1-1 次の式の値を計算しなさい。

.¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.1

出題：４月１１日（月） 提出期限：４月１８日（月）１３：３０

µ ´

問題

1-1 次の式の値を計算しなさい。

(1) 9

^3/2

(2) 5

^−1/3

· 5

^7/3

，ここで · は×のことです。 (3) (

2

^√3

)

2√

3

問題

1-2 次の式の値を計算しなさい。

(1) log

₂

256, (2) log

₁₀

0.001 (3) log

₆

3 + log

₆

12

問題

1-3 f(x) = a + b x , g(x) = c + d x のとき，以下の等式が成り立つように α，β，γ を決めなさい。a, b, c, d は定数を表します。

(1) f(x)g(x) = α + β x + γ x

²

(2) g(f (x)) = α + β x + γ x

²

(3) f(g(x)) = α + β x + γ x

²

注意

! 2 つの関数，f と g を用いて作られる g(f (x)) や f(g(x)) のような関数を合成関数 と呼びます。 g(f(x)) の代わりに (g ◦ f)(x) と書く場合があります。 (

^¨_§桑村§1.4.1,p.7^¥_¦

)

問題

1-4 f (x, y) = 2x + 3y のとき，以下の等式が成り立つように α と β を決めなさい。

a, b, c, d は定数を表します。

f(a + b t , c + d t) = α + β t .

問題

1-5 以下の関数 f(x) について，y = f (x) のグラフの概形を描きなさい。

(1) f(x) = 2x + 8

x + 3 (2) f (x) = 4 − 1 (x − 2)

²

(3) f(x) = 2e

^2x−3

− 2 (4) f(x) = log(x + 3) (x > − 3)

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.1 略解

µ ´

解

1-1 プリントの (2.1) を使います。

(1) 9 = 3

²

なので，9

^3/2

= (3

²

)

^3/2

= 3

^2·3/2

= 3

³

= 27 . (2) 5

^−1/3

· 5

^7/3

= 5

^−1/3+7/3

= 5

²

= 25 .

(3) (

2

^√3

)

2√

3

= 2

^√3·2√3

= 2

⁶

= 64 .

解

1-2 プリントの (3.1) を使います。

(1) 256 = 2

⁸

なので，log

₂

256 = log

₂

2

⁸

= 8 log

₂

2 = 8 .

(2) 0.001 = 10

⁻³

なので，log

₁₀

0.001 = log

₁₀

10

⁻³

= − 3 log

₁₀

10 = − 3 . (3) log

₆

3 + log

₆

12 = log

₆

(3 · 12) = log

₆

36 = log

₆

6

²

= 2 log

₆

6 = 2 .

解

1-3

(1)

f (x)g(x) = (a + b x)(c + d x) = ac + (ad + bc) x + bd x

²

(p1.1) より，

α = ac , β = ad + bc , γ = bd . (p1.2) (2)

g(f (x)) = c + d f(x) = c + d (a + b x) = c + da + db x (p1.3) より，

α = c + ad , β = bd , γ = 0 . (p1.4) (3)

f(g(x)) = a + b g(x) = a + b (c + d x) = a + bc + bd x (p1.5) より，

α = a + bc , β = bd , γ = 0 . (p1.6)

解

1-4

f (a + b t , c + d t) = 2(a + b t) + 3(c + d t) = 2a + 3c + (2b + 3d) t (p1.7) より，

α = 2a + 3c , β = 2b + 3d . (p1.8)

解

1-5

(1)

^¨_§桑村p.11例題1.2^¥_¦

を参照。

2x + 8

x + 3 = 2(x + 3) + 2

x + 3 = 2 + 2

x + 3 . (p1.9)

グラフが

x→−

lim

3−0

f (x) = −∞ , lim

x→−3+0

f (x) = ∞ , lim

x→±∞

f (x) = 2 (p1.10) となっていることが必要。。x 軸と y 軸を横切る座標

f(0) = 8

3 , f ( − 4) = 0 (p1.11)

が書いてあればなお良い。なお，グラフは，点 ( − 3 , 2) に対して点対称となります。

x y

−3

8 3

(2) グラフが

x

lim

→2

f (x) = −∞ , lim

x→±∞

f (x) = 4 (p1.12)

