1 Conway-Coxeter のフリーズパターン (A 型の場合 )

(1)

フリーズパターン — 数の繰返し模様の不思議

黒木玄

2013 ^年 7 ^月 7 ^日

^∗

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20120810FriezePattern.pdf

「頂点j から出る矢線」を「その頂点k から出る矢線」に訂正した. ／2012年11月8日: 第3.0版. 一般の型のフリーズパターンの解説を追加した. ／2012年9月5日: 第2.4版. hyperrefを使うようにした. ／ 2012年8月22日: 第2.3版. 微修正. ／2012年8月22日: 第2.2版. 問題9.4におけるF(t)の定義を訂正した. ／ 2012年8月22日: 第2.1版. 第8節と第9節を大幅に訂正した. 第6節の位置を移動した. ／ 2012年8月20日: 第2.0版. 第9節を追加. ／ 2012年8月17日: 第1.5版. 第8節に2簡約の説明を追加. ／2012年8月17日: 第1.4版. 第6節の図を修正など. ／2012年8月16日: 第1.3版. 「単項式」を

「係数1 の単項式」に修正. ／2012年8月12日: 第1.2版. ／2012年8月10日: 第1.0版.

(2)

7 フリーズパターンのさらなる一般化 19

7.1 初期条件の 1を変数で置き換える一般化 . . . . 19

7.2 有限反復性が成立しない場合への一般化 . . . . 20

8 A⁽¹⁾₁ 型のフリーズパターン 21 8.1 初期条件が 1の並びの場合 . . . . 21

8.2 初期条件が変数に一般化された場合 . . . . 22

9 A⁽²⁾₂ 型のフリーズパターン 23 9.1 初期条件が 1の並びの場合 . . . . 24

9.2 初期条件が変数に一般化された場合 . . . . 24

10 一般の型のフリーズパターン 26 10.1 反対称化可能整数行列とそれに対応する箙 . . . . 26

10.2 一般の型のフリーズパターンの定義 . . . . 29

10.3 A_n 型の場合 . . . . 30

10.4 F₄ 型の場合 . . . . 32

10.5 箙の型 . . . . 33 11 さらに勉強したい人のための解説文献の紹介 34

1 Conway-Coxeter のフリーズパターン (A 型の場合 )

数学の世界ではとても不思議な面白い法則が成立していることがよくある.

このノートではその実例としてフリーズパターン(frieze pattern)について紹介したい. フリーズパターンは簡単なルールに基いて作られる数が並んでいる様子のことである. フリーズパターンを生成するためのルールは一通りではない.

フリーズパターン生成のルールをある種のものに限るとフリーズパターンは繰返し模様になる. その様子が装飾された横壁(図1.1) の様子に似ているのでそれを表わす frieze (フリーズ) という名前が付いているのだろう.

最も簡単なルールで生成されるフリーズパターンはConway-Coxeter (コンウェイ・コクセター)のフリーズパターンと呼ばれている. Conway-Coxeter のフリーズパターンは次のようにひし形に並べられた数 a, b, c, dが ad =bc+ 1という規則を満たすという条件で生成される:

b

a d

c

ad=bc+ 1.

a, b, c から d を d = (bc+ 1)/a によって決めることができる¹. (逆に b, c, d から a を a= (bc+ 1)/d によって決めることもできる.)

1A/B はAを B で割る演算を表わしている.

(3)

図 1.1: Frieze of Parnassus. Photo by DAVID ILIFF. License: CC-BY-SA 3.0.

http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze of Parnassus

このことを使えば, たとえば最初に次のように1 を並べた状況から出発して最上段と最下段の 1の並びのあいだの空いている部分をすべて埋めることができる:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

左から右に空いている部分を埋めていってみよう. 最初のステップは次の通り:

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2

1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

(1×1+ 1)/1=2

(4)

左端のa= 1, b = 1, c= 1 から d= (bc+ 1)/a= 2 を計算した. この手続きを同様に繰返す. 次のステップ:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3

1 2

1 3

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(1×2+ 1)/1=3 (2×1+ 1)/1=3 さらに次のステップ:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3

1 2 5

1 3

1 4

1

1 1 1 1 1 1 1 1

(3×3+ 1)/2=5 (3×1+ 1)/1=4

さらに次のステップ:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2

1 2 5

1 3 7

1 4

1 5

1 1 1 1 1 1 1 1

(1×5+ 1)/3=2 (5×4+ 1)/3=7 (4×1+ 1)/1=5

(5)

同様に計算を続けると次のようになることがわかる:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 2 2 1

1 2 5 3 3 1

1 3 7 4 1

1 4 9 1

1 5 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

赤い1 の部分は青い1 の上下をひっくり返した形になっている.

Conway-Coxeter のフリーズパターンのルールは上下を反転しても変わらない.

したがって, 残りの部分は同じパターンの繰り返しになる:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 2 2 1 5 2 1

1 2 5 3 3 1 4 9 1

1 3 7 4 1 3 7 4 1

1 4 9 1 2 5 3 3 1

1 5 2 1 3 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(1.1)

赤い部分は青い部分の上下を反転した形になっている.

上の例では左から右に計算して行き,繰返しのパターンを2つ書いたところで計算を止めたが,もしも左右に無限に計算を続ければ無限に数の繰返し模様が得られる.

