ハイブリッド型積分方程式法による浮体の定常動揺問題の数値解析

【論　 文

l

UDC ：551

−

46 ：624

．

042 ：627

．

223

．

6 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 393 号

・

昭 和 53 年ll月 ハ

イ ブ

_リ

_ッ

_ド

型 積

_分

方 程 式 法

_に

_よ

_る

浮

体

_の

　　　　　　 定常動揺

問

題

の

_数

_値

_{解 析}

正 会 員 正 会 員

松

加

井

藤

徹

賢

哉

＊

治

＊ ＊ 　

1

．

緒 　 言 　浮 遊 式 海 洋 建築物の設計に_際して考慮すべ _{き重 要な検} 討項 目の

一

つ に_波浪に よ る外 力および動 揺が あ る。 これ ら を 正確に予 測し

，

建 築 物の安 全 性お よ び居 住 性を確 保 する ためには， 波 浪 中で動 揺する物 体に加わ る流体力の 知 識 が 必要である

。

波 浪中の浮体に働く流体力は浮体

一

流体 間の_相対加 速度に比例す る慣性力と相対速度の 2 乗 に比 例 する抗 力とに大 別さ れ る。 入 射 波の波 長に比べて 径の小 さい細 長 体において は_， 流 体の粘 性に起 因す る抗 力が重要な役 割を果た す が

，

部材の径が増 加 し流体 粒 子 の軌道の径と比較しうる程度以 上にな る と

，

慣 性 力が支 配 的になる

。

こ の よ うな条 件の下で は_， 粘 性の影 響は無 視で きて_， 流体力は_非粘性

・

_非圧縮 性流体の_仮定に_基づ くポテンシャル_流れ 理論の_範囲内で十 分正確に予 測さ れ る1 ） 。 さ らに浮 体の運 動の振 幅が微 小である場 合に は， 流 体 力は波 浪 中の固 定 物 体に働 く流 体 力 （

＝

波 浪 強 制 力 ） と平 水 中で動 揺す る物 体に加わ る流体力 （1 ＝ _{ラ ディ}エ イ ショ ン流体 力 ）の線形和と し て評価で き

，

流 体 力 学 問 題 は前者を求め る回折問 題と後者を求め る発 散 問 題に帰 着 される

。

　こ の よ う な浮体

一

流体連 成 問 題の解析に今日最も多用 さ れてい る方法に

，

_特異点分布法

，

グリ

ー

ン関 数直接法 な どに代 表さ れ る積 分 方 程 式法 とハ _イブ リッ ド型 有 限 要 素 法がある2 ，

。

前 者は グリ

ー

ン関 数 を 導 入する ことに よっ て

，

流 体 力学的 境界値問題を浮 体

一

流 体 境界 面上の 積分方程 式に_帰着さ せ

，

これ を離散化して解こ う と す る もので

，

_有限要 素法な ど の領域型の解析手 法に比べ て_， 解くべ き方 程 式の元 数や計 算に必 要な入 力デ

ー

タ の数が 少な く な る上に_{， 無 限 遠 方}にお け る放射条件も容易に満 足させ られ るなど 多くの利 点 を 有して い る が_， グ リ

ー

ン 関数の_計算に_多大の_{労 力}を 必要と す るのが

，

この_手法の 最大の欠点の

一

つ と なっ ている。 こ れ に対し て， 後者は 流体領 域を浮体を 囲 む任意の 仮 想円筒 面で二 つ の_領域に 分 割 し， 内 側 領 域には変分 原理に基づ く有 限 要 素 近 似 解 を， 外 側 領 域に は放射条件を満足 す る解析解を 用い

，

仮 想 円筒 面上で両者を接続さ せて解こ う と す る もの で

，

マ トリックス の対 称ス パ

ー

ス性な どの利 点 を有 し

，

また精 度的に も優れ ている が

，

流 体 内 部の領 域 まで_{要 素分割}を 行う 必要が ある た め

，

複 雑な形状の_{物 体}に 適用す る場 合 に

，

入 力 デ

ー

タの作 成に必要な労力や計算 時 問が増 加 す る難 点は避け ら れ ない

。

　

近 年

，

水 面 波の回折

・

発 散 問 題の新 しい数値解析 手法 と し て

，

従 来の積 分 方 程 式 法にハ イ ブ リッ ド型有限要素 法の考え方 を 取り 入れ た

“

ハ イブリッ ド型 積 分 方 程 式 法

”

な る_手法が注 目さ れて いる。 こ の方 法は， ハ イ ブリッ ド 型有限要素法に お け る と同 様に_， 流 体 領域を仮想円筒面 で分 割し， 内 側 領 域に対し て はグリ

ー

ン の公 式 を 直 接 離 散 化 して得 ら れ る数値解を

，

外側 領 域に対 して は放 射 条 件 を満 足す る解析 解を用い

，

仮 想 円 筒 面 上で両 者を接続 さ せて解こ_うとするもので， 積 分 方程式の定義 域が内 部 流体領 域を囲む全 境 界 面に拡 大さ れ るの で

，

前 記の積 分 方 程 式 法の利 点は多少失わ れ る が

，

積 分 核が単純な基 本 特 異解に よっ て表 示さ れ る ため

，

影 響 係 数マ トリックス の計算に要する労 力が軽 減され

，

全 体の計 算 効率は古典 的な積 分 方 程 式 法に比べ て_著し く改善さ れ る。 さ らに古 典 的な積 分 方 程 式 法で は

，

グリ

ー

ン関 数の計 算に か な り の_労力 を要す ること か ら

，

要 素ご とに

一

定の ソ

ー

ス強さ ま た はポテン シャ ル を分 布 させ るのが 通例で， こ のこ と が複 雑な形 状の浮 体

，

た と えば半 潜水式構造 物

，

緊 張 係 留 式構造物な どに_{適 用}し た場 合に精 度の低 下 を招 く原 因 と なっ てい る がill〕

，

ハ _{イ ブリッ ド型 積 分 方 程 式 法で は}

，

高 次のポテ ン シ ャ ル分 布 を 採 用す ること も容易であ り

，

浮 体の形 状 が 複 雑な場 合で も， 少ない分 割 要素数で精 度 の良い_結果が得ら れ るこ と が期待さ れる

。

　ハ _イブリッ ド型積分方程 式 法は Yeungs）によっ て は じ

＊

_{名古屋大学　 助教授}

_・

_{工 博} 艸 _{豊 出 工 業 高} 等 専門学 校 　 講 師 　 （昭和 63 年 3 月 10 日原 稿 受 理1 注1＞ 第17回正TTC 海 洋 工 学 委 員 会が行っ た半 潜 水式海 洋 　 　構 造 物の規則波 中運動の比較計算の報 告3；_を 見る と

，

サ

ー

　 　ジ お よ びスウェ イ運 動につ い て は

，

計 算 値と実 験 値との 　 　間に ほ ぼ良い

一

_致が得ら れ てい る が

，

ほ かの モ

ー

ドの運 　 　勤 につ _いて は

，

計算 値 間の ば らつき お よ び計 測 値との差 　 　 異が観 察 され る

。

特に 3次 元 特 異 点 分 布 法に よ る ヒ

ー

ブ 　 　運 動の固 有 周 期お よびその近傍で の運動の _{計 算 値}が計 測 　 　値 と 著 し く異な ること が問題点と して指 摘さ れて い る

。

　 　 同 様の傾 向は ISSC が最 近 行っ た緊 張 係 留 式 海 洋構 造 物 　 　の比 較 計 算の報 告4 ）に おい ても観 察き れ る

．

．

．

−

₁₆₅

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

めて 2 次元水 面 波問題に適用さ れ

，

そ の後

Yuen

　and Chau ‘〕_お よび著 者 ら7〕_{に よっ て 3次 元 問 題に拡 張 さ れ} たt「z ） 。 本 稿は

，

上 記の よ うな観 点から

，

現 実の複 雑な 形 状の海 洋 構 造 物に も十 分 適 用しうる解 析 手 法の提 案を 目的と し て， ハ イ ブリッ ド型積分 方程式 法の有効性を論 じたもの で あり

