緒 言

55 

周辺固定く形板の非線形自由振動

高 橋 和 雄 * 樗 木 、 武林

Nonlinear Free Vibrations of Clamped Rectangular Plates 

by 

Kazuo T AKAHASHI 

(Civi1 Engineering) 

and Takeshi CHISYAKI 

(Department of Civi1 Engineering， Faculty of  Engineering， Kyusku University) 

Summary 

In this paper， nonlinear free vibrations of c1amped rectangular plates  with immovable ed^伊 ges are shown by using Karmin's equations composed of the terms of  the stress  function  and  the deflection of the plate. 

The solution of this problem is  obtained by the application of Galerkin's method in which  the normal function of vibration is  assumed by the product of the  normal  mode  of  clamped‑

clamped beam with arbitary axial force which is  determined so as to give more reliable solut‑ lon. 

Numerical results are i1lustrated for the  square plate.  At first， small amplitude  vibrations  of the clamped plate are treated as the special  case and the accuracy of the proposed  method  in this paper is  checked.  Finally nonlinear vibrations of the clamped plate  are  analyzed  and  compared with previous solutions. 

1. 緒 言

周辺で面内変位が拘束される周辺固定く形板の非線 形自由振動問題に関しては，既にし 3の研究が報告 されている1)2) これらの研究では， Galerkin法を 適用するに際して，両端固定ばりの座屈波形を板の規 準関数に仮定する方法が用いられた.乙の方法は演算 上有利とはなるものの，精度の点で疑問がある.すな わち，非線形自由振動時に生ずる面内力は振幅に依存 する引張力であり，乙の引張力の大小に応じて振動波 形が異なると推定される.したがって，振動波形とし て面内力の大小によらず同じ波形となる座屈波形を仮 定する乙とは無理があり，特に振幅が大きい場合には かなりの誤差が含まれるものと推定される.

*土木工学科

**九州大学工学部土木工学科

そこで，著者らはこの難点を除去のうえ，精度の高 い解をうるために，任意の軸力が作用する場合の両端 固定ばりの線形曲げ振動の規準関数を用いて，周辺固 定く形板の非線形自由振動問題を解析するごとき方法 を新たに提案するものである.

2.  基礎式および境界条件

薄板の最低次の曲げ振動を対象とするものとすればデ 板の面内方向の慣性力，勇断変形および回転慣性の影 響を無視する乙とができる.このとき，本題の基礎式 として板の有限変形問題に関する K訂manの式ζi面 外方向の慣性力の項を加えた運動方程式を用いること ができ，次のように与えられる.

D7・F一｛  ∂2ω（  ∂κの）2一舞瑠｝ ，1・l

L（ω，F）一・ク・ω＋ρ，弗．一ん（ll霧鍔＋

  誰1鍔「2篇諾）一・ （2）

 ここに，F：板の面内方向の断面力に関するAiry

の応力関数：，ω；のたわみ，κ，ノ；直交座標系，彦；

；時間，乃；板厚，ρp；板の密度，1）一Eが／｛12（1一り2）；

：板剛度，E；板のヤング率，レ；板のポアソン比，

    ∂2         ∂2

72＝∂。・＋∂ク・

．応力関数Fと面内方向の断面力との関係はそれぞれ

凡一 Q吾・N・一畷，砺一一乃諾（3）

rまた板の中立面のX，y方向の変位成分をU，Vとすれ

ば，これらとF，wとの間に次式が成立する．

嘉＋÷（讐）2一÷（∂2F  ∂2Fの2一り∂・2），一手＋

÷（∂ω∂ク）2一÷（峯一｛羅）・器÷蕃＋・

審器一一2（笠の鋸   （・）

 一7方，板の諸元および座標系をFig・1に示すよう

に定あるものとし，板は全周辺において固定されてい るものとすれば，、その曲げに対する境界条件は次のよ うである

鉱6わ 

o α 2二

Fig・1

         ∂ω 鴛0μで．ω一〇・添「一〇          ∂ω ・

ノ「0・6でω＝0・万＝0    〔5）

『また，板は全周辺において，面内方向の移動が拘束さ

＝れ，かつ勇断力が作用しないものとすれば，面内の変 位および応力に関する境界条件が次のように与えられ

る．

一…で婦1｛去（1袈一・1鍔）一

÷（∂ω厩）2｝山一・，N 一・

      （6）

ノー・・δでδ〃」∫1｛去（llξ一レ零語）一

÷（∂ω∂ノ）2｝の一・・隔一・

 3．解    法

 本題は式㈲および式（6）の条件のもとに，式U｝，（2）の

両式を満足するようにωおよびFを決定する問題と なる．まず，応力関数Fを求めることとし，このと き，式5）の境界条件を満足する板のたわみwが，任

意の軸力の作用を受ける両端固定ばりの曲げ振動に由 来する規準関数を用いて次のように表わされるものす る（Appendix A参照）．

       