このようにして得られる数の並びを Conway-Coxeter のフリーズパターンもしくは

Conway-Coxeter フリーズと呼ばれる. (あとで A_n 型フリーズパターンとも呼ばれる

ことになる.)

このように Conway-Coxeterフリーズは小学生でも作成できる. この話のもとネタになっている Coxeter と Rigby による共著の解説論文 [CR]の p.19 でも, フリーズパターンの学校教育での利用が提案されている. フリーズパターンは「こどものあそび」の一種だとみなせる.

実はこの「こどものあそび」は21世紀になってから発展した最新の数学理論²の特別な場合になっている. フリーズパターンを紹介しようと考えたのは, 最新の数学理論のどれかを紹介したいと思ったからである. しかし, 最新の数学理論の解説の多くは内容が難し過ぎて, 自分自身の手で理論の様子を体験することが不可能になってしまう. それは避けたい. このフリーズパターンであれば誰でも自分の手で計算して遊んでみることができる. さらに自分の家族や友人にフリーズパターンの作り方を教えて一緒に楽しむこともできる. 数学も誰かと一緒に遊んだ方が楽しいだろう.

このノートの目標は最新の数学理論に関係しているフリーズパターンを通して数学研究における以下の側面を読者に体験してもらうことである:

• 数学の世界では特別な法則が成立していること.

• その法則を具体的な計算によって発見できること.

2クラスター代数の理論.

(6)

• 計算結果の注意深い観察によって一般的な証明を発見できること. フリーズパターンの世界には実際に様々な法則が成立している.

フリーズパターンの解説に戻ろう.

縦方向の段数や左端の 1の並び方は自由に変えることができる. たとえば段数を2段に減らすと次のように計算はずっと簡単になる:

1 1 1 1 1

1 2 2 1 3 1

1 3 1 2 2 1

1 1 1 1 1

(1.2)

ただし,段数を数えるときには 1 だけが並んでいる最上段と最下段を含めずに数えるものとする.

3段の例:

1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3 1

1 5 2 1 5 2 1

1 2 3 1 2 3 1

1 1 1 1 1 1 1

(1.3)

4段の例:

1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 1 5 1

1 3 3 3 1 4 4 1

1 4 4 1 3 3 3 1

1 5 1 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1

(1.4)

以上のような計算を実際に自分の手で実行してみると特別な感覚におそわれる.

まず,d= (bc+ 1)/a タイプの計算のすべてがきれいに割り切れることが不思議である.

なぜかきれいに割り切れる. そして割り切れることはとても気持ちが良い.

次に, 計算の途中では数が大きくなって行くことがあるのだが, どんどん計算して行くと左端にジグザグ並べた 1 の並びと同形の(ただし上下に反転した) 1の並びが現われることになる. それによって同じパターンの繰り返しになる。これも不思議である.

これらの性質を Conway-Coxeter フリーズの整数性と有限反復性と呼ぶことにする.

問題 1.1. 他のConway-Coxeter フリーズの例を作成し, その例でも整数性と有限反復性

が成立していることを確認せよ. たとえば, 次のような 1 の並びから出発してConway-

Coxeterフリーズパターンを作成してみよ:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

(7)

これは6段の場合である. 段数が小さい場合も段数が大きな場合も色々計算してみよ. ただし,このノートのこの段階では整数性と有限反復性は特別な場合に関して確認できただけであり,すべての場合に成立することは証明されていない. 証明のアイデアは次の問題の中にある.

問題 1.2. フリーズパターンの段数を1段ずつ増やすことを考えたい. そのためのアイデアを得るために以下について考えよ.

1. 2段のフリーズパターン(1.2)と似たような数の並び方のパターンを3段のフリーズ

パターン (1.3) の中に見付けることはできないか?

2. 4段のフリーズパターン(1.4)と似たような数の並び方のパターンを5段のフリーズ

パターン(1.1) の中に見付けることはできないか? (フリーズパターンを計算用紙に

並べて書き写して比較してみよ.)

3. 他にも Conway-Coxeter フリーズパターンを作成して, 段数が1段異なるフリーズ

パターンと比較してみよ. どのような法則が見付かるか? (ヒント: 左端に並べた 1 のジグザグの上端もしくは下端に 1を一つ追加した場合と比較してみよ.)

Conway-Coxeter のフリーズパターンはA 型のフリーズパターンと呼ばれる. 第2節以

降では B, C, D, E, F, G 型のフリーズパターンについて説明する. 最初にこのノートを読

むときには A 型のフリーズパターンの場合について書いてある部分を先に読むと良いかもしれない. A 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性の証明のアイデアの解説が第5.1節にあり, A 型のフリーズパターンと多角形の三角形分割の関係の説明が第6節にある.

2 B ^{型のフリーズパターン}

Conway-Coxeter のフリーズパターンは「すべてが割り切れる整数性」と「同じパター

ンを繰り返す有限反復性」を満たしているのであった. これらの性質を持つパターンの生

成方法は Conway-Coxeter のフリーズパターンだけではない.

実は Conway-Coxeter のフリーズパターンはある特別な方法で B_n 型 (n ≧ 2), C_n 型 (n ≧2), Dn 型 (n≧ 3), En 型 (n = 6,7,8), F4 型, G2 型と名付けられたフリーズパターンに一般化可能である。Conway-Coxeterのフリーズパターンは A_n 型のフリーズパターンと呼ばれる. ここで n はフリーズパターンの段数(最上段と最下段の1の並びを除いた段数を数える)である.