，一

_{定 要素}を用い た前

va7

）_{で の定式 化を} 拡 張し て_， 2次ア イソ パ ラ メ トリック要 素に よる定 式 化 お よび 計算例 を提 示 し， 既 往の数 値 解 析 手 法との解の精 度お よ び計算時間の比較を行っ てい る

。

　

2。

基礎理論 　 浮体の定 常動揺 問題の基礎理論につい て は

，

多く の文 献に詳 しい紹 介が あ る。 こ こで は

，

後の定 式 化に必要な 諸 式のみ文 献1） より引 用して要 約してお く。 　2

−

1　 境 界 値 問 題 　

Fig．

1に_示す よ う な自由表 面， 底面お よび物体の没水 表 面

S

で囲ま れ

，

水 平方 向に無限に広がっ た流体 領域 に おい て

，

物 体か ら十 分 離れ た位 置で は

，

水 深

h

は

一

定であるとす る

。

直交座標 oxg2 を図の よ うに定義し， oxy _面を平 均 自由水面に

一

致さ せ

，

02 _軸の 正 方向を鉛 直上方にと る。 さ らに円 筒 極 座

ec

　or θz を 　　 　諮

＝

＝

rcos θ

，

　 y

＝

rsin θ

…・

………・

…

　

…

（1｝ に よっ て定義す る

。

　物 体はox 軸の正方向と α の角度を な す方 向に伝播す る平 面規則波列に応 答して

，

そ の平均 位置の周りで調 和 運 動 を行っ て い る

。

入 射 波および物 体の運 動の振 幅は微 小で， 線 形 重 ね 合わ せが 成り立つ ものと 仮 定す る

。

物 体 の運動は

6

自由度の剛体モ

ー

ド

ー

サ

ー

ジ

，

スウェ イ

，

ヒ

ー

ブ

，

ロ

ー

ル

，

ピッチ

，

ヨ

ー一

の_重ね合わ せ によっ て表 現 さ れ る。 　 物 体の各モ

ー

ドの周期 的 運 動は次 式に よっ て与え られ る。 　　 　

Xg

（t）

＝RelXqe −

tωt ｝

，

　 q

＝

1

，

2

，

・

・

  6

・

・

・

・

・

・

…

　（2 ） こ こ に_， ω は振 動 数_， tは時 間_，　Xq は

q

モ

ー

ドの運 動 の複 素 振 幅 を表し， 指標 q

；

1

，

2

、…，

6はそ れ ぞ れサ

ー

Z

　　　 　　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

s

癖

翻

Fig

_．

₁Flu重d　boundaries　and 　a 　fict且tious　vertical 　cylinder

注2） ハ _{イ ブ}リッ ド型積分方程 式法の計算 精度は仮想 円筒 面 　 　上で の解の接 続 方 法に著し く依 存す る

。

著 者ら の方 法は

，

　 　 仮 想円筒 面 上で基 本 特 異 解の フ

ー

リェ 級 数 展 開 を利 用す 　 　ることによっ て

，

精 度の 改 善 を図

っ

て い る点に特 徴があ 　 　る

。

一 166

　

一

ジ

，

ス ウェ イ

，

ヒ

ー

ブ

，

ロ

ー

ル

，

ピッ チ

，

ヨ

ー

に対応し てい るe 　流 体は非 回 転 性の理 想 流 体で あると仮 定すると， その 運 動 を特徴づ ける速 度ポテ ンシ ャ ル は次 式のよ うに表さ れ る

。

　　 　

di

（t｝

＝Relile−

iwtl

　

　　

　

　

−

・・

（

（

　 　 　 し φ。＋砺

一

‘ω Σ】エ。φ， 　 　 　 q

＝

1

）

・

−

1・1

｝

一

_（・） こ こ に

，

_φD は入射 波ポテ ン シ ャ ル， φ7 は回 折 波ポ テン シ ャ ル

，

φαは物 体の q モ

ー

ドの単 位 振 幅運 動に よ り生 じ る 発散 波のポテンシャル であ る

。

　振 幅

A

， 波数

h

の平 面 進 行波で は

，

入 射 波 ポテンシャ ル は次式に よっ て与え ら れ る

。

　

　　

・

一一

繁

嬲

磊

々｝・一 一 ・・ 　　 　　　 　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4 ） こ こに

，

g は重 力の_{加 速度を表し}

_，

_波数

h

は振 動 数 ω と次の逸 散 方 程 式に よっ て関 係づけ られ る

。

　　 　ω：／

91v

＝ 彦

tanh

海

h ………・

・

…・

…

_（

5

） 　回折 波ポテンシャル お よ び発散波ポ テンシャ ルは次の 連続 方程式お よ び境界条件を満 足し なけれ ばな らない

。

ワtil9

＝O

∂φq／∂n；

O

∂φσ／∂z

−

vilq＝

0

∂

ilg

／∂n

＝

hq 流 体 内で

…・

t………・

（

6a

） 底面上で

t・

・

…………

_（6b ） 自由表 面上で

………

（6c ） 物 体表 面 上で

………

（6d ）

1

  （

kr

｝夏／2 （∂φ9／∂r

− ihiPe

）＝

0

犀r

→

o 　 　　 　　　 　　　 無 限 遠方で

…………

_（

6e

_） こ こ に_， ∂／∂n は境 界 面におい て流 体 領 域か ら外 向きに 引か れ た単位法線履 の方 向の微 分 を表す

。h

。は各 ポ テ ン シャ ル に対して次 式によっ て与え ら れ る

。

　 　 　

ht＝

n．

，

　

h2＝

ny

，

　

h

，

＝

nz 　 　　

h

，

＝

（y

−

yc）nt

−

（z

−

Zc）ny 　 　　

h

，

＝

（z

−

Zc）nx

−

（コc

−

Xc）nz 　 　　

h6

＝ _（x

−

Xc）ny

−

（y

−

yo）nx 　 　　

h

，

＝一

∂φ。／∂n こ こ に_， Yc

，

　Zc｝は回 転 中 心の座 標 を表 す

。

　2

−

2　 流 体 力およ び運 動 応 答

……・

………

_（

₇

_） n

．

， ny

，

　nz は n の x

，

　

y，

　z 方 向 余 弦 を

，

（Xc

，

　速度ポテン シャ ルが得ら れ る と， 物体表 面に作 用する 流体圧p は線 形 化さ れ たベ ル ヌ

ー

イ式 　 　　ρ＝

一

_ρ〔∂φ／∂

t

）＝

Rd

ご_{岬 φ〆}

ω

曇ト

…………

〔8） に よ り計算さ れ る

。

こ こ に_{， p} は流体の_密度 を表す

。

　物 体に作用 する _qモ

ー

ドに対 応す る波 浪 強 制 力は

，

入射 波お よび回折 波による流 体 圧 を 没 水 面に わ たっ て積 分す ることに よって

，

次 式のよ うに得られ る。 　 　　 Fg（t）

＝

Re　

lf

_。e

−

． °’

1

　　　　　

− _・・

｛

廨 …

∬

（

di

・・欄 ・

｝

・

…

（・） N工 工

一

Eleotronio _Library

同様に

，

物体の r モ

ー

ドの運動に よ り生じ る

_q

モ

ー

ド に対 応す る流 体 力は， 発 散 波に よる流体圧 を積分す るこ とに よっ て

，

次 式の よ うに与え ら れ る

。

　 　　

