193 角形の作図方程式
著者 西村 保三, 大石 美咲
雑誌名 福井大学教育・人文社会系部門紀要
巻 3
ページ 85‑98
発行年 2019‑01‑17
URL http://hdl.handle.net/10098/10545
＊1 福井大学教育・人文社会系部門教員養成領域
＊2 福井市円山小学校
－正
97, 109, 163, 193
角形の作図方程式－西村 保三*1 大石 美咲*2
内容要約：本稿では，定規とコンパスと角の３等分器で作図可能な，正97, 109, 163, 193角 形を作図するために必要な高々３次の方程式を具体的に示す。
1 はじめに
1801年，ガウスは定規とコンパスで作図可能な正素数多角形の角数は，フェルマー素数に限 ることを証明した。フェルマー素数とは，2m+ 1で表される素数で，3, 5, 17, 257, 65537の ５つが知られている。またガウスは，正17 角形の具体的な作図法も示した。正 257角形と正 65537角形については，角数が多くて実際に作図することは困難だが，正257角形を1832年に F.J.リシェロー[10]が，正65537角形を1895年にJ.G.ヘルメス[3] が，作図に必要な２次方 程式をそれぞれ示した。今日では，正257角形を実際に定規とコンパスで作図するCGを使っ た動画も作られている（[6]参照）。
定規とコンパスの作図に加えて，角の３等分が可能な場合，作図可能な正素数多角形の角数 は，2m3n+ 1で表される素数に拡張することが知られており，このような素数は
3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, · · ·
と多数存在する（[2, 5]参照）。このうち，角数が73以下の多角形と，定規とコンパスで作図可 能な正257角形については，[1, 2, 7, 8, 10]などで具体的な作図法が既に示されている。本稿で は，正97, 109, 163, 193角形の作図に必要な高々３次の方程式を具体的に示すことが目的で ある。なお本稿は，大石の卒業論文[9]を基にしている。
2 角の３等分と正多角形の作図
角の３等分が作図不可能であることは，1837年にドイツの数学者ワンツェルによって証明さ れたが，定規とコンパス以外の方法を用いた角の３等分法が，多くの人によって提案されてい る。角の３等分が可能な作図としては，以下が挙げられる（[5], [4, 7章]等参照）。
*1福井大学教育・人文社会系部門教員養成領域
*2福井市円山小学校
正多角形の作図と3次方程式
－正97，109，163，193角形の作図方程式－
西村 保三＊1 大石 美咲＊2
1. 折り紙 2. 目盛付定規
3. 直角定規とコンパス
4. 特殊な器具（トマホークと呼ばれるＴ型定規や，リンケージを利用した器具など）
5. 平面に特殊な曲線が描かれている場合（２次曲線，螺旋，リマソン，円積曲線など）
定義2.1 与えられた実数p, q, r,· · · から実数αが作図可能とは，座標平面上に点O(0,0), E(1,0) およびA1(p,0), A2(q,0), A3(r,0),· · ·が与えられた状態から点P(α,0)が作図できるときをいう。
特に，O(0,0), E(1,0)のみからP(α,0)が作図できるとき，単に実数αは作図可能という。
大きさθの角を作図するためには，１辺が|cosθ|で斜辺が1の直角三角形が作図できればよ いので，大きさθの角が作図可能であることは，実数cosθが作図可能であることと言い換え られる。よく知られているように，定規とコンパスによる古典作図では，与えられた実数p, q に対して，四則p+q, p−q, pq, p/qおよび２次方程式x2+px+q= 0の実数解は作図可能で ある（例えば，[5, Theorem 2.10]参照）。
定理2.2 与えられた実数p, q, rを係数とする３次方程式x3+px2+qx+r= 0が実数解を（重 複度を込めて）３個持つとき，その解は，定規とコンパスと角の３等分器で作図可能である。
