Negative twist knot

(1)

Negative twist knot ^の 5 ^{重巡回分岐被覆空間の} L ^{空間予想について}

堀光則（広島大学大学院教育学研究科）

概要

Negative twist knotの5重巡回分岐被覆空間がL空間であることを示す．

1

^研究背景

1.1 L

空間予想について

まず，

L

空間予想の定義と左不変順序の定義について紹介し，

L

空間予想を紹介する．

定義

1.1

（

L

空間）

有理ホモロジー球面

M

に対して，

HFd(M)

が階数

|H1(M :Z)|

^{の自由アーベル群のと} き，

M

を

L

空間という．

例

1.2

（

L

空間の例）

• S³

，ポアンカレ・ホモロジー球面

•

^{レンズ空間}

•

^楕円的

3

次元多様体

•

非分離交代的結び目・絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間定義

1.3

（左不変順序）

群

G̸={1}

が左不変順序を許容するとは，左からの積で不変な全順序を許容することをいう．つまり，

a < b⇒ga < gb f or all a, b, g ∈G

例

1.4

（左不変順序を許容する群）

結び目群，絡み目群，組み紐群，自由群，自由アーベル群など

(2)

予想

1.5

（

Boyer-Gordon-Watson 2011 L

空間予想）

既約な有理ホモロジー球面

M

について，

M

が

L

空間

⇔π₁(M)

が左不変順序を許容しない

1.2

先行研究

結び目・絡み目の巡回分岐被覆空間がどのような場合に

L

空間になるのかについて，先行研究を紹介する．

Ozsv´ath-Szab´o [2]

は擬交代的結び目・絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間について次の定理を示している．

定理

1.6

（

Ozsv´ath-Szab´o 2005

）

擬交代的結び目・絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

定義

1.7

（擬交代的結び目・絡み目）

擬交代的結び目・絡み目は以下のように再帰的に定義される．

•

自明な結び目は，擬交代的結び目．

•

^絡み目

L

について，ある交差点で

resolution

を行い，得られた絡み目を

L_∞

，

L₀

とするとき，

(1)L_∞

，

L0

が擬交代的絡み目．

(2) det(L) = det(L_∞) + det(L₀)

ならば，

L

は擬交代的絡み目．

(3)

また，

L

が交代的ならば，

L

は擬交代的であることが知られている．

Ozsv´ath-Szab´o

は擬交代的結び目・絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であることを示したが，その証明を読むと，次の定理が成り立つことがわかる．

定理

1.8

絡み目

L

について，ある交差点で

resolution

を行い，得られた絡み目を

L_∞

，

L0

とするとき，

(1) L_∞

，

L₀

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間

(2) det(L) = det(L_∞) + det(L0)

ならば，

L

の

2

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

Baldwin [3]

は次の

2

つの定理を示している．

定理

1.9

（

Baldwin 2008

）

トレフォイルに対して，

d

重巡回分岐被覆空間が

L

空間

⇔d≤5

定理

1.10

（

Baldwin 2008

）

8

の字結び目に対して，すべての巡回分岐被覆空間は

L

空間．

Thomas Peters [4]

は種数１の

2

橋結び目の巡回分岐被覆空間について，以下のことを

証明した．

まず，種数１の

2

橋結び目は，

m, n >0

として，以下の

2

種類がある．

• C[2m,2n]

• C[2m,−2n]

C[2,4] C[2,-4]

(4)

定理

1.11

（

Thomas Peters 2009

）

C[2m,2n]

に対して，すべての巡回分岐被覆空間は

L

空間．

定理

1.12

（

Thomas Peters 2009

）

C[2m,−2n]

に対して，

3

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

寺垣内

[5]

は以下の定理を証明した．

定理

1.13

（寺垣内

2013

）

C[2m,−2n]

に対して，

4

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

Thomas Peters

と寺垣内の結果から，

C[2m,−2n]

に対して，

5

重巡回分岐被覆空間は

L

空間なのかが次の問題になる．

2 Negative twist knot

の

5

重巡回分岐被覆空間

C[2m,−2n]

に対して，

5

重巡回分岐被覆空間は

L

空間かを考える．今回は

m = 1

に限定して考えることにする．

K =C[2m,−2n]

に対して，

m= 1

のとき，

K

は

negative twist knot

である．

以下，

n≥2

とする．

left-handed n-full twist

K

が

negative twist knot

であるとき，

Montesinos trick

によって，

K

の

5

重巡回分岐被覆空間

Σ5(K)

は以下の絡み目

L

の

2

重巡回分岐被覆空間であることがわかる．

n n n n n

L

(5)

つまり，絡み目

L

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であることを示せばよい．

ここで，

good

な交差点という言葉を定義する．

定義

2.1

（

good

な交差点）

絡み目

L

の交差点

c

が

good

とは，以下の条件を満たすときにいう．

絡み目

L

の交差点

c

で

resolution

を行い，得られた絡み目を

L_∞, L0

とするとき，

det(L) = det(L_∞) + det(L₀)