F

，

Kt

）

＝Rel

（ω 2 脇。＋

ic

・

N

，。）τ。e

−

tWtl

………

（10 ＞ こ こ に

，

Mg

。

，

　Ngr は付 加 質 量 係 数お よび 付 加 減 衰 係 数 を表し_， 次 式に よっ て定義さ れ る_。

　　

　

MgT

・（祠 砺 一 _・

∬

_岬 ・

一 ・

一 ……

_（ll_） これ ら の流体力をニ ュ

ー

トンの第

2

法 則に代 入 すること に よっ て

，

浮 体の運 動 方 程 式が次 式の ように導か れ る

。

　 　 　 6

　　　

Σ ［

一

ω2（M ，，＋

M

。．）

−

iwN

，。＋（

K

，汁

K6

。）］x，

＝

fg

，

　 　 　 r

＝

匸 　 　　　 　　　 　q

＝

1，2，

…

　，6

・

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（12 ＞ こ こ に

_，

M ，

。

は慣 性係数 を

，

　

K

， 。は浮 力に よ る静 的復原 力係数 を

，K

各

．

は 係 留素の_{線 形 化}ば ね係 数を表す。 　

3．

積 分 方 程 式 　

Fig．

1に示 す よ うに_， 流 体 領 域 を半 径 r

。

の 仮 想 円 筒 面

SR

で二 つ の_領域に分割す る。 この 仮想 円 筒 面は物体 お よび不規則な底面を囲む に十 分な大 き さ を もっ て いる もの とする

。

内側 領 域 を y で_， 外 側 領 域 を

y

＊ で表し， そ れ ぞ れのポテン シャ ルを φq

，

φ吉と す る。 φ言を円筒座 標 o　r_θz にお け る固有 関数列に展 開して次 式の よ うに_表 示す る2 〕 。

　　　　　

co

　

　

　

co 　　 　φ言

＝

Σ Σ （α 。 。COS ηθ＋β。 。　sin　nθ）

R

。 。（　r）

Zm

（Z） 　 　 　 n

＝

o冊

＝

o 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

13

＞ こ こ に_， 　 　 　

H

晃〕 （

hr

）IH 羅” ｛

hr

。）

，

　m ＝ O

　　　

R

・ ・（’）＝ κn（x，、r）、

K

。（。。。。）

，

　 _{m ≧1}

’

’

’

’

’

”

（14） 　　 　　　 　　cosh 　

k

_（z十

h

_） 　 　 　 　，　m

＝O

　 　 　 cosh 　

hh

　　　

Z

・（2）

；

。 。S 。。（。＋

h

）

　

”tt’

’

’

’

’

”

_（15｝ 　 　 　 　

，

　 m ≧

1

　 　 　 COS 　Xmh で_， 韻 1は n 次の第 1種ハ ンケル係 数 を， Kn は n 次の 第 2種 変 形ベ _ッセル_関数 を表し

，

Xm は次の _{固有 方程式} の 正実 根で あ る。 　　 　κ mtan 　Xmh 十 v

”

O

・

・

…



9…



一一・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（

16

） φまが

V

＊ 内で連 続 方 程 式 （6a ）

，

底面 条件 （

6b

）

，

自 由表面 条件 （

6c

）お よ び 放射 条 件 （6e ）を満足 す るこ と は容 易に示さ れ る。 　φg と 鱒 とは次の SR上に お け る圧力お よ び法 線 速 度 の連続 条 件に よっ て関係づ けられる

。

　

　

　

醐

，

警

一

勢

一

…・

・

一 ・

・

一 ・

…

（17 ） 　 内 部 流 体 領 域 V に対して

，

グ リ

ー

ンの公式 を 適用 す れば， 次 式が書き 下さ れ る SI

。

　

　

　

・・

i

・9…

一

∬

_，

［

黔

・

Q

・

（

鵡

）

　

　　

　

　　

　

− i

・e（

Q

） 、

fQ

＞

（

　lRpq

）

］

・S（

Q

・

・

・

…

（18） こ こ に

，P

は

V

を囲む境界 面 ∂

V

上 の基 準点を

，

　

Q

は ∂V 上の積 分 点 を， dS （

Q

＞は ∂V 上の 面積 要素を，　

R

。Q は 二点

P

，

Q

間の距 離を，　

Cp

は点

P

に おい て γの な す立 体 内 角 を表す

。

式 （

18

）に式 （6b

−d

＞お よび式 （17 ） を用い れば

，

次の_{境界積分方程 式}が得ら れ る。

　

　

　

c．

iPdip

）＋

ff

．ns 、　¢ q（

Q

） ∂

fQ

）

（

　1RFQ

）

dS（

Q

｝

　

　

　　

・

蕉

_{砺 （}

Q

_）

［

、

景

Q

）

（

荒

。

）

一

_・

（

_毒

）

］

dS

（

Q

）

　

　

　　

・

鼠 ［

_飆 ∂

虐

Q

）

（

　

1Rpq

）

　

　

　

　

一

籌

（

Q

）

（

tQ

）

］

dS

（

Q

）

　

　

　

一

_伽

_Q

_）

（

　

lRpq

）

dS

（

Q

）

……・

一 ……一

（・9 ） こ こ に_，

SH，

　

SF

はそ れ ぞ れ

SR

で囲 まれ た底 面お よび自 由 表面の部分 を示す （

Fig．

1）

。

　

4．

数値解 　4

−1

積 分方程 式の離 散 化 　積分 方程式 （19 ＞は_{境界 要素法}に お け る通常の_手続き に よっ て離散化さ れ る。 前 報 T）_{で は}

_，

_{最 も単 純な要 素と} し てポテ ン シ ャ ルが要素内で

一

定とな る要 素 （

一

定 要 素 ） を用いたが， 高 次に変 化す る場 合に定 式 化 を拡 張す るこ とは容 易である

。

こ こ では

，

ポテン シャル が要 素内で 2 次の変 化 をする 四辺 形アイソ パラメ トリッ ク要素 （2次 要 素 ） を 用い た場 合の定 式 化 を示す

。

　まず境界面

S，Sn，

　

Ss

を そ れ ぞ れ

N

，

，

　

M

，

　

N

，個の面 要素

AS

，に分 割す る幽 。 要 素 △＆ の隅 点および辺 上の 中 間点に節 点 P堅e （ノ

＝

1

，

2

，…，

8） を

Fig．

2（a_）の よ う にとる

。

すべ _ての節 点に通 し番号を付し

，

節 点数を

N

，

，

‘番 目の_節点 を

P

‘（

i＝

1

，

2

，…，

N，）と する

。

要素内の 任 意 点

Q

に お け る ポ テン シャ ルを

，

内 挿 関 数 M丿（

Q

）を 用い て次 式の よ うに表 示 する

。

　 　 　 e 　　　

di

。

；

；［］　

MJ

（

Q

）φq（

pyi

｝ ）

…・

………一 ……・

（

20

） 　 　 　 ノ

＝

1 こ こ に_，

M

_，の_具体的な表 示式につ い て は

，

た と え ば文 ，

I

（a_） plt｝ t｝

l

’｝ P （b） 　 　 〔c｝ l

Fig

．

2　 （a_）AquadrilateraL　isoparametric　element 　with　8　nodes

　　 　（b）DefiniしiQn　of　ts

，β5　and γg 正or 　corner 　node

　 　 　（c_）Defi皿ition　of 　ls

，

_{βs 　and γs}for　Inid

−

side　node

注3） 要 素の形 状はも との境 界 面の形 状 ができるだ け正 確に

　 　表 現さ れ る よ う な 2次曲面 に よって 近似される

。

一

₁₆₇

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

献8）が参 照で き る。 同 様に境 界 形 状につ い ても内 挿 関 数 を用い て次 式の よ うに表 す。 　 　 　 ＆ コc，

＝

＝

Σ

M

丿（

Q

）耐 1 　 　 丿叫 　 　 sYQ

＝

_{Σ 』鴫（}

_Q

_）

_YSi

， 　 　 ’