証明 カルダノ変換x′=x+p3によって，p= 0と仮定してよい。f(x) =x3+qx+r= 0が３重解 を持つとき，q=r= 0より，方程式の解x= 0は作図可能である。f(x) =x3+qx+r= 0が異な る実数解を２つ以上持つとき，f(x)は極大値（≥0）と極小値（≤0）を持つ。従ってq <0であ り，極大値f(−√
−q/3) =−23q√
−q/3 +r≥0かつ 極小値f(√
−q/3) = 23q√
−q/3 +r≤0で ある。ここで，A= 3r
2q√
−q/3 とおくと，−1≤A≤1である。方程式f(x) = 0は，x= 2y√
−q/3 と変数変換すると4y3−3y−A= 0に変形される。３倍角の公式4 cos3θ−3 cosθ−cos 3θ= 0 より，θ= 13cos−1Aとおくと，この方程式はy= cosθ, cos(θ+2π3), cos(θ+ 4π3)の（重複度 を込めて）３つの実数解を持つ。Aおよび大きさ3θ= cos−1Aの角は，与えられたq, rから定 規とコンパスで作図可能であり，大きさθの角は角の３等分器で作図できるので，方程式の解 yを（従ってxも）作図することができる。□
定規とコンパスと角の３等分器で作図可能な正多角形の角数について，次の定理が知られて いる（[2, Theorem 2]参照）。
定理2.3 (Gleason) 定規とコンパスと角の３等分器で作図可能な正素数多角形の角数pは，
p= 2m3n+ 1で表せる素数に限る。
系2.4 定規とコンパスと角の３等分器で作図可能な正多角形の角数qは，q = 2k3lp1· · ·pt
(k, l, t≥0, piは互いに異なる2m3n+ 1の形の素数)で表される数に限る。
注意 2.5 角の３等分に加えて，立方根も作図できる場合，一般の３次方程式を解くことができ る。この場合，作図可能な数の範囲はさらに（ヴィエトの体Vまで）拡大するが，作図可能な 正多角形は，系2.4よりも増えないことが知られている（[5, 9章Pierpontの定理]参照）。
2m3n+ 1で表せる素数は，
3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487,· · ·
と多数存在する。このような素数は無限に存在すると予想されるが，未解決問題である。
次節以降では，p= 97, 109, 163, 193に対して，正p角形の作図に必要な高々３次の方程式 を求める。なお，次数の高い多項式の基本対称式の計算には，フリーソフトのmaximaを補助 として利用した。
3 正 97 角形
ζ= exp(2
97πi)
= cos(2
97π)
＋i sin(2
97π)
を１の原始97乗根とする。p= 5が97の原始根であ ることに着目して，ζ5（0k ≤k≤95）を順に並べると，ζ, ζ2, ζ3,· · ·, ζ96が１回ずつ現れる。こ れを２つおきに和を取ったものをy1, y2とする。すなわち，
y1=
∑47
i=0
ζ52i =
∑47
i=0
ζ25i =ζ+ζ25+ζ43+· · ·+ζ66 = 4.424· · ·
y2=
∑47
i=0
ζ52i+1=
∑47
i=0
ζ5·25i =ζ5+ζ28+ζ21+· · ·+ζ39 =−5.434· · ·
とおく。
∑96
i=0
ζi= 0を利用して，y1, y2の基本対称式を計算すると，y1+y2 =−1, y1y2=−24 を得る。よってy1, y2は次の２次方程式の解である。
y2+y−24 = 0 (1)
次にy1を２つに分けてx1, x2とする。すなわち，
x1=
∑23
i=0
ζ252i=
∑23
i=0
ζ625i =ζ+ζ43+ζ6+· · ·+ζ88 = 1.189· · ·
x2=
∑23
i=0
ζ252i+1 =
∑23
i=0
ζ25·625i =ζ25+ζ8+ζ53+· · ·+ζ66 = 3.234· · ·
