1
はじめに
制御理論を理解する上で，特に安定性の解析やシステムの性能の解析等において， 行列の取り扱い，また計算方法について熟知している必要がある．そこで代表的な 行列の取り扱い，性質について以下に解説しておく．2
行列式と逆行列
2.1
行列式
2× 2 の正方行列（行の数と列の数が同じ行列） A = a11 a12 a21 a22 (1) の行列式は |A| = a11a22− a12a21 (2) で与えられる．3× 3 行列の場合にもよく知られた関係式があるが，一般に n × n 行 列A の行列式は以下のように定義できる． |A| = n j=1 (−1)i+jaijMij ∀i = 1 · · · n (3) ここでMijは行列A の i 行 j 列を省いてできた (n − 1) × (n − 1) 次の小行列の行列 式である． 例題2-1 3× 3 行列 A が A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 (4) で与えられる場合に，行列A の行列式を求めよ． 解答 (3) 式の関係を i = 1 の場合に適用すれば， |A| = 3 j=1 (−1)1+ja1jM1j = a11{a22a33− a23a32} − a12{a21a33− a23a31} + a13{a21a32− a22a31} = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a11a23a32− a12a21a33− a13a22a31(5) M11= a22a33− a23a32 M12= a21a33− a23a31 M13= a21a32− a22a31 (6)となり，これはよく知られた関係式である． 例題2-2 4× 4 行列 A が A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a41 a42 a43 a44 (7) で与えられる場合に，行列A の行列式を求めよ． 解答 第 1 行に対して (3) 式の関係を用いれば |A| = −M12=− 0 1 0 0 0 1 a41 a43 a44 =−a41 (8) となる． (3) 式で定義される行列式には以下の性質がある． 行列式の性質 任意のn × n 行列 A, B とスカラー a に関して以下の性質が成り立つ． i. |AB| = |A||B| ii. |aA| = an|A|
n × n 行列 A の固有値を λi (i = 1, · · · , n) とした場合，行列式の性質より次の関 係が成り立つ． 行列式と固有値の関係 行列式と固有値は |A| =n i=1 λi (9) の関係を満足する． 証明 行列A の固有値を λi (i = 1, · · · , n) とした場合，A の固有多項式は |sI − A| = n i=1 (s − λi) (10) で与えられる．(10) 式においてs = 0 とおけば行列式の性質 ii により | − A| = (−1)n|A| n i=1 (−λi) = (−1)n n i=1 λi (11)
の関係が成り立つことより (9) 式が成り立つことがわかる． ✷ (9) 式の関係より，行列が零でないための必要十分条件は，行列の固有値に零の固有 値が存在しないことと等価になることがわかる．
2.2
逆行列
逆行列は一般的に A−1 = 1 |A|adj[A] = 1 |A| M11 −M21 · · · (−1)1+nMn1 −M12 . .. . .. ... .. . · · · · · · ... (−1)1+nM1n · · · · · · Mnn (12) であたえられる．前節で述べたように，逆行列が存在するための必要十分条件はA の固有値に零のものがないことである． 行列が三角ブロック行列 A = A1 A2 0 A3 , orA = A1 0 A2 A3 (13) A ∈ R(n1+n2)×(n1+n2), A1 ∈ Rn1×n1, A3 ∈ Rn2×n2で与えられた場合には，行列A の行列式は |A| = |A1||A3| となる．よって，A1, A3
が正則ならばA も正則となり，その逆行列は A−1 = A−11 −A−11 A2A−13 0 A−13 (14) であたえられる． 例題2-3 次の行列の逆行列を求めよ． A = 1 0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 (15) 解答 A−1 = 1 5 5 0 −6 2 −10 5 13 −6 0 0 3 −1 0 0 −1 2 (16)