この節では B_n 型のフリーズパターンについて説明しよう.

(8)

2.1 B

_n

型フリーズパターンの生成規則

B₄ 型のフリーズパターンの生成規則は次の通り:

B₄ 型ルール

1 1 1 1

a a^′ . . .

b b^′ . .

. c c^′ . .

. d d^′ .

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′d+ 1 dd^′ =c^′²+ 1

(2.1)

最下段の 1 の並びはある理由があって省略した. (すぐ後で説明する A 型の場合との関係を見れば理由が自然にわかる.) Conway-Coxeter フリーズのルールとの違いは最下段の dd^′ =c^′²+ 1の部分だけである. Conway-Coxeterフリーズにおいてその部分はdd^′ =c^′+ 1 になる.

一般の B_n 型のフリーズパターン生成規則も同様である. n 段の Conway-Coxeter フリーズの生成規則の最下段だけを2乗の形に変更すればB_n 型のフリーズパターンが得られる.

次は B₄ 型のフリーズパターンの例である:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1

1 2 5 7 7 1 2 5 7 7 1

1 3 17 12 3 1 3 17 12 3 1

1 10 29 5 2 1 10 29 5 2 1

(2.2)

実際にこの数のパターンが上のB₄ 型のルールを満たしていることを確認せよ. このできあがりのパターンを見ずに最初からすべてを計算してみると楽しい. 不思議なことにすべてが割り切れて, 同じパターンが繰り返される. しかもこの計算の場合には最下段に2乗するというルールが入っているせいで途中の計算でそれなり大きな数が登場することになる. それにもかかわらず, すべてが割り切れる. そして一時的に大きくなった数が小さくなって行き, 左端と同じ 1 の並び方が再度現われることになる. (この場合には再度現われた1 の並びの上下は逆転しない.) これはとても不思議である.

問題 2.1. 他の B_n 型フリーズパターンの例を作成し, そこでも整数性と有限反復性が成立していることを確認せよ. たとえば, 次のような 1 の並びから出発して B₅ 型のフリーズパターンを作成してみよ:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

(2.3)

これは5段の場合である. 段数が小さい場合も段数が大きな場合も色々計算してみよ.

問題 2.2. B₄ 型フリーズパターン (2.2)と(2.3)から出発して作ったB₅ 型フリーズパターンを比較してみよ. 前者のパターンを適当に分割したものが後者のパターンにそのまま現われていることを確認せよ.

(9)

2.2 A

_2n₋₁

型から B

_n

型への折り畳み

もしも Conway-Coxeter フリーズパターン(A 型のフリーズパターン)で整数性と有限

反復性が成立していることがすでにわかっているとすれば(このノートでは後の節で説明する),B 型のフリーズパターンでも整数性と有限反復性が成立することを示せる.

そのことは次の A₇ 型のフリーズパターン(7段のConway-Coxeterフリーズパターン) と上の B₄ 型のフリーズパターンの例を比較してみればわかる:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1

1 2 5 7 7 1 2 5 7 7 1

1 3 17 12 3 1 3 17 12 3 1

1 10 29 5 2 1 10 29 5 2 1

1 3 17 12 3 1 3 17 12 3 1

1 2 5 7 7 1 2 5 7 7 1

1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(2.4)

これは A7 型の(Conway-Coxeter)フリーズパターンである. パターン生成のルールには2 乗が含まれていない. B₄ 型のフリーズパターン (2.2) がこれの上半分(4段目も含む) と完全に一致していることが一目瞭然である.

このようなことになった理由は上下が対称な A7 型のフリーズパターンのルールを以下のように書き下してみればわかる.

上下対称な A₇ 型ルール

1 1 1 1

a a^′ . . .

b b^′ . .

. c c^′ . .

. d d^′ .

. c c^′ . .

b b^′ . .

a a^′ . . .

1 1 1 1

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′d+ 1 dd^′ =c^′²+ 1 cc^′ =b^′d+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 aa^′ =b+ 1

(2.5)

このルールはB₄ 型のルール (2.1) と本質的に同値である.

このように上下が対称な A_2n₋₁ 型の(Conway-Coxeter)フリーズパターンを作成することによって, B_n 型の任意のフリーズパターンを構成できる.

この手続きは A_2n−1 型からB_n 型への折り畳み (folding) と呼ばれている.

3 D ^型と C ^{型のフリーズパターン}

Bn 型フリーズパターンは A2n−1 型の(Conway-Coxeter)フリーズパターンの折り畳みで得られるのであった.

そのような折り畳みで得られないフリーズパターンで整数性と有限反復性を満たしているものはあるだろうか. この節ではそのようなフリーズパターンの例として, Dn 型のフ

(10)

リーズパターンを紹介する. そして,Dn+1 型のフリーズパターンの折り畳みで Cn 型のフリーズパターンを構成する.

3.1 D

_n

型フリーズパターン

D5 型のフリーズパターンの生成規則は次の通りである:

D₅ 型ルール

1 1 1 1

a a^′ . . .

b b^′ . .

. c c^′ . .

. d d^′ .

. e e^′ .

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′de+ 1 dd^′ =c^′+ 1 ee^′ =c^′+ 1

(3.1)

n= 5 以外のD_n 型フリーズパターン生成規則も同様である. 最下段付近の3段文の生成規則を除けば A 型の(Conway-Coxeter)フリーズパターンの生成規則と D_n 型の生成規則は同じである.