 ω＝6T（のΣαρsゴπρπξΣ的ε伽9πη  ^〔7）

      ρ＝l     g＝1

 ここに，o；振幅， T（七）；未知の時間関数：，ξ＝κ／

η＝＝ク／δ， αρ＝8劣ρ／（P4一ρ29躍／π2一 ん 4／π4）， ゐ9＝＝・

鯛／（94−92衡／π2一ん㍉／π4）∴＿望，，，一腰2

一糟2∫婦∀ρ留2，P。・はりに作

する軸力（圧縮力の場合を正とする），EI；はりの 曲げ剛性，ρ；はりの密度，ω；はりの固有円振動数，

％，e〃；定数：，ρ，9；1，3，5，………

式（7）を式（1）の右辺に代入すれば，

嘩蕩・一唱，讐1淫1、量1｛ρ・75㊨

δ幽…ρ・ξ・…πξ・・…η・・∫・π・一ρ2 2 祉ﾁ292

 αPうααγう85伽ρπξ5ゴηγπξ∫げ7zgπη5ゴπ∫πη ｝

 ここに，ρ，g，7，∫；1，3，5，………

式（8）の右辺の各項をフーリエ余弦級数に展開すれば         60∫汐πξ60∬πξ6059πη60∫5πη＝Σ Στ観η 05        η＝0η＝0

 ητπξ605ππη

        ∫伽ρπξ5伽rπξ5ゴπ9πη5ゴπ∫πη一Σ Στ襯605        初＝0π＝0

 ηzπξ605ηπη       （9）

 ここに，

・一一・轤P∫1…カ・ξ・一ξ… ξ・・・・・…5・πη  605ππη4ξ4η

モー一・∫1∫1・卿・ξ蜘πξ一ξ吻・η蜘

 60∫ππηゴξ4η

したがって

周辺固定く形板の非線形自由振動 57

r・F一

E今一（の置議嵩1署1，婁、

。茗｛ρ…噛碕（碗・卸＋δ恥1

 

D

（δ・，、・・＋δ。，1￠、D一ρ252 獅V292・幽δ、（一δ皿，

・…δm，1・一・1）（一δ・・…＋δ・，1・一・1）｝・一ξ・…πη（10）

ここにδ・パ＝1欝ク・ネ・かのデル燗

数， η3，π；0，2，4，・軸・・鱒岡

式㈹の一般解はその斉次方程式からえられる余関数

と特殊解との和で求められるが，本式と同形の微分方 程式の一般解はすでにLevy3 ，4）がく形板の静的大た わみの．解析の際に求めておりr，その結果から板周辺で

、勇断力が作用しない場合の応力関数Fとして次のよ うに与えられることがわかる．

       コ  

F一言＋蟹＋認。認♂一一ξ・・覇（11｝

 ここに，fmn；未知の定数，．Px，．Py；κ一〇，αの辺お よびクー0，うの辺において，面内方向に作用する断面

力Nx，Nyの合力で応力関数Fとの間に次の関係が成

立する．

瓦一∫1榊一ん∫額御1募毘 （1鋤 乃一∫1肋一顧∫畷幽1誓ほ

式（11）を式t10）に代入すればfmnが求まり次のようにえ られる．

       

痴「浄・7・（唱，≡1浬1認1

    1

        ｛1）97層sαPわααγゐ8（一δηz，ρ＋γ＋δηz，

 ＠2＋π2／μ2）2

 ip一・D（δ・，α・・＋δ・，1α一・D一（ρ2 s2＋・292）／2・P％

 α・う8（一δm，P・汁δ肌， IP一。1）（一δπ，α＋8＋3π，1α一  sD｝      （13）

 ここに，μ＝う／a；辺長比

 式（6）に式〔7）および式（11）を代入するとともに，式（1助の 関係を用いれば，面内変位に関する条件が次のように

：書き改められる．

謡一籍一準1，讐1鮎う㍉幽・）

一・

增{鴇一一礎1梅雨響鴇

．上式より，Px， Pyが次のように算定されることになる．

濡一丁轟煮翼1・繊（・グ矧

 μ）τ2（の

馬≒臨隼礎1呂ら恥鯉／

 μ2）τ2ω  、』、  ．         ㈲ 式（13）および式圃を式（1Dに再摩代入すればゴ杢琴ρ！芯力 関数が次のようにえられる．

       F一画2T2（ ）〔16（芒。㍉≡1，ヨ 2擁（・2ρ2

       