＝

I 　 　 sZQ

＝

_Σ

_M

，（

Q

）zY 〕 　 　 ’

昌

1

・

・

・

・

…



『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（21） こ こに

，

（XQ

，

　YQ

，

　ZQ｝は点

Q

の 座標を

，

＠サ〕

_，

醒1

，

　z勤は 節点 理 の座標を表す。

　

式 （20）

，

式 （21 ＞を節 点

P

‘で の式 （19）に代入 し， さ ら に固有 関数展 開式 （13 ）の_無限級数を有限 項 η

＝

梵， 7n

＝M

で打ち切れば

，

積分方程 式 （

19

）は次の

N

．個の 代 数 方程式に置き換え ら れ る

。

　 　 　 h

’

　s

　　　Cl

φ9（P‘）十ΣΣ二A 蟹｝φa（

PSt

， ｝ 　 　 　 1

＝

Ijti1

　　　　

＋

乞

歯

〔Als　

一

　vBli_））

il

。（

ps

・ ） 　 　 　 　 1

＝

悔 十1J

＝

！ 　 　 　 i　 i 　 　 　　＋Σ Σ（F醐 α鵬 ＋

G

伽逐恥∂ 　 　 　 　 n

＝

0況

mO

　 　 　 　 Nl 　 8 　 　 　

三

Σ Σ

Bl

‘

3he

（

PYi

’ ），　 1≦

i

≦鯖

……・

……・

tt

（

22

＞ 　 　 　 　 1

＝

1丿

日

且 こ こ に

，

Nl

＝

N

_，＋

Nz

，　

N

：一　

Nl

十

Ns

で あ る。 影 響 係 数

AVI

，　

B

男

，

　

Fi

、、n お よ び

Gtmn

は そ れ ぞ れ次 式によっ て与え られ る。

　　　

A

男

一

仏

∂

illQ

）

（

　lRPtQ

）

MKQ

｝

dS

・

tt・

…・

…・

（23）

　

　

　

明

_ム

（

　

1RPIQ

）

跏

S ・

・

…・

……・

・

一 …

（

24

）

　

　

　段

ll

）

−

ffSR

_［

、

fO

／

（

　

1Rp

‘Q

）

　

　

　

　

　

　

　

− bmn

_（

　

1R

．‘Q

）

］

・・（ZQ）

儲

曜 ・ 　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

25

） こ こ に

，

　 　 　

R

，、9＝ ［（x、

一

τQ）t＋（y厂 YQ）2＋（Zi

−

Zq）i］1μ 　 　 　

e

、＝

tan

−

コ （Yi／x、）

，

ψ

＝tan　

1 （Y。／Xq） 　 　 　 　　 　 　　 　

………・

・

………・

……・

…一 ・

（26 ） 　 　 　 κH呈γ 〔

hro

）／H器】 （

hro

＞

，

　 m

＝

O 　 　 　 　

・

・

9−・

・

（27） 　 　 　

bmn＝

　 　 　 ZmK ；（Xmro ）／

Kn

（κmro ｝

，

　m ≧1 で， （x‘，

yt

， ε‘）は点

P

‘の 座 標 を 表 す

。

形 状 係 数

C

‘は 境 界 面が点 P‘で滑 らか で あれ ば

Ci‘

2π で あるが

，

そ うで な い場 合に は

，

立 体 角 を 直 接 計 算する か

，

または

一

様 な ポテン シャ ル が境 界 面 全 体に分 布 すると き∂

ilq

／∂n の値が0に なるとい う条 件 を 用い て定められる （4

−

3節 参照）

。

　式 （

22

＞に含ま れ る未 知 変 数は

N

，個の ポ テンシャ ル φ。（

P

‘）と（

m

＋

IX2

梵 ＋

1

）個の係 数amn

，

βmn で あ る。 方 程 式の数と未 知 変 数の数 を

一

致 さ せ る た めには

，N

，＝

一

₁₆₈

一

（抗＋1）（2ft÷1）個の付 加 的な節 点 を

S

，上に選 んで式 〔

19

） を満 足 させ な け ればな ら ない 。 こ の

．

と き式 （22｝ に対 応す る離 散 化 方 程 式は次 式によっ て与え られる

。

　 　 　 Ns

’

　e 　 　 　 れ

ノ

　 　s

　　　

Σ Σ1蝟φ。（

py

｝ ）十



_Σ



_Σ（！蝟

一

レ

B

鴇）φ_α（

PUi

】） 　 　 　tml 丿

±

11

＝

馬

’

＋1i

＝

1 　 　 　 n 　　 th　　A　　　　　　　　　

ら

　　 　 　十Σ Σ （

FEmnantn

十

GtmnStan

） 　 　 　 　 刄

＝

o怨

＝

e

　　　

一

_邑£

_{瑚 ん} ，（酬

， N

，＋ユ≦

i

≦

N

、＋

tVR…

（

28

） 　 　 　 　 txl∫

＝

1 こ こ に

，

　

　

　

激

二

）

一 ・躍

欝

耐

（

：

：

：

：

・

一 ・

・

29

・ 　4

−

2 影 響 係 数の評 価 　式 （

23

＞， 式 （24 ）の積 分は， 節 点

P

‘が 要 素

AS

，に 含ま れ ない場 合には， 数値 積分 公式によ り 評価する こと がで き る。 節点

P

，が要素

AS

，上の節点のい ずれ か， た とえ ば _鯉 に

一

致 する場 合に は

，1

／

Rp

‘Qが

Q

→

Pl

に お いて無 限大と な るので， これ らの積分 を解 析 的に処 理す ること が必 要で あ る。 まず式 （

23

）につ いて は， 要素が 平 面であ れ ば ∂〔l／

R

，‘，）／∂n（

Q

〕

＝

0であ る か ら

A13；

oと な ることは容 易に証 明できる。 要 素 が 曲 面である場 合で も

，

十分小さい_要素で は曲 率の影 響は小さい として無 視 すれ ば

，

近 似 的に

　　　Altl

＝ O

・

…・

…・

・

……・

・

………・

・

一 ……

（30 ） と お くこと が で き る

。一

方， 式 （24）につ い て は， こ れ を次 式の よ うに_書き換え る ことがで きる

。

　

　

　

・

S

’ 」

一

∫

瓜

（

　

1Rp

，o

）

噸 〉

− 1

｝

dS

・

B

_野

……

_（

31

_） こ こ に_，

　

　　

碑

一

蕉

（

1Rplq

）

dS ……一 ・

一 一 ・

一 ・

（32） であ る。 式 （

32

）の積分は

，

要素の曲率を無視す れば

，

一

_{定 要 素の場 合と同様に陽に評 価できて}

_，

_{次式のよ うに} 表され る7［

_。

　

　

　

醴

一

撫

…

P

．

1

・

9

［

1

／

（

伽

知

・

刹

　 　 　 　

・

………・

…・

…一 …・

…

（33） こ こに

，

ls

，

β。

，

7sの定 義 は

Fig．

2（

b

）

，

（c）に示 す と お り であ り

，

K は隅 節 点で は 2を

，

辺 上の中間節 点で は 3を と る。 式 （31）の第1項の積 分は正則である か ら

，

これを数 値 積 分に より評 価 することが できる

。

　Ftmn

，

　Gimnの 評 価に際し て は

，

特に大きな m に対 し て

，

被 積 分 関 数が激 しく振 動す る関数である こ と に注 意 す る必要が あ る。 これ らの評 価には

，

次の基 本 特 異 解の フ

ー

リエ _{級 数 表 示を利 用す}ると都 合が良い％

　