D 型のフリーズパターンの生成規則は一番下の2段の交換で不変である. ゆえにD 型のフリーズパターンの一番下の2段を交換しても D 型のフリーズパターンは D 型のフリーズパターンのままである.

以下は D₅ 型のフリーズパターンの例である:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 3 4 2 1 3 3 2 4 1

1 2 8 11 7 1 2 8 11 7 1

1 5 29 19 3 1 5 29 19 3 1

1 6 5 4 1 2 3 10 2 2 1

1 2 3 10 2 2 1 6 5 4 1

(3.2)

この数のパターンが D5 型のフリーズパターンのルール (3.1)を満たしていることを自分で計算して確認せよ.

この (3.2)を見るとD₅ 型のフリーズパターンは横方向に 5進むと一番下の2段がひっ

くり返ることを除けばもとのパターンに戻ることがわかる. したがってD5 型のフリーズパターンは本質的に周期 5を持つ.

一般に, n が奇数のとき D_n 型フリーズパターンは横方向に n 進むと一番下の2段がひっくり返り, そのことを除けばもとのパターンに戻る. そして, n が偶数の場合には, 横方向に n 進むと一番下の2段はひっくり返らずにもとのパターンに戻る.

問題 3.1. 他の D型のフリーズパターンを作成し,整数性と有限反復性が成立していることを確認せよ.

たとえば D₄ 型のフリーズパターンは次のようになる:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 1 2 3 4 1

1 5 11 3 1 5 11 3 1

1 6 2 2 1 6 2 2 1

1 2 3 4 1 2 3 4 1

(3.3)

(11)

問題 3.2. D4 型のフリーズパターン (3.3) を適当に分割したものが, D5 型のフリーズパ

ターン(3.2)の中にそのまま現われていることを確認せよ. 他の場合についても同様の法

則が観察できることを具体的な計算によって確認せよ.

3.2 C

n

型フリーズパターン

一番下の2段が互いに等しいようなD_n+1 型のフリーズパターンを考えることによって C_n 型のフリーズパターンを導入しよう. この手続きは D_n+1 型から C_n 型への折り畳み (folding) と呼ばれる.

たとえば一番下の2段が等しいような D₅ 型のフリーズパターンの生成規則は次のようになる:

一番下の2段が等しい場合の D₅ 型ルール

1 1 1 1

a a^′ . . .

b b^′ . .

. c c^′ . .

. d d^′ .

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′d²+ 1 dd^′ =c^′+ 1 dd^′ =c^′+ 1

(3.4)

一番下の2段が等しいようなD₅ 型のフリーズパターンでは最下段が重複することになるので,最下段を省略して書きたくなる. 省略することによって得られたフリーズパターンを C₄ 型のフリーズパターンと呼ぶ. その生成規則は次の通り:

C₄ 型ルール

1 1 1 1

a a^′ . . .

b b^′ . .

. c c^′ . .

. d d^′ .

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′d²+ 1 dd^′ =c^′+ 1

(3.5)

たとえば次は C₄ 型フリーズパターンである:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 1 6 2 1 3 1 6 2 1

1 2 5 11 11 1 2 5 11 11 1

1 3 27 20 5 1 3 27 20 5 1

1 4 7 3 2 1 4 7 3 2 1

(3.6)

問題 3.3. C₃ 型のフリーズパターンでそれを適当に分割したものが, 上の C₄ 型のフリーズパターン (3.6) の中にそのまま現われるものを構成せよ.

4 E, F , G 型のフリーズパターン

前節までに整数性と有限反復性を満たす A_n, B_n, C_n, D_n 型のフリーズパターンを構成した. (まだ整数性と有限反復性を証明はしていない. 証明のアイデアを後の節で説明

(12)

する.) 整数性と有限反復性を持つフリーズパターンは有限型のフリーズパターンと呼ばれる.

実は A_n,B_n,C_n, D_n 型以外にも有限型フリーズパターンの生成規則が5種類存在する. それらには E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 型と呼ばれている. それらは例外型のフリーズパターンと総称される. この節ではそれらについて紹介することにする. G₂ 型は D₄ 型の折り畳み (folding)で得られ, F₄ 型はE₆ 型の折り畳み(folding)で得られる.

4.1 E

6,7,8

型フリーズパターン

E₆ 型フリーズパターン生成規則は次の通り:

E₆ 型のルール

1 1 1 1

a a^′ . .

b b^′ . .

. c d c^′ d^′ .

. e e^′ .

. . f f^′

1 1 1 1

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′de+ 1 dd^′ =c^′ + 1 ee^′ =c^′f+ 1 f f^′ =e^′+ 1

(4.1)

E₆ 型のルールは真ん中の c と d の部分を除けば, A 型のルールと同じ形になっており, 上下対称である.

E₇ 型と E₈ 型のルールは E₆ 型のルールを上の方だけ(下の方だけでもよい)に 1 段と 2 段伸ばしたものになる. E₇ 型とE₈ 型のルールも (4.1) の c と d の部分を除けばA 型のルールと同じである.

E₆ 型のフリーズパターンの例:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 7 5 3 2 2 1

1 3 3 13 34 14 5 3 1

1 1 4 5 19 4 63 16 95 6 23 4 7 2 1 1

1 5 23 11 26 8 1

1 6 4 3 9 1

1 1 1 1 1 1

右端の1 の並びは左端の 1の並びを上下反転したものになっている. E₆ 型のルールは上下反転で不変なので, さらに右側に向けて計算を続行すると, すでに計算した部分を上限反転したパターンが現われる. このように E₆ 型でも有限反復性が成立している.

