ルシャトリェの原理
藤 本 秀 雄 目 次 Ⅰ．．緒 言 ⅠⅠ‖ システム論的アブローサ Ⅰ汀．双対性アプローチ ⅠⅤ−レオツチーエフ体系における原理 Ⅴ．．非線型拡張 ⅤⅠ小 結 語 Ⅰ． 経済理静ではしばしば，ある制約条件の下で目的関数を最大化させたり，最 小化させる場面がある。そL・て，その極値状態が均衡であることが多い。この ような分析原理は元来物理学から借用してきたもので，力学では古くから最小 作用の原理が知られている。また，静力学でほポテンシャル・エネルギ・−・極値 の状態が平衡である。物理化学や熱力学でも均衡あるいは平衡状態は極値条件 で規定しうる。例えば，断熱系でほユ・ソトロピ・一最大が平衡条件であり，等温 専横の閉じた系ではヘルムホルツの自由エネルギ・一最小が平衡条件である。 さて，経済理論で重要な問題として，与えられた条件が変化した時，均衡状 態がどのように変化するか，というのがある。この分野は㌧比較静学あるいほ比 較動学として，常に大きな研究テ・−・マである。物理学や化学においても，比較 静学ほ重要なテ・−・マであり，そして，そこでほルシャトリェ・の原理という大へ ん有用な法則がある。 ルシャトリエの原理 平衡状態にある系に対して，一・つの作用を加え平衡状 態を乱したとする。すると，平衡状態はこの作用を打消す方向へ変化する（〔4〕 参照）。 この原理は異なる分野では，異なる名前をもらっていることがある。電磁気 学におけるファラディの法則はその例である。香川大学経済学部 研究年轍19 ユタ79 ー202− このルシャトリェの原理を経済学に導入したことは，サミコいエ・ルソン〔ニ11〕 の功原の一つである。彼に続いて，多くの経済学暑がルシャトリェ・の原理の拡 張や応用に取組んできた。そして，時折これらの結果は経済学から物理，化 学，数学の方へ逆輸出されている。 さて，本稿でほ上記の研究結果を紹介し，加えて若干の応用例を示すことに する。その構成はおおよそ次のようである。ⅠⅠ節では，棲めて−L般的な枠組の 中で大局的な原理を証明して与える。物理学に・おける元々のルシャトリェ・の原 理ほ，局所的なものである。すなわち，平衡状態を乱す作用ほ微少なものでな ければならなか、つた。しかし，ⅠⅠ節でほ大局的な原理を扱う。この結果ほ，●ア イヒホルンとェ・ツトリによるものである。次に，ⅠⅠⅠ節では，ルブランとメ・−セ ケによる研究を紹介する。それほ凸計画問題の双対性を利用するものである。 しかし，彼らの結果の一部は実は線型の場合，森嶋〔10〕によって己に・得られ ていたものである。ⅠⅤ節でほ森嶋によるレオソチェフ体系における原理を2 次元の場合に．視覚化して扱う。この原理ほ一児，極値問題とほ無関係に思える が，実はそうではない。レオンチェフの基本方程式ほ一・つの計画問題として解 きうるのである。Ⅴ節でほ．これを利用して，森嶋の結果を非線型の場合に拡張 する。しかし，Ⅴ節では詳しい数学的証明の代わりに，そのアイディアを説明 する。ⅤⅠ節では若干の応用例を述べることに．しよう。 ⅠⅠ． 本節でほ，アイヒホルンニエ・ツトリ〔1〕によるルシャトリェ・の原理の定式化 を紹介する。簡単な枠組であり，証明も容易であるが，その結果は，−・般的か つ大局的なものである。そして，それ故に有用である。というのは元来のルシ ャトリコLの原理は，極値条件のうちの2次条件（2次導関数あるいはへッシア ン）を利用した局所的なもので，与件の変化が微少な時だけしか使えなかった からである。 まず，記号を説明しておこう。 ズ：任意の集合， d：任意この集合， A：．Xの部分集合，
ー20∂− ルシャーリエの原理 β：dの部分集合， ダ：直積Axβの上の実数値関数， 〃（ス）…（影∈Alダ（ガ，ス）＝infダ（飢ス）〉。 V∈A 〝（ス）ほ′くラメ叫夕集合dの中の1要素かを固定しておいて−，yがAの中を 動いてダを最小にするようなAの要素の集合である。
