8.1 原始関数と線積分

第 8 ^章 Cauchy ^{の積分公式}

8.1 ^{原始関数と線積分}

定義 領域 Dで連続な関数 f(z)に対して，D の各点で dF(z)

dz =f(z) (8.1)

となるような，D で正則な関数F(z) をD におけるf(z) の原始関数 という。

定理 8.1 f(z) が領域D で連続な関数で，F(z) がf(z) の原始関数であるとき，D内 の区分的になめらかな曲線 C :z(t)（a≤t≤b）に沿う線積分

Cf(z) dz= _b

a f(z(t))dz(t) dt dt

の値は

Cf(z) dz=

F(z(t)) _b

a=F(z(b))−F(z(a)) (8.2) である。（積分路 C の始点と終点で決まり，C の形によらない。）

証明 まず，F(z(t))に対して合成関数の微分公式が成り立つことを示す。

z(t) =x(t) +iy(t)，F(z) =U(x, y) +iV(x, y) とすると，導関数の定義から d

dtF(z(t)) = d

dtU(x(t), y(t)) +id

dtV(x(t), y(t))

= ∂U

∂x dx(t)

dt +∂U

∂y dy(t)

dt +i ∂V

∂x dx(t)

dt +∂V

∂y dy(t)

dt

= ∂U

∂x dx(t)

dt −∂V

∂x dy(t)

dt +i ∂V

∂x dx(t)

dt +∂U

∂x dy(t)

dt

= ∂U

∂x +i∂V

∂x

dx(t)

dt +idy(t) dt

= dF(z) dz

dz(t) dt

ここで２行目から３行目へは，原始関数F(z) が正則であることから，Cauchy-Riemann の方 程式を用いた。また，最後の等号では，正則関数の微分の次の関係式を用いた：

dF dz = ∂U

∂x +i∂V

∂x = ∂V

∂y −i∂U

∂y. 77

78 第8 章 Cauchyの積分公式

ところで，原始関数の定義(8.1) から dF(z)

dz =f(z) であるので，

_b

a f(z(t))dz(t) dt dt =

_b

a

dF(z(t)) dt dt

= _b

a

d dt

ReF(z(t))

dt+i _b

a

d dt

ImF(z(t))

dt

=

ReF(z(t)) _b

a+i

ImF(z(t)) _b

a

= ReF(z(b))−ReF(z(a)) +i

ImF(z(b))−ImF(z(a))

=

ReF(z(b)) +iImF(z(b))

−ReF(z(a)) +iImF(z(a))

となる。よって示したい関係式 _b

a f(z(t))dz(t)

dt dt=F(z(b))−F(z(a)).

が得られる。

定理 8.2 f(z) が領域 D で連続で，定点 z₀ と z を結ぶ積分路が D 内にあるとき d

dz _z

z0

f(s) ds=f(z) (8.3)

が成り立つ。

証明 領域 Dで連続な関数f(z)に対して，

F(z) = _z

z0

f(s) ds で定義される関数F(z) が

dF(z)

dz = lim

∆z→0

F(z+∆z)−F(z)

∆z =f(z) を満たすことを示せばよい（F(z) はf(z) の原始関数である）。

点 zは D内にあるが，|∆z|を十分小さくとことによって，z+∆z もD 内にあり，しか もz とz+∆z を線分で結べるようにする。このとき，

_z+∆z

z ds=∆z から 1 = 1

∆z

_z+∆z

z ds

であるので，f(z) は

f(z) =f(z) 1

∆z

_z+∆z

z ds= 1

∆z

_z+∆z

z f(z) ds

と表される。一方，

F(z+∆z)−F(z) =

_z+∆z

z0

f(s) ds− ^z

z0

f(s) ds=

_z+∆z

z f(s) ds である。よって

F(z+∆z)−F(z)