＋ン92）η2＋（りρ2＋92／μ2）ξ2｝＋Σ Σ∫π驚60S

．解・ξ・…πη〕

ここに，

1 Oo   oO   OO   OQ

7η＝・0π＝0

伽＝

ﾙ。ヨ1，ヨ1，≡1、≡、＠・＋・・／μ・）壱¹

⑯

  ψ97∫㊥ゐαα。 68（δ皿，炉。＋δ鵬，i多一。【）（δπ，α＋8＋

 δ？z，1σ一81）一（ρ252十7292）／2αPゐ（zαヶ δ8 （一δηL∫⑳＋γ一十一  δ肌，IP一γ1）（一δ％，Q＋s＋δ％，Iq−81）｝

 ここにおいて残された問題は，式（7）に対して式（16）の ように定められるFの結果を用いて 式（2）を解きT（t）

を決定することであるが，これを直接解くことは困難 であるから，一般によく用いられているエネルギー近

似法であるGalerkin法を適用のうえ近似解を求め

ることにする．すなわち，Galer≧in珠では力の釣合 式の積分誤差を最小にするという次の積分

∫1∫1五（ω，F）・（…）四一・  （17）

 ここに，G（x，ノ），式5）の境界条件を満足する座標関数 によりT（七）に関する微分方程式が算定されるが，そ

の際式㈲の境界条件を満足する板のたわみwおよび

G（x，y）の仮定において，APpendix Bに示すような形 式で表わされる規準関数を用いることにする．すなわ

ちAppendix Aでは任意の軸力を受けるはりの曲げ

振動をフーリエ級数を用いて解析したものであるのに

対し・APP・ndi・Bでは通柳方法によ弊三分

方程式を解いて，規準関数を求めたものである．同じ 問題に対するこの両規準関数の使いわけは式（1）および 式②の微分方程式を解く際にいずれが好都合となるか

により定められるもので，式②の式形から判断して，

ここではAppendix Bに示す規準関数を用いるこ・と が望ましく，このときωおよびG（耳・ノ）が次のよう に仮定される．

 ω一cx（κ）γωτω

 o（κ，ク）＝x（κ）y（ク）

 ここに，

X（・）一λ、，≒・｛一…娠＋（・鵡一㈱

 Sゼπ乃λ詔ξ＋ 60∫γ詔ξ＋（一605γ湿十COS667の） Sゴπr灘ξ｝，

聖〒翠講演碑朗⑳ケ 燭

 Sゴπ〃えΨη十〇〇SγZ1η十（一605γ写十60∫θ6γΨ）SゴπγZノう7｝， 2灘，

i殉；X（⇒，Y（ノ），の最大値を1とする定数，

λ ]ー・・ノ・＋帳・＋・碓／・・

炉》一，，ノ・＋編＋・癖，

・・一̀念。／・聴。・＋・ん重／・，

炉〉忽，／・＋〜慮，・＋・ん1／・

式囮を式（17）に代入のうえ，整理すれば．時聞関数T（七）

に関する非線形常微分程式が求められ，次のとおりで

ある．

 T十αT十2βT3＝0      ㈲

ここに，・一 轣A菰（∫；∫1＋手・∫；∫；＋歩

∫1∫1）ρ￡・・

β一6（1一り2

ﾊ2） ^疑｛一・＠；趣1∫；）

        1 1          

＋・・

F。為撮＠讐＋ぜ／1Ψ＋・一

∫灘り｝漁・！1イlx・4ξ・！1一∫ly・吻・プ；一

∫ 《一∫1凹吻・∫1一∫1溜4ξ4一

∫。Y〃〃y4・r∫。脳・・魏・ξ4ξ4∫ly Y

        ∫。脳・ ・ξゴξ・プ∫

       ∫。x・x・西廻∫

  1  x xゴξ，

  0

  1         ηL∬   b1       7L写        4       4

。。、。π吻，！乙し1   陛1Y〃Y…

      5      5    0

 η吻，∫『」σ一1  π1一：四伽

 ππη吻，

              

 6躍＝π2／｛16（1一ン2）｝Σ Σα6（μ2η2十りπ2）

      ηz 7L       ηし＝1π＝＝1              

 o写＝π2／｛16（1一り2）｝Σ Σα6＠2十りη2／μ2）

       ηL π       隅＝1η＝1

 いま，式⑫①の初期条件をw（x，y，o）一cx（x）Y（y），

w（x，y，o）一〇とすれば，これらは時間Tに関する次 のような条件式となる．

 T（0）＝1，T（0）＝0       （21）

式⑳を1回積分のうえ，式⑳の条件を加味すれば，次

式がえられる．

デー一／（窪＋T・）T・一（芳＋1）｝ 〔22）

 式働の解の式形はα／βの二値により異なるが，本論 文ではα，βが共に正であることが数値的に確認され るゆえ，式（22）の解はJacobiの楕円関数における関数 cnで与えられ，次のように求められる．

 T＝6π（ 〜／α十2β， 1／》2十α／β）．       ⑫3＞

 ここに， 1／〉 2十α／β，楕円関数：の母i数陵

関数侃は・（K一∫1婦一、素／β・ガ・・θ，第1灘

全楕円積分）の周期をもつから，非線形自由振動数渉 が次式で与えられることになる．

 η興＝〉 2β十α／41（       （24）

式⑳を用いれば，任意の振幅比 茄をパラメーター一 として，π＊の値を求めることができる．

4．精度に関する検討

既往研究により高精度解がえられている周辺固定正 方形板の線形自由振動問題を対象に，著者らの提案に よる方法と他の手法とを比較対照して，著者らの方法 の精度を検討すれば以下のとおりである．式⑳におい