ぎて，以上の簡単な枠組のみで，次の定理を証明できる。これは，確かに一−
般的なルシャトリエの原理と呼びうるものである。 定理1．jI∈β，j2∈β，∬1∈〟（jl），∬2∈〝（jりとする。すると， ダ（が，ス2）−ダ（が，ス1）≦ダ（ガⅠ，ス2）−ダ（ぉl，ス1） が成立する。上武で等号が成立するのほ， が∈凡才（ス1），ガ1∈〝（スりの時のみである。 証明 ∬1∈〝（ス1）だから ダ（ガⅠ，ス1）≦ダ（ガ2，ス1）。 また，ガ2∈∬（j2）だから ダ（ガ2，ス2）≦ダ（ガ1，スり。 上の2個の不等式を辺々加えて，両辺からダ（∬1，スり＋ダ（ぉ2，ス1）を引くと，定 理の式を得る。等号が成立するのは，上の2個の不等式で共に等号が成立する 時であるが，それほ無論，定理．の条件が成立する場合である。（証明終） 上の定理の応用を1例，その説明を兼ねて挙げておく。この例はサミュ．エル ソンによるものである。 定理2．集合ズとdは共にれ次元ユ・・−・クリッド空間点れとする。そして， ♪’は ダ（ガ，ス）≡G（ガ）＋ス・∬ とする。この時，jl∈草，ス2∈β，ガ1∈〟（ス1），が∈〟（ス2）ならば （ス2−ス1）・（∬2−・α1）≦0 が成立する，等号は，が∈〟（ス1），ガ1∈〝（ス2）の時のみである。但し，ス・ガはケも 内横∑毎勘を意味する。
i三l 証明 定理1を適用すれば，定理2は直ちに出てくる。 （証明終）香川大学経済学部 研究年報19 ー204− Jタ79 注意 以上の定理で〟（ス）ほダが最小になるAの要素の集合としたが，最 大に・なるものの集合とする時は，定理の中の不等号は逝向きとなる。証明ほ全 く同様にして遂行できる。 定理2の経済学的意味を最も簡単な場合に．おいて説明しておこう。ア（ガ，ス） ≡ス・打とする。そして，ス1からス2への変化ほス11（ス1の第1要素）が，ス12へ と減少しただけで，他の要素は不変とする。ここで，次のような解釈を行って おく。我々の経済にほ何種輝かの財があり，それらを生産するために彿種棋の 生産工程があるとする。ガ∈月．％なるガは活動水準ベクトルと呼ばれ 打電が鈴 五番目の工程の活動（すなわち使用）の度合を示す（ここでR．れはR％の非負 象限を表わす）。一・方，んは第宜工程を活動水準1単位．で使用する時の労働投 入量と考．え．る。また，規模に対する収橙不変を仮定しておく。さて，Aをある 所望の最終需要を満たすための活動水準べクレレ芳の集合とする。すると， 〝（ス1）は労働投入ベクトルがス1の時に，所望の最終需要を実現しつつ，総必 要労働量ス・ガを最小化する活動水準ベクトルの集合である。ス11の月12への減少 ほ第1工程において，労働投入量を減らす技術進歩があったと考えればよい。 定理2はその時， （ス12一月11）・（ガ12一打11）≦0， すなわち，∬12≧ガ11となることを意味している。要するに．，第1エ程に・おいて 労働を節約する技術進歩があれば，総必要労働最小化のためには，その工程を より強度に．使用することほあれ，決してより少なく使うように．はならないとい うことである。自明のようでもあるし，そうとも言い切れない複雑な内幕もあ る。その少し複雑な例として，もう1個アイヒホルン＝エ・ツトリ〔1〕に・よるも のを述べておく。 定理3．ダ≡G（ガ）＋お￡j打とする。ここでお∈A⊂点？，スは≠×外の英対称 行列とする。 ガは列ベクトル，がほ行ベクトルを表わすとする。さて，ガ1∈〝（ス1），が∈〝 （ス2）ならば， （が−∬l）‘（ス2−ス1）（が＋ガ1）≦0 が成立する。