となっていることが必要。x 軸と y 軸を横切る座標

f(0) = 15

4 , f(3/2) = 0 , f (5/2) = 0 (p1.13) が書いてあればなお良い。なお，グラフは，直線 x = 2 に対して軸対称となります。

x y

5 2 3 2 15

4

(3) グラフが下に凸で

x→−∞

lim f (x) = − 2 , lim

x→∞

f(x) = ∞ , f (3/2) = 0 (p1.14) となっていることが必要。

x y

3 2

(4) グラフが上に凸で

x→−

lim

3+0

f (x) = −∞ , lim

x→∞

f (x) = ∞ , f ( − 2) = 0 (p1.15) となっていることが必要。

x

y

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2

出題：４月１８日（月） 提出期限：４月２５日（月）１３：３０

µ ´

問題

2-1

y = 3 cos (

πx + π 10

)

(p2.1) のグラフの山の位置 (y = 3 となる x の値)，谷の位置 (y = − 3 となる x の値)，および x 軸を横切る位置 (y = 0 となる x の値) をそれぞれ求めなさい。また， − 2 ≤ x ≤ 1 の範囲 でのグラフの概形を描きなさい。

問題

2-2

(1) 関数 f(x, y) = x

²

+ y

²

を考える。f (x, y) = 25, f (x, y) = 4, f (x, y) = 0 を満たす

(x, y) はそれぞれ xy 平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

(2) 関数 f (x, y) = xy を考える。f (x, y) = 1, f (x, y) = − 1, f (x, y) = 0 を満たす (x, y) はそれぞれ xy 平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

問題

2-3

以下の関数 f (x) が x = 0 で連続となるように定数 a の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f (x) = {

a (x = 0)

sin(3x)

x

(x 6 = 0) (2) f(x) = {

a (x = 0)

sin(3x)

|x|

(x 6 = 0)

問題

2-4

以下の関数 f (x) が x = 1 で連続となるように定数 a の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f (x) =

 



a (x = 1)

√ x − 1

x − 1 (x 6 = 1) (2) f (x) =

 



a (x = 1)

3x

²

− 5x + 2

x

²

− 4x + 3 (x 6 = 1)

問題

2-5

(1) 中間値の定理を用いて，方程式

sin x − x cos x = 0 (p2.2)

が 2π と 3π の間に実数解をもつことを示しなさい。

(2) 中間値の定理を用いて，方程式

1 − x

²

2 + x

³

12 = 0 (p2.3)

が 1 と 2 の間に実数解をもつことを示しなさい。

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.2 略解

µ ´

解

2-1

山の位置は

πx + π

10 = 2πn より x = − 1 10 + 2n

(

= − 0.1 + 2n )

, n = 0 , ± 1 , ± 2 · · · (p2.4) を満たす x となります。 − 2 ≤ x ≤ 1 の範囲では x = − 0.1 となります。

谷の位置は

πx + π

10 = π(2n + 1) より x = 9 10 + 2n

(

= 0.9 + 2n )

, n = 0 , ± 1 , ± 2 · · · (p2.5) を満たす x となります。− 2 ≤ x ≤ 1 の範囲では x = − 1.1 , 0.9 となります。

y = 0 となるのは πx + π

10 = π

2 + πn より x = 2 5 + n

(

= 0.4 + n )

, n = 0 , ± 1 , ± 2 · · · (p2.6) を満たす x となります。− 2 ≤ x ≤ 1 の範囲では x = − 1.6 , − 0.6 , 0.4 となります。

以上より， − 2 ≤ x ≤ 1 でのグラフの概形は以下のようになります：

x y

−1.6

−1.1

−0.1 0.6 0.9

− 0.4

解

2-2

(1) x

²

+y

²

= 25 は原点中心，半径 5 の円。 x

²

+y

²

= 4 は原点中心，半径 2 の円。 x

²

+y

²

= 0 は原点のみ。いろいろな f (x, y) の値に対する曲線を描くと，等高線図が得られます。

-6 -4 -2 2 4 6

-6 -4 -2 2 4 6

x y

z=0 z=4

z=25

z = f (x, y) の等高線の図

(2) xy = 1 は y = 1

x と書きかえられるので， f(x, y) = 1 を満たす (x, y ) は (1, 1), ( − 1, − 1) を通る直角双曲線を表します。

xy = − 1 は y = − 1

x と書きかえられるので，f (x, y) = − 1 を満たす (x, y) は ( − 1, 1), (1, − 1) を通る直角双曲線を表します。

xy = 0 は x = 0 あるいは y = 0 と等価なので，f(x, y) = 0 を満たす (x, y ) は x 軸お よび y 軸を表します。

いろいろな f(x, y) の値に対する曲線を描くと，等高線図が得られます。

x y

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

z=1

z=1 z= −1 z= −1

z=0

z = f (x, y) の等高線の図

解

2-3

¨

§

¥

桑村p.70¦

の例題 3.19

x

lim

→0

sin x

x = 1

^¨_§川薩四(5.9)^¥_¦

(p2.7)