てβの項を無視すれば線形自由振動数ηoを求める

ことができ，正方形板（μ一1）の場合について算出す れば，Table 1＠，⑤，◎に示す諸量をうる． Table 1

α b

c ⑦

峨 、） 8722

^{話、09 」6．00}

3599 Err乃

3．42 0．28 0．03

Table 1

において，＠欄は既往の座屈波形を用いた場合，すな

わち．Po−Pcr（Eulerの座屈荷重）の場合の解を示 すものであり，⑤欄はPo−0とおいたとのときのは．

りの線形曲げ振動に由来する規準関数を用いた場合の 解を示すものである．一方，同じ問題に対してYoung5）

ははりの曲げ振動の規準関数を用いたRi七z法の9項近 似による極めて精度の高い解を求めており，その結果 を④欄に併記する．③，⑤欄の近似解と⑥欄の高精度解 とを比較するとき，＠よりも⑮場合の精度が高いごと がわかり，このことから，板の振動波形として，はり の座屈波形ではなく，はりの線形曲げ振動に由来する 規準関数を用いる方が妥当であるといえる．周知のと

おり，Galerkin法の精度は仮定した関数形の適切さ

に大いに関係するため，本論文では板の規準関数を決 めるパラメーターとしてはりに作用する任意の大きさ

の軸力Poを導入したが，これを用いれば，さらに精 度を高めることができる．すなわち，Poの値を種々 変化させたときの規準関数を用いて乳πoの値の変動 を計算すればFig・2をうる．図は横軸に軸力比Po／

恥をとり・繍・高精囎35・99》ρ￡・と・・と

の差の百分率をとってプロットしたものである．図中

周辺固定く形板の非線形自由振動 ^59』

盆 4司3020

1．0

O

^G

10 0 −10 ぞ0 づ0 《0硫．迂

Fig・2

Po／Pcr＝1は座屈波形を用いる場合に， Po／Pcr＝0 は軸力を受けないはりの線形振動に由来する規準関数 を用いた場合にそれぞれ対応するものである．E，は 軸力が増大するに伴って減少し，Po／P・・一一〇・61の

ときに最小になり，それ以後は逆に増加することがわ

かる．E・の最も小さい値に対応するπoの値はTa

ble 1◎欄に示すとおりで，＠欄の値と極めてよく合 致しているといえる．すなわち，任意の軸力を受ける はりの規準関数を用いて，πoとPoとの関係を求め，

これよりπoの最小値を求めれば，第1項近似にも拘 わらずGalerkin法によって極めて精度の高い解がえ

られることが数値的に立証される．また，④，⑤，◎

の各ケースについて，板中央断面（η＝1／2）の振動波

形を算出すれば，Table 2④，⑤，◎欄に示すよう

にえられるが，これより，◎欄の値が④欄に示した板 の規準関数に極めて近いことがわかる．

④ ＠ ◎ ④

0 0，000

^{0．∂ ク0}

0000

^．αフ0

％o 00％ ^{0114 o．βo}

^0．β1

2∠0

0β47 ^03久ク 0404

^0，472

物 ^o，655

^{∠λ6脅ク 0．〃グ}

^o勿6

・％o 〃，％5

o〃6 ^o名2ノ

^0．92／

・5！0 ■．〃0

∠000

^{／．6繊ク ／，0〃0}

Table 2

 以上のことは，Rayleichの原理から判断して当然 のことである．すなわちGalerkin法によってえられ

た振動数は微分方程式の厳密積分による解よりも常に 大となるゆえ，各種の軸力の値を用いてえられる最：小 振動数およびその際の規準関数が本法によってえられ る最も精度の高い解であるといえる．

 5． 非線形自由振動

 4．の結果から，非線形自由振動においても，Poの

・各値に対するη＊の最小値が厳密解に最も近いことお

∠あ

噸

④

！：髭

158

、、、

、

、、、 、

◎．、

、、

∠54 _、

、、 乙

、

、、 、 、

@ 、 、 亀_{、噛@鴨 鴨 嚇 幅} ．．．。」Φ

一  ＿ 一  一  一 一

Z5

10

^〃 4〃 ^{「20  弓，0 ｝40}

ﾆド5

Fig・3

よびこの場合の軸力を用いて算出したはりの規準関数 は板の非線形自由振動の規準関数を近似的に表わすこ とが推察される．

 ポアソン回り＝0・3なる正方形を対象に振幅比6／h−

2．0の場合について，振動数η＊／πoと軸力比P。／P・・

との関係を算出すればFig・3の実線で示すごとき結

果をうる．図中において，点④の振動数比π＊／ηoは 既往の座屈波形による解を，点⑤は一：P。／Pcr−0の場 合のはりの線形曲げ振動に由来する規準関数による解 を示したものである．また，点◎は：P。／Pc。＝一2・48 の場合にえられる最小振動数比を示すものである．図

より明らかなように，軸力比が1〜0なる圧縮力の

領域ではP・／Pcrの変化に対しη＊／ηo・が急激に変動 し，＠は⑤に比べて6・4％大きい．また，P。／Pcrの値 が負となる領域すなわち引張力の領域では，P。／Pcr の増大に伴なってπ＊／ηoが緩やかに減少し，P・／P・・