ルシャトリエの原理 ・−205− 証明 定理1から直ちに出てくる。 （証明終） この定理3も，簡単な経済学的解釈をくっつけることができるが，〔1〕を参 照されたい。 ‥円拍＝ 本節では，凸計画問題の鞍点定理を巧みに使ったルブラン＝メ・−セケ〔7〕の 方法を簡単に紹介する。計画問題の双対変数を利用するので，仮に・双対性アブ ロ・−チとして−おいた。 まず，次の問題（P）を考える。 （P）minf（x）subjecttox∈A≡（x∈X（h（x）≧bl）。 ここで，ズほRルの凸開集合，′は点叩からRへの凸関数，九は点れから忍肌 への凹ベクトル関数，わ1は別次元ベクトルとする。′，ゐ，若あ1ほ全て与えら れたものである。 まず，スレ一夕ーの条件を仮定しておく。すなわち，九（∬0）＞ら1なる∬○が Ⅹの申にあるということである（ベクトル比較のための不等号は通常の意味で 用いている。＞は全ての要素において左側のベクトルが大きいことを示し，≧ は≧であるが＝でもないことを表わす。く，≦も同じように用いる）。さて， がが問題（P）の1個の解とすると，宇沢の鞍点定理ほ次のようになる。 定理4．がが（ア）の解であるための必要十分条件は，財＊∈虎勒が存在し て，（∬＊，財＊）がラグランジュ．関数 エ（ぉ，財）≡′（∬）＋y（ろ1−ん（打）） の鞍点となることである。 この定理の証明は例えば，0．Mang■aSarian，“飾れ乙宜彿βαγPγ0♂γα例刑宜彿g，” MeGraw−Hi王Ⅰ，1969年の5牽を見られたい。さて，故点であるというのは， ′（ガ）＋財＊（む1一九（ガ））≧′（が）＋財＊（む1一九（が））≧′（が）＋y（み1一九（が）） ・‖‥・（3‖1） が，全ての打∈考y≧0について成立することである。（3・1）式から容易に， 財＊（わ1一九（ガ＊））＝0 ‥‥1‥（3・2） が出る。 さて，与件のががみ2に変化した時の（P）の解をな＊＊，ラグランジェ乗数
香川大学経済学部 研究年報19 J97タ ー206− をy＊＊とする。やほり鞍点定理により， ∫（ガ）＋財＊＊（み2一九（ぉ））≧′（が＊）＋財＊＊（わ2−ん（が＊）） ≧′（ぉ＊＊）十財（む2−ん（が＊）） が，全てのガ∈考 財≧0について成立し，また， 〃＊＊（あ2・一九（が＊））＝0 ‥・r・（3・3） （3．4） が出る。 定理5．（財＊＊一財＊）（が−あ1）≧0 証明（3．1）のガ，財に∬＊＊，財＊＊を代入して，（3．2）を㌧使うと， ′（∬＊＊）＋財＊（あ1一九（ガ＊＊））≧ノ■（が）≧′（が）＋財＊＊（み1−ん（が））， となる。同様に（3u3）のガ，yにガ＊，財＊を代入して，（3・4）を使うと， ′（が）＋財＊＊（が−ん（ぉ＊））≧′（ガ＊＊）≧．／（が＊）＋封＊（わ2一ん（∬＊＊））， となる。この2個の不等式を辺々加えて，整理すると定理の結果となる。 （証明終） この結果ほ一・見，定理2と似て−いるが，そうではない。ⅠⅠ節では／ミラメ”・・・・タ スは目的関数に含まれていたが，本節ではパラメ1−・タわは許容集合Aに関係 している。また，定理2ほ／くラメ・一夕の変化と解∬の変化を直接結びつけてい るが，定理5ほパラメ・一夕変化と双対変数yの変化を結びつけるものである。 定理5の経済学的解釈を与えておく。定理2の場合と同様，経済に別種の財 と％種の生産工程があるとする。ガは活動水準ベクトルであり，ん（ガ）が各財 の生産量を表わす生産関数，わが所望の最終需要ベクレレ，∫くガ）が総必要労 働を示す関数と考えてみよ。この時，双対変数財は各財の潜在価格とも見なし うるものである。定理．5は，第官財のみ．の最終需要が増加した時，その潜在価 格財‘が上昇するか，不変であることを意味する。これまた，自然な結果に思 えるであろう。 ⅠⅤ． 今までは，最適化問題に関連して，ルシャトリェ・の原理が定式化されてき た。この原理ほ，特殊な連立方程式体系の解とそのパラメ・一夕の間にも成立す るのである。例えば，線型のレオンチェフ基本方程式においてである。このこ とは，サミュ．・エルソン〔12〕で述べられたが，それを初等的に美事に証明した
ルシャトリエの原理 −207−
のは森鴨〔9〕である。本節ではそれを詳しく紹介することほやめて，2次元の