を用います。

(1)

lim

x→0

f(x) = 3 lim

x→0

sin(3x)

3x = 3 (p2.8)

より a = 3 とすれば f (x) は x = 0 で連続となります。

( ) f x

/ x π

(参考図) 解答には必要ありません。

(2)

f(x) =

 



 

−

^sin(3x)_x

(x < 0) a (x = 0)

sin(3x)

x

(x > 0)

(p2.9)

なので，x を左から x = 0 に近付けた左側極限は

x

lim

→−0

f (x) = − lim

x→−0

sin(3x)

x = − 3 (p2.10)

となり，x を右から x = 0 に近付けた右側極限は

x

lim

→+0

f(x) = lim

x→+0

sin(3x)

x = 3 (p2.11)

となります。従って a の値をどう定めても，f (x) は x = 0 で連続とはなりません。

( ) f x

/ x π

(参考図) 解答には必要ありません。

解

2-4 (1)

x

lim

→1

f(x) = lim

x→1

√ x − 1

x − 1 = lim

x→1

√ x − 1 x − 1 ·

√ x + 1

√ x + 1 = lim

x→1

√ 1

x + 1 = 1

2 (p2.12) より a = 1/2 とすれば f (x) は x = 1 で連続となります。 √

x = w として

x

lim

→1

f (x) = lim

w→1

w − 1

w

²

− 1 = lim

w→1

w − 1

(w − 1)(w + 1) = lim

w→1

1

w + 1 = 1

2 (p2.13) と考えることもできます。

(2) 分子，分母とも x = 1 で 0 となる多項式なので x − 1 を因数に持つはず：

x

lim

→1

f (x) = lim

x→1

3x

²

− 5x + 2

x

²

− 4x + 3 = lim

x→1

(x − 1)(3x − 2) (x − 1)(x − 3) = lim

x→1

3x − 2 x − 3 = − 1

2 (p2.14)

より a = − 1/2 とすれば f (x) は x = 1 で連続となります。

解

2-5

(1) f(x) = sin x − x cos x とおくと，f (x) は連続で f (2π) = − 2π < 0, f (3π) = 3π > 0 なので，中間値の定理より x = 2π と x = 3π の間に f (x) = 0 となる x が少なくとも 一つあることがわかります。つまり，方程式 f (x) = 0 は x = 2π と x = 3π の間に少 なくとも一つの解を持つことがわかります。

( ) f x

/ x π

(参考図) 解答には必要ありません。

(2) f (x) = 1 − x

²

2 + x

³

12 とおくと，f (x) は連続で f(1) = 7

12 > 0, f(2) = − 1

3 < 0 なの で，中間値の定理より x = 1 と x = 2 の間に f (x) = 0 となる x が少なくとも一つあ ることがわかります。つまり，方程式 f(x) = 0 は x = 1 と x = 2 の間に少なくとも 一つの解を持つことがわかります。

x ( )

f x

(参考図) 解答には必要ありません。

.§桑村p.49,定理3.1 (3)¦

¶ ³

微積分及び演習 I _演習問題 No.3

出題：４月２５日（月） 提出期限：５月２日（月）１３：３０

µ ´

問題

3-1

プリント

p.10

の例題

1.12

にならって，図

3-1

の ように直線状のゴムが縮む場合にも位置の変わらない点 があることを，中間値の定理を用いて示しなさい。すな わち，連続な関数

f (x)

により，区間

I = [0 , 1]

がその 内部に写される場合に，

f (x

0

) = x

0となる点

x

0

∈ I

が 存在することを示しなさい。

x x

0

0

1

1 x0

( )0

f x

図

3-1

問題

3-2

微分の定義

(11.4)

にしたがって，次の関数

f (x)

の導関数

f

⁰

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

^を

それぞれ求めなさい。

(1) f(x) = x

³

(2) f (x) = 1

x

²

+ 1 (3) f (x) = √ x

²

+ 1

問題

3-3

関数

f (x)

の導関数が

f

⁰

(x)

である場合に，以下の

(

例

)

にならって，次の関数

g(x)

の導関 数を，導関数の定義式，

g

⁰

(x) = lim

h→0

g(x + h) − g(x)

h

，からそれぞれ求めなさい。

(

答には，

f (x)

や

f

⁰

(x)

が現れます。

)

(

例

) g(x) = (f (x) + 1)

² の場合は，

g

⁰

(x) = lim

h→0

(f (x + h) + 1)

²

− (f (x) + 1)

²

h

= lim

h→0

(

f (x + h) + 1 + f (x) + 1

) f (x + h) + 1 − (f (x) + 1) h

= lim

h→0

(

f (x + h) + 1 + f (x) + 1 )

h→0

lim

f (x + h) − f (x) h

= 2 (

f (x) + 1 )

f

⁰

(x) .