＝一Q．48のときに最小となるが，この値は②に比べ て9・3％小さく，⑤に比べて2．9％小さいといえる．

さらに，P。／Pc。＜一2．48ではπ＊／πoが再び緩やかに 増大することがわかる．

 同様に，振幅比6／ん一2・5および3・0の2ケース

について，P・／Pcrとπ＊／πoとの関係を求め，これら

をプロットすれば，Fig・4，5に示す結果をうる．

託90

劇

∠86

z82

∴78

〃4

⑳

⑫

／o  o   イ。 ^−ε0

づ04 ^i． 6

Fi9・4

o

2∠8 ２μ＠−

210

20 ㊤

202

ε

1％

ZOO イ0揺0δ0イ0曜

：Fig・5

o

：Figs．3，4および5を比較すれば，振幅比。海の増大 に伴って，P。／Pcrの変化すなわち仮定した振動波形 の変化によるπ＊／πoの変動が著しくなり，振幅比が大 きくなるほど最小振動数は負領域にあって，より絶対

値の大きなP。／Pcrの値に対してえられることがわ

かる．また，Fig・2の線形振動の場合と比較すると，

非線形振動の場合の方が最小値付近のP。／Pcrの変化 に対する振動数比π＊／πoの変動が小さくなっている ことがわかる．

 規準関数の仮定に関する③，⑤，◎の諸法により，

振幅比。／hの諸値に対する振動数比η＊／πoを求めれ ばFig・6およびTable 3をうる．これらの結果から，

各方法とも振幅比が増大するにつれて振動数比が増大 するが，従来の座屈波形による解法＠では，⑤および

◎の場合よりもつねに大きな振動数比を与えているこ とがわかる． ／々＝2・0，2・5，3・0の各ケースについて

◎の場合と比較すればそれぞれ9．3％」2．1％，15．2

％大きくなり，振幅比の増大に伴なってその差異が増

エ 

笥

20

，イ8

z6

14

孟2

ZO

 

ノ

』

^！

 @ m

ノ

 ！@！

f

   @ 

@！@ U

0．0

05

^{∠0 ∠5    20}

²⁵ 蒐30 Fig・6

 πe

② ◎ ◎ 一④

｝

05 λ082 孟046

^{ノ：043 ／．042・，}

λ0

1．2〃

1／70

^{／．／6／ ／．！56}

1

λ5 ^1，39ク

∠347

^{／：＆ラ0 ／．3／8}

2．0 、624 ／，560

∠531

^{，ろ5と）8}

25

^{！．873 ／．ク97 ∠タ52}

^／〃4

30

^{2〆38 204β}

^{／．名36    曜ﾚ％ 0}

Table 3

卜することとなり，このことから従来の方法は振幅比．

が大きい領域で不適当であるといえる．⑤の場合，す なわちP・／Pcr−0なるはりの規準関数：を用いる方法 は，振幅比が小さい領域では◎の場合に殆んど合致し ているが，振幅比が増大するにつれてやはり差異が増・

加し，σ／乃一2・0，2・5および3・0の各値に対して◎よ りも2・9％・4・5％・6・2％それぞれ大きい振動数比，

を与えている．これらの値は③の場合よりも小さく，

したがって⑤の方法が，③の方法よりも精度の高い解 がえられているものと推定されるが，それでも振幅比．

が大きい領域では，振幅による振動波形の変動を無視 できないことがわかる．

 振幅比。／hが2・0，2・5および3・0の各ケースにつ いて最小振動数の場合の軸力を用いて板中央断面の規 準関数（η＝1／2）算出すれば，Table 4に示すとおり にえられる。これらをTable 2＠欄の線形振動波形・