4.2 F

₄

型フリーズパターン

A_2n−1 型のフリーズパターンに上下反転に関する対称性を課すことによって B_n 型のフリーズパターンが得られたのと同じように, E₆ 型のフリーズパターンに上下反転に関する対称性を課すことによって F₄ 型と呼ばれるフリーズパターンが得られる. その生成規

(13)

則は次の通り:

F₄ 型のルール

1 1 1 1

a a^′ . .

b b^′ . .

. c d c^′ d^′ .

aa^′ =b+ 1 bb^′ =a^′c+ 1 cc^′ =b^′²d+ 1 dd^′ =c^′+ 1

(4.2)

F₄ 型のフリーズパターンの例:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 4 8 3 5 1

1 3 7 31 23 14 4 1

1 1 10 11 54 5 89 18 107 6 11 2 3 2 1 1

これの上3行(1 だけの行を含む)を上下反転させて下に連結すれば上下対称な E₆ 型フリーズパターンが得られる. そのことを確認してみよ.

4.3 G

₂

型フリーズパターン

D4 型フリーズパターンの生成規則を上から1段目と2段目を交換したものは次のように書ける:

D4 型ルール

a a^′ .

b b^′ .

c c^′ .

d d^′ .

aa^′ =bcd+ 1 bb^′ =a^′ + 1 cc^′ =a^′+ 1 dd^′ =a^′+ 1

(4.3)

このルールを下の3段がすべて等しい場合に制限したものがG₂ 型ルールである:

G₂ 型ルール . a a^′ .

. b b^′ .

aa^′ =b³+ 1

bb^′ =a^′+ 1 (4.4) G2 型のフリーズパターンの例:

1 2 14 9 1 2 14 9 1

1 3 5 2 1 3 5 2 1 (4.5)

フリーズパターンの生成規則は左右対称なのでこのパターンを左右反転したものも G₂ 型フリーズパターンになる.

5 整数性と有限反復性の初等的証明のアイデア

この節では A, B, C, D 型(古典型)の場合の整数性と有限反復性の初等的な証明のアイデアを例を使って説明する³.

3F4,G2型はそれぞれE6,D4 型の折り畳み(folding)になっているので,残された例外型 E6,7,8, F4, G2

型の場合を証明をするためには E6,7,8 型の場合を証明すれば十分である. その場合にも満足できる初等的な証明があるかもしれないが,これを書いている時点で筆者はそのような証明を知らない. もちろんすべての場合をしらみ潰しに計算すれば証明できるのだが,もっと良い方法はないのだろうか? クラスター代数の理論に頼ればすべての型で統一的に証明可能である.

(14)

X = A, B, C, D とする. そのとき Xn 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性を n に関する数学的帰納法で証明することができる. すなわちX_n 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性からX_n+1 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性を導く方法について説明する.

この節で説明する A型の(Conway-Coxeter)フリーズパターンの整数性と有限反復性の証明法は Coxeterと Rigby の共著論文 [CR] の第2節にある. B, C, D 型の場合も本質的に同じアイデアで証明できる.

X_n 型のフリーズパターンを切って広げて, できた隙間を適切な方法で埋めると, X_n+1 型のフリーズパターンを構成できるのである.

5.1 A

_n

型 (Conway-Coxeter) フリーズパターンの場合

まず例として次のような A₄ 型のConway-Coxeter フリーズパターンを考えよう:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 2 1 4 2 1 3 2 2 1

1 2 5 3 1 3 7 1 2 5 3 1

1 3 7 1 2 5 3 1 3 7 1

1 4 2 1 3 2 2 1 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

これを赤と青の部分に切り離して広げて隙間を作る. その結果は次の通り:

1 1 1 . . 1 1 1 1 1 1 .

1 3 2 . 1 . 4 2 1 3 2 . 1

1 2 5 . 2 1 . 7 1 2 5 . 2 1

1 3 . 3 1 3 . 3 1 3 . 3 1

1 . 7 1 2 5 . 2 1 . 7 1

1 . 4 2 1 3 2 . 1 . 4 2 1

. 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 1

そして隙間を斜めに赤と青の数字を足した数字で埋める. その結果は次の通り:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 3 1 2 4 2 1 3 2 3 1

1 2 5 5 2 1 7 7 1 2 5 5 2 1

1 3 12 3 1 3 12 3 1 3 12 3 1

1 7 7 1 2 5 5 2 1 7 7 1

1 2 4 2 1 3 2 3 1 2 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

これは A₅ 型のフリーズパターンである！実際この数の並びは次の条件を満たしている:

b

a d

c

ad=bc+ 1.

(15)

本当にこの条件を満たしていることを自分で確認してみよ.

上と同様の手続きで常に A_n 型のフリーズパターンから A_n+1 型のフリーズパターンを作ることができる. そのことは次を見ればわかる: ad=bc+ 1 のとき

b

a b+d

a+c d

c

a(b+d) =ab+bc+ 1 =b(a+c) + 1, (a+c)d=bc+ 1 +cd= (b+d)c+ 1.

つまり隙間を斜めに赤と青の数字を足した数字で埋めるという規則で“ad=bc+ 1” ルールを保ったままフリーズパターンを拡張できるのである.

