等質領域の境界線抽出方法

論 文 ・資 料

等 質 領 域 の 境 界 線 抽 出 方 法

東京工業大学 像情報工学研究施設 安 居 院

猛

細

村

宰

濃 度 の平 均 値 お よび 分 散 は 等 しい が,模 様 の異 な る2個 の 領域 よ りな る画 面 中 に小 領域 を と り, 小 領 域 を代 表 す る特 徴 ベ ク トル を3種 の方 法 で 抽 出 す る.2個 の 領 域 間 の境 界 線 を 抽 出 す る た め に,こ れ らの特 徴 ベ ク トル に対 し,グ ラ ジ エ ン ト法 を応 用 した手 法 と外 積 ベ ク トル を用 い た方 法 を 提 案 す る.最 後 に,こ れ らの 方 法 を 実 際 に 用 い た 結 果,良 好 な境 界線 を 抽 出す る こと が で き た. 1.  ま え が き リモ ー トセ ンシ ング に お いて は得 られ た 画 像 デ ー タの 自動 解 析 に つ い て の研 究 が 重 要 と な って きて お り,最 近, わ が 国 を初 め諸 外 国 に お い て精 力 的 に研 究 が 進 め られ て い る. 画 像 の 自動 解 析 に お い て は,ま ず 等 質 と み な され る個 々 の 領 域 を 分 離 し な け れ ば な らな い.そ の た め に は各 領 域 の 境界 線 を 抽 出す る ことが 不 可 欠 で あ る.境 界 線 の抽 出 方 法 と して最 も簡単 な もの は,濃 度 レベ ル の差 を利 用 す る方 法 で あ る.し か し,こ の方 法 で は非 常 に単 純 な画 像 以 外 は 良 い結 果 が得 られ な い.そ こで,種 々 の方 法 が 考 え られ,最 近 テ キ ス チ ャー解 析 の手 法1)が 注 目さ れ る よ うに な って き た. 領 域 問 の 境界 線 抽 出 に お い て は,濃 度 レベ ル の差 を用 い る もの 以 外 に,画 面 を い くつ か の小 領域 に分 け,小 領 域 に お け る濃 度 の平 均 値 や分 散 を用 い る方 法 が あ る2). しか しな が ら,リ モ ー トセ ンシ ング の 対象 とす る画 像 に お い て は,平 均 値 と分 散 が等 し い場 合 で も,人 間 が 目で 見 た と き明 らか に異 な った 領 域 とみ な さ れ る 場 合 が あ る.こ れ は 画 像 の 模 様 に 差 が あ るた め で あ り,濃 度 の平 均 値,分 散 を 用 い て も,各 領 域 の境 界線 を うま く抽 出す る こ とが で きな い. そ こで,こ の よ うな 場 合 で も等 質 領 域 の境 界 線 を抽 出 す る こ とが で き る方 法 に つ い て 考 察 した.そ の概 略 的 な 手 順 を 以 下 に 示 す. 1)  小 領 域 を 代 表 す る特 徴 ベ ク トル を求 め る. 2)  隣接 した 小 領 域 の 特 徴 ベ ク トル の 間 に あ る演 算 を 行 って,等 質 領 域 内 で は0に 近 く,境 界 領 域 に お い て は 大 きな 値 を と るパ ラ メー タ ー を 導 く. 3)  この パ ラ メー ター を も とに 境 界 線 を 求 あ る. 特徴 ベ ク トル を求 め る方 法 と して は,パ ワー ス ペ ク ト ル,Walsh係 数,線 形 予 測 係 数 を 用 い る3種 の方 法 を と りあ げ た.ま た,手 順2)で 述 べ たパ ラメ ー タ ー を求 め る方 法 と して,ま ず グ ラ ジエ ン ト演 算 を 用 い た.3種 の 方 法 に よ って 求 め た 特 徴 ベ ク トル に 対 して,グ ラ ジ エ ン ト演 算 を ほ ど こ した 結 果,本 研 究 で 用 い た 画 像 に 対 して は3方 法 と も良 い結 果 が 得 られ た.し た が って,3種 の 特 徴 ベ ク トル 抽 出法 の う ち,演 算 速 度 の最 も速 いWalsh 係 数 を 用 い るの が 簡 便 で あ る.次 に,外 積 ベ ク トル の大 き さ を導 入 す る こと に よ って,よ り安 定 なパ ラ メ ー タ ー を 抽 出 す る方 法 を提 案 した.最 後 に,Walsh係 数 を も とに した 特 徴 ベ ク トル の 外 積 を 求 め,そ の 大 き さよ り境 界 線 を 抽 出 した 結 果 を 示 した. 2.  小 領 域 の 特 徴 ベ ク トル 抽 出 方 法 2.1  パ ワー スペ ク トル (N×N)の デ ィ ジ タル 画 像 に お いて,画 素(i,j)の 濃 度 をfijと す る.ま た図1に 示 す よ う に,こ の 画 面 上 に(M×M)の 小 領域 を,隣 の小 領域 と互 い に半 分 が 重 な る よ うに と る もの とす る.し た が って,(N×N)の 画 面 に は(〔2N/M〕-1)2個 の小 領 域 を と る こと に な る. ただ し 〔・〕は ガ ウ ス の記 号 で あ る.こ の と き,左 か らi 番 目で 上 か らj番 目 の小 領 域 を,小 領 域(i,j)と 呼 ぶ こ と にす る.そ うす る と,小 領 域(i,j)の 左 上 角 の 画 素 (io,jo)は つ ぎ の よ う に な る. こ こ で,(i,j=1,2,…,〔2N/M〕-1) "A