と比較すると，振幅比の増大とともに，非線形振動の 規準関数は線形の場合よりもふくらんで，くることがわ かる．このことは，式（1−1）または式（2−1）にお

いて曲げの項EI離に比較して軸力の項P。器が無

視しえない大きさとなることに起因するものである．

なお，本題と同じ正方形板に対してWhi七e6）が行な った大振幅定常振動試験結果でも同様の傾向が示され ている．

 振幅比ψ；3・0の場合について，＠，⑤，◎の各

方法にもとつく板中央断面（η一1／2）の規準関数をプ ロットすれば：Fig・7に示すようにえられる．図から

④と◎との差に比べて，⑤と◎との差はかなり小さい

といえる．この事実がTable 3に示した振動数比の

差となって表わされている．また，振動波形が⑥から

＠の間を変動するとき，軸力比の変動が0から1であ

るのに対して，振動波形が⑤から◎の間を変動すると

きは，軸力比は0から一4・37と大きく変わる．この

ζとから同じ大きさの軸力比の変動に対して圧縮領域 の方が引張領域よりも規準関数の変化割合が大きいと いえる．軸力比と規準関数に関するこの特性の影響が

周辺固定く形板の非線形自由振動 61

．を

6ん

^一

Qσ 25 30

0

_{0，000 0，ooO} 〃，000

1 10 0．／5

0／62 ^0，！70

％o _0，447 o、 フ 0，4ク0

・3／0

0，732 0．74〃 o，747 初。 oヌ30 0432 ^o，ク34

砺。 ／・000 ／。000 ^／，000

Table 4

Figs・2〜5に示した軸力比と振動数比との間に表わ

れており，P。／Pcr−0〜fでη＊／πoの変動が大きく，

：P。ノPcrが負の領域で緩やかになっていることが説明 される．

 本論文では式（1），（2）で示される適合条件式および釣 合式の丁丁について振動波形の変動を考慮したが，応 力関数の算定にあたっては従来と同じ座屈波形を用い，

釣合式のみについて振動波形の変動の影響を考慮すれ ば，本法に比べて数値計算が容易になる．このような について，6／旗2・0に対するP。／Pcrとπ＊／ηoとの 関係を求あれば，Fig・3の点線で示すごとくえられる．

これより本ケースはP。／Pcr一一3．75で最小振動数比

η＊^ηo＝1・508がえられ，この値は◎の場合よりも2．5

0，0

己22

04

06

〃β

綱

κ0

（ク γ。

、「

、、

A

、、、

、、

愈

、

  （i送＼，驚＝！

、

卜＼、

＼＼＼、

、、＼、

、、＼

、

＼＼

、、

A

、、

努0 彰。 ％エ％

Fig・7

％小さな値となることがわかる．ψの他の値につい て同様の演算を行なえば，Table 3の⑥欄に示すよ

うにえられ，これを◎欄の値と比較すれば，振幅比が 増大するにつれて両者の差異が増大し，したがって振 動波形の変化による応力関数の変動が無視できないと いえる．

6．結

^語

 本論文は周辺で面内変位が拘束される周辺固定く形 板の非線形自由振動問題のより厳密な算定法を提案し たものであるが，その結果を要約すれば次のとおりで

ある．

 （D本法は応力関数の算定およびGalerkin法の適

用にあたって板の振動波形を直角二方向の任意の軸力 を受ける固定ばりの線形曲げ振動の規準関数を用いて 仮定したが，これによれば，座屈波形を仮定する既往

の解法は，本法の1特例なる．

 （2）応力関数の算出にあたってはフーリエ級数を用

いて誘導された規準関数を，またGalerkin法の適用

に際しは通常の方法により算定されるはりの規準関数 を用いることにより解裾の単純化をはかった．

 （5）正方形板の線形自由振動数を求めたところ，は りの座屈波形よりも振動波形を用いる方が精度の高い 解が得られた．また，はりに作用する任意の軸力P・

の導入によって，Galerkin法の第1項近似解だけで

も極めて高精度の解がえられることおよび板の規準関 数がはりの規準関数を用いて極めてよい精度で表わさ れることが明らかとなった．

 （4）本法による非線形自由振動数は従来の座屈波形 による結果よりも小さいが，両解析結果の差異は振幅 比の増大に伴なって増加し，無視できない大きさとな る．したがって，既往の解法は振幅比が大きい領域で は精度が悪いと推定される．

 （5）本法の1特例として軸力が作用しないはりの規 準関数を用いる方法があるが，これと，P・／Pc。の種 々の値に対する、η＊／πoの値を求あ，その最小値を解 とする方法とを比較するとき，振幅比が1よりも小さ い領域では両者はよく一致しているが，振幅比が1よ りも大きい領域では振幅比の増大に伴なって両者の差 異もまた大きくなる．

 （6）（4），（5）より振幅比が大きい領域では，振幅に 伴なう振動波形の変動が振動数比に及ぼす影響を無視 することができないといえる．

 （7）本法によれば近似的な非線形自由振動の規準関 数が算出可能であるが，えられた結果は線形自由振動 の場合よりもいくぶんふくらんだ形となり，この事実 は既往の実験結果と合致するものである．

 （8）応力関数も振動波形 の変化によって変動するが，

振動数比におよぼす応力関数の変動の影響は，振幅比 が大きくなるにつれて増大し無視できなくなる．

 なお，本研究では非線形自由振動のみを取扱ったが，

定常強制振動や静的曲げについても同様の取扱いが可 能である．また，板を多自由度系として取扱うことや

実験値との比較などについても現在考慮中であり，こ れらについては稿を改めて報告したい．

 本研究は昭和46，4ワ年度の文部省科学研究費を受け，

また，研究にあたっては卒論生富川博久，林田守弘両 君の熱心な協力をえた．記して謝意を表する次第であ

る．また，本論文の数値計算には九州大学の大型電算

FACOM 230−60を使用したことを付記する．

 Appendix Aフーリエ級数による両端固定ばりの

規準関数の誘導

A ^B

A

A

^（b）

6

B

図β

羅趣児＿4鎧

      （o）

     Fig． A−1

島

 Fig・A−1（a）に示すような任意の軸力Poの作用

を受ける固定ばりが振動すれば，はりの端部には曲げ

モーメントMAおよびMBを生ずるが，これらは

Fig・A−1（b）に示す両端単純ばりの振動変位を拘束 する一種の強制力とみなすことができる．したがって，

固定ばりの自由振動は単純支持ばりに強制力q（x，七）

が作用するごとき強制振動とみなすことができ，した がって，その基礎微分方程式は次式で与えられること

となる

E聯＋P。li書＋ρ聯，一・（切 （1−1）

 ここに，EI，はりの曲げ剛性，Po，軸力（圧縮を正 とする），ρ；はりの密度，A；はりの断面積，絹はりの たわみ

 はりに作用する端モーメントMA， MBを直接フー

リエ級数を用いて展開することは困難であるから，こ れらをFig・A−1（c）に示す状態におきかえる7）．す なわち，A点から∠A1，4BZはなれた点に仮想支点A1・