図を使って，その内容の1部を目で見てみ．ることにする。さて，Aをレオンチェフの投入行列で彿×れとする（本節の場合，彿＝2と
考えればよい）。∫を循次元単位行列，み1を他次元の最終需要べクレレとす る。レオンチェフの基本方程式ほ， ∬＝A∬＋が，ガ∈点十弗 である。この式は （∫−A）ズーわ1＝0， ……（4・1）と尊ける。もし，（トA）お＞0なるガ≧0が存在すれは，（4・1）式ほ任意の
わ1≧0に対して非負の解を持つ。この条件ほ，アローの条件とか，生産性の条
件とか言われるが，要するにり 全ての財を純生産できるような活動水準ベクト
ルが存在することを意味する。本節でほ，この生産性の条件を仮定する。
さて，2次元の場合に（4．1）式を詳しく番いておこう。 （ …・・（4・2） 簡単化のためにり勘′＞0，わ名1＞0（全ての宜，ブについて）と仮定しておく。 （4．．2）は， ・・∴ ＿／≡、：二二＿一二二、÷．、
と変形される（分母の（1−α電卓）は生産性の条件により正である）。これを図示
すると図−1のようになる。∬1＊， ∬2＊が（4・2）の解である。さて，今わ1Ⅰがわ12へと増加したとしよう。む22ほ不変で元のあ21と同じとす
る。この場合の（4，3）式を図−1に重ねたものが，図−2であり最終需要／くラメ
−タわ2となった時の（4．2）式の解ほガ1＊＊，ガ2＊＊で示している。この図−2か ら種々の命題が出てくる。 命題1．ガ1＊＊一打1＊＞0，ガ2＊＊−∬2＊＞0。証明は必要ないであろう。第1財の需要が増加したら，両部門共にその活動水
準を上げなければいけないのである。ここで，打2の方も増加しなくてはならな
いのは，α21が正であるからである。すなわち，第1産業が第2財を投入物と
して必要とするからである（もし，α2．＝0ならば，（4・3）式の第2式が表わす
−よ）β− 香川大学経済学部 研究年報19 ヱ∂7タ 直線ほ，諾1軸に平行となって，図−・2から叛推できるように，∬2＊＊＝ガ2＊とな り活動水準は不変である）。このことは・−・般の％産業の場合，Aの分解不可能 性の条件として知られている。次に， 命題2．α1＊＊／ガ1＊＞ガ2＊＊／ガ2＊。 証明 点P，Q，S，Q′，S′を図−・2のように定める。すると， ガ1＊＊／ガ1＊＝PS′／PQ′＝PS／PQ＝（∬2＊＊−OP）／（訂2＊−rOP）＞ガ2＊＊／ガ2＊。 （証明終） この定理は，第1財の最終需要が増加した時，両部門共その活動水準は上昇 するのだが，第1財を生産する部門の方が，その上昇率が大きいことを意味し ている。 命題3．む1があ2になった時，ガ2＊は不変に保って，（4．2）式の第2式の成 立ほ・あきらめ，第1式のみを成立させる∬1をお群と凄けば， ガ更誉＜ガユ＊＊ である。 この証明も図−2から明らかであるので省略する。この定理の意味は，第2産業 がその活動水準を変えないことが政策的に望ましい時，あるいは，変えるのに 大へん長時間を要する時は，第1産業の活動水準の上昇率は低まるということ である。もちろん，この時，第2財は外国から借りてくるか，もしくは強制的
ルシャトリエの原理 −∴斑博一 にあ21から引き下げる必要がある。 Ⅴ． 本節では，ⅠⅤ節の結果の非線型拡張について述べる。図−・1，2からわかるよ うに，ⅠⅤ節の諸命題を得るためには，方程式が線型でなぐてもよい，すなわ ち，図の線は直線でなぐて図−3のような曲線でもよい。また，前節の記号で 園・−3 言うならば，あ1の要素の変化（すなわち，最終需要の変化）だけでなく，Aと いう技術係数の変化についても，ルシャトリェ・の原理が証明できそうだという ことが，図−・2からわかる。そこで，本節では（4・1）式を−・般化した ダ（ガ；e）＝0 ……（5・1） という非線型方程式の解ガ∈月．％とパラメ1一夕￠∈C⊂月刊との間のルシャト リュ・の原理笹ついて考えてみる。関数ダは詳しく凄くと， ダ（ガ；￠）≡（ダ1（ぉ；￠），い…，j㌔（ガ；β）） で，点．犯から点れの中へのベクトル健闘数である（すなわち，各ダ‘は実関数 である）。 以上の非線型化のアイディアに対して，第2のアイディアは，方程式（4・1） あるいは（4．2）を最適化問題を通じて解くということである。これは藤本〔2〕