∆z −f(z) = 1

∆z

_z+∆z

z f(s) ds− 1

∆z

_z+∆z

z f(z) ds

= 1

∆z

_z+∆z

z

f(s)−f(z)

ds

となる。ところで，f(z)は連続関数であるから，任意の正数εに対してある正数δ が存在して

|s−z|< δ =⇒ |f(s)−f(z)|< ε が成り立つ。そこで，∆z の大きさを |∆z|< εととれば

F(z+∆z)−F(z)

∆z −f(z) < 1

|∆z|

_z+∆z

z εds

= 1

|∆z|ε|∆z| = ε が得られる。よって

∆zlim→0

F(z+∆z)−F(z)

∆z −f(z)

= 0 が成り立つ。

定理8.2 は，次のように言い換えることができる。

定理 8.3 領域 D で連続な関数 f(z) の線積分の値が，D 内の積分路に無関係に定ま るならば，f(z) は D で原始関数を持つ。

定理8.3 により，単連結な領域においては次の定理が成り立つ。

定理 8.4 単連結な領域で正則な関数は，常に原始関数を持つ。

積分の値は積分路の端点で定まり，

_z2

z1

f(z) dz=F(z2)−F(z1) で与えられる。

80 第8 章 Cauchyの積分公式

原始関数は１つではないが，定数の違いだけである。

定理 8.5 F(z), G(z) が領域 D で正則であるとする。このとき dF(z)

dz =f(z), dG(z)

dz =f(z) =⇒ F(z)−G(z) =定数 である。（定数は z によらない）

証明 F(z) と G(z) が領域D で正則であるならば，F(z)−G(z) も Dで正則である。従っ て，仮定から，

d dz

F(z)−G(z)

= f(z)−f(z) = 0

となる。導関数が0 であることから，F(z) と G(z) の差は zによらない定数である。

8.2 Cauchy ^{の積分公式}

Cauchy の積分定理から，正則関数に関する重要な性質が導かれる。

定理 8.6 Cauchy の積分公式

区分的になめらかなJordan 曲線 C の上と内部で関数 f(z) が正則であるとする。C の 内部の任意の点 z0 に対して

f(z₀) = 1 2πi _C

f(z)

z−z₀ dz (8.4)

が成り立つ。ただし，積分は正の向きにとるものとする（図 8.1左図）。

C

z

C C

z

図 8.1: Cauchyの積分公式 証明

図 8.1 右図 に示すように，点z₀ を中心とする半径 r の円 C₁ を曲線 C の内部にとる。関数 f(z) はD内で正則であるから，関数f(z)/(z−z₀)はz=z₀ を除いて正則であるので，定理 7.7 により，

C

f(z) z−z0 dz +

−C1

f(z)

z−z0 dz = 0 が成り立つ。よって，C 及び C₁ に沿った積分は等しい：

C

f(z) z−z₀ dz =

C1

f(z)

z−z₀dz. (8.5)

ところで，

C1

f(z)−f(z₀) z−z0 dz =

C1

f(z)

z−z0dz−f(z₀)

C1

1 z−z0 dz

において，右辺の第１項は (8.5)より，C を一周する積分に等しく，第２項の積分を実行する と 2πiとなる。よって，

C1

f(z)−f(z0) z−z₀ dz =

C

f(z)

z−z₀ dz−2πi f(z₀) (8.6) が得られる。

82 第8 章 Cauchyの積分公式

(8.6)の左辺の積分については，定理 7.2の(7.13) により，不等式 _C

1

f(z)−f(z₀) z−z0 dz ≤

C1

|f(z)−f(z₀)|

|z−z0| |dz| (8.7) が成り立つ。ここで，円C1 上の点zに対して|z−z0|=r である。また，C1 上での|f(z)− f(z0)|^{の最大値を}εとすれば，右辺の積分は

C1

|f(z)−f(z₀)|

|z−z₀| |dz| ≤

C1

ε

r |dz| = ε

r2πr = 2πε

となる。関数 f(z) は連続であるから，円 C₁ の半径 r を r → 0 とするとき ε → 0 であり，

従って，(8.7)の両辺の積分は 0に収束し，よって，(8.6)の左辺の積分は0に収束する。すな

わち，

C

f(z)

z−z0 dz= 2πi f(z₀) が得られる。

この定理は「C の内部の点 z0 における関数の値 f(z0) は，C 上の点における f(z) の 値で定まる」ことを意味している。

Cauchyの積分公式は線積分に応用できる：

C

f(z)

z−z0 dz = 2πi f(z0). (8.8)