問題

3-2

の

(2)

や

(3)

の

x

²が

f (x)

になったと考えて計算手順を見比べて下さい。

(1) g(x) = 1

f (x) + 1 (2) g(x) = √

f(x) + 1

問題

3-4

次の

2

つの関数

f

1

(x) = x

²

, f

2

(x) = (x − 2)

²

4 − 1 = x

²

− 4x 4

の共通接線を次の手順で求めなさい。

(

図

3-2)

(1)

関数

f

1

(x)

の点

(a, f

1

(a))

での接線の式を

g

1

(x) = Ax + B

とするとき，

A

と

B

を

a

で 表しなさい。

(2)

関数

f

₂

(x)

の点

(b, f

₂

(b))

での接線の式を

g

₂

(x) = Cx + D

とするとき，

C

と

D

を

b

で表しなさい。

(3)

連立方程式

{ A = C , B = D }

^から，

a

と

b

を 求めなさい。

(

共通接線は

2

本あります。

)

x

1

( ) f x

2

( ) f x y

図

3-2

.¶ ³

微積分及び演習 I _演習問題 No.3 _略解

µ ´

解

3-1

図

3-1

より，

f (0) > 0

，

f (1) < 1

なので，

g(x) = f (x) − x

とすると，

g(0) = f(0) > 0 , g(1) = f (1) − 1 < 0 (p3.1)

となります。関数

f (x)

は

[0 , 1]

で連続と考えられるので，

g(x)

も連続。従って，中間値の定理よ り

g(x

0

) = 0

，すなわち

f (x

0

) = x

0となる

x

0

∈ (0 , 1)

の存在が示されます。

解

3-2

(1)

f

⁰

(x) = lim

h→0

(x + h)

³

− x

³

h = lim

h→0

(

(x + h)

²

+ (x + h)x + x

²

) x + h − x h

= 3x

²

. (p3.2)

上では因数分解を用いましたが，

(x + h)

³を展開しても，もちろん

OK

です；

f

⁰

(x) = lim

h→0

(x + h)

³

− x

³

h = lim

h→0

3x

²

h + 3xh

²

+ h

³

h = lim

h→0

(

3x

²

+ 3xh + h

²

)

= 3x

²

. (p3.3)

(2)

f

⁰

(x) = lim

h→0 1

(x+h)²+1

−

_x2¹+1

h = − lim

h→0

(x + h)

²

+ 1 − (x

²

+ 1) (

(x + h)

²

+ 1 )(

x

²

+ 1 )

h

= − lim

h→0

x + h + x (

(x + h)

²

+ 1 )(

x

²

+ 1

) x + h − x

h = − 2x

(x

²

+ 1)

²

. (p3.4) (3)

f

⁰

(x) = lim

h→0

√ (x + h)

²

+ 1 − √ x

²

+ 1 h

= lim

h→0

(√ (x + h)

²

+ 1 − √

x

²

+ 1 )(√

(x + h)

²

+ 1 + √ x

²

+ 1

) h (√

(x + h)

²

+ 1 + √ x

²

+ 1

)

= lim

h→0

√ 1

(x + h)

²

+ 1 + √ x

²

+ 1

(x + h)

²

+ 1 − (x

²

+ 1)

h (p3.5)

= lim

h→0

x + h + x

√ (x + h)

²

+ 1 + √ x

²

+ 1

x + h − x

h = x

√ x

²

+ 1 . (p3.6)

解

3-3

商の微分の公式

(

^¨_§桑村p.64^¥_¦

,

^¨_§川薩四(2.7)^¥_¦

)

や合成関数の微分の公式

(17.5)

を用いてもよいです が，ここでは導関数の定義式，

g

⁰

(x) = lim

h→0

g(x + h) − g(x)

h

，から計算してみます。

f (x + h) − f(x) h

の形が現れるように右辺を変形してみましょう。

(1)

g

⁰

(x) = lim

h→0 1

f(x+h)+1

−

_f(x)+1¹

h = lim

h→0

f(x) + 1 − (f (x + h) + 1) (f (x) + 1)(f(x + h) + 1)h

= − lim

h→0

1

(f (x) + 1)(f (x + h) + 1)

f (x + h) + 1 − (f(x) + 1) h

= − lim

h→0

1

(f (x) + 1)(f (x + h) + 1) lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