とおくと，x1+x2=y1, x1x2=−2y2−7より，x1, x2は次の２次方程式の解である。
x2−y1x−2y2−7 = 0 (2)
同様にy2を２つに分けてw1, w2とする。すなわち，
w1=
∑23
i=0
ζ5·252i =
∑23
i=0
ζ5·625i =ζ5+ζ21+ζ30+· · ·+ζ52 = 1.104· · ·
w2=
∑23
i=0
ζ5·252i+1 =
∑23
i=0
ζ125·625i =ζ28+ζ40+ζ71+· · ·+ζ39 =−7.529· · ·
とおくと，w1+w2=y2, w1w2= 2y2−5より，w1, w2は次の２次方程式の解である。
w2−y2w+ 2y2−5 = 0 (3)
次にx1を２つに分けてn1, n2とする。すなわち，
n1=
∑11
i=0
ζ6252i =ζ+ζ6+ζ36+· · ·+ζ81 = 2.493· · ·
n2=
∑11
i=0
ζ6252i+1=ζ43+ζ64+ζ93+· · ·+ζ88 =−1.303· · ·
とおくと，n1+n2=x1, n1n2=y2+ 3x2+w2より，n1, n2は次の２次方程式の解である。
n2−x1n+y2+ 3x2+w2= 0 (4)
同様にx2を２つに分けてl1, l2とする。すなわち，
l1=
∑11
i=0
ζ25·6252i =ζ25+ζ53+ζ27+· · ·+ζ85 = 0.079· · ·
l2=
∑11
i=0
ζ25·6252i+1 =ζ8+ζ48+ζ94+· · ·+ζ66 = 3.155· · ·
とおくと，l1+l2=x2, l1l2=−y2−3x2−w2−3より，l1, l2は次の２次方程式の解である。
l2−x2l−y2−3x2−w2−3 = 0 (5) 同様にw1を２つに分けてs1, s2とする。すなわち，
s1=
∑11
i=0
ζ5·6252i=ζ5+ζ30+ζ83+· · ·+ζ17 = 5.304· · ·
s2=
∑11
i=0
ζ5·6252i+1=ζ21+ζ29+ζ77+· · ·+ζ52 =−3.199· · ·
とおくと，s1+s2=w1, s1s2=−x2−2w1+w2−2より，s1, s2は次の２次方程式の解である。
s2−w1s−x2−2w1+w2−2 = 0 (6)
同様にw2を２つに分けてk1, k2とする。すなわち，
k1=
∑11
i=0
ζ125·6252i=ζ28+ζ71+ζ38+· · ·+ζ37 =−3.318· · ·
k2=
∑11
i=0
ζ125·6252i+1 =ζ40+ζ46+ζ82+· · ·+ζ39 =−4.210· · ·
とおくと，k1+k2=w2, k1k2=x2+ 2w1−w2−1より，k1, k2は次の２次方程式の解である。
k2−w2k+x2+ 2w1−w2−1 = 0 (7) 次にn1を２つに分けてm1, m2とする。すなわち，
m1 =ζ96+ζ62+ζ61+ζ36+ζ35+ζ =−0.666· · · m2 =ζ91+ζ81+ζ75+ζ22+ζ16+ζ6 = 3.159· · ·
とおくと，m1+m2=n1, m1m2=w1+k2より，m1, m2は次の２次方程式の解である。
m2−n1m+w1+k2= 0 (8)
同様にl1を２つに分けてp1, p2とする。すなわち，
p1 =ζ95+ζ72+ζ70+ζ27+ζ25+ζ2 = 1.531· · · p2 =ζ85+ζ65+ζ53+ζ44+ζ32+ζ12 =−1.452· · ·
とおくと，p1+p2=l1, p1p2=w2+s2より，p1, p2は次の２次方程式の解である。
p2−l1p+w2+s2= 0 (9)
同様にk1を２つに分けてt1, t2とする。すなわち，
t1 =ζ87+ζ69+ζ59+ζ38+ζ28+ζ10 =−0.441· · · t2 =ζ71+ζ63+ζ60+ζ37+ζ34+ζ26 =−2.877· · ·
とおくと，t1+t2=k1, t1t2=−y2−l2−1より，t1, t2は次の２次方程式の解である。