点z₀ がC の外にあるとき，積分は0 になる：

1 2πi _C

f(z)

z−z₀ dz = 0. （z₀ は C の外） (8.9)

定理 8.7 区分的になめらかな Jordan 曲線で囲まれた領域を D とする。このとき，

f(z) が D で正則 =⇒ dⁿf(z)

dz^{n は} D で正則 (n= 1,2,· · ·) 証明 段階に分けて証明する。

1^◦ 関数f(z) の導関数が存在し，次の関係式が成り立つことを示す：

df(z) dz = 1

2πi _C f(s)

(s−z)² ds (8.10)

この式がCauchy の積分公式を形式的に z で微分したものであることに着目する。

|∆z|を十分小さくとることによって，z+∆z も D の内部にあるようにする。このとき，

Cauchy の積分公式により，

f(z+∆z)−f(z)

∆z = 1

∆z 1

2πi _C

f(s)

s−z−∆z ds− 1 2πi _C

f(s) s−zds

= 1

2πi _C

1

s−z−∆z − 1 s−z

f(s)

∆z ds

= 1

2πi _C

f(s)

(s−z−∆z) (s−z)ds (8.11) と表せる。よって，∆z →0のとき，２つの差

C

f(s)

(s−z−∆z) (s−z)ds−

C

f(s) (s−z)² ds

= ∆z

C

f(s)

(s−z−∆z) (s−z)² ds が →0になることを示せばよい。

点 z と C との距離を dとするとき，0< |∆z|< d となるように|∆z|^{を小さくとると，}

|s−z| ≥dだから，次の不等式が成り立つことに注意する：

|s−z−∆z| ≥ | |s−z| − |∆z| | ≥d− |∆z|>0 いま，C 上における|f(s)|^{の最大値を} M とし，C の長さを Lで表すと，

∆z

C

f(s)

(s−z−∆z) (s−z)² ds ≤ |∆z|

C

|f(s)|

|s−z−∆z| |s−z|²|ds|

≤ |∆z|

C

M

(d− |∆z|)d²|ds|

= |∆z|M

(d− |∆z|)d² _C|ds|

= |∆z|M L

(d− |∆z|)d² → 0 (∆z → 0) となる。よって，

df(z)

dz = lim

∆z→0

f(z+∆z)−f(z)

∆z = 1

2πi _C f(s) (s−z)²ds が成り立つ。

2^◦ 次に，df(z)

dz ^{の導関数が存在し，}

d²f(z) dz² = 1

πi _C f(s)

(s−z)³ ds (8.12)

が成り立つことを示す。

84 第8 章 Cauchyの積分公式

1^◦ と同様に，0<|∆z|< dととり，(8.10)を用いると df(z+∆z)

dz − df(z) dz

∆z = 1

2πi _C

1

(s−z−∆z)² − 1 (s−z)²

f(s)

∆z ds

= 1

2πi _C

2(s−z)−∆z

(s−z−∆z)²(s−z)² f(s) ds

から

_C

2(s−z)−∆z

(s−z−∆z)²(s−z)² − 2 (s−z)³

f(s) ds

= _C

3(s−z)∆z−2(∆z)²

(s−z−∆z)²(s−z)³f(s) ds

≤ C

3|(s−z)| |∆z|+ 2|∆z|²

|s−z−∆z|²|s−z|³ |f(s)| |ds|

≤ C

3d|∆z|+ 2|∆z|²

(d−∆z)²d³ M|ds|

= 3d|∆z|+ 2|∆z|²

(d−∆z)²d³ M L → 0 (∆z → 0) ただし，z とC 上の点 sとの最大距離を d で表した。

3^◦ 上の操作を同様に繰り返して，微分と積分が混じった次の公式が得られる。

Cauchy の微積分公式

f⁽ⁿ⁾(z) = dⁿf(z) dzⁿ = n!

