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公益社団法人日本心理学会 第4回「心理・医学系研究者のためのRによる統計学の研究会」 第4回 心理 医学系研究者のためのRによる統計学の研究会」

初心者による初心者のための

探索的

分析

探索的因子分析

東京医科歯科大学医歯学総合研究科

東京医科歯科大学医歯学総合研究科

博士課程1年 市倉加奈子

（ichikura lppm@tmd ac jp） （[email protected]）

本日のMENU

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1. 探索的因子分析とは

2. 探索的因子分析の原理

3. 探索的因子分析の手順

4. 「データ解析環境R」による探索的

因子分析の手順

順

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1. 探索的因子分析とは

2. 探索的因子分析の原理

3. 探索的因子分析の手順

4. 「データ解析環境R」による探索的

因子分析の手順

順

探索的因子分析とは

探索

分析

観測される一連の変数から直接観察すること

観測

連

変数

直接観察す

のできない因子（潜在変数）を見出す方法

探索的因子分析 Exploratory Factor Analysis

⇒直交解では因子パターン 独自性 斜交解

⇒直交解では因子パタ ン、独自性、斜交解

では因子パターン、独自性、因子間相関を

自由

母数

として行う因子分析

母数

として行う因子分析

確認的因子分析 Confirmatory Factor Analysis

実質科学的知見をもと

子パタ

⇒実質科学的知見をもとに、因子パターン、

独自性、因子間相関を

固定母数または制約母

数

とし 行う分析

数

として行う分析

探索的因子分析とは

探索

分析

観測される一連の変数から直接観察すること

_{自由に値を取りうる未知な母数（母集団に固有}

観測

連

変数

直接観察す

のできない因子（潜在変数）を見出す方法

自由に値を取りうる未知な母数（母集団に固有_{の定数）のことで、自分の仮定したモデルにお} いて どのような値をとるか全く分からない場合

探索的因子分析 Exploratory Factor Analysis

⇒直交解では因子パターン 独自性 斜交解

いて、どのような値をとるか全く分からない場合 に用いる。

⇒直交解では因子パタ ン、独自性、斜交解

では因子パターン、独自性、因子間相関を

自由

母数

として行う因子分析

母数

として行う因子分析

確認的因子分析 Confirmatory Factor Analysis

実質科学的知見をもと

子パタ

⇒実質科学的知見をもとに、因子パターン、

独自性、因子間相関を

固定母数または制約母

数

とし 行う分析

数

として行う分析

探索的因子分析とは

探索

分析

探索的因子分析では・・・

説明変数 1 説明変数 2 説明変数 1 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 1 1 1 1 1 1 何個の共通因子を持 た 何個の共通因子を持った モデルが適切かを検討

探索的因子分析とは

探索

分析

確認的因子分析では・・・

説明変数 1 説明変数 2 説明変数 1 説明変数 2 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 独自因子 1 1 1 1 1 1 1 どのような共通因子の影響性を持 た どのような共通因子の影響性を持った モデルが適切かを検討

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1. 探索的因子分析とは

2. 探索的因子分析の原理

3. 探索的因子分析の手順

4. 「データ解析環境R」による探索的

因子分析の手順

順

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

目的：「共通因子」を見つけだすこと

目的：「共通因子」を見つけだすこと

説明変数 1 説明変数 2 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 1 2 3 4 5 独自因子 1 独自因子 2 独自因子 3 独自因子 4 独自因子 5

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

共通因子 説明変数 1 説明変数 2 a11 a21 a31 a41 a₅₁ a12 a₂₂ a 32 a42 a52 因子負荷量 観測値 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 4 目的変数 5 a41 a₅₁ a32 1 2 3 4 5 独自因子 1 独自因子 2 独自因子 3 独自因子 4 独自因子 5 独自因子

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

f1 文系能力 f2 理系能力 例） 因子負荷量： 共通因子の目的変数への影響性 f1 文系能力 f2 理系能力 a a31 a a 共通因子の目的変数への影響性 ※例）「理科」と「数学」にも多少は「文系能力」が影響 a11 a21 a31 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 a42 a52 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5 独自性 個別の独自因子の目的変数 の影響性 独自性：個別の独自因子の目的変数への影響性 ※例）「国語」「英語」「社会」の違いを規定

