前期 期末試験（ 7月28日） （ biseki2004

微積分

I 2004

年度中間試験問題例

(1)y = |x| − 1 (2)y = | − x + 2| (3)y = −√x − 2 (4)y = 1

x−1 (5)y = −2x + 1 3 y =√1 − 2x のグラフは y =√−2x のグラフをどのように移動したものか. {x 方向に 1/2 平行移動 } 4 f (x) =    x−2 |x−2| (x 6= 2) 1 (x = 2) について次の問に答えよ. （1）y = f (x) のグラフを書け. { 略 } （2）f (x) の不連続点を求めよ.   {x = 2} （3）次の極限を求めよ. (i) lim x→2+0f (x) {1} (ii) limx→2−0f (x) {−1}

5 次の関数のグラフを書け. { 解は略 } (1)y = |x2_{− 2x| (2)y = |2x − x}2_{| (3)y =} 2−x

x+1 (4)y = 1−x1+x

6 次のグラフは円周の一部であることに注意してグラフを書け. { 解は略 }

(1)y =p1 − x2 _{(2)y = −}p_{4 − x}2 _{(3)y =}p_{2x − x}2

7 次の極限値を求めよ. (1) lim x→1 x2_{− 4x + 3} x3_{− 1} (2) lim_x→0 √ 1 − x −√1 + x x (3) limx→−1 √ x2_{+ 8 − 3} x + 1 (4) limx→1 x2_{− 1} 1 x+2−13 {(1) − 2/3 (2) − 1 (3) − 1/3 (4) − 18} 8 次の極限値を求めよ. (1) lim x→∞ 1 + x2 x + 2x2 (2) lim_x→∞x( p 1 + x2_{− x) (3) lim} x→∞( √ x −√x + 1) {(1)1/2 (2)1/2 (3)0} 9 次の問に答えよ. (1) 次の式を因数分解せよ.

(i)x2_{+ ax − 2a}2 _{{(x − a)(x + 2a)} (ii)2x}2_{− ax − a}2 _{{(x − a)(2x + a)}}

(2) 次の極限値を (i) a 6= 0 の場合と (ii) a = 0 の場合に分けて求めよ. lim x→a x2_{+ ax − 2a}2 2x2_{− ax − a}2 {(a 6= 0)1 (a = 0)1/2} 1

微分係数、導関数 1 導関数の定義：f0(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h に従って, 次の f (x) の導関数を計算せよ. (1)f (x) = 1 x (2)f (x) = 1 x2 (3)f (x) = 1 √ x {(1) − 1/x 2 _{(2) − 2/x}3_{(3) − 1/(2}√_x3_)} 2 y = 1 x について次の問に答えよ.

(1) x = a(6= 0) での接線の式を求めよ. {y = −x/a2_{+ 2/a}}

(2) (1) で求めた接線が x 軸 y 軸と交わる点をそれぞれ A,B とする. A,B の座標を求めよ.

(3) O を原点とする. ∆OAB の面積を求めよ. { 2 } { A(2a, 0) B(0, 2/a)}

3 y =√x について次の問に答えよ. (1) x = a(> 0) での接線の式を求めよ. {y = x/(2√a) +√a/2 } (2) (1) で求めた接線が点 (−1, 0) を通るときの a の値を求めよ. {a = 1 } 4 次の関数を微分せよ. (1)√2x + 1 (2)√x2_{+ 1 (3)√} 1 x2₊₁ (4) x x2₊₁ (5)1−x 2 1+x2 {(1) 1/√2x + 1 (2) x/√x2_{+ 1 (3) −x/}p_(x2_{+ 1)}3 _{(4) (1 − x}2_)/(x2_{+ 1)}2 _{(5) −4x/(x}2_{+ 1)}2_} 5 次の関数を x で微分せよ. 但し a は定数とする. (1)f (x2_{) (2)f (2x + 1) (3)f (x − a)} (4)f (a − x) (5)f (a) (6)f (1 x) (7)x3f (a) (8)x3f (x) (9)a3f (x) (10)x2f (−x) {(1) 2xf0 _{(2) 2f}0 _{(3) f}0 _{(4) −f}0 _{(5) 0 (6) −1/x}2_f0 _{(7) 3x}2_{f (a) (8) 3x}2_{f (x) + x}3_f0 (9) a3_f0 _{(10) 2xf (−x) − x}2_f0 _} 6 y =√2x − 1 について次の問に答えよ. (1) dy_dx をx の式で表せ. {1/√2x − 1} (2) dx_dy をy の式で表せ. {y} 7 時刻 t における位置 x = x(t) が x(t) = t2_{− t + 3 で与えられる直線上を運動する物体があるとする.} このとき次の問に答えよ. (1) 時刻 t = 0 では物体はどこにいるか. {x = 3} (2) 時刻 t = 5 から t = 10 までの物体の平均速度 (平均変化率) を求めよ. {14} (3) 時刻 t での物体の速度 dx dt を求めよ. {2t − 1} (4) 物体が運動の向きを変える時刻を求めよ. {1/2} (5) 物体の速度が (2) で求めた平均速度に等しくなる時刻を求めよ. {t = 7.5} 8 毎秒 0.1(m) の速さで半径の長さが増加している球があるとする. この球の時刻 t(sec) での半径を r = r(t), r(0) = 0, 体積を V = V (t) とする. 次の問に答えよ.   (1) dr_dt を求めよ. {0.1 m/sec.} (2) dV dt をr の式で表せ. {0.4πr2(t) m3/sec.} (3) 半径が 2(m) になった瞬間の体積の増加速度を求めよ. {1.6π m3_/sec.}

9 f (x), g(x) は何回も微分でき, f (a) = g(a) = 0, g0_{(a) 6= 0 のとき}

(∗) lim x→a f (x) g(x) = limx→a f0_(x) g0_(x) 2

(ロピタルの定理の特別な場合) が成り立つことを, 次のように示した. 空欄を埋めよ. lim x→a f (x) g(x) (i) = lim x→a f (x) − (1) g(x) − (2) (ii) = lim x→a f (x)−(1) (3) g(x)−(2) (4) (iii) = (5) (6) (iv) = lim x→a f0_(x) g0_(x). 但し, 次のように考えた.