Method Boundary Extraction of the Homogeneous Area"

by Takeshi Agui and Tsukasa Hosomura (Tokyo Institute of Technology, Yokohama)

本 節 で は,こ の小 領域 の特 徴 ベ ク トル を求 め る た め の 方 法 と し て,2次 元 フー リエ変 換 を考 え る.

(1)

こ こ で,W=exp(√-12π/M),(r,s=0,1,…,M-1) と す る と,パ ワ ー ス ペ ク ト ルPrsは 次 式 と な る.

(2)

こ の と き,Prsを 成 分 と す る ベ ク トルPijを 小 領 域(i, j)の 特 徴 ベ ク トル と す る.

(3)

こ こ で,K=M/2で あ る. (3)式 に お い て,Pijの 成 分 をPKKま で と し た の は, た と え ばPK-l,0=PK+l,0(1≦l≦M/2)の よ う な 関 係 が あ る か ら で あ る.ま た,(1)式 を 実 際 に 計 算 す る 場 合 に はFFT演 算 を 用 い た. 2.2  Walsh関 数 Walsh関 数 は フ ー リエ 変 換 と 同 様,画 像 の 解 析 に よ く使 わ れ て い る.Walsh関 数 に つ い て の 詳 し い 解 説 は す で に な さ れ て い る3)の で,こ こ で は 省 略 し,図 形 処 理 にWalsh関 数 を 応 用 す る 場 合 に つ い て 述 べ る. い ま,{ψr(x)}お よ び{ψs(y)}(r,ｓ=0,1,…)を そ れ ぞ れ 区 間0≦x<1,お よ び0≦y<1に お け る1次 元 Walsh関 数 系 とす る と,2次 元Walsh関 数 系 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

(4)

2次 元Walsh関 数 を デ ィ ジタ ル画 像 の解 析 に 応 用 す る場 合 に は,Walsh関 数 を 次 の よ うに 行 列 表 現 す る と 便 利 で あ る. xに 関 して 区間 〔0,1)を,次 の よ う に2m個 の 等 区 間 に 分 け る. ま た,yに 関 し て も 同 様 に,次 の よ う に す る. こ の と き,Wrs(xk,yl)を 次 の よ う な2m次 の 正 方 行 列 の 成 分 と し て 書 き 表 わ す こ と が で き る.

(5)

上 式 の 左 辺 は2次 元Walsh関 数 の 行 列 表 現 と 呼 ば れ る.2次 元Walsh関 数 を(5)式 で 定 義 す る と,小 領 域 (i,j)に 対 す るWalsh係 数 ωrsは 次 の よ う に な る.