例題2-4 (15) 式の行列の逆行列を行列 A の三角ブロック化を用いて求めよ． 解答 行列A の三角ブロック化として次の二つのブロック化が考えられる． A = 1 0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 , A = 1 0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 (17) (17) 式に対して (14) 式の関係を用いて逆行列を計算すれば (16) 式がえられる．
2.3 2
次形式表現と正定，準正定行列
n 次元ベクトル x と n × n 対称行列 Q を用いて関数 J を J = xTQx (18) で与える．このときJ のことを 2 次形式表現と呼び，零でない任意のベクトル x に 対してJ = xTQx ≥ 0 の関係を満足するとき，行列 Q は準正定行列であるといい， J = xTQx > 0 の関係を満足するとき，行列 Q は正定行列であるという． 例題2-5 2 次形式表現 J = [x1 x2] 1 −1 −1 1 x1 x2 (19) が与えられたとする．このときJ は J = x21− 2x1x2+ x22 = (x1− x2)2 (20) で与えられる．J は x1 = x2 のとき零となり，それ以外では常に正である．よって (19) 式の右辺の行列は準正定行列である． 例題2-6 2 次形式表現 J = [x1 x2] 1 −1 −1 2 x1 x2 (21) が与えられたとする．このときJ は J = x21− 2x1x2+ 2x22 = (x1 − x2)2+ x22 (22) で与えられる．J は常に正である．よって (21) 式右辺の行列は正定行列である． 一般にn × n 対称行列が正定であるかどうかを上述の例題のように判定すること は困難である．そこで，以下に正定性，準正定性の判別法としてよく知られたシルベスターの判定法を説明する．シルベスターの判定法では行列Q の主小行列式，主 座小行列式をもちいて判定を行う．まず，行列Q の主小行列式，主座小行列式とは 何か？について説明する． 主小行列式 n × n 対称行列 Q の第 i1行，i2行，· · · ，ir行 (1 ≤ i1 ≤ i2· · · ≤ ir ≤ n) を残し， それ以外を消す．そして第i1列，i2列，· · · ，ir列 (1≤ i1 ≤ i2· · · ≤ ir ≤ n) を残し てそれ以外を消せばr × r の小行列が残る．この行列を Qi1,i2···irで表現することにす る．この行列の行列式のことを主小行列式という． 例題2-7 行列Q が Q = q11 q12 q13 q21 q22 q23 q31 q32 q33 (23) で与えられたとする．このときQ1，Q1,3，Q1,2,3はそれぞれ Q(1) = q11 q12 q13 q21 q22 q23 q31 q32 q33 , Q(1, 3) = q11 q12 q13 q21 q22 q23 q31 q32 q33 , Q(1, 2, 3) = q11 q12 q13 q21 q22 q23 q31 q32 q33 (24) のこの色の部分となる．行列Q の全ての主小行列式は Q1, Q2, Q3, Q1,2, Q1,3, Q2,3, Q1,2,3 となる． 主座小行列式 行列Q の小行列のうち，n 個の小行列 Q(1, 2, · · · , r) r = (1, · · · , n) の行列式のこ とを主座小行列式という． 例題2-8 行列Q が (24) 式で与えられる場合，主座小行列式は |Q(1)| = |q11|, |Q(1, 2)| = q11 q12 q21 q22 , |Q(1, 2, 3)| = q11 q12 q13 q11 q12 q13 q31 q32 q33 (25) で与えられる． シルベスターの判定法 対称行列Q の準正定性，正定性は次の関係を用いて判定することができる． 1. Q が準正定であるためにの必要十分条件は Q の主小行列式が全て零以上であ ることである． 2. Q が正定であるための必要十分条件は Q の主座小行列式が全て零より大きい ことである．
固有値を用いた判定法 対称行列Q の準正定性，正定性は次の関係を用いて判定することができる． 1. Q が準正定であるための必要十分条件は Q の固有値を λi (i = 1, · · · , n) とし たときに λi ≥ 0 (i = 1, · · · , n) (26) の関係が満足されることである． 2. Q が正定であるための必要十分条件は Q の固有値を λi (i = 1, · · · , n) とした ときに λi > 0 (i = 1, · · · , n) (27) の関係が満足されることである． 例題2-9 次の行列の準正定性，正定性を判定せよ． A = 1 1 1 1 , B = 1 1 1 −1 , C = 1 0 1 0 2 −1 1 −1 2 (28) 解答 (A について) A の主小行列式は|A1| = 1，|A1,2| = 0 となることより A は準正定行列である． (B について) B の主小行列式は|B1| = 1，|B1,2| = −2 となることより B は準正定でも正定でも ない． (C について) C の主小行列式は|C1| = 1，|C2| = 2，|C3| = 1，|C1,2| = 2，|C1,3| = 1，|C2,3| = 3， |C1,2,3| = 3 となることより少なくとも準正定であることがわかる．しかし C の主座 小行列式が統べて零より大きいのでC は正定であることがわかる．