(i) f (a) = g(a) = 0 なので f (a), g(a) を分子分母から引いた. (ii) 分母分子を x − a で割った.

(iii) 微分係数の定義 f0_{(a) = lim}

x→af (x)−f (a)_x−a を用いた.

(iv) f0_{(x), g}0_{(x) が連続であることを用いた.}

{(1) f (a) (2) g(a) (3) x − a (4) x − a (5) f0_{(a) (6) g}0_{(a) }}

10 上の (∗) を用いて次の極限値を a, f (a), f0_{(a) を用いて表せ. 但し, a 6= 0 とする.} (1) lim x→a x2_{f (a) − a}2_{f (x)} x2_{− a}2 (2) lim_x→a x2_{f (x) − a}2_{f (a)} x2_{− a}2 (3) lim h→0 f (a + h) − f (a − h) h (4) limh→0 f (a + 2h) − f (a − 3h) h

{(1) f (a) − af0_{(a)/2 (2) f (a) − af}0_{(a)/2 (3) 2f}0_{(a) (4) 5f}0_{(a) }}

指数関数、対数関数  

1 次の関数のグラフを書け. { 解は略 }

(1)y = 2 − 2x (2)y = log3(x − 1) (3)y = log3|x − 1|

2 次の方程式を解け.

(1)3x_{+ 135 · 3}−x_{= 32 {x = 3, log}

35} (2)ex− e−x= 2 {x = log(1 +

√ 2)} 3 ある放射性物質の時刻 t での量 y(t) が y(t) = ae−kt_{(a, k > 0) であるとする. このとき次の問に答えよ.}

(1) 時刻 t = 0 のときの量を求めよ. {a} (2) 物質の量が始めの半分になる時刻 (半減期) を求めよ. {(log 2)/k} (3) 物質の量が始めの 1 10 になる時間は半減期の何倍か. {log210} 4 y = e2x_{のx = 1 における接線の式を求めよ. {y = e}2_{(2x − 1)}} 5 y = e2x_{のx = a における接線の式を求めよ. {y = 2e}2a_{x + e}2a_{(1 − 2a)}} 6 y = e2x_{の接線で原点を通るものを求めよ.   {y = 2ex}} 7 y = log |2x + 1| の x = 0 における接線の式を求めよ. {y = 2x} 3

8 (ax₎0_{= log a · a}x _{が成り立つことを次のように示した. 空欄を埋めよ.} (ax₎0₌ Ã elog (1) !0 = Ã e(2) log (3) !0 = (4) e(2) log (3) = log a · ax {(1) ax _{(2) x (3) a (4) log a }} 9 次の関数を微分せよ. 但し, A は定数とする.

(1) log |x +px2_{+ A| (2) log(x +}p_x2_{+ 1) (3) log |x +}p_x2_{− 1|}

{(1) _√ 1 x2_+A (2) 1 √ x2₊₁ (3) 1 √ x2₊₁} 10 次の関数を x で微分せよ. (1) xπ _{πxπ−1_{} (2) π}x_{πx_{log π} (3) π}π _{{0} (4) x}x _{xx_{(log x − 1)}} 11 次の関数のグラフを書け. { 解は略 } (1) y = log |x| (2) y = | log x| 三角関数、逆三角関数   1 次の関数のグラフを書け. { グラフは略 }

(1)y = sin2x (2)y = cos2x (3)y = | sin x|

2 y = sin x の x = 0 での接線の式を求めよ. {y = x} 3 0 < x < π 2 において, x,π2x, sin x を小さい順に並べよ. {π2x < sin x < x} 4 y = tan−1_{x の x = 1 における接線の式を求めよ. {y = x/2 + π/4 − 1/2}} 5 空欄を埋めよ. n を整数とするとき cos(nπ) = (−1) (i) と表せる. {n} 6 次の方程式を解け (解は一般角で表せ).

(1) sin x = 0 {nπ} (2) cos x = 1₂ {2nπ ±π₃} (3) sin√x = 0 {n2_π2_}

7 次の式を簡単にせよ.

sin−1(p1 − cos2_{θ) (0 5 θ 5 π) {θ}}

8 y = tan−1_{x のグラフを書き, { グラフは略 }, 極限値を求めよ。}

(i) limx→+∞tan−1x {π/2} (ii) limx→−∞tan−1x {−π/2}

9 次の f (x) の導関数を計算せよ。

(1) sin(2x − 1) (2)x cos 2x (3) tan(2x − 4) (4) sin 2x cos 2x (5)ex_{cos x (6)e}−2x_{sin 2x (7) log | sin x|}

(8) sin−1_{(2x − 1) (9) sin}−1_{(sin x) (10) log | tan 2x| (11) log |x − 1| −}1

2log(x2+ x + 1) −

√

3 tan−1 2x+1_√

3

{(1)2 cos(2x − 1) (2) cos 2x − 2x sin 2x (3)2/ cos2_{(2x − 4) (4)2 cos 4x (5)e}x_{(cos x − sin x)}

(6)2e−2x_{(cos 2x − sin 2x) (7) cot x (8)1/}√_{x − x}2 _{(9)1 (10)4/ sin 4x (11)3/(x}3_{− 1)}}