i

Z

Z

T

cos



cos



cos



cos



2 1 i i t

T

Z

Z

T

cos



2

cos



cos



2 1









i i t

Z

Z

T

cos



cos



2

cos



2 1





















i t i i t i

Z

Z

Z

Z

Z

T













cos

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

1 2 2 2 1



















を得る。 から

i

t

i

t

Z

Z

Z

Z

























cos

cos

cos

cos

1

2

1

2

・・・ (2a14)

i

t

i

Z

Z

Z

T



















cos

cos

cos

2

1

2

2

・・・ (2a15) となる。ここで、電磁界が垂直入射する場合には θ_ｉ =θ_r = θ_ｔ=0であるから 1 2 1 2

Z

Z

Z

Z









1

2

2

2

Z

Z

Z

T







となり、先の垂直入射における 結果と一致する。 以上をまとめれば この偏波ではブリュスター角（ θ_ｂ ）という特別な角度が存在し、反射係数はΓ＝０な ることが知られており、この条件について考えてみる。（2a14）式にてΓ＝０となる為には 分子が零になる必要があるので

,

cos

cos

₁ 2 t

Z

b

Z









を得る。さらに入射角をブリュスター角と してあらたにθ_ｉ ＝θ_ｂ と置き換えれば

0

cos

cos

₁ 2



t



Z





i



Z

・・・＊１ b t

Z

Z

_





cos

cos

2 1 となる。 なる関係を得る。よって＊１式をcosθtについて整理すると ・・・＊４ 一方、三角関数の 公式である t t





2

sin

1

cos





となる。ここで、（2a13）式のスネルの法則は

1

sin

cos

2



_t



2



_t



なる関係をｃｏｓθｔ について整理すると ・・・＊２ よって、この式をθ_b のみの関係式に変形することを考える。そのために以下の手順 を実行する。 １．三角関数の公式よりcosθ_t をsinθ_t で表現し ２．スネルの法則よりこれをsinθ_i で表現し ３．θ_i =θ_b としてθ_b で表現し ４．このcosθ_t を*4式に代入する

,

sin

1

cos

₂ 2 2 2 1 b t

k

k

_







t i

k

sin

sin

k

₁





₂





であるから、これをsinθ_t について整理すれば t i

k

k

_



sin

sin

2 1





を得るので、θ_i =θ_b なる関係より※２式にこの式を代入すれば ・・・＊３ を得る。これより、＊３に＊４式を代入してcosθtを消去すれば となる。よって、

,

sin

1

cos

₂ 2 2 2 1 2 1 b b

k

k

Z

Z

_

_

_

_

0

sin

1

cos

₂ 2 2 2 1 2 1











b b

k

k

Z

Z

を満たす様な b



がブリュスター角となる。 ｜Γ｜

1.0

0.2

θ

90

0

b



垂直偏波の場合

垂直偏波の場合には電界のベクトルは入射面のｙｚ断面に対して垂直となる。まず、入射する 電磁界は

,

)

sin

ˆ

cos

ˆ

(

( sin cos ) 1 1 y i z i k j i i o

e

Z

E

_{     }













y

z

H

_i

,

ˆ

j k1 (ysin i zcos i) o

e

E



     



x

E

_i ・・・ (2b1) とおくことが出来る。ここで、k₁およびZ₁は領域１における波数、特性インピーダンスであり 0 0 1













k

0 0 1







Z

となる。これより、反射および透過係数は ・・・ (2b2)

,

)

sin

ˆ

cos

ˆ

(

( sin cos ) 1 1 y r z r k j r r o

_e

Z

E

_{     }















y

z

H

_r ・・・ (2b3)

,

ˆ

j k1 (ysin r zcos r ) o

e

E









     



x

E

_r ・・・ (2b4) ・・・ (2b5)

