スライド 1

新田宗土

慶應義塾大学・日吉物理学教室

自然科学研究教育センター

トポロジカル・ソリトン入門

2017年度 瀬戸内サマーインスティテュート ＠山口県由宇青少年自然の家 9/27-29, 2017

F. Duncan M. Haldane J. Michael Kosterlitz David J. Thouless

The Nobel Prize in Physics 2016 was divided, one half awarded to David J.

Thouless, the other half jointly to F. Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz

"for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter".

２０１６年ノーベル物理学賞

物質の 「トポロジカル相転移」 と

トポロジー（位相幾何学）とは？

=

なぜトポロジーが重要?

細かいことを気にしないで済む！？

From wikipedia ある性質がトポロジーで決まっていれば、 非常に強固（変形、雑音に強い）

基礎物理学

素粒子・原子核・宇宙

物性物理学

超伝導・超流動・磁性

半導体，…….，

量子情報

古くからトポロジーが活躍 量子異常, トポロジカル・ソリトン, トポロジカル場の理論, ….. 近年トポロジーが大活躍 トポロジカル物質 トポロジカル絶縁体，トポロジカル超伝導 トポロジカル量子計算，… 物理学の多様化 → 細分化

トポロジーを通した新しい物理科学

対称性

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた

対称性

SO(2) = U(1)

対称性が自発的に破れた 南部陽一郎 くるくる回す自由度＝ 南部Goldstoneモード

場の理論における対称性の自発的破れ

振動が波として伝わって行く。

量子化すれば、粒子となる。

＝南部Goldstone粒子

相対論では、ゼロ質量。光速。

物性論では、ギャップレス・モード

そもそもが、同じ方向に倒れるとは限らない

2 1

R





S

)

(

1

1

S



空間を一周すると、棒の倒れる方向（矢印）が一周する。 １次ホモトピー群 1

S

S

1 倒れない棒 を囲む空間 倒れた棒 の自由度 写像

Z



整数 巻き付き数 2 R  

巻き付き数

+1 +2

-1

渦 反渦

矢印の定義できない点 ＝欠陥 位相欠陥 トポロジカル・ディフェクト 対称性が回復している Kibble-Zurek機構 2 1

R





S

２＋１次元では点 ３＋１次元では線 ４＋１次元では面 １＋１次元では インスタントン x t コディメンジョン （余剰次元）＝２

ではこれらは一体何なのか？ (1) 超伝導体、超流動体、冷却原子気体における量子渦 超伝導では量子化磁束 超流動、冷却原子気体では超流動渦 (2) 宇宙論・素粒子論では、宇宙紐 物性系 （非相対論的） 宇宙論・素粒子論 （相対論的） 超流動渦糸 _{大域的渦(cosmic strings)} アクシオンストリング(Axion strings) 超伝導渦糸 _{局所的渦(cosmic strings)}

+1 -1 距離

_R

)

/

log(

~

R

d

E

R

f

~ 

1

/

相互作用エネルギー 2+1次元クーロン力 相互作用 ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移 (Berezinskii- Kosterlitz-Thouless=BKT) d ２＋１次元

ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移 (Berezinskii- Kosterlitz-Thouless=BKT)

)

/

log(

d

J

E







2

)

/

log(

/

log

d

T

d

J

TS

E

F















渦１つのエネルギー 渦１つの自由エネルギー

2

/

J

T





BKT転移



系のサイズ S エントロピー

2

S

)

2

(

)

3

(

H

SO

SO

G







2

)

2

(

)

3

(

S

SO

SO

H

G





オーダーパラメーター空間 自発的対称性の破れ 商空間（コセット空間） _{G / H} とは } , | ~ { ] [g  gh g g G hH

ヘッジホッグ ₃

R

From Wikipedia 3 2

R





S

)

(

2

2

S



空間を囲むと、矢印が一周する。 ２次ホモトピー群 2

S

S

2 矢印の定義 できない点 を囲む空間 矢印の 自由度 写像

Z



整数 巻き付き数 3 R  

３＋１次元では点 ４＋１次元では線 ５＋１次元では面 ２＋１次元では インスタントン x t コディメンジョン （余剰次元）＝３

ではこれらは一体何なのか？ 磁気モノポール（磁気単極子） (1) 素粒子論・宇宙論におけるモノポール問題 大統一理論においては必ずモノポールが現れる。

)