(6)

そ う す る と,小 領 域(i,j)に 対 し て,(6)式 に よ っ て 計 算 さ れ たWalsh係 数 を 成 分 と す る特 徴 ベ ク トル ωijを 考 え る こ と が で き る.

(7)

2.3  線 形 予 測 法 線 形 予 測 法 は,最 近,音 声 信 号 の 解 析 に お い て パ ワ ー ス ペ ク トル と 同 様 に 非 常 に よ く利 用 さ れ て い る4).本 節 で は 小 領 域(i,j)の 特 徴 ベ ク トル を 抽 出 す る 方 法 と し て 線 形 予 測 法 を 用 い た. 小 領 域(i,j)の 中 心 の 画 素(k,l)の 濃 度zkl(=fio+k, jo+l)が そ の ま わ り の 画 素 の 濃 度 の1次 結 合 に よ っ て 推 定 で き る と す る.す な わ ち,推 定 値 をzklと す る と 次 式 が 得 ら れ る.

(8)

そ う す る と,こ の と き の 推 定 誤 差eklは 次 の よ う に な る.

(9)

た だ し,aoo=1,apq=-apq′ apqと し て は 推 定 誤 差 が 最 小 に な る よ う に 選 ぶ こ と が 望 ま し い.そ こ で,誤 差 の2乗 の 期 待 値 をQと す る.

(10)

上 式 のQを 最 小 にす る よ うなapqを 求 あ るた あ に,

(11)

と す る と,(11)式 は{(2n+1)2-1}元 連 立 方 程 式 と な り,こ れ ら を 解 く こ と に よ っ てapqが 求 ま る. と す る と,∂Q/∂apq=0よ り, 図1  (N×N)の 画 面 上 に お け る(M×M)の 小 領 域 の と り方

The method to take (M •~ M) small areas on a (N •~ N) pictures.

等質領域 の境 界線抽 出方法 □ 論文 ・資料

(12)

と な る か ら,(12)式 を ま と め る と 次 の よ う に な る.

(13)

た だ し, こ こで,tは 転 置 を表 わす. (13)式 を解 く こと に よ っ て得 られ た α を小 領 域(i,j) の特 徴 ベ ク トル とし て利 用 す る こ と が で き る.小 領 域 (i,j)に 対 して 得 られ た α を,あ らた に αijと お くこ と に す る. 3.  グ ラ ジ エ ン ト演 算 の 利 用 3.1  グ ラ ジ エ ン ト演 算 平 均 濃 度 に差 の な い テ キ ス チ ャー に対 し て は,ラ プ ラ シ ア ン演 算 や グ ラ ジエ ン ト演 算 を行 うこ と に よ って,テ キ ス チ ャー の 差 を濃 度 レベ ル の 差 に 変 換 で き る場 合 が あ る1). そ こで本 節 で も,各 小 領 域 の 特 徴 ベ ク トル に 対 して グ ラ ジ ェ ン ト演 算 を行 う こ とに よ り境 界 線 を 抽 出 す る方 法 を 用 い た.ま ず,小 領域(i,j)の 特 徴 ベ ク トル をfijと す る.次 に,異 な った 領 域 の 境 界 に お い て大 きな 値 を と り,等 質 領 域 内 で は小 さな 値 を 持 つ よ うな尺 度 と して, Dijを 導 入 す る.

(14)