= − f

⁰

(x)

(f (x) + 1)

²

. (p3.7)

(2)

g

⁰

(x) = lim

h→0

√ f(x + h) + 1 − √

f(x) + 1 h

= lim

h→0

(√ f (x + h) + 1 − √

f (x) + 1 )(√

f (x + h) + 1 + √

f (x) + 1 ) (√ f (x + h) + 1 + √

f (x) + 1 )

h

= lim

h→0

√ 1

f(x + h) + 1 + √

f(x) + 1

f(x + h) + 1 − (f (x) + 1) h

= lim

h→0

√ 1

f(x + h) + 1 + √

f(x) + 1 lim

h→0

f (x + h) − f(x) h

= f

⁰

(x) 2 √

f (x) + 1 . (p3.8)

解

3-4

(1) f

1

(x)

の導関数は

f

₁⁰

(x) = dx

²

dx = 2x

なので，

(a , f

1

(a))

での接線の方程式は

g

₁

(x) = f

₁

(a) + f

₁⁰

(a)(x − a) = a

²

+ 2a(x − a) = 2a x − a

²

(p3.9)

となります。従って

A = 2a , B = − a

²

. (p3.10)

(2) f

₂

(x)

の導関数は

f

₂⁰

(x) = 1 4

d(x

²

− 4x)

dx = x − 2

2

^なので，

(b , f

₂

(b))

での接線の方程式は

g

₂

(x) = f

₂

(b) + f

₂⁰

(b)(x − b) = b

²

− 4b

4 + b − 2

2 (x − b) = b − 2

2 x − b

²

4 (p3.11)

となります。従って

C = b − 2

2 , D = − b

²

4 . (p3.12)

(3) { A = C , B = D }

^より，

a

と

b

についての連立方程式

2a = b − 2

2 , a

²

= b

²

4 (p3.13)

が得られます。第

1

式，

b = 4a + 2

，を第

2

式に代入して得られる

2

次方程式

3a

²

+ 4a + 1 = (a + 1)(3a + 1) = 0 (p3.14)

より，

a = − 1 , b = − 2 (

共通接線の式は

y

＝

− 2 x − 1) (p3.15)

と

a = − 1

3 , b = 2 3

(

共通接線の式は

y = − 2 3 x − 1

9 )

(p3.16)

が得られます。

.

微積分・演習 I _演習問題 No.4

出題：５月２日（月） 提出期限：５月９日（月）１３：３０

µ ´

問題

4-1 問題 2-5 の (2) で考えた方程式 f(x) = 0 , ただし f (x) = x

³

12 − x

²

2 + 1 は区間 (1 , 2) 内に解を持つことがわかっています。

また，関数 f (x) は x = 2 の近くで接線 g(x) = f (2) + f

⁰

(2)(x − 2)

で近似できます。方程式 g(x) = 0 を解いて，方程式 f (x) = 0 の近似解を求めなさい。(図 4-1) なお，区 間 (1 , 2) 内の解は x = 1.663 · · · となります。

( ) f x

( ) g x

x

図 4-1

注意

!

以下は合成関数の微分の公式，

(17.5)

，

df (g(x))

dx = df (u) du

¯¯ ¯¯

u=g(x)

dg(x) dx

の練習です。この公式を使う場合，微分する関数のどの部分を

u = g(x)

と見なすかを自分で 決めなければなりません。

df (u)/du

の計算が最初のステップなので，

f (u)

は

(

問題

4-4

のよ うに，

f (x)

の導関数が問題に与えられている場合を除き

) (19.1) ∼ (19.4)

に現れる基本的な 関数，つまり

u

^α

, sin(u) , cos(u) , e

^u

, log |u|

のどれかになっている必要があります。

問題

4-2 次の関数を微分しなさい。ただし，微分の定義にもどって極限の計算をする必要は ありません。(以下の問についても同じです。)

(1) x

⁵

+ 3x

²

+ 4 (2) (x − 1)

⁶

(3) (x

⁵

+ 3x

²

+ 4)

²⁴ 問題

4-3 次の関数を微分しなさい。

(1) 1

1 + x + x

²

(2) √

(1 + x + x

²

)

³

(3) cos(x

³

− 2x) (4) cosec(x

²

+ 1)

(

= 1

sin(x

²

+ 1) )

(5) 3

^√x2+x+1

(6) e

^cos(x3−2x)

(

= exp (

cos(x

³

− 2x) ))