1

(

)

2

(

)

3

(

etc

)

5

(

H

SU

SU

U

SU

G











Z







(

)

(

(

1

))

)

/

(

_{1 1} 2

G

H



H



U



強い力 _{弱い力と電磁気力} (2) 場の理論の非摂動効果において本質的 例）超対称ゲージ理論： Seiberg-Witten理論 双対性

弱結合

小さい g

強結合

大きい g 素励起 （クォーク，南部ゴールドストーン・・） 軽い＝基本的自由度 位相励起 （モノポール，渦・・） 重い＝基本的自由度ではない 素励起 （クォーク，南部ゴールドストーン・・） 重い＝基本的自由度ではない 位相励起 （モノポール，渦・・） 軽い＝基本的自由度 双対性 2 / 1 g v.s v.s g g~ 1/ 大きい _小さい g~ 1/ g 非摂動的 双対性を使うと理論が全領域で解ける

}

0

{

)

1

(



₂







O

H

G

Z

イジング模型 ドメイン壁

１＋１次元では点 ２＋１次元では線 ３＋１次元では面 ０＋１次元では インスタントン t コディメンジョン （余剰次元）＝１

)

(

₂

0

Z



空間を囲むと、矢印が一周する。 0次ホモトピー群 2

Z

矢印の定義 できない点 を囲む空間 矢印の 自由度 写像

2

Z



1 R   2

Z

様々な位相励起が

物性論

・

宇宙論

・

素粒子論

で現れる 余次元 d _{位相欠陥 位相テキスチャー} 1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク 2 量子渦 宇宙紐 2D（ベービー）スキルミオン ランプ 3 磁気モノポール 3Dスキルミオン 0



1



2



1



2



3



1  d





_d 1 1  

_





d d d

S

S

R

R

d



{



}



S 

d

S

d

様々な位相励起が

物性論

・

宇宙論

・

素粒子論

で現れる 余次元 d _{位相欠陥 位相テキスチャー} 1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク 2 量子渦 宇宙紐 2D（ベービー）スキルミオン ランプ 3 磁気モノポール 3Dスキルミオン 0



1



2



1



2



3



1  d





_d 1 1  

_





d d d

S

S

R

R

d



{



}



S 

d

S

d

Z



)

(

1 1

S



1

S

サインゴルドン・キンク（ソリトン） = 1Dスキルミオン 1

R

(1) 超伝導のジョセフソン接合、多ギャップ超伝導 (2) 2成分Bose-Einstein凝縮（BEC）

2

S

2

R

射影座標 stereographic

2

R

Z



)

(

2 2

S



2Dスキルミオン 欠陥で はない

(3) 磁性体 磁気スキルミオン 磁気メモリーなど From Wikipedia (1) 素粒子論 ベービー・スキルミオン、ランプ (2) 宇宙論： 宇宙紐の一種 スキルミオン・ストリング テキスチャー・ストリング (4) 量子ホール効果

3

D

2

D

1 2

S

D 



を同一視 2

S

3 2

S

D 



を同一視 3

S

“ヘッジホッグ” ₃

R

From Wikipedia

欠陥で はない

)

2

(

3

SU

S 

















r

r

f

i

U

exp

(

)

r

σ

1

|

|

|

|

det

U



a

2



b

2



















_{* *}

a

b

b

a

U

3Dスキルミオン

r

f 

)

(

3

3

S



_

_Z

3次元巻き付き数 ３次ホモトピー群

(1) QCD (Quantum Chromo Dynamics=量子色力学) カイラル対称性の破れ R L R L

SU

H

SU

SU

G



(

2

)



(

2

)





(

2

)

_ 3

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

S

SU

SU

SU

SU

H

G

R L R L











)

(

3 3

S



_

_Z

3次元巻き付き数 ＝バリオン数 スキルミオン＝バリオン（核子＝陽子、中性子） Skyrme(スカーム、スキルム)のアイデア From Wikipedia パイオン（中間子） ではこれらは一体何なのか？

(2) 3_{He B相 の Shankerモノポール}

(

(

3

))