t2−k1t−y2−l2−1 = 0 (10) 最後にm2を３つに分けてv1, v2, v3とする。すなわち，
v1 =ζ91+ζ6= 2 cos(12
97π)
= 1.850842· · · v2 =ζ75+ζ22 = 2 cos(44
97π)
= 0.290457· · · v3 =ζ81+ζ16 = 2 cos(32
97π)
= 1.01864· · ·
とおくとv1+v2+v3=m2, v1v2+v2v3+v3v1=m2+t1, v1v2v3=p2+ 2より，v1, v2, v3は次 の３次方程式の解である。
v3−m2v2+ (m2+t1)v−p2−2 = 0 (11) 以上より，高々３次の方程式(1)～(11)を順次解くことによって，v3= 2 cos(32
97π)
が得られ る。この値を利用して3297πの角を作図することができ，これを16等分することで正97角形の 中心角を得ることができる。
4 正 109 角形
ζ= exp( 2
109πi)
= cos( 2
109π)
＋i sin( 2
109π)
を１の原始109乗根とする。p= 11が109の原始 根であることに着目して，ζ11（0k ≤k≤107）を順に並べると，ζ, ζ2, ζ3,· · · , ζ108が１回ずつ現 れる。これを２つおきに和を取ったものをy1, y2とする。すなわち，
y1=
∑55
i=0
ζ112i =
∑55
i=0
ζ121i=ζ+ζ12+ζ35+· · ·+ζ100 = 4.720· · ·
y2=
∑55
i=0
ζ112i+1 =
∑55
i=0
ζ11·121i =ζ11+ζ23+ζ58+· · ·+ζ10 =−5.720· · ·
とおくと，y1, y2は次の２次方程式の解である。
y2+y−27 = 0 (1)
次にy1を３つに分けてx1, x2, x3とする。すなわち，
x1=
∑17
i=0
ζ1213i =ζ+ζ93+ζ38+· · ·+ζ34 =−1.788· · ·
x2=
∑17
i=0
ζ1213i+1 =ζ12+ζ26+ζ20+· · ·+ζ81 = 6.073· · ·
x3=
∑17
i=0
ζ1213i+2 =ζ35+ζ94+ζ22+· · ·+ζ100 = 0.434· · ·
とおくと，x1, x2, x3は次の３次方程式の解である。
x3−y1x2−9x−y2−1 = 0 (2)
同様にy2を３つに分けてw1, w2, w3とする。すなわち，
w1=
∑17
i=0
ζ11·1213i =ζ11+ζ42+ζ91+· · ·+ζ47 =−6.903· · ·
w2=
∑17
i=0
ζ11·1213i+1=ζ23+ζ68+ζ2+· · ·+ζ19 = 1.677· · ·
w3=
∑17
i=0
ζ11·1213i+2 =ζ58+ζ53+ζ24+· · ·+ζ10 =−0.493· · · とおくと，w1, w2, w3は次の３次方程式の解である。
w3−y2w2−9w+y2= 0 (3)
次にx1を３つに分けてn1, n2, n3とする。すなわち，
n1 =ζ108+ζ64+ζ63+ζ46+ζ45+ζ = 1.475· · · n2 =ζ93+ζ82+ζ66+ζ43+ζ27+ζ16 =−0.339· · · n3 =ζ105+ζ75+ζ71+ζ38+ζ34+ζ4 = 0.026· · · とおくと，n1, n2, n3は次の３次方程式の解である。
n3−x1n2+ (2x2+x3+ 2w1+w2)n+x2+w1−w2−w3+ 2 = 0 (4) 同様にw1を３つに分けてp1, p2, p3とする。すなわち，
p1 =ζ98+ζ70+ζ59+ζ50+ζ39+ζ11 =−1.575· · · p2 =ζ79+ζ72+ζ67+ζ42+ζ37+ζ30 =−2.884· · · p3 =ζ91+ζ65+ζ62+ζ47+ζ44+ζ18 =−2.444· · · とおくと，p1, p2, p3は次の３次方程式の解である。
p3−w1p2+ (2x2+x3+ 2w2+w3)p+y2+ 2x2+w2+ 3 = 0 (5) 同様にw2を３つに分けてq1, q2, q3とする。すなわち，