,

ˆ

j k2 (ysin t zcos t ) o

T

e

E







     



x

E

_t

,

)

sin

ˆ

cos

ˆ

(

( sin cos ) 2 2 y t z t k j t t o

e

Z

T

E



_

_

_

_

_

_{     }



y

z

H

_t ・・・ (2b6) とおく。ここで、ΓおよびT は反射および透過係数であり、領域２について 0 2













k







0 2

Z

_となる。

なお、現時点においてはΓおよびT 、さらにはθ_r , θ_ｔは未知数である。 以上の様に定義した電磁界について、Z=0点における電磁界の接線成分の連続性 （境界条件）より 0 ) 2 ( 0 ) 1 (  



x z z x

E

E

・・・ (2b7) 0 ) 2 ( 0 ) 1 (  



y z z y

H

H

・・・ (2b8) を適用すれば、先ほどと同様に以下の２式を得る。

,

sin sin sin _{1 2} 1 y i j k y r j k y t k j

e

T

e

e

   







   





    r i j k y r y k j i

e

Z

e

Z

       

_



_

_

_









_sin 1 sin 1 2 1

cos

cos

1

・・・ (2b9) ・・・ (2b10)

.

cos

sin 2 2 y t k j t

e

Z

T

_{   }











水平偏波の時と同様に、ExおよびHyがZ=0点においてすべてのyに対して連続

である為には、位相の整合条件より、以下のスネルの法則が成立する。

,

sin

sin

sin

₁

₂

1

i

k

r

k

t

k

















・・・

(2b11)

式（2b9）および（2b10）に（2a11）式の条件を適用することにより、それぞれ、

ΓおよびTについて整理すれば以下の２媒質における反射および透過係数を

得る。

t

i

t

i

Z

Z

Z

Z









cos

cos

cos

cos

1

2

1

2

















・・・

(2a12)

t

i

i

Z

Z

Z

T







cos

cos

cos

2

1

2

2













・・・

(2a13)

,

cos

cos

₁

2 i

Z

t

Z











となる。また、スネルの法則より

_sin

_sin

_sin

_,

2 1 1 i

k

r

k

t

k

















だから、これら３式をθ

_ｉ

のみで整理すれば

,

r i







,

sin

sin

₂ 1 i

k

t

k











_{t i}

Z

Z









cos

cos

1 2

について

,

sin

sin

2 ₂2 2 2 1 i

k

t

k











_{t i}

Z

Z









2 2 1 2 2 2

cos

cos

であるから

まず、

t t









2 2

cos

1

sin

・・（1）

_{・・（2）}

を（１）式に代入すると

)

cos

1

(

sin

2 ₂2 2 2 1 i

k

t

k













_{更に（２）式を代入して}

ブリュスター角について考えると、Γ＝０であるためには、(2a12)式

の分子が零である必要があるので、

.

sin

)

(

)

(

₂2 ₁2 ₂2 ₂2 ₁2 ₁2 2 2 2

Z

Z

k

Z

k

Z

i

k

















となる。しかし、これは矛盾を導く。右辺の括弧内は、誘電体内では、あらゆる

点においてゼロとなる。

)

cos

1

(

sin

₂ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 i i

Z

Z

k

k















となる。これを展開して

ここで、

i i









2 2

sin

1

cos

i i

Z

Z

k

k

k











₂



2



1 2 2 2 2 2 2 2 2 1

sin

cos

・・（3）

を得る。

を(3)式に代入すれば



i



i

Z

Z

k

k

k











₂





2



1 2 2 2 2 2 2 2 2 1

sin

1

sin

となるので、

まず両辺に

2 1

Z

を掛けて



i



i

Z

k

k

Z

k

Z

₁2



₁2



sin

2





₁2 ₂2



₂2



₂2



1



sin

2



となるので、こ

れを整理すれば

よって、垂直偏波では誘電体への入射によるブリュスター角は存在しない。

なぜなら、

0 0 1













k

0 0 1







Z

0 2













k







0 2

Z

であるから

2 1 2 1 2 2 2 2

Z

k

Z

k







に値を代入すれば

0

2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2





































となるからである。

一例として、εｒ＝２．５５の時、入射角度に対する反射係数は以下の様になる。

｜Γ｜

1.0

0.2

垂直偏波 水平偏波

θ

90

反射・屈折のアニメーション

http://www-antenna.pe.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/fresnel/index-j.html

0