Z

3

SO



(3) 2成分ＢＥＣ

Stable Skyrmions in SU(2) Gauged Bose-Einstein Condensates

Takuto Kawakami,1 Takeshi Mizushima,1 Muneto Nitta,2

and Kazushige Machida1

ホッピオン（結び目ソリトン）

)

(

2

3

S



３次ホモトピー群



Z

ホップ写像 2

S

2点の逆像がリンク

(1) 素粒子論 Faddeev-Skyrme模型 SU(2)ヤンミルズ理論(の低エネルギー理論)のグルーボール (2) 物性論 スピノールＢＥＣ（最近実験的に成功） 磁性体 ではこれらは一体何なのか？

Knots in a Spinor Bose-Einstein Condensate

Yuki Kawaguchi,1,* Muneto Nitta,2 and Masahito Ueda1,3,*

Tying quantum knots •D. S. Hall,1, •M. W. Ray,1, n1 •K. Tiurev,2, •E. Ruokokoski,2, •A. H. Gheorghe1, n1 •& M. Möttönen2, 3, Nature Physics 12 ,, 478–483 (2016) doi:10.1038/nphys3624

様々な位相励起が

物性論

・

宇宙論

・

素粒子論

で現れる 余次元 d _{位相欠陥 位相テキスチャー} 1 ドメイン壁 サインゴルドン・キンク 2 量子渦 宇宙紐 2D（ベービー）スキルミオン ランプ 3 磁気モノポール 3Dスキルミオン ホッピオン（結び目ソリトン） 0



1



2



1



2



3



1  d





_d 1 1  

_





d d d

S

S

R

R

d



{



}



S 

d

S

d 1  d

S

etc

Manton & Sutcliffe, Topological Solitons Volovik, The Universe in a Helium Droplet (can be downloaded

from his page)

中原幹夫

理論物理学のため のトポロジー

Vikenkin & Shellard, Cosmic Strings and

Other Topological Defects

)

(

)

(

x





x





x

x











2

)]

(

[

x

x

d

K

d _



)

1

(

)]

(

[

)]

(

[

)

(

2 2 2 2

















 



















_{ }

K

x

x

d

x

x

d

K

d d d d

)

(

)

(

x

A

x

A

_





_







d

x

v

(



)

V

d

)

1

(

)

(

)

(







d

x

v









V





V

d d

)

1

(

)]

(

[

)

(







d

x

F

_



2





4

F





F

d d





2

]

[

F

_

x

d

F

d Derrickの定理

scalar kinetic scalar potential gauge kinetic

        shrinking 2 marginal 2 expanding 2 d d d         shrinking 4 marginal 4 expanding 4 d d d shrinking : any d

1



d

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(





V







2

K











V





K

d d

2



d

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

4 2

















  

_

_

_

_

_









F

V

K

F

V

K

d d d

3



d

(局所的)渦 (局所的)モノポール ドメイン壁（キンク）

)

1

(

)

(







2

K





K

d

)

1

(

)

(







4

F





F

d スケール不変 ランプ

2



d

4



d

ＹＭインスタントン

Landau-Ginzburg free energy （T~Tc）







































 









_{2 2} 2 2 2 2

|

|

4

2

4

2

1

v

c

e

i

m

x

d

F

D

B

A







superconductor

)

(

2

)

(

)

(

)],

(

exp[

)

(

)

(

x





x



x

A

x



A

x







x



e

c

i



gauge symmetry Ground state

Order parameter space (OPS)

)

1

(

1

U

S 

)

1

(

U

=Abelian-Higgs model

2 2

|

|

,

0

2

,

0

v

c

e

i



















 





A

B



Far from vortex @

) ( ) (

2

2

)

(

x

x x

A

e

i

e

i

e

c

i

e

c

i























)

(

exp

)

(

x



v

i



x



0

,

)

(

2

2















A

_r

d

d

e

c

e

c

i

A







 





polar pure gauge 1 

S

vortex 1 

S

k

e

c

e

c

d

d

d

e

c

A

d

d

B

x

d

S













  

2

2

2

2

2 0 2 0 3 2 1





































Α

r

k

k

e

hc

0

2









2

.