q1 =ζ86+ζ77+ζ55+ζ54+ζ32+ζ23 =−2.054· · · q2 =ζ101+ζ76+ζ68+ζ41+ζ33+ζ8 =−0.284· · · q3 =ζ107+ζ92+ζ90+ζ19+ζ17+ζ2 = 4.016· · · とおくと，q1, q2, q3は次の３次方程式の解である。
q3−w2q2+ (−x2+x3−w2+w3−1)q+y2+ 2x3+w3+ 3 = 0 (6)
最後にn2を３つに分けてv1, v2, v3とする。すなわち，
v1 =ζ96+ζ16= 2 cos(32
109π)
= 1.207973· · · v2 =ζ27+ζ82= 2 cos(54
109π)
= 0.028821· · · v3 =ζ43+ζ66= 2 cos(192
109π)
=−1.57642· · · とおくと，v1, v2, v3は次の３次方程式の解である。
v3−n2v2+ (n2+p1)v−q1−2 = 0 (7) 以上より，高々３次の方程式(1)～(7)を順次解くことによって，v1= 2 cos(32
109π)
が得られ る。この値を利用して10932πの角を作図することができ，これを16等分することで正109角形 の中心角を得ることができる。
5 正 163 角形
ζ = exp( 2
163πi)
= cos( 2
163π)
＋i sin( 2
163π)
を１の原始163乗根とする。p= 2が163の原始 根であることに着目して，ζ2（0k ≤k ≤161）を順に並べると，ζ, ζ2, ζ3,· · ·, ζ162が１回ずつ現 れる。これを３つおきに和を取ったものをy1, y2, y3とする。すなわち，
y1=
∑53
i=0
ζ23i =
∑53
i=0
ζ8i =ζ+ζ8+ζ64+· · ·+ζ102 = 8.158· · ·
y2=
∑53
i=0
ζ23i+1 =
∑53
i=0
ζ2·8i=ζ2+ζ16+ζ128+· · ·+ζ41 =−4.076· · ·
y3=
∑53
i=0
ζ23i+2=
∑53
i=0
ζ4·8i =ζ4+ζ32+ζ93+· · ·+ζ82 =−5.082· · ·
とおくと，y1, y2, y3は次の３次方程式の解である。
y3+y2−54y−169 = 0 (1)
次にy1を３つに分けてx1, x2, x3とする。すなわち，
x1=
∑17
i=0
ζ83i=
∑17
i=0
ζ512i =ζ+ζ23+ζ40+· · ·+ζ78 =−1.081· · ·
x2=
∑17
i=0
ζ83i+1 =
∑17
i=0
ζ8·512i=ζ8+ζ21+ζ157+· · ·+ζ135 = 6.646· · ·
x3=
∑17
i=0
ζ83i+2 =
∑17
i=0
ζ64·512i =ζ64+ζ5+ζ115+· · ·+ζ102 = 2.593· · ·
とおくと，x1, x2, x3は次の３次方程式の解である。
x3−y1x2+ (−y2−2y3−7)x−y2−7y3−21 = 0 (2) 同様にy2を３つに分けてw1, w2, w3とする。すなわち，
w1=
∑17
i=0
ζ2·83i =
∑17
i=0
ζ2·512i =ζ2+ζ46+ζ80+· · ·+ζ156 =−3.759· · ·
w2=
∑17
i=0
ζ2·83i+1 =
∑17
i=0
ζ16·512i =ζ16+ζ42+ζ151+· · ·+ζ107 = 4.251· · ·
w3=
∑17
i=0
ζ2·83i+2 =
∑17
i=0
ζ128·512i =ζ128+ζ10+ζ67+· · ·+ζ41 =−4.568· · · とおくと，w1, w2, w3は次の３次方程式の解である。
w3−y2w2+ (2y2+y3−5)w+ 7y2+ 6y3−14 = 0 (3) 同様にy3を３つに分けてv1, v2, v3とする。すなわち，
v1=
∑17
i=0
ζ4·83i =
∑17
i=0
