99 広島大学（理系）前期日程 問題
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１ 解答解説のページへ
$ §©¨ ·¹¸とする。
; §©¨D EF G·¹¸に対して $; ;$が成り立つときDEFGの満たす関係式を求
めよ。
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２ 解答解説のページへ
＜D＜ とする。点 から楕円[
D \
に引いた接線の接点の [ 座標をE
とする。
EをDで表せ。
楕円[
D \
のE≦[≦Dの部分と直線[ Eで囲まれた図形を[軸のまわり
に回転してできる立体の体積9をDで表せ。
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３ 解答解説のページへ
2$ 2%を満たす二等辺三角形 2$%において頂点$ % からそれぞれの対辺ま
たはその延長上に引いた つの垂線の交点を *辺 $% の中点を + とする。
2$ D 2% E $2% Tとおく。
2* VD WE を満たすVWをTを用いて表せ。
点*が三角形2$%の外部または周上にあるときのTの値の範囲を求めよ。
S T≦ ≦Sのとき *+
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４ 解答解説のページへ
Nを定数とする。曲線\ [N[上の点3 D D NDにおける接線O が曲線上
の3と異なる点4 E E NEを通るものとする。
EをDで表せ。
4における曲線\ [ N[の接線がOと直交するときNDの満たす関係式を求
めよ。
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５ 解答解説のページへ
Qが自然数のとき次の不等式を証明せよ。ただしD＞とする。
DQ≧DQ QDQ
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６ 解答解説のページへ
からQ までの自然数をつずつ書いた Q 枚のカードがある。よくまぜて枚引
いては戻すということを 回行い 回目に引いたカードに書かれている数と回目
に引いたカードに書かれている数の差の絶対値を得点とする試行を考える。
この試行を回行うときの得点の期待値をQの式で表せ。
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１ 問題のページへ
$; ;$より§©¨ ·¹¸§©¨D E¹¸ · §©¨ ·¹¸§©¨ ·¹¸ F G
D E F G
よって F E G D
条件より $% %$ &……① %& &% $……②
まず①より%& %$% &% %$% となり②の%& &%は成立する。 また①の$% %$との結果から % §©¨D EE D·¹¸とおける。
このとき①から& $% §©¨ ¹¸·§©¨E DD E·¹¸ §©¨D EE D·¹¸
さらに②から%& $なので D E E D
E D D E
§
©¨ ·¹¸§©¨ ·¹¸ §©¨ ·¹¸
DE ……③ D E ……④
③④より D E r r
以上より複号同順として % §©¨r r·¹¸ & r©¨§ r·¹¸または
% r &
r §
©¨ ·¹¸ §©¨r r ·¹¸
となる。
［解 説］
では成分を用いて普通に計算をしました。①と②にはつの等式が入っていま
すがこれを①の第 式②の第 式①の第式②の第 式という順で一つずつ
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２ 問題のページへ
接点を E F とするとき接線は E
D [ F\
点 を通ることより E
D から E D
楕円[
D \
は[ 軸対称なので右図の網点部を[
軸のまわりに回転してできる立体の体積が9となる。
ここで \ [
D
から
>
@
9 [
D G[ [ [D
D D
D D
³
S SS
D D D
I D D D Dとおくと
c
I D D D
D D D
c
I D の解は D r
右表より D のとき I D は最大となる。
ここで I D D D
D D D
より
I
よって9は最大値S
I Sをとる。
［解 説］
の極大値を求める計算がポイントとなります。ここでは整式の除法に関する等
式を用いました。これは複雑な数値計算を回避する必修技法の一つです。
D E 2 [ \ D
D …
…
c
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３ 問題のページへ
$* 2* 2$ VD WE %* 2* 2% VD W E
$* E よりVD E W E
VD E W E D E
D E より VFRVT W FRVT………①
%* D より V D W D E
V D WD E D E
D E より V W FRVT FRVT………② ①②より FRVT z rなので V W FRVFRVTT
点 * が三角形 2$% の外部または周上にある条件はV≦ または W≦ または
V W ≧である。
から FRVFRVTT ≦ ……③またはFRVFRVTT ≧ ……④ ③よりFRVT≦となり S T S≦ ＜
④よりFRVT≧FRVT となり FRVT≧から不成立。
以上より S T S≦ ＜
*+ 2+ 2* D E FRVFRVTTD E FRVFRVTT D E より
*+ FRVFRVTT D E 2+ D E
よって *+
2+ FRVTFRVT FRVFRVTT FRV T
ここでS T≦ ≦Sより ≦FRVT≦ なので ≦ FRVT≦
≦ FRVT ≦
以上より ≦ *+ ≦
2+
［解 説］
ではの結果を用いて点*が△2$%の内部にあるときと外部または周上にあ
るときに場合分けをしてもよいのですが解が長くなるだけです。もっとも最初は
そうしたのですが。
2
$ + %
*
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４ 問題のページへ
接線O \ P[ Q とおくと条件より [ N[P[ Q [ D [ E
[の係数を比べて E DE D
なおE Dz より Dz
\ [ N[より \c [N
[ Dのとき\c D Nまた[ E Dのとき\c D N
条件よりD ND N
D ND N ………①
①において D WとおくとW＞で
W NW N ………②
①を満たす D が存在する条件は②の解の少なくとも つが W＞ であることに
等しい。
ここで \ W NW N のグラフの軸はW N
であり\ 軸との交点は
\ N ＞ から求める条件は②の判別式'≧かつ軸W N
が正である。
' N N ≧ ……③
N＞……④
④よりN＞③よりN ≧
よって N≧
［解 説］
本問はいかにも文系風ですが文理共通問題ではなく理系で単独に出題されたも
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５ 問題のページへ
二項定理よりD＞なので
D Q DQ D D QD
Q Q Q Q
≧ & ………①
①において D Qとおくと
QQ≧QQ Q QQ QQ………②
Q≦ Q Q……③が成立することを数学的帰納法を用いて示す。
L Q のとき
③の左辺 ③の右辺 となりQ のとき③は成り立つ。
LL Q Nのとき
N≦ N N……④が成り立つと仮定する。
④の両辺にNをかけて
N N N N NN NN
≦
②より
N N N N N
N N N
N N
≦
よってN≦ N NとなりQ N のときも成り立つ。
LLLより自然数Qに対して③が成り立つ。
［解 説］
②式は誘導を細かくするために後から入れたような不等式です。それともいき
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６ 問題のページへ
得点を;とすると≦ ≦; Qとなる。
まず≦ ≦N Qのとき; Nとなるのは つの数の差の絶対値が N なので
N N Q N Q の場合である。このとき引く順序を考
えるとQ N 通りある。
; Nとなる確率を3Nとすると 3 Q N
Q
N （≦ ≦N Q）
また ; となるのは Q Qの場合でその確率を
3とすると 3 Q
Q Q
題意の試行を回行うときの得点の期待値( ; は
( ; N3 N3
Q N Q N
N N Q N N Q N Q
¦
¦
¦
^
`
Q Q Q Q Q Q Q
Q Q
Q
Q のとき題意の試行を回行うときの確率は
より
3 3 3
回の試行の後得点の合計が となるのは得点が の場
合でありその確率は試行の順序を考えて
& &
［解 説］
確率と期待値に関する頻出問題です。毎年題意が同じ問題に出会っているような
気がします。
得点