　　

鳶

薦

轟 孀 ・・）・ ・S・n_（・

e

・

一

…） こ こ に_，

・

・

・

・

・

・

…



r・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₃₄

_》 N工 工

一

Eleotronio _Library

　 　 ρ

π

（rt，　Zt；rQ，　ZQ）

　

　

　

　

煮

婦

1

＋ 『

鑰

一

噛

…・

・

・

_・…

　　　

ri

＝

（xl十

yi

）1／2

_，

　　

ro＝ ’_（x_乙十y3_）1／2

・

・

一・

・

・

・

・

…

　

（36 ） で

，

ε。

＝

1

，

εn

＝

2 （n≧1）で ある。 式 （35）において

，

Q

。

−

i ／1 は第 2種ル ジャ ン ドル関 数 を表し

，

その数 値的 評価につ いて は前 報T｝_{が参 照で き る} 。 式 （

34

）を式 （

25

） に代入 し周方 向の_積分 を実 行す れば，

Fimn

，　

Gtmn

に対 す る次の線 積 分表示が導か れる

。

　

　

　

（

畧

：

：

1

）

− T

… （・r・… i）

（

監

）

nei

…・

…………

（・・） こ こ に_，

　　　

T

・mn（r・… i＞

一

∫

：

［

諾

幅 ・r…z・）

　　　　　　　　

− b

． 。P ・ （・r ・

，

… ；・r・

，

・z、）

］

r・

z

・（・・）

dZQ

　 　 　

………− t・

………

（38） 式 （38）の線 積 分は

，

節 点

P

，が

S

，上にない と き

，

数 値 積 分 公 式により評 価 することがで きる。 節点

P

，が

SR

上に あ る と きに は

_，

被 積 分 関 数 がZQ→ Zi におい て特 異 性をもつ ので

，

前報7）で行っ た の と同様の方 法で， こ の 特 異 項の積 分を解 析 的に処 理すること が 必要であ る

。

そ の た めに_， ZQ→ Xlにおい て P・ （・・

，

・Zt・r・

，

・Z・）

−

i

・・9 、。

急

_、

1

雪

_薨

（騒 ；噺

一

」 ・

1

・

9

十pn［刷（r。，　Zi；ro，　ZQ）

　　　　　　

2互

＿

　 　ro　 　

12

厂 2Ql ・

（

晝

莞

プ

幅 ・腋 ） 　 　 　

・

tt−・

・

…

　

t−・

一…

　

−t…

　

tS・

・

・

…

　

−t・

…

　（39） で あること を考 慮 して

，

節点

P

，が

SR

上に あ る 場合の 式 （38） を 次 式の よ うに書き換え る

。

　

　

　

琳 属 一

｛

∫

γ

・

∬

涯

講

塩 規 ・r…z・）

　　　　　　　　

一

δ副 脳 ・笥

，

司

几

z

・（2・）

d

・q

　

　

　

　

　

　

　

　

・

五

∵［

（

∂pn ∂rQ

）

 

鵡 解 ・〉

　　

　　　

　　　

一

知 姻 （r・

，

Zi・解

小

z・

（・・）

d

・・ 　 　　 　 　　 　 　 十 丁  （r。tZt ＞

・

…・

……・

………

（4e） こ こ に

，

_ρn および ∂_pn／∂ rQ の上 添 字 （R）は それぞれの 正則 項を表し_，

　　

　

喘 届

一

∬

1

鳩

・ ・b

・

n

）

　

　

　

　

　

　

　

　

・

₁

・9

与

評

ろ・融 Q

’

・

・

・

…41） で あ る。 式 （

41

）の積 分は陽に評 価で きて

，

次 式が導か れ る

。

こ こに

，

點

，

・∂

（

⊥

＋2b

酢

n 70

）

Sdi

（・）・調

…

_（42）

s

冊

（

A

）

＝

号［

・

h

・_（・・A ＞

一

… h 圓 1・

9

（

2

制

・ 　 　 　 m

＝0

急［

S

・（・・

A

）

一

… （・

・

A

）

1

・9

（

A2ro

）

］

，

　 　 　 m ≧

1

　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（43 ） で

，Shi，

　

Si

は双曲正弦 積 分お よ び 正弦積分を表す。

Shi

，

　

Si

の定 義および数 値 的 評 価につ い て は

，

た と え ば_{文 献 9 ｝}が参照で きる

。

式 （40 ＞に含ま れ る積 分は す べ て 正則で あ る か ら

，

これ ら を数値積分に よ り評価す る こと がで き る。 　4

−

3　形 状 係 数

C

‘の決 定 　形 状 係 数

Ci

の 決 定には

，

点

P

，におい て流 体 領 域

V

の な す立体内 角を計算す ればよい が

，

これ が 困難な 場合 に は

，

以 下の方 法に よっ て

C

‘を評 価す ること がで き る。 　 境 界 面 全 体に

一

様な ポテ ン シ ャ ルが分 布する とき

，

∂φ♂∂n の値は 0で なけれ ばな らな い から， 式 （18）は 次 式の よ う に書き表さ れ る

。

　　

　

呵 五

＿ ∂

2Q

）

（

ユ

RPQ

）

dS

（

Q

＞

一

・

・

…

（44）

S

。上 の積分につ い ては

，

式 （

34

）を代入 し周方 向の積 分 を行えば

，

式 （44 ）は_次式の よ うに_書き換えられる

。

　　

　

・・＋

焦

_．

SF ∂

設

Q

）

（

　

1RPQ

）

・・（

Q

）

　

　

　

　

・

慨

（・ ，・ 陥 ｝峨

一

・

・

………

（・・） 式 （22）を導いたの と同 様の方法で式 （45）を離 散 化し て表 現 すれ ば

，

形 状 係 数

C

，を与え る式が次 式の よ うに 導か れる

。

　

　

　

・・一

鋤

・

砿 言

莞

幅 ・r・

，

・2・）r

・

d2Q

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　《46） 　

5．

数値 計算例お よび考察 　数 値計算の対象と して選 ばれ た形状は半球形 浮体， 没 水柱体お よび半 潜水式構造 物で

，

い_ずれも比 較 基 準と し て の解 析 解ま た は実 験デ

ー

タの得られて い る もの であ る。 これ ら の形 状の 二面 対 称 性を考 慮し て， 全 境界面の 1／4を Table　lお_よび Figs

．

3

，

4の ように要 素 分 割 し て 計 算を行っ た

。

影 響 係 数マ トリック ス Ats

，

磁 の計 算に 際して_， 要 素上の面 積 分に はガ ウス の 16点 公 式 を 用い_， 係 数 T

、

mn の表 示 式に含 まれ る線 積 分の 評 価に は， 水 深

h

を10の小 区 間に等 分 割し

，

そ れ ぞれ に対して ガ ウス の 4点 公 式を適 用し た

。

　 5

−

1　 半 球 形 浮 体 　まずハ _イブ_リッ ド型積 分 方 程 式 法に よ る計 算 手 続きの

一

₁₆₉

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service ArchitecturalInstitute ofJapan

SF

s

_s

SF

s

SF

s

SF

SB

Ss

SB

SB

(a)

{a)

Floating sphere

with round cerners;

(b)

'

(c)

(d)

Fig.3 BeundaTyelernent idealisations using constant elements

;

(b)

Submerged･horizontalpontoon with sharp corners ;

(c}

Submergedhofizontal_pentoon

(d)

Semi-submerslble

SF

s

_s

SF

s

SF

s

SF

SB

SB

_SB

SB

(a)

Fig.4

(a)

Floating sphere with reund corners;

(b)

{c}

(d)

Boundaiyelement idealisationsusing S-node_quadraticiseparametric erements

;