(7) log | x

²

+ x + 1 |

問題

4-4 関数 f (x) の導関数を f

⁰

(x) とするとき，次の関数を微分しなさい。答には f () や f

⁰

() が現れます。

(1) f(x

³

− 2x) (2) e

^f(x3−2x)

(3) f (

sin(x

³

− 2x) )

(4) sin (

f (x

³

− 2x)

)

¶ ³

微積分・演習 I 演習問題 No.4 略解

µ ´

解

4-1 f(x)

の導関数は

f

⁰

(x) = df(x) dx = 1

12 dx

³

dx − 1 2

dx

²

dx = x

²

4 − x (p4.1)

なので，

f (x)

の

x = 2

での接線の方程式は

g(x) = − 1

3 − (x − 2) = − x + 5

3 (p4.2)

となります。従って

g(x) = 0

より

x = 5 3

(

= 1.666 · · · )

(p4.3)

が方程式

f(x) = 0

の近似解となります。

解

4-2

(1) (x

^α

)

⁰

= αx

^α−1を用います：

d(x

⁵

+ 3x

²

+ 4)

dx = dx

⁵

dx + 3 dx

²

dx = 5x

⁴

+ 6x (

= x(5x

³

+ 6) )

. (p4.4)

(2) u = x − 1

とおいて合成関数の微分の公式を用います

: d(x − 1)

⁶

dx = du

⁶

du

¯¯ ¯¯

u=x−1

du

dx = 6u

⁵

|

u=x−1

d(x − 1)

dx = 6(x − 1)

⁵

. (p4.5)

注意

! (x − 1)

⁶を展開してから微分しても間違いではありませんが，合成関数の微分を用いた

方が計算が簡単になるのでお薦めです：

d(x − 1)

⁶

dx = d

dx (

x

⁶

− 6x

⁵

+ 15x

⁴

− 20x

³

+ 15x

²

− 6x + 1 )

= 6x

⁵

− 30x

⁴

+ 60x

³

− 60x

²

+ 30x − 6

= 6 (

x

⁵

− 5x

⁴

+ 10x

³

− 10x

²

+ 5x − 1 )

= 6(x − 1)

⁵

. (p4.6) (3) u = x

⁵

+ 3x

²

+ 4

とおいて合成関数の微分の公式を用います。

du/dx

の計算には

(1)

の結果

が使えます。

24

乗を展開しようとするのはやめましょう：

d dx

( x

⁵

+ 3x

²

+ 4 )

24

= du

²⁴

du

¯¯ ¯¯

u=x⁵+3x²+4

du

dx = 24u

²³

¯¯

u=x⁵+3x²+4

d(x

⁵

+ 3x

²

+ 4) dx

= 24 (

x

⁵

+ 3x

²

+ 4 )

23

(

5x

⁴

+ 6x )

. (p4.7)

解

4-3

(1) u = 1 + x + x

² とおいて合成関数の微分の公式を用います

: d

dx 1

1 + x + x

²

= d dx

( 1 + x + x

²

)

₋1

= du

⁻¹

du

¯¯ ¯¯

u=1+x+x²

du dx

= − u

⁻²

¯¯

u=1+x+x²

d(1 + x + x

²

) dx

= − (

1 + x + x

²

)

₋2

(1 + 2x) (

= − 1 + 2x (1 + x + x

²

)

²

)

. (p4.8)

(2) u = 1 + x + x

² とおいて合成関数の微分の公式を用います

: d

dx

√ (1 + x + x

²

)

³

= d dx

( 1 + x + x

²

)

3/2

= du

^3/2

du

¯¯ ¯¯

¯

u=1+x+x²

du dx

= 3

2 u

^3/2−1

¯¯

¯¯

u=1+x+x²

d(1 + x + x

²

) dx

= 3

2 (2x + 1)(1 + x + x

²

)

^1/2

(

= 3

2 (2x + 1) √

1 + x + x

²

)

. (p4.9)

(3) u = x

³

− 2x

とおいて合成関数の微分の公式を用います

: d

dx cos (

x

³

− 2x )

= d cos u du

¯¯ ¯¯

u=x³−2x

du

dx = − sin u|

_u=x³_−2x

d (

x

³

− 2x ) dx

= −(3x

²

− 2) sin (

x

³

− 2x )

. (p4.10)

(4)