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

f1 文系能力 f2 理系能力 f1 文系能力 f2 理系能力 a11 a21 a31 a42 a52 a11 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学

e

e

e

e

e

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

u

= a f ＋ a f ＋ e

u

1

= a

11

f

1

＋

a

12

f

2

＋

e

1 目的変数1 共通因子1の影響性 共通因子2の影響性 独自因子1

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

u

= a f ＋ a f ＋ e

u

1

= a

11

f

1

＋

a

12

f

2

＋

e

1 目的変数1 共通因子1の影響性 共通因子2の影響性 独自因子1

u

2

= a

21

f

1

＋

a

22

f

2

＋

e

2

u

3

= a

31

f

1

＋

a

32

f

2

＋

e

3

u

4

= a

41

f

1

＋

a

42

f

2

＋

e

4

u

5

= a

51

f

1

＋

a

52

f

2

＋

e

5

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

≪注意①≫主成分分析との違い

説明変数 1 説明変数 2 説明変数 1 説明変数 2 説明変数 3 1 2 3 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 主成分分析：観測値が独立変数 因子分析：観測値が従属変数

f = 

u

₁

a

₁

＋

u

₂

a

₂

＋

u

₃

a

₃

u

₁

= a

₁₁

f

₁

＋ a

₁₂

f

₂

＋ e

₁

u

₂

= a

₂₁

f

₁

＋ a

₂₂

f

₂

＋ e

₂

u

₂

 a

₂₁

f

₁

＋ a

₂₂

f

₂

＋ e

₂

u

₃

= a

₃₁

f

₁

＋ a

₃₂

f

₂

＋ e

₃

探索的因子分析の原理

探索

分析

原

≪注意②≫納得いくモデルが2つ得られたら・・・

説明変数 1 説明変数 2 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 4 目的変数 5 研究者の主観（仮説）を重要視して選択する 説明変数 2 説明変数 1 説明変数 3 研究者の主観（仮説）を重要視して選択する 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 目的変数 1 目的変数 2 目的変数 3 目的変数 4 目的変数 5

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1. 探索的因子分析とは

2. 探索的因子分析の原理

3. 探索的因子分析の手続き

4. 「データ解析環境R」による探索的

因子分析の手順

順

探索的因子分析の手続き

探索

分析

続

① 因子の抽出

② 共通因子数の選定

③ 因子の回転

④ 各共通因子の意味の解釈

⑤

析結

精度

確

⑤ 分析結果の精度の確認

①因子の抽出

①

抽

因子の抽出

とは：因子負荷量と独自因子の分散を推定 反復 収束 の速さ 推定誤差 の大きさ 計算 の容易さ の速さ の大きさ の容易さ 主因子法 × _‐ 大 易 ○ 遅 大 易 反復主因子法 ○ 遅 大 易 最小2乗法 ○ 速 大 難 最尤法 ○ 速 小 難 ※推定誤差の大きさは「正規分布」仮定時 ※推定誤差の大きさは「正規分布」仮定時

手計算 → 反復主因子法

ソフト

_{→ 最尤法}

が好まれる

①因子の抽出

①

抽

これらの抽出方法はどのようなことをしているのか？ (1) 目的変数の標準化 f1 文系能力 f2 理系能力 (1) 目的変数の標準化 f1 文系能力 f2 理系能力 a11 a21 a31 a42 a52 「標準化」： 平均 = 0、標準偏差 = 1 になるように置換_a11 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学

e

e

e

e

e

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

①因子の抽出

①

抽

国語 英語 社会 理科 数学 あ _{10 10 20 80 90} あ _{10 10 20 80 90} い _{20 40 10 100 80} う _{30 20 10 90 100} う _{30 20 10 90 100} え _{90 80 70 20 30} お _{70 90 90 10 30} か _{100 100 80 20 20} さ _{20 10 10 30 20} し _{30 20 10 10 30} す _{90 90 80 90 90} せ _{80 90 100 70 90}

標準化 : 

u

1

= (x

1

‐ M) / SD

①因子の抽出

①

抽

国語 英語 社会 理科 数学 あ _{1 26 1 18 0 72 0 74 0 93} あ _{-1.26 -1.18 -0.72 0.74 0.93} い _{-0.97 -0.39 -0.98 1.26 0.64} う _{0 69 0 92 0 98 1 00 1 23} う _{-0.69 -0.92 -0.98 1.00 1.23} え _{1.03 0.66 0.57 -0.84 -0.82} お _{0.46 0.92 1.08 -1.10 -0.82} か _{1.31 1.18 0.82 -0.84 -1.11} さ _{-0.97 -1.18 -0.98 -0.58 -1.11} し _{-0.69 -0.92 -0.98 -1.10 -0.82} す _{1.03 0.92 0.82 1.00 0.93} せ _{0.74 0.92 1.34 0.47 0.93}