(b)

Submergedhorizontalpontoon with shaTp co[ners ;

(c)

Sllbmergedhorizontalpontoon

{d)

Semi-submersible Table1BeudaryelementideaLisationsfor quadTant Strueture ElementNumberNlNof2elements

N3 NunberNJ NofRnodes

fi

NJ+NR

mro

Floeting s'phere Submerged pontoon

(sharp

eorners) Submerged

_pentoon

{reund

corners) Seml-submersible Constant

Quadratic

Constant Quadratic Censtant Quadratic Constent Quadratic 6o 14

40

10

62

22148 57

41616161

16 4

56

14 56 14128 4o 80 77102106124146282325

303030303030

3030

110107132136154176312355_55555555

_99999999

1.5a1`5aO.6 mO.6 m.o.6 mO.6 m1.1251.125mm

--

₁₇₀

-噂

．

佃 0

．

四

℃

_■

H

　

　 N

．

H

　

　

O

．

O

冖

n

◎

へ

〕

丶 f

．

【

 

_軋

く ＝ ＝

曽

_．

O 　 ： 　 　 　 1

．

O　　　　　l

，

5　　　　　2

．

0　　　　　2

．

5　　　　　5

．

口 　 　 　 ko

Fig

．

₅Added 　mass 　coefficients 　for　the　floating　sphere _｛ll：

　 　 　surge

，

33：heave）

冖

卩

罨 ＆ 丶 f

．

冖

  8 ＆ 丶 f 　 　 　 　 ka

Fig

．

6　Added 　damping　coefficients 　fol　the　floatingsphere 　 　 　 （11　：surge

，

　33 ：heave）

｛

匡

 

_。

5 こ

_。

と

．

n

匹

 

_。

5

丶

一

_．

＝ 　 　 　 　 ko

Fig

．

7Wave　exciti 皿g　foτces 　on 　the　floating　sphere （1：surge

，

　 　 　3：heave_） 妥 当性を検証す る た め に

，

す で に解 析 解が得ら れ て い る 半 球 形 浮 体につ い て_， 付 加 質 量， 付 加 減 衰， 波 浪 強 制 力 お よび運 動 応 答の計 算 を行っ た

。Figs．

5−8

は そ れ らの 結 果を 無次元 化波 数

h

α （α ：半径 ）を横 軸に とっ て 図 示 し

，

多 重 極 展 開 法に基づ く無 限 水 深 解 析 解1°1_と 比 較し たもの で

，

図 中の H

．

1

．

E

．

M

．

−C ．

E

．

一

は

一

一

定 要 素に よる 計 算 値 を，

H ．

1，E ．

M 一

Ω

．

E ．一

は 2次 要素に よる計 算 値 を示し ている

。

な お， ハ イ ブリッ ド型積分 方程式 法に よ る計 算で は水深／半径比 を

h

／α

＝

loと して いる。 計算値 と解 析 解との

一

_{致 度}は き わ めて良 好であり

，

上記の_{定 式} 化な ら び に計算プロ グラム の_{妥 当性}を確認す ること がで き る。さ らに

一

定要 素と 2 次要素に よ る結果を 比較して

，

節点数が ほ ぼ同 数であ るに _もか か わ らず

，

後 者の _方が無 限 水 深 解に よ り 近接 し た値が得ら れており

，

2次 要素の 使用 がハ イ ブ_{リッ ド}型積_分方程式 法の _精度を高め る上で 効 果的であ るこ と が 理解さ れ る

。

　 5

−

2　没 水 柱体 　 半 潜 水 式 構 造 物のロ ワ

ー

ハ _ル の よ う な没 水 柱 体の ピ

ー

o ミ ぞ

一

・

哢

こ

_昌

x

帋

　 　 　 　 ke

Fig

．

8

　Response　amplitudes 　of　the　floating　sphere _（1：surge

，

　 　 　3：heave） ブ付 加 質 量 を特 異 点 分 布 法や グリ

ー

ン関 数 直 接 法に よっ て計算す る と

，

実験 値よ り も か な り大き な値が得ら れ， そ れに基づい て推定さ れ たヒ

ー

ブ運 動の固有周期お よび そ の近 傍で の運 動の値が実 験 値と著 しく相 違す ること が_{， 第 17}回

ITTC

海 洋工学 委 員 会に よ る比 較 計 算に よっ て明ら かに さ れ た ／ 1 ）

_。

_{こ こ} では

_，

こ の よ う な差 異の 原因 を究 明す る た め に

，Fig．

9

に示 す よ う な半潜水 式 構 造 物の ロワ

ー

ハ ル と同じ断 面 形状をもつ _単

一

_{没水 柱体}を 対 象 として

，

ヒ

ー

ブ付 加 質 量の計 算を行っ た

。

Fig

．

10

は そ の結果 を 周期 丁 を横 軸に とっ て 図 示し

，

グ リ

ー

ン 関 数 直 接 法 （G

．

F

．

　D

，

M

．

_）に よる計 算 値お よ び池 田m

，

斎 藤

・

肥 後1！〕_に よる計 測 値と比 較 し たもの で

，

図 （a_） は角の丸 味を無 視し た場 合の_， 図 （b｝は角の丸 味を考 慮した場 合の計 算 値 を 示し て い る

。

なお

，

グリ

ー

ン関 数 直 接 法にお け る物 体 表 面上の要 素 分 割は

一

定 要 素を用い たハ _{イブ リ}ッ ド型 積 分 方 程 式 法にお ける分 割と同 じ であ る。 角の丸 味 を 無 視し た粗い分 割の場 合

， ．

一

定 要 素を用 い た グ リ

ー

ン関 数 直接法 やハ _{イ ブリ}ッ ド型積 分方程 式 法

一

₁₇₁

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

Fig

，

　gSketch　of 　the　submerged 　horizontal　_pontoon

9

＆ 、 ＝ 　 　 〔 レ

へ

〕

丶

陽

_陽

＝ T　 〔● ●c 〕 （a_） 　 　 　 　 　 T　〔8■c 〕 　 　 　 　（b）

Fig

_．

_10　Added　mass 藍n　heave　for　the　submerged 　horizontai

　　　pontoon （norma 亘ised　with　disp旦ace 血ent _ρ△）

　 　 　 （a）With　sharp 　corners _；（b_）With　round 　corners

一

₁₇₂

一

が実 験 燈 をかな り上回 る結 果を与え て い る の に_対して

，

2次 要素を用い たハ _{イ ブ リッ ド型 樌 分 方 程 式 法で は実験} 値に かな り接近 し た値が得られ て お り

，2

次 要 素の使 用 が没水 柱 体の ヒ

ー

ブ付 加 質 量の_計算精度を改善 する上で き わ めて効果 的である ことが理解さ れ る。

一

方

，

角の丸 味を考慮し た細か い分割の場合には

，

いず れの方 法にお い て も計算値と計測値との

一

_{致 度}は良 好であり

，

第 17 回

ITTC

海洋工学委員 会に おいて問 題 となっ た半潜水 式 構 造物の ヒ

ー

ブ付 加質量 を精 度良く推 定 す るた め に は

，

ロ ワ

ー

ハ ル隅角 部の丸味をも考慮し たより細かい要 素 分 割 が 採 用さ れ る必要の ある こと が示 唆される

。

　 5

−

3 半潜水式構造 物 （ITTC モデル

1

　