2πi _C

f(s)

(s−z)ⁿ⁺¹ ds (n= 1,2,· · ·) (8.13)

n= 0 のとき，f⁽⁰⁾(z) =f(z), 0! = 1 とおけば，Cauchyの積分公式が得られる。

4^◦ 関数 f(z) の２階の導関数の存在が2^◦ で示されたので１階の導関数は正則である。３階の 導関数の存在は3^◦ で示されたので２階の導関数は正則である。これを繰り返して，一般にす べての高階の導関数が正則であることがわかる（数学的帰納法によって証明できる）。

Cauchy の積分公式が積分の値を求めることに利用できるように，Cauchy の微積分公式

(8.13)も同様に

C

f(z)

(z−z₀)ⁿ⁺¹dz= 2πi

n! f⁽ⁿ⁾(z0) (n= 0,1,2,· · ·) (8.14) として利用できる。

定理8.7 から次の定理が導かれる。

定理 8.8 正則関数 f(z) =u(x, y) +iv(x, y) の実部 u(x, y)，虚部 v(x, y) の任意の階 数の偏導関数は連続である。

証明 定理8.7から，関数 f(z) が正則ならば，その導関数も正則であり，従って連続である。

ところで，複素関数の微分は df(z)

dz = ∂u(x, y)

∂x +i∂v(x, y)

∂x = ∂v(x, y)

∂y −i∂u(x, y)

∂y

であるから，u(x, y)とv(x, y) の１階偏導関数は連続である。同様に，f(z) の２階の導関数は 正則であるから，当然連続であり，

d²f(z)

dz² = ∂²u(x, y)

∂x² +i∂²v(x, y)

∂x² = ∂²v(x, y)

∂y ∂x −i∂²u(x, y)

∂y ∂x

が成り立つ。よって，u(x, y) とv(x, y) の２階偏導関数もすべて連続である。同様に繰り返し て，任意の階数の偏導関数が連続であることがわかる（数学的帰納法によって証明できる）。

関連した定理 Cauchyの積分公式から，いろいろな定理が導かれる。

定理 8.9 Moreraの定理 （Cauchy-Goursat の定理の逆）

関数 f(z) は領域 D で連続であるとする。このとき，D 内の任意のJordan 曲線 C に

対して

Cf(z) dz= 0 =⇒ f(z) はD で正則

（単連結でなくてもよい）

Morera の定理は Cauchyの積分定理の逆になっている。

Cauchyの積分定理では，f(z)が正則，すなわち微分可能ならば，その原始関数F(z) が

定まる。言い換えれば，積分可能である。逆に，Morera の定理によって，f(z)が積分可 能ならば，f(z) は正則，すなわち微分可能である。

実関数の場合と異なって，複素関数については，微分可能性と積分可能性が，ある意味 で同値になっている。

定理 8.10 Liouville の定理

複素平面 |z|<∞ ^{において，}f(z) が正則で有界ならば，f(z) は定数である。

86 第8 章 Cauchyの積分公式

定理 8.11 Gauss の平均値の定理

f(z) が，円C : |z−z₀|=r の上と内部で正則であれば，f(z₀) はC 上における f(z) の値の平均である。すなわち，

f(z₀) = 1 2π

_2π

0 f(z₀+re^iθ) dθ (8.15) が成り立つ。

定理 8.12 最大値の定理

f(z) がJordan 曲線C の上と内部で正則で，定数でないとすれば，|f(z)|^は C の上で 最大値をとる（C の内部ではない）。

定理 8.13 最小値の定理

f(z) が Jordan 曲線 C の上と内部で正則で，C の内部で f(z) = 0 であれば，|f(z)| はC の上で最小値をとる。

定理 8.14 Schwarzの定理

f(z) が |z| ≤R で正則で，f(0) = 0 かつ |f(z)| ≤M ならば，

|f(z)| ≤ M|z| R である。