①因子の抽出

①

抽

u1国語 u5数学 あ _{-1.26 ・・・ 0.93} ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ せ 0.74

＝

・・・ 0.93 u1国語 u5数学

＝

u1国語 u5数学 あ _a11fあ1 ＋ a12 fあ2 ＋ e1 ・・・ a51fあ1 ＋ a52 fあ2 ＋ e1 ・ ・ ・・ ・・ ・・ ・ ・ ・ ・ せ _a11fせ1 ＋ a12 fせ2 ＋ e1 ・・・ a51fせ1 ＋ a52 fせ2 ＋ e1 この等式が成り立つはず！！

①因子の抽出

①

抽

(2) 各変数の平均と標準偏差を仮定 f1 文系能力 f2 理系能力 a11 a21 a31 a12 a₂₂ a a42 a52 平均 = 0 標準偏差 = 1 であると仮定 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 平均 = 0、標準偏差 = 1 であると仮定 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 平均 = 0、標準偏差 = d2 であると仮定

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

①因子の抽出

①

抽

(2) 各変数の平均と標準偏差を仮定 f1 文系能力 f2 理系能力

つまり

「因子の抽出」

とは

a11 a21 a31 a12 a₂₂ a a42 a52 平均 = 0 標準偏差 = 1 であると仮定

「因子の抽出」

とは・・・

u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 平均 = 0、標準偏差 = 1 であると仮定

①因子負荷量

a

_n

d

u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 平均 = 

_{②独自因子の分散}

0、標準偏差 = d2 であると仮定

d

n

e

1

e

2

e

3

を求めること

e

4

e

5

①因子の抽出

①

抽

(3) 変数間の相関を仮定 f1 文系能力 f2 理系能力 共通因子と独自因子は相関なしと仮定 a11 a21 a31 a12 a₂₂ a a42 a52 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 独自因子同士は相関なしと仮定

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

①因子の抽出

①

抽

(3) 変数間の相関を仮定 f1 文系能力 f2 理系能力 a11 a21 a31 a12 a₂₂ a a42 a52 共通因子同士が相関なしと仮定：直交回転モデル u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 a41 a51 a12 a₂₂ a 32 共通因子同士が相関なしと仮定：直交回転モデル 共通因子同士が相関ありと仮定：斜交回転モデル u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学 ※研究者の「主観（仮説）」が重要！ ※一般的には、共通因子同士が全く相関なしとは考えにくい

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

①因子の抽出

①

抽

(4) 因子負荷量・独自因子の分散の算出 1 r₁₂ r₁₃ r₁₄ r₁₅ r₂₁ 1 r₂₃ r₂₄ r₂₅

R = AA’ ＋ D

r₃₁ r₃₂ 1 r₃₄ r₃₅ r₄₁ r₄₂ r₄₃ 1 r₄₅ ※R：相関行列 ※A：因子負荷行列 r₅₁ r₅₂ r₅₃ r₅₄ 1 a a ※A：因子負荷行列 ※D：分散の対角行列 d21 0 0 0 0 0 d22 0 0 0 2 a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₁₁ a₂₁ a₃₁ a₄₁ a₅₁

＋

＝

0 0 d23 0 0 0 0 0 d24 0 0 0 0 0 d2 a₃₁ a₃₂ a41 a42 11 21 31 41 51 a₁₂ a₂₂ a₃₂ a₄₂ a₅₂

＋

0 0 0 0 d25 a₅₁ a₅₂

①因子の抽出

①

抽

(4) 因子負荷量・独自因子の分散の算出 国語 英語 社会 理科 数学 国語 1 95 91 30 22 国語 1 .95 .91 -.30 -.22 英語 .95 1 .95 -.21 -.15 91 95 1 23 10 社会 .91 .95 1 -.23 -.10 理科 -.30 -.21 -.23 1 .93 数学 -.22 -.15 -.10 .93 1 目的変数間の相関を求める

①因子の抽出

①

抽

(4) 因子負荷量・独自因子の分散の算出 1 0.95 0.91 -0.3 -0.2 0 95 1 0 95 0 2 0 2 0.95 1 0.95 -0.2 -0.2 0.91 0.95 1 -0.2 -0.1 -0.3 -0.2 -0.2 1 0.93 a a -0.2 -0.2 -0.1 0.93 1 d21 0 0 0 0 0 d22 0 0 0 2 a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₁₁ a₂₁ a₃₁ a₄₁ a₅₁