ハ _イブリ_ッ ド_{型 積 分 方 程 式 法}の典 型的な海洋構造物へ の適 用 例とし て選ばれた 形状は

_，

_第

17

_回ITTC _{海 洋}工 学 委員会が比較計算の対象と し た 8コラ ム 2ロワ

ー

ハ ル 型半潜水 式構 造 物で

，

そ の形 状お よ び主 要目 が

Fig．

ll お よ び

Table

　2に示さ れて い る

。

_単

一

没 水柱 体の_{計算 結} 果か らも 明 らかな よ うに

_，

ヒ

ー

ブ付加 質量を精 度良 く推 定する ために は_， ロ ワ

ー

ハ ル上の_{要 素 分 割}を細か く する こと が重要であ る が

，

半 潜 水 式 構 造 物のよう な複雑な形 状の構造物の場 合

，

計 算 時 間や入 力 デ

ー

タの作 成に_要す る労 力な どの点で_{， 要素}数 を増すことには実 用上限 界が あるので， こ こで は，

Fig．3

（

d

）お よ び

Fig

．

4（

d

）に示 す よ う な比較的粗い分割を用い て計算 を行っ _た

。

_{な お}

，

ブレ

ー

ス材につ い て は_， 静 的復原力係数お よ び粘性 流 体 力の 評 価に 際 して の み

，

そ れ らの_{存 在}を考 慮 し た

。

、

Fig．

12はヒ

ー

プ付加 質量の 計 算 値 を周 期

T

を横 軸に とっ て図示し

，

グリ

ー

ン関 数 直 接 法 （

G ．F ．

D ．

M ．

）

，

ハ イ ブリッ ド型 有 限 要 素 法 （

H ．F．E ，

　

M ．

_）に よ る計 算 値 お よ び実 験 固有周期に_基づ く推定値3，_{と比 較 した もので} ある

。一

定要 素を 用い たグリ

ー

ン関 数 直 接 法 やハ _{イ ブ} リッ ド型積 分 方 程 式 法が実 験 値 をかな り上回 る結果を与 えているの に対 して

，

2次 要 素 を用いたハ イ ブリ_ッ ド_型 積 分 方 程 式 法 やハ イブリッ ド型有 限要素法で は実験 値と ほ ぼ

一

致す る _値が _得ら れ てい るの が注 目 され る

。

Figs．

13−18

は各モ

ー

ドの運 動 応 答の結 果 を 示し たもの で

，

粘性影 響の著し い ヒ

ー

ブ 運 動につ いて は，ポ テンシャ ル _{理 論}に _よる計 算 値 をFig

．

15（a＞に_， 粘 性 抗 力の寄 与 を等価線形 化さ れ たモ リソン公 式に基づ き評価し た場 合 の 計算値を

Fig．

15（

b

）に そ れ ぞ れ示してあ る

。

な お

，

抗 力 係 数に は

Dnv

_規則lu ） に基づ きTable　3_{に示す値 を} 採 用し た

。

ほ かのモ

ー

ドにつ い ては

_，

粘 性 抗 力の寄 与は ほ とん ど認め ら れ な かっ たの で

，

ポ テン シ ャ ル理 論に よ る計 算 値の み掲 載し た

。

サ

ー

ジ お よ びス ウェ イ運 動 を 除 い て

，一

定 要 素 を 用い たグリ

ー

ン_関数直接法 やハ _イブ リッ ド型 積 分 方 程 式 法に よる計 算 値が実 験 値と か なり相 違し て い る の に対し て

，

2次 要 素 を用い たハ _イブ リッ ド 型積 分 方 程 式 法やハ _イブ リ_ッ ド_{型 有 限 要 素 法}によ る計算 N工 工

一

Eleotronio _Library

'

bb.12' die.156'

'x'

'

"Sx'm"'

''/

';o.o.'

:X,R･x

'

_'

_'

_'

_RO.117

4

O.336O.]15O.37EO.375O.136 M"o gte M"o

HN

n)qwN:[

S,197 eO,156diO.125'

(a)

deO.125eO.156 _Fig.12 T [see] Added mass in heave for the

(nermalised'with

displacementpA)seml-submersible

" o."11 "o.n31 D.116O.3TSe.175O.3T5le.336 1.T97 Fig.11 RO.0

(b)

(c)

Layoutof the semi-submersible

{in

metre)

<a)

Plan;(b}Staiboardeievation:(c} ForwaTd eleva-tien

Table2Principal particula[sof the semi-sllbmersible

axx m: o: Ro

9th---e-

G.F.D.M,-C,E,---

H,I,E.M,-C,E,--e-

H,1,E.M.-O.E.--X-

H,F,E,M.-a.E.--'r""

EXPERIMENT

_.r"

..-

i-t

t'tj -xt i"! Value Vnit 'tt''t'h -N-it Fig.13 e 1,6 2.4 T [see] Surge amplitude ofthesemi-submersi

(a=:oo)

3.2 blein 4.0 headwaves Description

Length of lower hull

BreadthDraftDisplacement

Centre of gravity above keel Transverse metaeentric height

Longitudinal metacentric height

Transverse _gyradius in air

Longitudinal _gyradius in air

Vertical gyradius in air

Water depth 1.797 m 1.172 m O.313 m 130.3 kg O.273 m O.045 m O.037 m O･536 m O･556 m O.634 m

3.000

m axrvx

Drag coefficients estimated

from

the

Dnv

rule

Table3Member

Value

Column

_toO.156

Column ¢O.125

Lower hull

(heriz.)

Lower hull

(verti.)

Bracing

O.438O.455O.71331.7185O.7

Fig.14

T [etc]

Sway amplitude efthesemi-submersible inbeamwaves

(a==9oO)

-173-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Architectural axnyx Institute ofJapan --G.F,O.H.-C.E.- +-H.I,E,M.-C.E.- 9-e)-H.I,E,M.-a.E.-rv--E-H.F,E,M,-a.E.-

_'1

----EXPEHIMENT

_{:--''1:x1,4,,'} s :t N o

'

:l

'

-

':.' o'fo,e E,6 2.4 1.2

an

on:E<; R o o T Fig.15 axfix orv o-o%

.8

t.6 2.4 Ctte] T[sec]

(a)

<b)

Heaveamplitude of thesemi-submersible inbow _quarteringwaves

(a=

4sO)

{a)

Potefitialflowtheory;

(b)

Withviscous correction

(A=O.

_o23m)

um s Flg.16 ' ].2 4,O /.

-e--m--o--x---

G.E.D.M.-C H.LE.M,-C H.1.E,M,-e H.F.E,N,-Q EXPERIMENT

,E,-,E.-,E.-,E,-,e

1,d 2.4 T [see]

Rollamplitude of thesemi-sub

(a=9o")

mersl

]-ble

2 4,e inbeamwaves

n[y-xutx

e: mti 9%'

me Tr-m--e--x-

G.F.D,".-C H.I.E,M.-C H.l.E,M." H.F,E,M,-a EXPERIHENT

' EEEE

"r--p--"".-Fig.l7 e 1,d Pitchamplitude o

(a=oe)

2.4 3,2 4,O T [sec]

fthesemi-subrnersible in

head

waves

maM-x-x

rv6 :o e

,-

-e--m--o---)E-''' G.F,n.H.iC.E, H.1.E.M,-C,E. H.I.E,".-g,E, H.F.E.H.-a.E, EXPEHIHENT

'

eJ _" --t it--t1'' %,e i,d T Fig.18 Yawamplitudeefthe

ingwaves

<a=45"}

--

174

-2.4 ] (#ec]semi-submersibl Table4Cempaiisonof

CPUtimes

Strueture MethodTo(s)TF(s)

.2

4,O einbow quarter-Floating sphere Submerged _pontoon

{sharp

corners) Submerged _pontoon

(round

corners} Semi-submersible HIEM(CE) HIEM(QE) GFDM{CE) HIEM(CE) HIEM<QE) GFDM(CE) HIEM(CE) HIENCQE) GFDM(CE) HIEM(CE) HIEM(QE) HFEM(QE) 1.9 1.9 O.Ol