領 域 の境 界 を互 い に 隣接 す る4個 の小 領 域 と の関 係 が 図2の(a)お よび(b)の 場 合 に は, と な り,図2の(c)の 場 合 に は, と な り,図2の(d)の 場 合 に は, と な る.い ず れ の場 合 もDij≫0と な り,Dijは 異 な っ た 領 域 の境 界 に お い て大 き な値 を と る こ と に な る.し た が って,Dijの ピー クを検 出す る こ と に よ って 境 界 線 の 抽 出 が 可 能 とな る. 3.2  画 面 の作 成 お よびDijの 値 前 節 で 述 べ たRDijを 用 い て,境 界 線 の抽 出 を 行 う前 に,実 験 に 用 い る画 像 を作 成 す る.本 研 究 で は簡 単 の た め2値 画 像 で 規 則 的 な模 様 を 持 つ もの を用 い る こと に し た.こ の 画 像 を 図3に 示 す.図3で は,中 心 の 円状 の 領 (a) _(b) (c) (d) 域 とそ の 周 囲 の 領 域 とは 濃 度 の平 均 値 や 分 散 は 等 し い が,模 様 が 異 な って い る.画 面 の 大 き さは64×64で あ り,小 領 域 の 大 き さは8×8と した. 次 に,境 界 領 域 を 求 め るた あ の 手 順 をfij=Pijの 場 合 を例 に と って 述 べ る.ま ず,fij=Pijと し た と き の Dijを 求 め る.図3の 画 面 に 対 してDijを 求 め,そ の 結 果 を 図4に 示 す.Dijは 図4に 示 す よ うに 境 界 付 近 で 大 き な 山 を持 って お り,こ れ を 検 出す る こ とに よ って 境 界 領域 を抽 出す る こ とが で き る.そ の た め の 方 式 と して 図2  Dijを 求 め る際 の各 小 領 域 と代 表 的 な境 界 との 位置 関係

Realtions of positions between small areas and representative boundary in calculations of Dij.

図3  濃度 の平均値 と分散 が等 しい2個 の領域 よ りな る2値 画像

A binary picture composed of two homogeneous areas whose average and variance of density are same.

は,広 く一般 に行 わ れ て い る閾 値 を設 定 す る方 法 を と る こ とにす る. 閾 値 θを 次 式 の よ うに定 め る.

(15)

この θを 用 い て境 界 領 域 を 抽 出す る.す な わ ち,

(16)

とす る こと に よ ってAij=1の と こ ろ が 境 界 領域 と して 抽 出 され る.こ の よ うに して 抽 出 し た 図3 の 境界 領 域 を,図5の(a)に 示 す.同 様 に して, fij=wijの と き,お よ びfij=aijの とき の境 界 領 域 を 抽 出 し,そ の 結 果 を 図5の(一),(c)に そ れ ぞれ 示 した.た だ し,パ ラメ ー タ ー と し て は,Walsh係 数 を求 め る場合m=3,L=3と し,ま た,線 形 予 測 係数 を 求 め る場 合n=2と した.し た が って,wijは16次 元 で あ り,aijは(2n+1)2-1=24次 元 とな る. 図5の(a),(b),(c)を 比 較 す ると,境 界 領域 抽 出 に 関 す る限 り,ど の 場合 も良 好 な 結 果 を得 て い る.そ こで 演 算 時 間 の点 か ら比 較 す ると,Walsh関 数 の 場合 が 最 も速 く,次 い で パ ワー ス ペ ク トル の場 合 で あ り,線 形 予 測 法 の場 合 が最 も遅 い.こ の こと か ら,図3の よ うに2 値 画 像 で規 則 的 な模 様 の場 合 に は,Walsh関 数 を 用 い る方 法 が最 も簡 便 で あ る と い え る. 次 に,境 界 と小 領 域 の相 対 的 な位 置 が変 っ て き た と き に も,う ま く境 界 領 域 を 抽 出す る こと が で き る か ど う か,す な わ ち,図5に 示 す よ うな良 い結 果 が得 られた の は,小 領 域 の位 置 が 偶然 境 界 領域 を 抽 出す る の に都 合 の 良 い所 に と られ て い た た め で は な い か と い う懸 念 が あ る. そ こで,図3の 画 面 の 中心 の 円状 の 領域 を左 へ3画 素 ず つず らし,fij=wijと して,す な わ ちWalsh関 数 を 用 い て境 界 領域 を求 め た.そ の結 果 を図6に 示 す.図6 (a) (b) (c) の(a),(b),(c)は そ れぞ れ,円 状 の領 域 を左 へ3画 素,6画 素,9画 素 ず らし た画 面 に対 して 求 め た境 界 領 域 を示 す.図5よ り明 らか な よ う に,本 方 式 で は小 領 域 の位 置 い か ん に かか わ らず 良 好 な境 界 領 域 を抽 出 で き る こと が確 か め られ た. 4.  外 積 ベ ク トル の 大 き さ の 利 用 4.1  外 積 ベ ク トル グ ラ ジ ェ ン ト演 算 の場 合,完 全 に 規 則 的 で ない 模 様 に 対 して は,等 質 領 域 に お い て もDijは0と は な らず, あ る値 を 持 つ.こ の 値 が 境 界 領 域 に お け るDijの 値 と 同程 度 の と き に は,正 確 な境 界 線 抽 出が 困 難 に な る. そ こで,等 質 領 域 と比 較 して 境 界 付 近 で の 値 がDijの 場 合 よ り さ らに 大 き な値 を と る よ うな もの と して,次 に 示 すSijを 考 え る.