この方法を使えば左端の 1のジグザグの形が任意の A_n+1 型のフリーズパターンを A_n 型のフリーズパターンから作れる. さらにA_n 型フリーズパターンで整数性と有限反復性が成立していればそうやって作ったAn+1 型フリーズパターンも整数性と有限反復性を満たす. このようなアイデアで A 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性を証明することができる.

問題 5.1. 上の例とは別に A_n 型フリーズパターンから A_n+1 型フリーズパターンを構成する具体的な計算を実行してみよ.

5.2 B

_n

型の場合

B_n 型のフリーズパターンが A_2n₋₁ 型のフリーズパターンの折り畳み(folding)ですべて構成されることを使えば, A_2n₋₁ 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性から B_n が導かれることがわかる.

しかし, 以下の方法を使えば B_n 型の整数性と有限反復性を, A_2n−1 型の場合に帰着させることなく,直接に n に関する帰納法で証明することができる.

例として次のような B₂ 型フリーズパターンを考えよう: . ..

1 . .. 1 1 . ..

1 . .. 1 1 . .. 1 1 2 . .. 3 . ..

1 2 . .. 3 . .. 1

1 5 ... 2 1 5 ... 2 1

これを赤と青の部分に切り離して広げて隙間を作る. その結果は次の通り:

◦ 1 1 ◦ ◦ 1 1 ◦

1 ◦ 3 ◦ 1 ◦ 3 ◦ 1

1 2 ◦ ◦ 1 2 ◦ ◦ 1

1 5 • 2 1 5 • 2 1

そして ◦ の部分を斜め上と下にある赤と青の数の和で埋める. さらに • の部分をその左上と右上の ◦ の部分の数の和で埋める. その結果は次の通り:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 3 2 1 3 3 2 1

1 2 8 5 1 2 8 5 1

1 5 13 2 1 5 13 2 1

(16)

これは B3 型のフリーズパターンである. 実際この数の並びは次の条件を満たしている: 1

c c^′ b b^′ a a^′

cc^′ =a+ 1 bb^′ =c^′a^′+ 1 aa^′ =b²+ 1 たとえば 5·13 = 8²+ 1, 13·2= 5² + 1 などが成立している.

上の構成が常にうまく行くことは以下を見ればわかる. . .. b . ..

a ... a^′

aa^′ =b²+ 1 のとき次が成立している:

b

a+b a^′ +b

a a+a^′+ 2b a^′

(a+b)(a^′+b) = b(a+a^′+ 2b) + 1 a(a+a^′+ 2b) = (a+b)²+ 1 (a+a^′+ 2b)a^′ = (a^′+b)²+ 1 実際に aa^′ =b²+ 1 のときこれらの公式が成立することを自分で確認せよ.

問題 5.2. 上で説明した方法を使って,B₃ 型のフリーズパターンの例からB₄ 型のフリーズパターンの例を構成してみよ. さらに B₄ 型のフリーズパターンの例から B₅ 型のフリーズパターンの例を構成してみよ.

5.3 C

n

型の場合

B_n 型の場合と同様の方法で,C_n 型のフリーズパターンから C_n+1 のフリーズパターンを構成できる.

問題 5.3. 実際に C_n 型のフリーズパターンの例から C_n+1 型のフリーズパターンの例を構成してみよ.

最下段付近の隙間を埋めるルールは以下の通り. . .. a . ..

b ... b^′

bb^′ =a+ 1 のとき次が成立している:

a

a+b² a+b^′²

b b+b^′ b^′

(a+b²)(a+b^′²) =a(b+b^′)²+ 1 b(b+b^′) = (a+b²) + 1

(b+b^′)b^′ = (a+b^′²) + 1 この事実を自分で確認せよ.

(17)

5.4 D

_n

型の場合

C_n 型の場合と同様の方法で,D_n 型のフリーズパターンから D_n+1 のフリーズパターンを構成できる.

問題 5.4. 実際にD_n 型のフリーズパターンの例からD_n+1 型のフリーズパターンの例を構成してみよ.

最下段付近の隙間を埋めるルールは以下の通り. . .. a . ..

b ... b^′ c ... c^′

bb^′ =a+ 1 cc^′ =a+ 1

のとき次が成立している: a

a+bc a+b^′c^′

b c+c^′ c^′

c b+b^′ b^′

(a+bc)(a+b^′c^′) =a(c+c^′)(b+b^′) + 1 b(c+c^′) = (a+bc) + 1

c(b+b^′) = (a+bc) + 1 (c+c^′)c^′ = (a+b^′c^′) + 1 (b+b^′)b^′ = (a+b^′c^′) + 1 この事実を自分で確認せよ.

6 A

_n

型フリーズパターンと多角形の三角形分割の関係

Coxeter-Rigby [CR] の第2節で紹介されている結果の紹介に戻ることにしよう. 実は

n+ 3 角形の三角形分割からA_n 型のフリーズパターンを構成することができる⁴. 1

2 3 1 1

1 0

0 1

2 1 2

3 1

1 0

1 1 3

5 2

2 1

0 1 4

7 3

1 1

1 0 1

2 1

2 3

4 1 0

1 1

3 5

7 2 1

0 1

図 6.1: 三角形分割された七角形の頂点に数字を割り振った結果

例で説明しよう. まず図6.1を見て欲しい. 図6.1はあるルールに基いて三角形に分割された七角形の頂点に数字を割り振った結果である. その数字の割り振り方のルールは以

4Dn 型のフリーズパターンの穴の空いた円盤 (punctured disc)の三角形分割を用いた構成については [BM] を参照せよ. ただし, Lemma 5.5が Case (III)の場合にも成立するように,mii の定義を修正する必要がある.