3.1

3.3

O.02

4.3

6.3 O.0319.332.8 O.15 O.4 O.6 4.6 e.s 1.2lo.6 1.2 2.430.1 8,714.656.7 NII-ElectronicMbrary 11

値は実 験 値 と非 常に良 く

一

致して いるのが観 察 され る。 特に付 加質量の_{計 算 結果 （}

Fig．12

_）を 反映して

，

ヒ

ー

ブ運 動におい て こ の傾 向が著しい

。

これらの結 果か ら

，

2次アイソパ ラメ ト リッ ク要 素 を 採 用 するこ とに よっ て_{， 半}潜 水 式 構 造 物の波 浪中運 動の計算精度は著し く改 善さ れ， 第

17

回

ITTC

海洋工学委員会に おいて指摘さ れた_計算値と実験値との差 異は実用 上許容しうる程 度に まで縮 小され る こ とが明らか になっ た

。

　以 上の計算に要し た

CPU

時間が

Table

　4に掲 載さ れ て いる。 表 中の

T

。は振 動 数に依 存 し ない部 分の計 算に 要 した 時 間 を，

TF

は振 動 数に依 存 する部 分の計 算に要 し た 1振 動 数当た りの計算時 間 を示して い る

。

これ らの

CPU

時 間の うち

，

　HFEM _（ΩE _）はFACOM 　VP

−

200

に

，

ほ か は

FACOM

　

M −

780_／20に よるもの で ある

。

こ れ らを比較して_， ハ イブ リッ ド型積分 方程式 法はグリ

ー

ン関数 直接法やハ イブ_リッ ド型有限要 素法に比べ て

，

計 算 時 間の点で は断 然 有 利である こと が理 解され る

。

これ は，ハ イ ブリッ ド型積分方程式 法で は，影響係数マ ト リッ ク スが単純な基 本特異解に よっ て表 示さ れる こと

，

さ ら に こ の基 本 特 異 解が振 動 数に依 存 し ない ので， 1振 動 数 につ いて計算し て お けば

，

別の振 動 数の計算に も再 利用 できて計 算 時 間の節 約を図れる こと な どの利 点を有 する た めと 考え られる

。

　

6．

結 　語 　波 浪 中の 3次 元 任 意 形 浮体の定 常 動 揺 をハ _{イブ リッ ド} 型 積 分 方 程 式 法に より計 算 する手 法 を定 式 化し

，

2次ア イソ パ ラメ ト リック要 素 を 使 用す ることに よっ て

，

従 来 の積分方程式 法 （特異点分布法

，

グリ

ー

ン関 数直接法 ） やハ _{イ ブ}リ_{ッ ド型}有_{限 要}素_法な どに比べ て

，

計 算 精 度お よ び効 率が著 し く改 善さ れ る こ と を， い くつ か の数 値 計 算 例に よっ て実 証し た。 これ ら の数 値 例

，

特に

ITTC

半 潜 水 式 構 造 物モ デル の計 算 結 果は_， ハ _イブ_{リッ ド型 積} 分 方 程 式 法 が 現 実の複 雑な形状の海洋構造物にも十 分 適 用 し う る方法であ るこ と を例示す る もの であ る。 な お

，

本 稿では， 波 と 同

一

_{周 波 数の 1次 波 浪 外 力に よる応 答の} み を対 象 とし たが， 浮 遊 式 海 洋構 造 物の場 合に は

，

周 波 数 和 や 周 波 数 差で_変動 す る2次 波 浪外力 が し ば しば 重 要 な役 割を果たす14 ）

・

15｝ 。 2次 波 浪 外 力の 評 価に は ポ テン シャ ル の 2階 微 分が必 要と な るが_， 2次アイソパ ラメ ト リッ ク要 素を用いれば_， こ の_計算は_容易であ り， 上記の 定 式 化 を拡 張し て 2次 波 浪 強制力 を 計算す るの に特別の 困 難 は生 じ ない

。

　 謝 　 辞 　本 研 究の

一

部は文 部 省 科学研 究 費 補 助 金 （昭 和

61 ・

62年 度

一

般 研 究

B

）の助 成を得て行わ れ たもの で あ る。 数 値 計 算の実 施に当たっ て多 大の御 協 力を頂い た名 古 屋 大学大学院生の大木 克清 君 （現 竹中工務 店）

，

鈴木達 人 君お よび 同 学部学生の酒 向 裕 司 君に謝 意 を表す る。な お

，

数値 計 算に は_{名古屋大学大 型 計 算 機 セ}ン タ

ー FACOM

M −

780／

20

お よ び vP

−200

が使 用さ れ た。 参 考 文 献

1）　Ga”ison

，

　C

．

　

J．

：Hydrodynamic　loading　of　largeoffshore

　 　 structures ：three

．

dimensional　 　 source 　 　distribiltion 　 　methods

．

　Numerical　methods 　in　offshere 　engineering

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C

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　Ann

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　Rev

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　 　themotion of　asemi

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5_） Yeung

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　R

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：Ahybrid　integral

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equation 　method 　fQr 　 　 time

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harmonic　free

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surface 　flow

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　 Proc

．

　 lst　Int

．

　 Cenf

．

　 　Numer

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　Ship　Hydrodyn

．

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David　Taylor　Naval　Ship　Res

．

　 　Devel

．

　Cent

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　M

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　F

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　and　Chau

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　F

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　P

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：Ahybrid　integTal

　 　equation 　method 　foT　wave 　forces　on　three

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dimensional

　 　offshore 　structures

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　 Offsh

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　 Mech

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　 Arc

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　 Engng

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　 　Trans

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　ASME

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　Vol

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7） Matsui

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　T

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Kate，　K

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　and　Shirai，　T

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：Ahybrid　integral

　 　equatloti 　method 　for　

diffractio

【L　and　radiation 　of　water 　 　waves 

by

three

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dimensional　 bodies

．

Computational 　 　 Mechanics

，

　Vol

．

2

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　_pp

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　ll9

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　and 　Walker

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；Computation　of　slowly 　varying 　second 　 　order 　hyClrodynamicforces　on floatingstruetures in

　 　 irregular　waves

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　 Proc

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7th　Int

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　 Conf

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　 Offsh

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　Mech

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　 　Arc

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　Engng

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117

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124

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Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service ArchitecturalInstitute of Japan

SYNOPSIS

UDC:551.46:624.042:627.223.6

NUMERICAL

PREDICTION

OF

WAVE-INDUCED

MOTION

OF

FLOATING

BODIES

BY

HYBRID

INTEGRAL-EQUATION

r}lliTHOD

byDr.TETSUYA MATSUI, AssociateProfessorof Nageya

University,

and _{KENJI KATO,} LecturerofToyotaCollege of Teclinology,Members of A.I.J.

A

hybrid

integral-equation

method is

fermulated

for

_predictingthe wave-indueed motion of

floating

bodies

of

arbitrary three-dimensional

form.

It

is

based

upon the

direct

application of

Green's

second

identity

and uses the simple

fundamental

solution

(i.e.

a simple source} rather thanthe special Green'sfunction.The boundary ele-rnent

idealisation

isused only

in

an

inner

fruid

region close tothe

body

and

local

depth

irregularities,

while an analytical solution

is

employed

in

theouter region of constant

depth

extending to infinity.The two

representa-tionsare rnatched on a

fictitious

vertical cyiindrical surface.

Numerical

results are _presented

for

a variety of

geometries,

including

a

floating

sphere, a submerged

horizontal

_pontoon and a semi-submersible _platforrn.

It

is

shown thatthe use of

quadratic

isoparametric

boundary

elements results inconsiderable improvement of the accuracy and efficiency of the

hybrid

integral-equation

method, as compared with theexisting numerical

techni-ques

such as theclassical boundary integralequation method and the

hybrid

finite

element method.

/