Bノを導入し，端モーメントMA， MBに代わるものと

して反力R A，R Bを考える．すなわち

 焔＝＿．R五∠1」41， 2矯3＝一1〜1多 （1一∠1B）Z      （1−2）

MA， MBおよびR・A， R／Bは同じ時間七の周期関数 で振動しているから，これらは次のように表わされる．

 鵡一興・げ・（ω ＋・），MB一冴BSゴ・（ω診＋・）

 R五一烈∫伽（ω∫＋・），Rゑ一離s伽（ω渉＋・）

       （1−3）

 ここに，ω；はりの固有円振動数，ε；初期位相角勢 冴A，冴B，巫，雇；MA， MB， R五， R丘の最：大値  瓢，瑠を正弦フーリエ級数に展開すれば，次のよ．

うにえられる．

       

 盃 五一Σ・4A鵬5伽初πξ，・4 B＝Σ・4B皿sゴπ     7η＝1       ηz＝1

   η2πξ      （1−4＞

 ここ｝こ，ξ＝κ／α

例郵聯筆一2孕直

   5げπ町4      （1−5＞

嫡1∫：lll二巴一ξ4ξ一 2舜

   ∫伽魏πゴB

 Fig・A−1（b）の状態は塩→o，∠B→1なる極限状

態た相当するから，式（1−2）を式（1−5）に代入し艶 山→・0，4B→1とすれば， ｮ（1−5）は次式となる．

丑一一

R禦。纂・伽商一一警恥（1−6＞

浸・

j鰭聖憲蜘町（1一」・）一（一1）m

   2ηzπ＿

   一万一沸4β

 これより式（1−4）は次式となる．

      

Rノ・一一ｹ認1一傭・ξ

      （1−7＞

      

互！一一聖祝三1（一1）瀦一隅・ξ

 式（1−1）のσ（κ，りははりに作用する全強制力 であり，ここでは式（1−7）の雇！4および｝〜 Bの和で・

与えられる．すなわち

・α・・）一一1華1｛三一（一1）・嘱｝吻

   ηzπξ∫伽（ω ＋一ε）       （1−8＞

 他方，両端単純支持の境界条件を満足するはりのた わみ之を次のように仮定する．

      

 ζ＝Z（の∫伽（ω ＋ε）＝Σα肌5伽7ηπξ5初（ω渉＋ε〉

       η2＝1

       （1−9＞

      

 ここに，Z（κ）＝Σα肌s伽祝πξ；規準関数，α㎜

         解＝1 任意定数

式（1−8）および式（1−9）を式（1−1）に代一

入すれば任意定数砺が算定され，したがって規準開

数Zが次のようにえられる．

周辺固定く形板の非線形自由振動 65

      

Zω一一暑熱1雑篇耀蝶・

   s伽〃3πξ       （1−10）

ここに・〆雨隠∀・芸2濯一心

    冴Bl  Mβ＝     E∫

式（1−10）の端モーメトM4， ：Mβ1まはり端部の境

．界条件により決定されるが，Fig・A−1（a）固定ばりで は

 κ＝0，1で4Z（％）／ぬ＝0        （1−11）

式（1−10）を式（1−11）に代入すれば，次式をう

る．

L：；一ll〕｛耀ト・ （1−12）

        

ここ｝・・C・一B1吻・＿・轟一ん・／。・・C・一一

誕1配・一詩魂・μ・

式（1−12）から，次のような振動数方程式をうる．

 C21−C22＝0         （1−13）

いま，固定ばりの最低次の曲げ振動を考える場合には 君1＝C2となることが数値的に確認されるゆえ，これ

を式（1−12）に代入すればM4一瀞がえられる．し

たがって，本題の規準関数が次のようにえられる．

       Zω一暑蝋ヨ，、扉一晦。傷・一ん・ノ。沖

 窺πξ      （1−14）

式（1−14）の最大値はξ一1／2において生ずるが，

この値が1となるようにM孟の大きさを決定すれば，

本題の規準関数がえられ次のようである．

      

 Z（％）＝Σα濡∫勿襯πξ    

^（1−15）

    7η＝1

       