3
行列やベクトルの微分，積分
3.1
行列やベクトルが時間関数の場合
行列やベクトルの要素が時間関数の場合，それらの微積分を dx dt = dx1 dt .. . dxn dt ,dA dt = da11 dt · · · dadt1n .. . . .. ... dan1 dt · · · dann dt (29) t2 t1 Adt = t2 t1 a11dt · · · t2 t1 a1ndt .. . . .. ... t2 t1 an1dt · · · t2 t1 anndt (30)で与える．このように微積分を与えれば，よく知られた部分微分や部分積分の公式 が行列やベクトルの場合も成り立つ． d[AB] dt = d[A] dt B + A d[B] dt , t2 t1 dA dt Bdt = [AB]| t2 t1− t2 t1 AdB dt dt (31)
3.2
スカラ関数
J(x)
のベクトル
x
による偏微分
スカラ関数J(x) のベクトル x による偏微分を以下のように定義する．ただし x は n 次元ベクトルであるものとする． ∂J(x) ∂x = ∂J(x) ∂x1 .. . ∂J(x) ∂xn (32) (32) 式のように定義すれば次の関係が成り立つ． 関係1 任意のn 次元ベクトル b と n 次元ベクトル x との内積を J(x) とすれば次の関係が 成り立つ． J(x) = bTx ∂J(x) ∂x = b (33) 証明 定義より ∂J(x) ∂x = ∂(b1x1+b2x2+···+bnxn) ∂x1 .. . ∂(b1x1+b2x2+···+bnxn) ∂xn = b (34) の関係が成り立つ． ✷ 関係2 対称なn × n 行列 A と n 次元ベクトル x に関して J(x) = xTAx ∂J(x) ∂x = 2Ax (35) の関係が成り立つ． 証明 関係 1 を用いることにより b1 = Ax, bT2 = xTAとおくと ∂J(x) ∂x = ∂xTb 1 ∂x + ∂bT 2x ∂x = ∂bT 1x ∂x + ∂bT 2x ∂x = b1+ b2 = 2Ax (36) の関係が成り立つ． ✷ 別証 f = xTAx = x, Ax であるから df x = d x, Ax dx = Ax + A Tx となる．ここでA = (aij) とおくと f = x, Ax = a11x1x1+ a12x1x2 +· · · + a1nx1xn + a21x2x1+ a22x2x2+· · · + a2nx2xn +· · · .. . + an1xnx1+ an2xnx2 +· · · + annxnxn であり，これをx1, x2, · · · , xnでそれぞれ偏微分すると ∂f ∂x1 = (a11x1+ a12x2+· · · + a1nxn) + (a11x1+ a21x2+· · · + an1xn)) = (Ax の第 1 成分) + (ATx の第 1 成分) ∂f ∂x2 = (a21x1+ a22x2+· · · + a2nxn) + (a12x1+ a22x2+· · · + an2xn)) = (Ax の第 2 成分) + (ATx の第 2 成分) .. . ∂f ∂xn = (Ax の第 n 成分) + (A Tx の第 n 成分) となることから， ∂f ∂x = Ax + A Tx となる．いまA は対称であることより ∂J(x) ∂x = 2Ax となる． ✷
次にベクトル関数f (x) f (x) = f1(x) f2(x) .. . fn(x) = f11x1+ f12x2+· · · f1nxn .. . fn1x1+ fn2x2+· · · fnnxn (37) のベクトルx による偏微分を ∂f (x) ∂x = ∂f1(x) ∂x1 · · · ∂fn(x) ∂x1 .. . . . . ... ∂f1(x) ∂xn · · · ∂fn(x) ∂xn = f11 · · · fn1 .. . · · · ... f1n · · · fnn (38) で定義すれば次の関係が成り立つ． 関係3 n × n 行列 A と n 次元ベクトル x に関して ∂Ax ∂x = A T (39) の関係が成り立つ． 証明 (38) 式の定義によれば A = a11 · · · a1n .. . · · · ... an1 · · · ann , x = x1 .. . xn (40) としたとき Ax = a11x1+· · · + a1nxn .. . an1x1+· · · + annxn (41) であるから ∂Ax ∂x = a11 · · · an1 .. . · · · ... a1n · · · ann = AT (42) の関係が成り立つ． ✷