必要なら合成関数の微分の公式を複数回使います：

d dx

1

sin(x

²

+ 1) = du

⁻¹

du

¯¯ ¯¯

u=sin(x²+1)

du

dx = − u

⁻²

¯¯

u=sin(x²+1)

d sin(x

²

+ 1) dx

= − 1

sin

²

(x

²

+ 1)

d sin(v) dv

¯¯ ¯¯

v=x²+1

dv

dx = − 1

sin

²

(x

²

+ 1) cos(v) |

_v=x²₊₁

2x

= − 2x cos(x

²

+ 1)

sin

²

(x

²

+ 1) . (p4.11)

(5)

指数関数と対数関数が互いに逆関数であるという関係

x = e

^logx

(p4.12)

を用いて，

3

√x²+x+1を

e

^···の形にしてみましょう；

3

√x²+x+1

= exp (

log 3

√x²+x+1

)

_(4.1)

= exp (√

x

²

+ x + 1 log 3 )

. (p4.13)

d dx 3

√x²+x+1

= d

dx exp (√

x

²

+ x + 1 log 3 )

= e

^u

|

_u=^√_x²_{+x+1 log 3}

du dx

= e

^u

|

_u=^√_x²_{+x+1 log 3}

log 3 d(x

²

+ x + 1)

^1/2

dx = e

√x²+x+1 log 3

log 3 dv

^1/2

dv

¯¯ ¯¯

¯

v=x²+x+1

dv dx

= log 3 3

√x²+x+1

1 2 v

^−1/2

¯¯

¯¯

v=x²+x+1

d(x

²

+ x + 1) dx

= log 3 2 3

√x²+x+1

(x

²

+ x + 1)

^−1/2

(2x + 1)

= log 3 2 3

√x²+x+1

(2x + 1)(x

²

+ x + 1)

^−1/2

(

= log 3 2

2x + 1

√ x

²

+ x + 1 3

√x²+x+1

)

. (p4.14)

指数関数，

a

^x，の微分の式

(20.3) da

^x

dx = a

^x

log a

^¨_§桑村p.78^¥_¦¨

§

¥

川薩四p.77¦

(p4.15)

を使っても，もちろんかまいません；

d dx 3

√x²+x+1

= d3

^u

du

¯¯ ¯¯

u=√ x²+x+1

du

dx = 3

^u

log 3 |

_u=^√_x²_+x+1

d(x

²

+ x + 1)

^1/2

dx =

= 3

^√x2+x+1

log 3 dv

^1/2

dv

¯¯ ¯¯

¯

v=x²+x+1

dv

dx = log 3 3

^√x2+x+1

1 2 v

^−1/2

¯¯

¯¯

v=x²+x+1

d(x

²

+ x + 1) dx

= log 3 2 3

√x²+x+1

(x

²

+ x + 1)

^−1/2

(2x + 1) . (p4.16)

f(x) = 3

^√x2+x+1

(p4.17)

の両辺の対数をとってから微分することもできます

(

対数微分法 ^¨_§桑村p.78^¥_¦

,

^¨_§川薩四p.76^¥_¦

)

；

log f (x) = √

x

²

+ x + 1 log 3 . (p4.18)

左辺の微分は

d log f (x)

dx = d log u du

¯¯ ¯¯

u=logf(x)

df(x) dx = 1

u

¯¯ ¯¯

u=logf(x)

df (x) dx = 1

f (x) df(x)

dx (p4.19)

となります。一方，右辺の微分は

d( √

x

²

+ x + 1 log 3)

dx = log 3 d(x

²

+ x + 1)

^1/2

dx = log 3 du

^1/2

du

¯¯ ¯¯

¯

u=x²+x+1

d(x

²

+ x + 1) dx

= log 3 1

2 u

^−1/2

¯¯

¯¯

u=x²+x+1

(2x + 1) = (2x + 1) log 3 2 √

x

²

+ x + 1 (p4.20)

となります。従って，

1 f (x)

df(x)

dx = (2x + 1) log 3 2 √

x

²

+ x + 1 (p4.21)

より，

df (x)

dx = (2x + 1) log 3 2 √

x

²

+ x + 1 f(x) = (2x + 1) log 3 2 √

x

²

+ x + 1 3

√x²+x+1

. (p4.22)

(6) (3)

の結果が使えます

: d

dx e

^cos(x3−2x)

= de

^u

du

¯¯ ¯¯

u=cos(x³−2x)

du

dx = e

^u

|

_u=cos(x³_−2x)

d cos(x

³

− 2x) dx

(3)

= −(3x

²

− 2) sin (

x

³

− 2x )

e

^cos(x3−2x)

. (p4.23) (7)

d

dx log ¯¯ x

²

+ x + 1 ¯¯ = d log |u|

du

¯¯ ¯¯

u=x²+x+1

du dx = 1

u

¯¯ ¯¯

u=x²+x1

(2x + 1)