07

10

[

weber

]

2

15 0 









e

hc

Quantized flux Flux quantization    d d e c A 2   flux

Z



k

vorticity

Large(small) for small(large) e → duality

1 

S

vortex

vortex

x

y

Real space Order parameter (phase of wave fn)







Z







(

1

)

2

1

1 2 0

_d

U

d

d

k











 _{Winding #} 1st _homotopy vorticity map











d

2

x

B

₃

F

1st _{Chern class} some math





ev

m

_v



2

m

v

1

/

2

ev

1



 penetration depth

v

m

_s1



1

/



coherence length gauge scalar Mass spectra

)

(

)

(

,

)

(

)

(

a

r

e

k

r

A

e

r

f

r



ik





 _

v

m

_s





)

1

(

2

1

0

)

(

2

)

1

(

1

0

2 2 2 2 2 2 2

a

f

e

a

r

a

f

v

f

f

a

r

k

f

r

f































) 2 / , 4 / 1 , 1 (  c  m  e  e solution EOM

a

a

f

v

f













1

asymptotics

energy ) 2 exp( # 1 ~ r m r a   _v r r m v f ~ #exp(  _s )/ v 2 2 2 v e evr evr Numerical sol

ev

m

_v



2

m

v

1

/

2

ev

1



 penetration depth

v

m

_s1



1

/



coherence length gauge scalar Mass spectra

)

(

)

(

,

)

(

)

(

a

r

e

k

r

A

e

r

f

r



ik





 _

v

m

_s





) 2 / , 4 / 1 , 1 (  c  m  e  e solution

type region force App magnetic Type I m_v-1_<m s-1 attraction unstable Type II m_v-1_>m s-1 repulsion stable critical m_v-1_=m s-1 non Intervortex force

Short range (Yukawa-type) ±exp(-mR)

exchange scalar → attraction exchange gauge → repulstion

distance R supersymmetry BPS vortices

ev

m

_v



2

m

v

1

/

2

ev

1



 penetration depth

v

m

_s1



1

/



coherence length gauge scalar Mass spectra

v

m

_s





) 2 / , 4 / 1 , 1 (  c  m  e  e Abrikosov lattice

Gross-Pitaevskii (Nonlinear Schrödinger) equation

Gross-Pitaevskii energy functional

 

_

               ₃ 2 2 2 4 2 ) ( 2 g V M d E r   * 2 2 2 2 _                







g E V M t i  M a g S 2 4 

 aS : s-wave scattering length

 _{: chemical pot M : mass of atom}

: trapping potential for BEC

2 2 2 1 r M V  

Scalar BEC, 4_{He superfluid}

= Goldstone model





2 2 2 2 4 2 2 v g g U         g v2  

 

_

                   _{  }  2 4 2 2 3 2 ) ( 2 g V M i M d E  r Ω r    r Ω       M i Rotation frame

k

M

d

d

d

M

d

x

d

x

d

S















2

2 0 s s 2 s 2 1





_

























r

v

v

k

k

M

h

0









Quanta of circulation Quantization of circulation 1 

S

vortex rotation

Z



k

vorticity



             _  M i M   2 s v Superfluid velocity （=Noether current/density）

]

m/s

[

10

.997

0

-5 0







M

h



 ik

e

r

f

r

)

(

)

(





Energy density 2 2 2 1 r m k  

)

/

log(

2



2 2







v

k

T

 system size Energy (tension) Vortex solution

)

(

2

1

0

₂ 2 2 2

f

v

f

f

r

k

f

r

f

















) 1 (  c 

















































































_

_

_

_

_









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2

)

(

4

1

2

)

(

4

1

1

)

|

(|

4

v

f

f

r

k

f

f

r

f

f

rdr

v

f

f

r

r

r

r

f

rdrd

v

x

d

T













 System size



core size

Vortex tension (mass per unit length)

)

/

log(

2

1

2

2 2 2 2



















k

v

r

dr

k

v

 ik

e

r

f

r

)

(

)

(





1  S vortex





)

(

)

(

2  





v

O

r

r

f

r

force

R

v

R

E

F

2 int



4











distance R

Exchanging Nambu-Goldstone mode (phonon) → long range force

Intervortex force

BKT transition D=2+1

phonon

vortex

U(1) gauge field

Charged particle Coulomb gas Hubbard-Stranovich tr 2 2 2

)

/

log(

2

v

k

k

T











R

v

E

_int





4



2

log

tension