ζ4·512i=ζ4+ζ92+ζ160+· · ·+ζ149 = 1.198· · ·
v2=
∑17
i=0
ζ4·83i+1 =
∑17
i=0
ζ32·512i =ζ32+ζ84+ζ139+· · ·+ζ51 =−6.196· · ·
v3=
∑17
i=0
ζ4·83i+2 =
∑17
i=0
ζ256·512i=ζ93+ζ20+ζ134+· · ·+ζ82 =−0.084· · · とおくと，v1, v2, v3は次の３次方程式の解である。
v3−y3v2+ (−y2+y3−6)v+ 6y2+y3−20 = 0 (4) 次にx3を３つに分けてl1, l2, l3とする。すなわち，
l1 =ζ136+ζ126+ζ99+ζ64+ζ37+ζ27 =−0.262· · · l2 =ζ158+ζ132+ζ127+ζ36+ζ31+ζ5 = 3.061· · · l3 =ζ150+ζ115+ζ102+ζ61+ζ48+ζ13 =−0.204· · · とおくと，l1, l2, l3は次の３次方程式の解である。
l3−x3l2+ (−x3−w1−w3+v2−v3−1)l−y2−x2−2w1−w2−v1−4v3= 0 (5) 同様にv2を３つに分けてt1, t2, t3とする。すなわち，
t1 =ζ131+ζ100+ζ95+ζ68+ζ63+ζ32 =−2.586· · · t2 =ζ145+ζ97+ζ84+ζ79+ζ66+ζ18 =−2.106· · · t3 =ζ139+ζ112+ζ88+ζ75+ζ51+ζ24 =−1.503· · ·
とおくと，t1, t2, t3は次の３次方程式の解である。
t3−v2t2+ (x2+w1+ 2w2+v1+v3)t+ 2y3+x2+ 2x3+ 2w1+ 3w2−w3+v2+v3+ 3 = 0 (6) 最後にt1を３つに分けてf1, f2, f3とする。すなわち，
f1= ζ32+ζ131= 2 cos(64
163π)
= 0.661857· · · f2= ζ100+ζ63= 2 cos(126
163π)
=−1.51265· · · f3= ζ68+ζ95= 2 cos(136
163π)
=−1.73525· · · とおくと，f1, f2, f3は次の３次方程式の解である。
f3−t1f2+ (l2+t1)f−l1−2 = 0 (7) 以上より，高々３次の方程式(1)～(7)を順次解くことによって，f1 = 2 cos(64
163π)
が得られ る。この値を利用して16364πの角を作図することができ，これを32等分することで正163角形 の中心角を得ることができる。
6 正 193 角形
ζ = exp( 2
193πi)
= cos( 2
193π)
＋i sin( 2
193π)
を１の原始193乗根とする。p= 5が193の原始 根であることに着目して，ζ5（0k ≤k ≤191）を順に並べると，ζ, ζ2, ζ3,· · ·, ζ192が１回ずつ現 れる。これを２つおきに和を取ったものをy1, y2とする。すなわち，
y1=
∑95
i=0
ζ52i =
∑95
i=0
ζ25i=ζ+ζ25+ζ46+· · ·+ζ139 = 6.446· · ·
y2=
∑95
i=0
ζ52i+1 =
∑95
i=0
ζ5·25i=ζ5+ζ125+ζ37+· · ·+ζ116 =−7.446· · ·
とおくと，y1, y2は次の２次方程式の解である。
y2+y−48 = 0 (1)
次にy1を２つに分けてx1, x2とする。すなわち，
x1=
∑47
i=0
ζ252i=
∑47
i=0
ζ625i =ζ+ζ46+ζ186+· · ·+ζ21 = 9.246· · ·
x2=
∑47
i=0
ζ252i+1=
∑47
i=0
ζ25·625i=ζ25+ζ185+ζ18+· · ·+ζ139 =−2.800· · ·
とおくと，x1, x2は次の２次方程式の解である。
x2−y1x+ 2y2−11 = 0 (2)
同様にy2を２つに分けてw1, w2とする。すなわち，
w1=