＋

＝

0 0 d23 0 0 0 0 0 d24 0 0 0 0 0 d2 a₃₁ a₃₂ a41 a42 11 21 31 41 51 a₁₂ a₂₂ a₃₂ a₄₂ a₅₂

＋

0 0 0 0 d25 a₅₁ a₅₂ 計算していくと・・・

①因子の抽出

①

抽

(4) 因子負荷量・独自因子の分散の算出 a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ .932 .222 .938 .328

＝

a₃₁ a₃₂ a₄₁ a₄₂ .898 .321 -.520 .813 a₅₁ a₅₂ -.440 .864

異なる抽出方法で再分析

・異なる抽出方法で再分析

・共通因子数の変更 観測変数の減少

共通因子数の変更、観測変数の減少

・異常値の削除

異常値

削除

などの方法でエラーが出なくなるまでモデルを模索

②共通因子数の推定

②

通

数

推定

•ガッドマン・ルール（カイザーガットマン基準） 相関行列 固有値が 固 相関行列の_{1より大きなものの個数}固有値が を 子数とする 固 有値 _{を因子数とする} 因子の番号

②共通因子数の推定

②

通

数

推定

•スクリー法（スクリープロット基準） 相関行列の固有値の 固 相関行列の固有値の 大きさの変化がなだらか になる直前の固有値番号 固 有値 になる直前の固有値番号 を因子数とする 因子の番号

③因子の回転

③

回転

≪回転の種類≫

≪回転の種類≫

直交回転

斜交回転

直交回転

バリマ クス法

斜交回転

プロマ クス法 • バリマックス法 • コーティマックス法 • プロマックス法 • コーティミン法 コ ティマックス法 • バイティコーティマックス法 コ ティミン法 • バイコーティミン法 • コバリミン法

③因子の回転

③

回転

1.000 国語 .800 .900 英語 社会 .600 .700 理科 数学 .400 .500 .200 .300 .000 .100 ‐ 600.600 ‐ 400.400 ‐ 200.200 .000000 .200200 .400400 .600600 .800800 1 0001.000 1 2001.200

③因子の回転

③

回転

1.000 国語 共通因子の意味を解釈しやすく .800 .900 英語 社会 するために軸を回転させる .600 .700 理科 数学 .400 .500 .200 .300 .000 .100 ‐ 600.600 ‐ 400.400 ‐ 200.200 .000000 .200200 .400400 .600600 .800800 1 0001.000 1 2001.200

③因子の回転

③

回転

国語

バリマックス回転で見てみると・・・

国語 英語 社会 1.000 1.200 社会 理科 数学 .800 1.000 数学 400 .600 .200 .400 200 .000 ‐.400 ‐.200 .000 .200 .400 .600 .800 1.000 1.200 ‐.400 ‐.200

③因子の回転

③

回転

第1共通因子 第2共通因子 国語 932 222 国語 .932 .222 英語 .938 .328 社会 898 321

回転

社会 .898 .321 理科 -.520 .813 数学

回転

数学 -.440 .864 第1共通因子 第2共通因子 第1共通因子 第2共通因子 国語 .943 -.170 英語 991 - 076 英語 .991 -.076 社会 .952 -.066 理科 150 954 理科 -.150 .954 数学 -.056 .968

④各共通因子の意味の解釈

④各

通

味

解釈

第1共通因子 第2共通因子 国語 943 170 国語 .943 -.170 英語 .991 -.076 社会 .952 -.066 理科 -.150 .954 数学 -.056 .968 f1 文系能力 f2 理系能力 .943 .991 .952 -.150 -.056 -.170 -.076 _-.066 .954 .968 u1 国語 u2 英語 u3 社会 u4 理科 u5 数学

⑤分析結果の精度の確認

⑤分析結果

精度

確認

第1共通因子 第2共通因子 国語 943 170 国語 .943 -.170 英語 .991 -.076 社会 .952 -.066 理科 -.150 .954 数学 -.056 .968 第1共通因子の寄与率 = (b2 11＋ b221 ＋ b231 ＋ b241 ＋ b251) ×100 / 5 = 56.065 第2共通因子の寄与率 = (b2 12＋ b222 ＋ b232 ＋ b242 ＋ b252) ×100 / 5 = 37.723 累積寄与率 = 56.056 ＋ 37.723 = 93.779 (%)