= 2x + 1

x

²

+ x + 1 . (p4.24)

なお，

x

²

+ x + 1 = (x + 1/2)

²

+ 3/4 > 0

なので，

| x

²

+ x + 1 | = x

²

+ x + 1

です。

解

4-4

(1) (

f (x

³

− 2x) )

₀

= df(x

³

− 2x)

dx = df (u) du

¯¯ ¯¯

u=x³−2x

du

dx = f

⁰

(u) ¯¯

u=x³−2x

d(x

³

− 2x) dx

= (3x

²

− 2) f

⁰

(x

³

− 2x) . (p4.25)

(2) (1)

の結果が使えます

: (

e

^f(x3−2x)

)

₀

= de

^f(x3−2x)

dx = de

^u

du

¯¯ ¯¯

u=f(x³−2x)

du

dx = e

^u

|

_u=f(x³_−2x)

df (x

³

− 2x) dx

(1)

= e

^f(x3−2x)

(3x

²

− 2) f

⁰

(x

³

− 2x) . (p4.26) (3)

(

f (sin(x

³

− 2x)) )

₀

= df (sin(x

³

− 2x))

dx = df (u) du

¯¯ ¯¯

u=sin(x³−2x)

du dx

= f

⁰

(u) ¯¯

u=sin(x³−2x)

d sin(x

³

− 2x)

dx = f

⁰

(sin(x

³

− 2x)) d sin(v) dv

¯¯ ¯¯

v=x³−2x

dv dx

= f

⁰

(sin(x

³

− 2x)) cos(v) |

_v=x³_−2x

d(x

³

− 2x) dx

= f

⁰

(sin(x

³

− 2x)) (3x

²

− 2) cos(x

³

− 2x) . (p4.27) (4) (1)

の結果が使えます

:

(

sin(f (x

³

− 2x)) )

₀

= d sin(f(x

³

− 2x))

dx = d sin u du

¯¯ ¯¯

u=f(x³−2x)

du dx

= cos u|

_u=f(x³_−2x)

df (x

³

− 2x) dx

(1)

= cos(f(x

³

− 2x)) (3x

²

− 2) f

⁰

(x

³

− 2x) . (p4.28)

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.5

出題：５月９日（月） 提出期限：５月１６日（月）１３：３０

µ ´

問題

5-1 次の関数の x = 1 での接線を表す式を書きなさい。

(1) y = 1

(1 + x

²

)

⁴

(2) y = e

^{−√x2+2x+2}

-2 -1 0 1 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x y

(1)の関数のグラフと接線(細い線)

(2)の関数のグラフと接線(細い線)

問題

5-2 逆３角関数の微分の公式，

d Arcsin(x)

dx = 1

√ 1 − x

²

, − 1 ≤ x ≤ 1

^¨_§桑村p.74^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四(5.15)¦

d Arctan(x)

dx = 1

1 + x

²

,

^¨_§桑村p.74^¥_¦

¨

§

¥ 川薩四(5.17)¦

を用いて，以下の等式が成り立つように a (> 0) と b (> 0) をそれぞれ決めなさい；

(1) d

dx (

b Arcsin(ax) )

= 1

√ 4 − 9x

²

, − 2/3 < x < 2/3 ,

(2) d

dx (

b Arctan(ax) )

= 1

4 + 9x

²

.

問題

5-3 次の 2 変数関数 f(x, y) の偏導関数， ∂f (x, y)

∂x ， ∂f(x, y)

∂y ，を求めなさい。

(1) f (x, y) = x

⁴

− 3x

²

y + 4xy + y

³

(2) f (x, y) = √

2x

²

+ 6xy + 9y

²

+ 1

問題

5-4 次の 3 変数関数 f(x, y, z) の偏導関数， ∂f (x, y, z)

∂x ， ∂f (x, y, z)

∂y ， ∂f (x, y, z)

∂z ，を求

めなさい。

(1) f (x, y, z) = x

²

y + y

³

z

²

− xz

⁵

− 1 (2) f(x, y, z) = cos (

x

²

y + y

³

z

²

− xz

⁵

− 1 )

問題

5-5

(1) 点 (x, y) = (3, − 2) を通り，ベクトル (2 , − 1) に垂直な (x-y 平面上の) 直線を表す式 を書きなさい。

(2) 点 (x, y, z) = (1 , − 2 , − 3) を通り，ベクトル (5, 3, − 7) に垂直な平面を表す式を書き

なさい。