∑47
i=0
ζ5·252i =
∑47
i=0
ζ5·625i =ζ5+ζ37+ζ158+· · ·+ζ105 =−0.263· · ·
w2=
∑47
i=0
ζ5·252i+1 =
∑47
i=0
ζ125·625i=ζ125+ζ153+ζ90+· · ·+ζ116 =−7.182· · ·
とおくと，w1, w2は次の２次方程式の解である。
w2−y2w−2y2−13 = 0 (3)
次にx1を２つに分けてn1, n2とする。すなわち，
n1=
∑23
i=0
ζ6252i=ζ+ζ186+ζ49+· · ·+ζ55 = 2.928· · ·
n2=
∑23
i=0
ζ6252i+1=ζ46+ζ64+ζ131+· · ·+ζ21 = 6.317· · ·
とおくと，n1, n2は次の２次方程式の解である。
n2−x1n−3x2+w1−2w2−4 = 0 (4) 同様にx2を２つに分けてm1, m2とする。すなわち，
m1=
∑23
i=0
ζ25·6252i=ζ25+ζ18+ζ67+· · ·+ζ24 = 4.952· · ·
m2=
∑23
i=0
ζ25·6252i+1=ζ185+ζ56+ζ187+· · ·+ζ139 =−7.752· · ·
とおくと，m1, m2は次の２次方程式の解である。
m2−x2m+y2+ 3x2+ 3w2−1 = 0 (5) 同様にw1を２つに分けてp1, p2とする。すなわち，
p1=
∑23
i=0
ζ5·6252i=ζ5+ζ158+ζ52+· · ·+ζ82 = 1.807· · ·
p2=
∑23
i=0
ζ5·6252i+1 =ζ37+ζ127+ζ76+· · ·+ζ105 =−2.071· · ·
とおくと，p1, p2は次の２次方程式の解である。
p2−w1p+ 3x2+ 2w1−w2−2 = 0 (6) 同様にw2を２つに分けてq1, q2とする。すなわち，
q1=
∑23
i=0
ζ125·6252i =ζ125+ζ90+ζ142+· · ·+ζ120 =−4.714· · ·
q2=
∑23
i=0
ζ125·6252i+1=ζ153+ζ87+ζ163+· · ·+ζ116 =−2.468· · ·
とおくと，q1, q2は次の２次方程式の解である。
q2−w2q−3x2−4w1−w2−5 = 0 (7) 次にn2を２つに分けてt1, t2とする。すなわち，
t1=
∑11
i=0
ζ625·(6252)2i =ζ46+ζ131+ζ50+· · ·+ζ190 = 2.454· · ·
t2=
∑11
i=0
ζ625·(6252)2i+1=ζ64+ζ48+ζ36+· · ·+ζ21 = 3.863· · ·
とおくと，t1, t2は次の２次方程式の解である。
t2−n2t+w2+ 3m1+p1= 0 (8)
同様にm1を２つに分けてu1, u2とする。すなわち，
u1=
∑11
i=0
ζ25·(6252)2i =ζ25+ζ67+ζ2+· · ·+ζ162 = 2.755· · ·
u2=
∑11
i=0
ζ25·(6252)2i+1 =ζ18+ζ110+ζ179+· · ·+ζ24 = 2.197· · ·
とおくと，u1，u2は次の２次方程式の解である。
u2−m1u−2y2−3x2−3n2−q1−3 = 0 (9) 同様にp2を２つに分けてf1, f2とする。すなわち，
f1=
∑11
i=0
ζ55·(6252)2i =ζ37+ζ76+ζ57+· · ·+ζ178 =−0.027· · ·
f2=
∑11
i=0
ζ55·(6252)2i+1 =ζ127+ζ47+ζ180+· · ·+ζ105 =−2.043· · ·
とおくと，f1, f2は次の２次方程式の解である。
f2−p2f−w1−m2+ 2q1−q2−1 = 0 (10) 同様にq1を２つに分けてg1, g2とする。すなわち，
g1=
∑11
i=0
ζ125·(6252)2i =ζ125+ζ142+ζ10+· · ·+ζ38 =−2.416· · ·
g2=
∑11
i=0