(18)

下の通り. まず七角形の頂点を一つ選び, その頂点には数 0 を割り振る. 次にその頂点と線分で繋がっている頂点に数1を割り振る. 三角形の3つの頂点のうち2つにすでに数a, b が割り振られているならば残りの頂点に数 a+b を割り振る. このような手続きで 0を割り振る頂点を一つ決めるごとに残りの頂点に数を割り振ることができる. 図6.1の数字が実際にこのようにして割り振られたものになっていることを確認せよ.

図6.1の数字を各七角形ごとに0から時計回りに 0以外の数字を斜めに書き下す. ただし, 一つの七角形に割り振られた数を全て書き下したら, 出発点の0 の位置を時計回りに一つずらして,同じことを繰り返す. その結果は次のようになる:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 4 2 1 3 2

3 1 3 7 1 2 5 3

1 2 5 3 1 3 7 1

1 3 2 2 1 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(6.1)

左端と右端の数字の並びは図6.1の左上の七角形に割り振られた0以外の数字の列になっている. この結果をよく見ると A₄ 型フリーズパターンになっていることがわかる.

実は一般に以上のような方法で任意に三角形に分割された n+ 3 角形から A_n 型フリーズパターンを構成することができる.

どうしてこのような方法で A_n 型のフリーズパターンを構成できるのだろうか. その理由を理解するために, 図6.1から三角形を一つ外して三角形分割された六角形を作り, その六角形から構成される A₃ 型のフリーズパターンを書き下してみよう.

1 2

1 1

1 0

0 1

1 2

3 1

1 0

1 3

5 2

1 1

0 1

2 1

2 3

1 0

1 1

3 5

2 1

0 1

図 6.2: 三角形分割された六角形の頂点に数字を割り振った結果

図6.2は図6.1の七角形から右下の細長い三角形を外して作った六角形に数字を割り振ったものである. 六角形に割り振った数字は図6.1の“同じ位置”にある数字に一致していることがわかる. これは, 図6.2から構成されるA3 型のフリーズパターンを適当に分割したものが,そのまま A₄ 型のフリーズパターン (6.1) の中にも現われることを意味している.

(19)

そのことがわかり易いように色を付けて二つのフリーズパターンを書き下してみよう:

1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 2 1 3 2

1 2 5 1 2 5 1

1 3 2 1 3 2 1

1 1 1 1 1 1 1

(6.2)

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 4 2 1 3 2

3 1 3 7 1 2 5 3

1 2 5 3 1 3 7 1

1 3 2 2 1 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(6.3)

フリーズパターン (6.2)は図6.2から得られたフリーズパターンに色付けしたものであり, フリーズパターン (6.3) は (6.1) に色付けしたものである. これらを比較すれば (6.2) と

(6.3) は第5.1節で説明した An 型のフリーズパターンの整数性と有限反復性の証明のア

イデアにおけるA_n 型とA_n+1 型のフリーズパターンの関係の特別な場合になっていることがわかる.

この観察を実際に証明することによって,三角形分割された n+ 3 角形からAn 型のフリーズパターンを構成可能なことを証明できる.

問題 6.1. 上で登場したものとは異なる三角形分割された多角形を考え, そこから実際に An 型のフリーズパターンが得られることを確認せよ. 三角形を1枚外した場合との関係も上の例と同様になっていることを確認せよ.

7 フリーズパターンのさらなる一般化

以上で解説して来た「全部割りきれて整数になる」という整数性と「あるパターンの繰り返しになる」という有限反復性を持つ ABCDEF G 型のフリーズパターンたちについて少なくとも二種類の一般化が存在する.

7.1 ^{初期条件の} 1 を変数で置き換える一般化

このノートではフリーズパターンは縦方向にジグザグに1が並んでいる状況(初期条件) から出発して残りの部分を生成規則で埋めることによって構成されるということになっていた.

初期条件の 1たちをすべて変数 x₁, x₂, . . . , x_n に置き換えることことによってX_n 型のフリーズパターンを一般化することができる. その結果は数が並んだものではなく, 変数 x_i たちの有理式が並んだものになる.

(20)

クラスター代数の理論によって,そのように一般化された ABCDEF G型のフリーズパターンも有限反復性を満たし, さらに整数性の一般化であるローラン性 (Laurent prop-

erty)を満たしていることがわかっている⁵. ローラン性とは登場するすべての有理式の分

母が係数 1 の単項式になることである.

たとえば初期条件が変数に一般化された A₂ 型のフリーズパターンを計算すると以下のようになる:

1 1 1 1 1

x ^y+1_x ^x+1_y y ^x+y+1_xy x

y ^x+y+1_xy x ^y+1_x ^x+1_y y

1 1 1 1 1

実際に「分母がすべて係数が 1 の単項式になる」というローラン性と「同じパターンを繰り返す」という有限反復性が成立していることがわかる. 初期条件を 1 ではなく変数 x, y にしても有限反復性が成立することも分母がすべて係数 1 の単項式になることも非自明である. たとえば (x+y+ 1)/(xy) + 1 を (y+ 1)/x で割ると余計な因子が分子と分母でキャンセルして分母に y だけが残る(実際に計算して確認せよ). さらに分母が係数 1の単項式になるだけではなく,分子に引き算が出て来ないという正値性(positivity)も成立していることに注意せよ.