(17)

こ こ で,"(・)×(・)"は 外 積 を 表 わ す. Sijを 求 め る の に 用 い る 小 領 域 間 の 関 係 を 図7に 示 す.Sijはfij,fi+1,j+1,fi+2,j+2よ り な る 三 角 形 の 面 積 図4  図3の 画 面 に対 す るDijの 値

Values of Dij obtained from the pictures shown in Fig. 3.

図5  図3の 画 面 に対 す る境 界 領 域 の 抽 出 結 果 (a)  スペ ク トルを用いた場合,(b)  Walsh関 数を用いた場合, (c)  線 形予測係数を用いた場合

Extracted results of the boundary area for the

picture shown in Fig. 3.

(a) The case using spectrum. (b) The case using Walsh function. (c) The case using linear prediction.

等質 領域の境界線抽出方法 □ 論文 ・資 料 (a) (b) (c) とfi,j+2,fi+1,j+1,fi+2,jよ り な る 三 角 形 の 面 積 の 和 に 比 例 す る か ら,Dijを 用 い た 場 合 と 比 較 し て,境 界 領 域 で の 大 き さ を 強 調 す る こ と が で き る.ま た,等 質 領 域 に お い て も,ノ イ ズ な ど の 影 響 に よ っ てfijが 等 質 領 域 の 平 均 的 な 特 徴 ベ ク トル よ り,か な りず れ た 値 と な っ て も, fi+1,j+1,fj+2,j+2が 互 い に 近 い 値 を 持 つ 限 り,‖(fi+1,j+1 -fij)×(fi+2 _{,j+2-fi+1,j+1)‖ は あ ま り大 き な 値 を と ら な} い.特 に,fi+2,j+2=fi+1,j+1の と き は, と な る.こ の よ う に,SijはDijと 比 較 す る と, 境 界 線 抽 出 に際 して,よ り安 定 なパ ラ メ ー タ ーで あ る と い え る. 4.2  Sijを 用 い た境 界 線 の抽 出 Sijに よ って 境 界 線 を抽 出す る の に用 い る特 徴 ベ ク トル を求 め る方 法 と して は,3種 の方 法 の な か で最 も簡 便 なWalsh関 数 を 用 い る こ と に し た. fij=wijと して,(17)式 よ りSijを 求 め,境 界 領 域 を 抽 出 した.そ の 結 果 を 図8(a)に 示 す.図 8(a)をDijの 場 合 の 図5(b)と 比 較 す る と, 境 界 領 域 の太 さが 均 一 で は な い.こ れ は,Sijの ほ うが 特 徴 ベ ク トル の違 い を強 調 し て い る の で, 実 際 の境 界 線 付 近 にお いて もSijの 大 き さ に差 が あ る た め で あ る. 境 界 領 域 の太 さを 均 一 にす る た め に は,実 際 の 境 界 線 付 近 で のSijが 互 い に近 い値 を と って い る ほ うが よ い.す なわ ち,Sijが 大 き な範 囲 で は そ の差 を 小 さ く,Sijが 小 さ な範 囲 で は そ の差 を大 き くす る よ うな関 数 で変 換 す れ ば よ い.そ の よ う な関 数 の一 例 と して 対 数 関 数 を用 い,変 換 後 の尺 度 をRijと し た.Sijの か わ りにRijを 用 い る こと に よ って,太 さが よ り均 一 な境 界 領域 を抽 出 す る こと が で き る.

