中間試験（解答）

線形代数学

1 No.1 – No.8 2005. 6.22

中間試験（解答） 担当：市原

問題

1

ベクトル

a =



  1 2 0



 

と

b =



 

−3 3 1



 

について

,

以下の問いに答えなさい

.

(1)

内積

(3a − b, −b)

を求めなさい

.

(3a − b, −b) =



  3



  1 2 0



  −



 

−3 3 1



  , −



 

−3 3 1



 



  =



 



  6 3

−1



  ,



  3

−3

−1



 



 

= 6 × 3 + 3 × (−3) + (−1) × (−1) = 10

(2)

外積

a × b

を求めなさい

.

a × b =



  1 2 0



  ×



 

−3 3 1



  =



 

2 × 1 − 3 × 0 0 × (−3) − 1 × 1 1 × 3 − (−3) × 2



  =



  2

−1 9



 

問題

2

行列

A =



 

1 −1 0

0 2 1

1 0 −1



 , B =



 

0 1 −1 1 0 −2 0 −1 0



 ,

に対し

, BABA

を計算しな さい

.

BA =



 

0 1 −1 1 0 −2 0 −1 0



 



 

1 −1 0

0 2 1

1 0 −1



  =



 

−1 2 2

−1 −1 2 0 −2 −1



 

BABA =



 

−1 2 2

−1 −1 2 0 −2 −1



 



 

−1 2 2

−1 −1 2 0 −2 −1



  =



 

−1 −8 0 2 −5 −6

2 4 −3



 

問題

3

連立方程式

 



 

x − y = 3 y − z = −1 z + x = 2

について

,

次の問いに答えなさい

.

(1)

行列表示しなさい

.



 

1 −1 0 0 1 −1

1 0 1



 



  x y z



  =



  3

−1 2



 

(2)

基本変形で解を求めなさい

.

拡大係数行列は



 

1 −1 0 3

0 1 −1 −1

1 0 1 2



 

基本変形により

,

0 B@

1 −1 0 3

0 1 −1 −1

1 0 1 2

1

CA °^{3 + 1}°^×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 −1 0 3

0 1 −1 −1

0 1 1 −1

1

CA °^{3 + 2}°^×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 −1 0 3

0 1 −1 −1

0 0 2 0

1 CA °³×¹₂

−−−−→

0 B@

1 −1 0 3

0 1 −1 −1

0 0 1 0

1 CA

連立方程式に戻すと

 



 

x − y = 3 y − z = −1 z = 0

よって

,



  x y z



  =



  2

−1 0



 

問題

4

連立方程式

 



 

x − z = −1 y + 2z = 2 x + y + z = −1

について

,

次の問いに答えなさい

.

(1)

拡大係数行列をかきなさい

.

拡大係数行列を

B

とすると

B =



 

1 0 −1 −1

0 1 2 2

1 1 1 −1



 

(2)

拡大係数行列の階数（ランク）を計算しなさい

.

B= 0 B@

1 0 −1 −1

0 1 2 2

1 1 1 −1

1

CA °^{3 + 1}°^×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 0 −1 −1

0 1 2 2

0 1 2 0

1

CA °^{3 + 2}°^×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 0 −1 −1

0 1 2 2

0 0 0 −2

1

CA °³×(−¹₂)

−−−−−−−→

0 B@

1 0 −1 −1

0 1 2 2

0 0 0 1

1 CA

よって

,

拡大係数行列

B

の階数（ランク）は

3.

(3)

「解なし」

,

「解は

1

組」

,

「不定解」のどれか答えなさい

.

係数行列を

A

とすると

, (2)

と同様にして

,

A= 0 B@

1 0 −1

0 1 2

1 1 1

1

CA °³ + 1°×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 0 −1

0 1 2

0 1 2

1

CA °³ + 2°×(−1)

−−−−−−−−−−−−→

0 B@

1 0 −1

0 1 2

0 0 0

1 CA

よって

, rank A = 2.

従って

, rank A < rank B

なので 「解なし」

問題

5

連立方程式

 



 

x + z = 3 2x − y = 0 x − z = 5

について

,

次の問いに答えなさい

.

(1)

係数行列をかきなさい

.



 

1 0 1

2 −1 0 1 0 −1



 

(2)

基本変形を使って

,

係数行列の逆行列を求めなさい

.

1 0 1 2 −1 0 1 0 −1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0 0 1 0 0 0 1

°

2 +

°

1 ×(−2)

−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 −1 −2 1 0 −1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0

−2 1 0 0 0 1

°

3 +

°

¹ ×(−1)

−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 −1 −2 0 0 −2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0

−2 1 0

−1 0 1

°

3×(−¹₂)

−−−−−−→

1 0 1 0 −1 −2 0 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0

−2 1 0

1

2

0 −

¹₂

°

2^×(−1)

−−−−−−→

1 0 1 0 1 2 0 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0 2 −1 0

1

2

0 −

¹₂

°

2 ⁺

°

^{3 ×(−2)}

−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 1 0 0 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 0 0 1 −1 1

1

2

0 −

¹₂

°

1 +

°

3 ×(−1)

−−−−−−−−−−−→

1 0 1 0 1 0 0 0 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1

2

0

¹₂

1 −1 1

1

2

0 −

¹₂

よって逆行列は

,



 

1

2

0

¹₂

1 −1 1

1

2

0 −

¹₂



 

(3)

係数行列の逆行列を使って

,

連立方程式を解きなさい

.

行列表示すると



 

1 0 1

2 −1 0 1 0 −1



 



  x y z



  =



  3 0 5



 

よって

,



  x y z



  =



 

1

2

0

¹₂

1 −1 1

1

2

0 −

¹₂



 



  3 0 5



  =



 

1

2

× 3 + 0 × 0 +

¹₂

× 5 1 × 3 + −1 × 0 + 1 × 5

1

2

× 3 + 0 × 0 + −

¹₂

× 5



  =



 

3 2

+

⁵₂

3 + 5

3 2

−

⁵₂



  =



  4 8

−1



 