香川大学経済学部 研究年報19 ヱ∂79 ・・−2JO−
でも利用されているが，この方法で，解の性質の特徴付けが非常に簡単化する
ことがある。（4．1）式の場合で説明すると．，その解ほ，次の間題の最適解とし
て得られる。（問題）minxl＋X2Subjectto（Z−・A）x−bl≧0，α∈R．n。
この間題の許容ベクトル集合は，図−・1の斜線を施した部分である。よって，最
適解が方程式（4．1）の解であることほ．，固より明白であろう。また，生産性の
条件はスレ・一夕・−の条件と見なしうる。さて，以上2個のアイディアを用い
て，（5．1）式の解に関するルシャトリェ・の原理．を考察できる。
まず，我々は関数ダに関して，連続性のほかに次の諸仮定を置く。それら
は曲線が図−3のように極端に歪むことなく，唯一の解を保証するための仮定
である。 Al．ダ（0；￠）≦0，全ての￠∈Cに対して。A2．任意のβ∈Cに対して，ダ（ガ；￠）≧0となる∬∈R＋れが存在する。
A3．任意の￠∈Cと添数集合（1，2，……，≠）の真部分集合アが与えられた
とする。2個のベクトルガ，財∈月＋れが，ガ￡＝眺（宜∈P），ガブ＞財．ブ（錘ア）
を満たせば，ダ‘（宜；￠）≦ダ￡（封；￠）が全ての宜∈Pについて成立し，し
かも1個は厳密な不等式が成立する。（すなわち，分解不可能性）。
A4．任意のe∈Cに対し，もし，ダ（∬0；￠）≧0ならば，た＞1なる任意のス
カラ・−・ゐに対し声てた∬0；￠）≧0となる。以上の仮定ほ，線型レオ・ソチェ■7・モデルの基本方程式ダ（ガ；み）壷（∫−A）∬−わ
において，Aが分解不可能で生産性の条件を満たす時，全て満足される。我々
のダはもっと−・般的に非線型でよいし，／ミラメ・−・タeの次元も任意なので，わ
だけでなくAの係数もパラメ1−タ化できるのである。このため，我々のルシ
ャトリェの原理は，最終需要の変化だけでなく，技術係数の変化も扱いうるの
である。さて，上記の仮定の下で，ダ（∬；￠）＝0は，任意の￠∈Cに対して唯一・の正
の解∬を持つことが証明できる（証明についてほ藤本〔3〕を見られたい。以下
他の証明についても同様である）。今，C＊，￠1∈Cという2個のβをとり，それ
に対応するダ（霊；c）＝0の解をそれぞれがと∬1とする。すると，次の定理．が
成立する。ルシャトリエの原理 一2JJ− 定理6．もし，ダ（∬＊；cl）≦0ならばぉ＊＜∬1。これはⅠⅤ節の命題1の拡張 である。 我々はⅠⅤ節の命題3の拡張も証明できる。それに・ほ仮定3，4をもう少し強 くする必要がある（〔3〕参照）。さて，ⅠⅤ節の命題2について言えは， ダ（ガ；β）≡A（∬）−￠ という場合であ1り，しかも，各A‘（ガ）が1次同次である 時，命題2の非線型拡張ほ容易に示せる。ダがA（ガ）−Cの形の時は，サンド バ・−・グ〔13二〕によって，己に取り扱われている。彼はA電（ガ）の微分可能性を仮 定し，そして証明においては，ゲー・ル＝ニ階堂の定理を用いているが，藤本〔3〕 では微分可能性ほ不必要だし，行列式の理論さえも用いていない。この簡単化 は，上記で述べた最適化問題を利用し，ダ（ガ；￠）＝0を解いたことによる。 本節の最後に一言追加しておこう。仮定AlからA4の下で，ダがA（ガ）−G の形の時，A（ガ）は実は〟関数と呼ばれるものになる。この種の関数ほ，更 に」㍉関数，5関数と呼ばれるものと関連していて非常に・興味深い対象である。 これらについてほ，モレ＝ラインボルト〔8〕を見られたい。 ⅤⅠ． んシャトリェの原理の応用範囲は，ミクロ，マクロの分野を問わず広い。ミ クロの消費者選好，企業理論についてほ楠本〔5，6．〕を見られたい。これほⅠⅠ節 の結果と関連している。マクロ的計画問題への応用では森嶋〔10，4章二〕を見て もらいたい。これはⅠⅠⅠ節の結果と関連している。ⅠⅤ，Ⅴ節の結果も価値理 論，均衡理論に使われている。非線型の場合，外部性や収獲逓増をある程度許 容できるので，原理の適用範囲が広一められた訳である。今後の課題の一・つは， ルシャトリ．ェの原理をぶ関数の体系に拡張することであろう。もちろん，その 際，原理ほ〟関数に関するものより弱くなる。 〔参考文献〕