ζ125·(6252)2i+1 =ζ90+ζ164+ζ123+· · ·+ζ120 =−2.297· · ·
とおくと，g1, g2は次の２次方程式の解である。
g2−q1g−w2−n2+ 2p1−p2−1 = 0 (11) 次にt1を２つに分けてc1, c2とする。すなわち，
c1 =ζ189+ζ147+ζ143+ζ50+ζ46+ζ4 = 2.015· · · c2 =ζ190+ζ134+ζ131+ζ62+ζ59+ζ3 = 0.439· · · とおくと，c1, c2は次の２次方程式の解である。
c2−t1c−x2−w2−n2−p1−f1−1 = 0 (12) 同様にt2を２つに分けてd1, d2とする。すなわち，
d1 =ζ165+ζ157+ζ129+ζ64+ζ36+ζ28 = 1.020· · · d2 =ζ172+ζ166+ζ145+ζ48+ζ27+ζ21 = 2.842· · · とおくと，d1, d2は次の２次方程式の解である。
d2−t2d−x2−w2−n2−p1−f2−1 = 0 (13) 同様にu2を２つに分けてj1, j2とする。すなわち，
j1 =ζ179+ζ175+ζ161+ζ32+ζ18+ζ14 = 4.471· · · j2 =ζ169+ζ110+ζ107+ζ86+ζ83+ζ24 =−2.274· · · とおくと，j1, j2は次の２次方程式の解である。
j2−u2j+m2+g1= 0 (14)
最後にj1を３つに分けてo1, o2, o3とする。すなわち，
o1 =ζ18+ζ175= 2 cos(36
193π)
= 1.666323· · · o2 =ζ179+ζ14= 2 cos(28
193π)
= 1.79584· · · o3 =ζ161+ζ32= 2 cos(64
193π)
= 1.009383· · · とおくと，o1, o2, o3は次の３次方程式の解である。
o3−j1o2+ (c1+j1)o−d1−2 = 0 (15) 以上より，高々３次の方程式(1)～(15)を順次解くことによって，o3= 2 cos(64
193π)
が得られ る。この値を利用して19364πの角を作図することができ，これを32等分することで正193角形 の中心角を得ることができる。
参考文献
[1] ロベルト・ゲレトシュレーガー〔深川英俊訳〕,折紙の数学,森北出版，2002.
[2] Gleason A. M., Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon, Amer. Math.
Monthly 95(3) (1988), pp.185–194.
[3] Hermes J. G., Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 3 (1895), pp.170–186.
[4] 礒田正美，Maria G. Bartolini Bussi編，曲線の事典，共立出版，2009.
[5] George E. Martin, Geometric Constructions, Springer-Verlag, 1998.
[6] 武藤広明，正多角形の作図，
http://www.akamon-kai.co.jp/yomimono/seitakakukei/seitakakukei.html
[7] 西村保三，山本一海，折り紙による正37角形の作図，福井大学教育地域科学部紀要2 (2011), pp.63–70.
[8] 西村保三，折り紙による正73角形の作図，福井大学教育地域科学部紀要3 (2012), pp.67–75.
[9] 大石美咲，折り紙による正多角形の作図，福井大学教育地域科学部卒業論文，2018．
[10] Richelot F. J., De resolutione algebraica aequationis X257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 9 (1832), pp.1–26.