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1. 探索的因子分析とは

2. 探索的因子分析の原理

3. 探索的因子分析の手続き

4. 「データ解析環境R」による探索的

因子分析の手順

順

「R」による探索的因子分析の手順

国語 英語 社会 理科 数学

」

探索

分析

順

あ _{10 10 20 80 90} い _{20 40 10 100 80} う _{30 20 10 90 100} え _{90 80 70 20 30} え _{90 80 70 20 30} お _{70 90 90 10 30} か _{100 100 80 20 20} か _{100 100 80 20 20} さ _{20 10 10 30 20} し _{30 20 10 10 30} し _{30 20 10 10 30} す _{90 90 80 90 90} せ _{80 90 100 70 90} せ _{80 90 100 70 90}

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

データの読み込み

setwd("G:/r_toukei")

dat <- read table("exercise r toukei csv" sep=" " header=T dat < read.table( exercise_r_toukei.csv , sep , , header T, na=".") library(psych) library(psych) ①ハ ドディスク「G」の中にある ①ハードディスク「G」の中にある フォルダ「r_toukei」にアクセス ② イ 「 ②csvファイル「exercise_r_tou kei」のデータを行列datと置く ③パッケージ「psych」を呼び出す

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

因子分析の実行 (2因子と仮定) factanal(x=dat,factors=2) ※何も指定しなければ、最尤法・バリマックス回転 ← 独自性 ④各目的変数の「独自性」

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

因子分析の実行 (2因子と仮定) factanal(x=dat,factors=2) ⑤共通因子1と共通因子2 のそれぞれの因子負荷量 を算出 ← 因子負荷量 因子負荷量が0に近すぎる 因子負荷量 近すぎる と表示されない！

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

因子分析の実行 (2因子と仮定) factanal(x=dat,factors=2) ← 因子寄与率 ← 累積因子寄与率 ⑥因子寄与率、累積因子寄与率を算出 ← 適合度検定のp値 ⑥因 寄 率、累積因 寄 率を算 ⑦適合度の検定

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

因子負荷量をすべて表示 print(factanal(x=dat,factors=2),cutoff=0) 因子負荷量が0以上の値は 因子負荷量 すべて表示 ← 因子負荷量

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

共通性の算出 communality <- 1-factanal(x=dat,factors=2)$uniquenesses ← 共通性 ⑧共通性を算出 （共通性が高い＝共通因子で説明できる部分が大きい）

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

共通因子数の推定 evres <- eigen(cor(dat)) evres$value $ ↑ 固有値の算出 plot(evres$value, type="b") スクリープロット → ⑨固有値を算出 ⑩スクリ プロ トを ⑩スクリープロットを 作図

「R」による探索的因子分析の手順

」

探索

分析

順

ちなみに・・・

factanal(x=dat,factors=2, rotation="promax")

「私の」参考文献

私

」参考

献

①マンガでわかる統計学【因子分析編】

（オーム社） →統計や因子分析に対する抵抗感を下げる →統計や因子分析に対する抵抗感を下げる →行列の計算方法や専門用語を勉強

②共分散構造分析【疑問編】

（朝倉書店）

②共分散構造分析【疑問編】

（朝倉書店） →探索的因子分析と確認的因子分析の違いを勉強 因子分析に関連した専門用語を勉強 →因子分析に関連した専門用語を勉強

③

_{SPSSで学ぶ医療系多変量データ解析}

（東京図書） 因子分析 根本的な原理と基本方程式 理解 →因子分析の根本的な原理と基本方程式の理解

④心理統計学の基礎

（有斐閣アルマ） →因子分析の手順と数式の理解

⑤

_{SASによる統計解析【基礎統計編】}

（科学技術出版） →因子抽出法と因子数の決定に関する原理の理解 http://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~kano/old/lecture/u_graduate/multivariate/factor.pdf

「私の」参考文献

私

」参考

献

⑥

_{Using Multivariate Statistics}

（Pearson International Edition）

→良く分からない・・・作った資料と相違がないか確認 →良く分からない・・・作った資料と相違がないか確認

⑦データ解析環境「

_R」

（工学者） 「_{R」のデ タ ハンドリングを勉強} →「R」のデータ・ハンドリングを勉強

⑧

_{The R Tips}

-データ解析環境Rの基本技・グラフィックス活用集-（オーム社） 「 デ タ ド グを勉強 →「R」のデータ・ハンドリングを勉強

⑨「

_{R」によるやさしい統計学}

（オーム社） →「R」による因子分析のプログラムを確認