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座標平面を利用した図形の性質の証明
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数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第１節 点 直線 ＞平面上 点（研究）
例題１
解
𝐵𝐶の中点𝑀を原点におく。
AB
2+ AC
2= 2(AM
2+ BM
2)
よって, AB2+AC2= 2(AM2+BM2)
三角形 と辺 の中点 において、次の等式が成り立つこと を証明せよ。
ABC BC M
y
O x
A(a, b)
C(c, 0)
＝ M ＝
B(−c, 0)
① AB2+AC2を求める。
AB2 = (a +c)2+b2 AC2= (c −a)2+b2
=a2+ 2ac+c2+b2
= a2−2ac +c2+b2
AB2+AC2= 2a2+ 2b2+ 2c2 = 2(a2+b2+c2)
② 2(AM2+BM2)を求める。
2(AM2+BM2) 2(a= 2+b2+c2)
(0, 0)
練習問題
解
2AB
2+ AC
2= 3(AD
2+ 2BD
2)
三角形 において、辺 を に内分する点を とするとき次の 等式が成り立つことを証明せよ。
ABC BC 1 : 2 D
y
O x
A(a,b)
C(2c, 0) B(−c, 0) ① (0, 0)D ②
よって, 2AB2+AC2 = 3(AD2+ 2BD2)
① 2AB2+AC2を求める。
2AB2 = 2{(a +c)2+b2} AC2= (2c −a)2+b2
= 2a2+ 4ac + 2c2+ 2b2
= a2−4ac + 4c2+b2
2AB2+AC2= 3a2+ 3b2+ 6c2 = 3(a2+b2+ 2c2)
② 3(AD2+ 2BD2)を求める。
3(AD2+ 2BD2) 3(a= 2+b2+ 2c2)