〔1〕Eichhorn，W，and W．Oettli：“A GeneralFormulation of the Le
Chatelier−Samuelson Principle，”Econometricap，40（1972），711−717
〔2〕Fujimoto，T∴“Note on a Nonlinear ResoIvent Problem，”Economic
ぶ￡祝d宜β8Q％αγ孟eγね，29（1978），81一83
J979 香川大学経済学部 研究年報19 一2ヱ2−・ to appear． 〔4〕Ⅹubo，R．etal：r九eγ刑0（g財L陀α例宜￠さα1％dSね￡宜βf宜eα∼肋￠ゐα彿宜e乱North− Holland，1970
〔5〕Kusumoto，S．．：“Extensions of theLeChatelier・Samuelson Principle
and Their Application to Analytical Economics−Constraint and
EeonomieAnalysis，り動0」花0竹もe亡γ宜eα，44（1976），509−536．
〔6〕−，“GlobalCharacterization of the WeakLeChatelier−Samuelson
PrinciplesandItsApplicationtoEconomicBehavior，Preferences，and Utility−‘EmbeddingTheorems’，”Econometrica，45（1977），1925−I1957
〔7■〕Leblanc，G．，andP．v．Moeseke：“TheLeChat占1ierPrincipleinConvex
Programming，”R￠γ宜βWO′励0ケ乙0竹も宜￠ぶ￡眈d宜eβ，43（1976），143−・147・
〔．8〕More，J．，and W．Rheinboldt：“On P−and S−Functions and Related Classes of n−dimensionalNonlinearMappings，”Linear Algebra and
∫ねApp∼宜￠α￡宜0ウもぎ，6（1973），45−・68
〔9二〕Morishima，M．：Equilibrium，StabilityandGrowth・0ⅩfordUniversity
P】・eSS，1964
〔．10］−：Eeonomio Theory of Modern Society．Cambridge University Press（the originalJapanese editionfrom Sohbunsha，1973）
〔11〕Samuelson，P．：Foundation80fEconomic Analysis”8thPrinting・
Harvard University Press，1966．
〔12〕lNL：“AnExtension ofthe Le ChatelierPrinciple，”Econometriea，28
（1960），368−・379
［13二】Sandberg・，Ⅰ．：“A GlobalNon−1inear Extension of the Le Chatelier− SamuelsonPrincipleforLinearL占ontiefModels，”JournalofEconomic