が成り立つ．

先行研究の部分で紹介した

Ozsv´ath-Szab´o

の定理から，絡み目

L

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であることを以下の方法で示すことができる．

•

^絡み目

L

の

good

な交差点で

resolution

を行い，得られる２つの絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か調べる．

•

^{得られた絡み目の}

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できない場合，その絡み目の

good

な交差点でさらに，

resolution

を行い，得られる

2

つの絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か調べる．

最終的に得られた絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間がすべて

L

空間であることがわかれば，絡み目

L

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であることが証明できる．

以下，証明のために行った

resolution

の一部を紹介する．

n n n n n

L(n)=L

n-1 n n n n

L(n-1)

n n n n

Lz c

• L(n−1), Lz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

(6)

n-1 n n n n

L(n-1)

n-2 n n n n

L(n-2)

n n n n

Lz c

• L(n−2), Lz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

n n n n

L(2)

n n n n

L(1)=Li

n n n n

Lz c

• L(1) =Li, Lz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

L=L(n) L(n-1) Lz

L(n-2)

Lz Lz

… _L(1)=Li

Lz

• Li, Lz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であれば，

L

の

2

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

(7)

n n n n

Li(n)=Li

n-1 n n n

Li(n-1)

n n n

Liz c

• Li(n−1), Liz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

n-1 n n n

Li(n-1)

n-2 n n n

Li(n-2)

n n n

Liz c

• Li(n−2), Liz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

(8)

n n n

Li(2)

n n n

Li(1)=Lii

n n n

Liz c

• Li(1) =Lii, Liz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間か判断できないので，それぞれの

good

な交差点で

resolution

を行う．

Li=Li(n) Li(n-1) Liz

Li(n-2)

Liz Liz

… _Li(1)=Lii

Liz

• Lii, Liz

の

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間であれば，

Li

の

2

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

このように

good

な交差点で

resolution

を繰り返した結果，最終的に得られる絡み目は交代的であるか，その

2

重巡回分岐被覆空間が

L

空間である

Montesinos

絡み目である．

例

2.2 Liiii

は

Montesinos

絡み目である．

n

Liiii

n

(9)

Montesinos

絡み目については，次のことが知られている．

• Montesinos

絡み目の

2

重巡回分岐被覆空間はザイフェルト多様体になる．

•

ザイフェルト多様体は，元の

Montesinos

絡み目の有理タングルの連分数の組によって，

L

空間かどうか判断できる．

次の定理が証明された．

定理

2.3 negative twist knot

の

5

重巡回分岐被覆空間は

L

空間．

left-handed n-full twist

K

C[2m,−2n]

について，

5

重巡回分岐被覆空間は

L

空間であることを示そうとしている．

3

今後の課題

今後の課題は以下の通りである．

• C[2m,−2n]

の

5

重巡回分岐被覆空間の基本群は左不変順序を許容するか？

• d≥6

のとき，

C[2m,−2n]

の

d

重巡回分岐被覆空間は

L

空間か？

Hu [6]

は

2013

年の論文で以下のことを示した．

• C[2m,−2n]

の

d

重巡回分岐被覆空間の基本群は，

d

がある程度大きいとき，左不

変順序を許容する．

(10)

例

3.1

C[4,−4]

の

d

重巡回分岐被覆空間の基本群は，

d≥13

のとき，左不変順序を許容する．

また，

Tran [7]

も

2013

年の論文で以下の定理を示した．

定理

3.2

C[2m,−2n]

について，

d > ^π

cos⁻¹√

1−_4mn¹

のとき，

d

重巡回分岐被覆空間の基本群は左不変順序を許容する．

L

空間予想が正しいと仮定すると，

C[2m,−2n]

について，

d

がある程度より大きいとき，

d

重巡回分岐被覆空間の基本群が左不変順序を許容することから，

d

重巡回分岐被覆空間は

L

空間ではないだろうと推測される．

参考文献

[1] S. Boyer, C. McA. Gordon and L. Watson, On L-spaces and left-orderable fun- damental groups, Math. Ann 356(2013), 1213-1245.

[2] P. Ozsv´ath and Z. Szab´o, On the Heegaard Floer homology of branched double- covers, Adv. Math. 194 (2005), 1–33.

[3] J. Baldwin, Heegaard Floer homology and genus one, one-boundary component open books, J. Topol. 1 (2008), 963–992.

[4] T. Peters, On L-spaces and non left-orderable 3-manifold groups, preprint [5] M. Teragaito, Four-fold cyclic branched covers of genus one two-bridge knots are

L-spaces, preprint.

[6] Y. Hu, The left-orderability and the cyclic branched coverings, preprint.

[7] A. Tran, On left-oderability and cyclic branched coverings, preprint.

Negative twist knot