 ここに・伽＝筋4＿那29。ノπ2＿ん4／π4・C；定数

．Appendix B両端固定ばりの規準関数の誘導  任意の軸力P。の作用を受けるはりの線形自由振動

・の微分方程式は次のように与えられる．

ll髪＋畷＋ρ聯一・  （・一1）

式（2−1）の解を

 之＝Z （彦）3魏（ω彦十ε）

と仮定すれば規準関数Z（のに関する微分方程式が

次のようにえられる．

 44Z

      42Z

厩τ＋P・簾一卿2Z−0   （2−2）

A         B

         Fig・B−1

上式より

 Z＝∠1605乃λξ＋Bs翔るλξ＋α05γξ＋1）sfηγξ （2−3）

    ρ書・A，B・C・D・積舵魏

Fig・B−1に示すように，はりの左右端においてたわ

みが零，端モーメントがMA， MBとなるものとすれ ば，式（2−5）に含まれる積分定数がそれぞれ次の

ように算定される．

オー，辛，，努2・B一λ・圭γ・（翻努2

一酬λ竪）   （・一・）

C一λ、羊讐D一λ・圭，・（一 γM蓋＋

・・ γ響）

ここに・N二、／、壇・＋姻、

γ一》・／・＋》9・＋・ん・／・，ξ一焔9一盤1

剛

N・一一醐ω・∫ぎZ配（1一π）畑呵     （1一）撮

廟一・ 舳・ω・ 轤y （1一嗣）｛1一

       ｝煽

   ＋晒∫1岨難1（娩一凋）｛・一

   （z・1一籍1）2    12     乞＋1｝煽

他方，5連モーメントの定理によれば，各部材の端モ ーメントの間には次のような関係が成立する．

 M乞一1Z汁2M乞σ6十♂汁1）十《4δ年11乙＋1罵Nz十  N乞＋1       （2−5）

 ここに，N乞， N乞＋1，1荷重項

軸力P。の作用を受けて振動する部材では

，遵z・・一三直なる分布腫が作用しているものと

みなしうるから，上式に含まれる荷重項N乞，N乞・1が 次のように与えられる8）．

       冠2       Zゴ        0  42Zゼ   κ22

 扉冠  1ガ2

       乙乞＋1        0

（1盛十1一規十1）2

       （2−6）

  1乞＋1

上式に式（2−6）を代入のうえ，積分定数：として式

（2−4）を用いれば次式をうる．

         ゲ       る      ブ  N盛＝一1乞（∫8・乞・Mz十∫7・乞M乞）一1乞（∫4・乞ルf盛十∫s・乞

  ご ル9      ン ＿．．

       ゲ      あ 脇・1一一1乞・1（／7・乞・1鱈．1＋∫8覗鱈．1）一

1乞・1（∫3・乞M慕1＋∫4，奄・1Mみ1）   （2−7）

 ここに，

歴ん才／（λ1＋γ1）．o（一6λ・・1…んλ・一λ多＋6）／λ才＋

   （67・・・…γ・一γ1−6）／・量｝

乃・・一心／（λ1＋・1）｛（6λ・・蹴一2λ警一9）／λ穿＋

   （吻・γ汁・・1−6）／・1｝

迄・・一・逸／（λ1＋γ1）｛（6λ…5醐＋λ1−6）／λ1÷

   （6騨・・γ・一・1−6）／γ1｝

顛一・・／（λ1＋γ1）｛（一6々・・鵡＋2λ1−6）／λ1＋

   （6・・…γ汁・・1）／・1｝

式（2−7）を式（2−5）に代入すれば，一定軸力Poを 受ける不静定ばりを解くための動力学5連モーメント 式が求まり・結局次のようにえられる・

 M乞＿1 Z包（1十プ＝ア，乞十養3，乞） 十ノレfz ｛♂ご（2十ノ智，盛十ゐ』，乞）一ト

   z・ナ・（2十プも，乞＋i十五L，乞）｝＋脇・・砺（1＋

   ノr7，名＋1一預8，盛＋1）＝＝0       （2−8）

式（2−8）を本題の両端固定ばりに適用すれば次式を

うる．

〔2−1一プ覧3一げ4      1十プ『7十ノも1一げ7＋尭 2十商ザ4〕｛謝一・（・動

式（2−9）から振動数方程式が次のように与えられる．

 （2十」亀一i−」『≧）2 一（1−1一∫7十ニプ『8）2＝0      （2−10）

式（2−10）より本題の固有値んが求吟ちれ・これを式

（2−9）に代入すればMAと軍Bとの関係がえられる一 基奉張動のみを対象とすればMA＝MB≧なり，した がって規準関数Z（x）が次のように算定されること

になる．

Z（の一λ・皐γ・｛一…んλξ＋（…乃λ一・・醐・勲

   λξ棚γξ＋（一・叶ω∫・・γ）吻ξ｝一（241＞

 参 考 文 献

1）N．Y．mっki；Lfueでce of Large．Amplitudes on Flexl  ural Vibr tions of Elastic Plates， ZAMM， Vo1．41．

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2）J．G． Eisely；Nonlinear Vibration of Beams ardl  Rectrngular Plates， ZAMP， Vol．15， pp．167ん175．

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5）S．Levy；Bending of Rectangu1ヨr Plates with L3rge・

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4）S．Levy；Square Plate with Clamped Edges under・

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 10月

8）岡本；建設技術者のための振動学，pp．119〜122，二一  ム社，昭和42年