3.3
スカラ関数のベクトル
x
による偏微分の応用
3.3.1 静的最適化 スカラ関数がn × n の正定行列 A，n 次元ベクトル b，スカラ c を用いて J(x) = xTAx + bTx + x (43)で与えられたとする．このとき，関数 (43) が最小となるx は n = 1 の場合と同様に ∂J(x) ∂x = 0, ∂2J(x) ∂x2 > 0 (44) の関係を満足するx x = 1 2A −1b, ∂2J(x) ∂x2 = A > 0 (45) で与えられる． 例題3-1 次の関数を最小にするx を求めよ． 1. J(x) = [x1 x2] 1 0 0 1 x1 x2 + [2 2] x1 x2 + 2 2. J(x) = [x1 x2] 2 1 1 2 x1 x2 + [2 2] x1 x2 + 1
4
ベクトルと行列のノルム
(
ユークリッドノルム
)
4.1
ベクトルのノルム
ここではn 次元ベクトル x(時間関数も含む) のノルムを x := n i=1 x2i (46) で定義する． このとき，以下の性質が成り立つ ノルムの性質 1. x 2 = xTx 2. x ≥ 0 3. x = 0 ⇔ x = 04. ax = |a| x , ∀a(= 0) 5. xTy ≤ x y , ∀x, y ∈ Rn
性質 1, 2, 3, 4 は定義より明らかなので，ここでは性質 5, 6 を証明する． 性質5 の証明 ここではy = 0 と y = 0 の 2 つの場合にわけて証明をおこなう． y = 0 の場合 この場合は明らかに性質 5 の関係が成り立つ． y = 0 の場合 性質 1, 2 の関係を用いれば任意のスカラーα に対し
x − αy 2 = (x − αy)T (x − αy) = xxT − 2αxTy + α2yTy ≥ 0 (47)
の関係が満たされる．任意のα に対し (47) 式が満たされるので α を α = x Tx yTy (48) とおいたばあいにも (47) 式より xTx − 2 xTy2 yTy + xTy2 yTy = x Tx − xTy2 yTy ≥ 0 → xTy2 ≥ xTxyTy (49) の関係が成り立つ．よって (49) 式より性質 5 が成り立つことがしめされた． ✷ 性質6 の証明 性質 1, 5 の関係を用いることにより x + y 2 = (x + y)T (x + y) = xTx + 2xTy + yTy ≤ x 2+ y 2+ 2|xTy| = x 2+ y 2+ 2 xTy ≤ x 2+ y 2+ 2 x y = ( x + y )2 (50) の関係が成り立つ．よって (50) 式より性質 6 が成り立つことがしめされた． ✷
4.2
行列のノルム
行列A のノルムは A := max x=1{ Ax } = λmaxATA1/2 (51) で定義される．このとき，行列のノルムに関し以下の性質が成り立つ．1. A > 0 ∀A ∈ Rn×n, A = 0 2. I = 1
3. Ax ≤ A x , ∀A ∈ Rn×n, ∀x ∈ Rn 4. A + B ≤ A + B 5. AB ≤ A B 性質 1,2 は定義より明らかに成り立つので，ここでは性質 3, 4, 5 を証明する． 性質3 の証明 x = 0 の場合には性質 3 は明らかに成り立つので，ここでは x = 0 の場合につい て証明する． Ax がベクトルになることを考慮に入れれば Ax =( x )A 1 x x = x A x 1 x (52) となる．ここで x 1 x = 1 であるから A x 1 x ≤ A (53) となる．(53) 式の関係を (52) 式に用いることにより性質 3 が成り立つ． ✷ 性質4 の証明 いま， (A + B)x , x = 1 を最大にするx を x0とすれば，行列ノルムの定義より A + B = (A + B)x0 = Ax0+ Bx0 ≤ Ax0 + Bx0 (54) となる．ここで Ax0 ≤ A , Bx0 ≤ B であるから，結局 (54) 式は A + B ≤ A + B (55) となる． ✷ 性質5 の証明
いま， ABx , x = 1 を最大にするx を x0とすれば，行列ノルムの定義より AB = ABx0 = A Bx0 ≤ A B (56) となる． ✷