これらの性質は ABCDEF G 型の他のフリーズパターンの場合も同様に成立していることが知られている.

フリーズパターンの初期条件を 1 から変数に一般化したものはクラスター代数の理論の特別な場合であり, しかもクラスター代数の理論の良い近似になっている.

問題 7.1. フリーズパターンの初期条件を1 から変数に一般化したものを上の A₂ 型以外に色々計算してみよ. 特に B₂, G₂, A₃ 型の場合を計算してみよ. さらに次の初期条件を持つ一般化された A₄ 型のフリーズパターンを計算してみよ:

1 1 1 1 1 · · ·

x y

z w

1 1 1 1 · · ·

それらの具体的な計算において,ローラン性,有限反復性,正値性が成立していることを確認せよ.

7.2 有限反復性が成立しない場合への一般化

有限反復性を持つ ABCDEF G 型のフリーズパターンは有限型 (of finite type)と呼ばれている. 有限型ではないようなフリーズパターンを考えることもできる. ここではそのような一般化の詳細について説明しない. しかし, 第8節と第9節のそれぞれで例として A⁽¹⁾₁ 型と A⁽²⁾₂ 型のフリーズパターンについて詳しく解説する. それらの型はアフィン

5ローラン現象 (Laurent phenomenon)と言うこともある.

(21)

型の最も簡単な場合である. アフィン型の場合には有限反復性は成立しないが, それとは別の良い性質を持つ.

クラスター代数の理論によって有限反復性が成立しない場合であっても初期条件を変数に一般化したフリーズパターンがローラン性(分母がすべて係数 1の単項式になるという性質)を満たしていることがわかっている. そして広いクラスの一般化において正値性(引き算が登場しない)が成立することもわかっている. この正値性は数学的にかなり深い結果である.

8 A

⁽¹⁾₁

^{型のフリーズパターン}

次のルールを A⁽¹⁾₁ 型フリーズパターンのルールと呼ぶ.

. a a^′ . .

. . b b^′ .

aa^′ =b²+ 1 bb^′ =a^′²+ 1

このルールで生成される数を並べたものを A⁽¹⁾₁ 型のフリーズパターンと呼ぶ.

同一の A⁽¹⁾₁ 型フリーズパターンを上下両方向に無限に積み重ねると段数が無限大の Conway-Coxeter フリーズパターン(A_∞ 型フリーズパターン) ができあがる:

. . . . .

. a a^′ . .

. . b b^′ .

. a a^′ . .

. . b b^′ .

. a a^′ . .

. . b b^′ .

. . . . .

bb^′ =a^′²+ 1 aa^′ =b²+ 1 bb^′ =a^′²+ 1 aa^′ =b²+ 1

この事実をA⁽¹⁾₁ 型のフリーズパターンはA_∞型フリーズパターンの2簡約(2-reduction) であると言う. 2 簡約も折り畳み(folding)の一種であると考えられる.

8.1 初期条件が 1 の並びの場合

左端が 1 の並びであるような右側に進むA⁽¹⁾₁ 型のフリーズ・パターン:

1 2 13 89 610 4181 · · ·

1 5 34 233 1597 10946 · · ·

このように整数性は成立しているが, 有限反復性は成立しそうもない. しかし, この数の列をじっと眺めると, 数列中の連続する3つの数字において両端の数の和は真ん中の数の 3倍に等しいという良い性質が成立していそうなことがわかる.

すなわち, 数列a0, a1, a2, . . . を

a₀ = 1, a₁ = 1, a_n+2 = a²_n+1+ 1

a_n (n= 0,1,2, . . .).

という条件で定める. この数列は a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 5, a₄ = 13, a₅ = 34, . . .となり,上の A⁽¹⁾₁ 型フリーズパターンで得られる数列に一致する.

1 Conway-Coxeter のフリーズパターン (A 型の場合 )

フリーズパターン — 数の繰返し模様の不思議

黒木玄

2013 年 7 月 7 日

目 次

1 Conway-Coxeter のフリーズパターン (A 型の場合 )

2 B 型のフリーズパターン

2.1 B

型フリーズパターンの生成規則

2.2 A

型から B

型への折り畳み

3 D 型と C 型のフリーズパターン

3.1 D

型フリーズパターン

3.2 C

型フリーズパターン

4 E, F , G 型のフリーズパターン

4.1 E

型フリーズパターン

4.2 F

型フリーズパターン

4.3 G

型フリーズパターン

5 整数性と有限反復性の初等的証明のアイデア

5.1 A

型 (Conway-Coxeter) フリーズパターンの場合

5.2 B

型の場合

5.3 C

型の場合

5.4 D

型の場合

6 A

型フリーズパターンと多角形の三角形分割の関係

7 フリーズパターンのさらなる一般化

7.1 初期条件の 1 を変数で置き換える一般化

7.2 有限反復性が成立しない場合への一般化

8 A

型のフリーズパターン

8.1 初期条件が 1 の並びの場合

2013 ^年 7 ^月 7 ^日

目次

2 B ^{型のフリーズパターン}

3 D ^型と C ^{型のフリーズパターン}

7.1 ^{初期条件の} 1 を変数で置き換える一般化

^{型のフリーズパターン}