数チャレ 第 53 回 (2005 年 6 月 )

数チャレ 第 53 ^回 (2005 ^年 6 ^月 )

a_n= 2²ⁿ+ 1 (n= 1, 2, 3, ···)^とする。

(1) a_n+1をa_nで表せ。

(2) ^{異なる自然数}m, nに対して，a_mとa_nは互いに素であることを示せ。

解答

(1) a_n+1−1 = 2²ⁿ⁺¹ = (2²ⁿ)² = (a_n−1)^2より a_n+1= (a_n−1)²+ 1 (^答)

(2) m > nとして示せば十分である。二項定理を用いると a_m = (2²ⁿ)^2m−n+ 1

= (a_n−1)^2m−n+ 1

= ² m−n

k=0 2^m−nC_k(−1)^2m−n−ka_n^k+ 1

= (a_nの倍数) + (−1)^2m−n+ 1

= (a_nの倍数) + 2 と変形され，

gcd(a_m, a_n)^は2^{を割る正の整数} であることがわかるが，

a_n= 2²ⁿ+ 1^は奇数 であるから

gcd(a_m, a_n) = 1

したがって，a_mとa_nは互いに素である。

(証明おわり)

— 1 — c 早稲田数学フォーラム