目 次
序 文i
記 号 表 v 文 字 表 vii 第1
章 確率空間論における基礎事項1
1.1 はじめに. . . . 1 1.2 確率空間. . . . 2 1.3 確率変数. . . . 5 1.4 イエンゼンの不等式 . . . . 8 1.5 ガウス型確率変数. . . 10 1.6 確率ベクトル . . . 13 1.7 確率ベクトルの独立性 . . . 14 1.8 特性関数. . . 16 1.9 特性関数による分布表示 . . . 18 1.10 中心極限定理 . . . 25 1.11 正型関数とボッホナーの定理 . . . 30 1.12 ガウス型確率変数の特性関数による特徴づけ . . . 34 1.13 モーメントと特性関数. . . 35 1.14 ガウス型確率ベクトル. . . 37 1.15 確率変数のウィック積. . . 42 関連図書. . . 54第
2
章 確率過程55
2.1 確率過程の一般概念 . . . 55 2.2 実ヒルベルト空間を添え字集合とする確率過程. . . 56 2.3 確率変数のフル性から導かれる基本的性質 . . . 63 2.4 ガウス超過程 . . . 67 2.5 ガウス超過程の一般的性質 . . . 71 2.6 複素化 . . . 77 2.7 確率過程の連続版. . . 80 関連図書. . . 86 第3
章 純虚数時間における量子力学87
3.1 はじめに. . . 87 3.2 抽象的熱方程式と熱半群 . . . 90 3.3 最低エネルギーの表示 . . . 99 3.4 基底状態. . . 100 関連図書. . . 102 第4
章 有限自由度の量子力学における汎関数積分法103
4.1 シュレーディンガー型作用素 . . . 103 4.2 熱作用素e−βH0の積分核表示 . . . 106 4.3 多重積に対する積分表示 . . . 112 4.4 経路積分表示 . . . 114 4.5 ポテンシャルがある場合 . . . 118 4.6 ブラウン運動の性質 . . . 120 4.7 ブラウン運動の独立性 . . . 124 4.8 ファインマン カッツの公式 . . . 125 4.9 純虚数時間における遷移確率振幅に対する経路積分表示. . . 133 4.10 L2連続性 . . . 139 4.11 正値性改良作用素の理論と基底状態の一意性 . . . 1404.11.1 正値性保存作用素と正値性改良作用素. . . 140 4.11.2 基底状態の一意性 . . . 144 4.12 e−tHV の積分核 . . . 146 4.13 分配関数に対する汎関数積分表示 . . . 152 4.14 ゴールデン トンプソン不等式と古典的極限. . . 154 関連図書. . . 159 第
5
章 磁場の入ったシュレーディンガー型作用素161
5.1 ハミルトニアンの定義 . . . 161 5.2 ゲージ対称性 . . . 163 5.3 反磁性的不等式 . . . 165 5.4 HV(a)の（本質的）自己共役性 . . . 168 5.5 発見法的議論 . . . 171 5.6 極限定理. . . 174 5.7 比較定理. . . 182 5.8 汎関数積分表示 . . . 186 5.9 確率積分. . . 187 5.10 ファインマン カッツ 伊藤の公式 . . . 193 5.11 ポテンシャルV が入った場合 . . . 201 関連図書. . . 203 第6
章 ボソンフォック空間とガウス超過程205
6.1 はじめに. . . 205 6.2 フォック空間 . . . 206 6.3 生成作用素と消滅作用素 . . . 208 6.4 個数作用素 . . . 217 6.5 シーガル場 . . . 220 6.6 正準交換関係の表現 . . . 229 6.7 真空期待値 . . . 235 6.8 ボソンフォック空間上の第2量子化作用素 . . . 2376.9 生成作用素と消滅作用素の 第2量子化作用素に関する相対限界. . . 245 6.10 単純な摂動に関する自己共役性. . . 251 6.11 確率論的表示とCCRの無限次元シュレーディンガー表現 . . . 253 6.12 L2(QH, dμH)上における第2量子化作用素 . . . 258 6.13 汎関数的方向微分と部分積分公式 . . . 263 6.14 ブラウン運動の構成 . . . 267 関連図書. . . 269 第
7
章 ユークリッド的量子場の理論と汎関数積分271
7.1 抽象的自由ボース場 . . . 271 7.2 ユークリッド化 . . . 276 7.3 ヒルベルト空間値緩増加超関数 . . . 281 7.4 ユークリッド的量子場と ファインマン カッツ ネルソンの公式 . . . 282 7.5 ユークリド的量子場の連続性 . . . 287 7.6 相互作用モデル . . . 288 7.7 Q表示におけるFKN公式 . . . 292 7.8 基底状態の一意性. . . 297 関連図書. . . 298 第8
章 量子輻射場301
8.1 物理的背景 . . . 301 8.2 フォック空間による構成 . . . 302 8.3 Q表示 . . . 307 8.4 ユークリッド的自由輻射場と汎関数積分表示 . . . 310 関連図書. . . 313第
9
章 量子的粒子とボース場の相互作用モデル315
9.1 モデルの定義 . . . 315 9.2 HNとHN(λ)の自己共役性 . . . 319 9.3 汎関数積分表示 . . . 322 9.4 基底状態の一意性. . . 327 9.5 非相対論的量子電磁力学のモデル . . . 328 関連図書. . . 331 付録A
解析学におけるいくつかの基本定理333
A.1 ボレル カンテリの定理と積分変数の変換公式 . . . 333 A.2 フリードリクスの軟化作用素 . . . 334 関連図書. . . 336 付録B
ストーン ヴァイエルシュトラースの定理337
関連図書. . . 344 付録C
ヒルベルト空間上の線形作用素論におけるいくつかの 事実345
C.1 線形作用素の和と積のユニタリ変換 . . . 345 C.2 強 収 束 . . . 346 C.3 作用素解析と強可換な自己共役作用素 . . . 347 C.4 自己共役作用素に関するいくつかの事実 . . . 351 C.5 相対有界性と自己共役性 . . . 353 C.6 強レゾルヴェント収束に関する基本的な定理. . . 354 C.7 近似定理 . . . 359 C.8 トレース型作用素とヒルベルト シュミット型作用素 . . . 361 C.8.1 トレース型作用素 . . . 362 C.8.2 ヒルベルト シュミット型作用素 . . . 363C.8.3 比較定理 . . . 367 関連図書. . . 368 付録