(18)

こ こ で,Sijに1を 加 算 し た の はSij≧0に 対 し て, Rij≧0と な る よ う に す る た め で あ る.ま た,Sijの 値 は 画 面 の 濃 度 や,特 徴 ベ ク トル 抽 出 の 際 の パ ラ メ ー タ ー な ど に 依 存 す る か ら,境 界 領 域 に お い てSij≫1と な る よ う に し て お け ば,1を 加 え る こ と に よ る影 響 は あ ま り 大 き く な い.(18)式 よ り求 め たRijを も と にDijの 場 合 と 同 様 に し て 境 界 領 域 を 求 め た.こ の 結 果 を 図8(b) (a) (b) 図6  図3の 画 面 中 の 中 央 の 惰 円 状 の 楕 域 を左 へ ず ら した 画 像 に 対 す る境 界 領 域 (a) 3画 素ず らした場合,(b)  6画 素ず らした場合,(c)  9画 素 ず らした場合 The boundary areas obtained from the application of Walsh function on pictures in which an oval shown in Fig. 3 is shifted to the left.

(a) The case shifted 3 pixels. (b) The case shifted 6 pixels. (c) The case shifted 9 pixels.

図7  Sijを 求 め る際 の 各 小 領 域 の 位 置 Positions of small areas used for calculation of Sij.

図8  Sijを も と に 求 め た 境 界 領 域

(a) Sijを そ の ま ま用 い た 場合,(b)  Rij=log(1+Sij)を 用 い た場 合

The boundary area obtained from calculation of Sij. (a) The case using Sij. (b) The case using Rij=log (1+Sij)

に 示 す.図8(b)で は 境 界 領 域 の 太 さが ほぼ 一 定 で,望 ま しい 結 果 が 得 られ て い る. 以 上 の よ うに,.Rijを 用 い る こ とに よ っ て もDijを 用 い る場 合 と 同様 の アル ゴ リズ ム に よ って 境 界 領 域 を 抽 出す る こ とが で き る.こ れ ら の 方 法 に お い て,Rijは Dijと 比 較 して,境 界 付 近 で 大 き な値 を と る半 面,演 算 時 間 を 多 く必 要 とす る. 次 に,こ の よ う に して 抽 出 され た 境 界 領 域 か ら境 界 線 を 抽 出 し な けれ ば な ら ない.そ の た め の 方 法 と して,本 研 究 で はHirditchの 細 線 化 アル ゴ リズ ム5)を 用 い て, 境 界 領 域 を 境 界 線 に す る こ とを 試 み た.図7(b)の 境 界 領 域 に対 して 細 線 化 を 行 った と こ ろ,図9に 示 す よ うな 境 界 線 を 抽 出す る こ とが で きた. 5.  む す び 本 方 式 は,あ る定 め られ た小 領 域 の 内部 を代 表す る特 徴 ベ ク トル を 抽 出 して は い るが,そ の 内部 を等 質 とみ な さな い で,近 接 した 小 領 域 との 関 連 に お い て,そ の 違 い が 大 き くな る場 合 を 求 め,そ の 場 合 のDijあ る い は Sijを 求 め るの に 用 い た4個 あ るい は5個 の 小 領 域 の 中 心 を 結 ん だ 曲 線 を 境 界 線 と した 点 に,従 来 の 方 法 との 大 き な差 が あ る.ま た,画 像 の模 様 を代 表 す るよ うな 特徴 ベ ク トル を 導 入 して い るた め ,小 領域の平均 値や分散が 等 しい 場 合 で も,模 様 が 違 え ば そ の 境 界 を 抽 出 す る こ と が 可 能 とな った. た だ,本 方 式 で は 小 領 域 の 特 徴 ベ ク トル を 求 あ る必 要 が あ るが,こ れ を 求 め るた め に 多 くの 演 算 時 間 を 必 要 と す る場 合 が 多 い.そ の 対策 とし て は,ま ず 粗 く小 領域 を と ってDijあ るい はSijを 求 め,こ れ らの ピー クの 付 近 だ けに つ い て細 か く小 領 域 を と って,さ ら にDijあ るい はSijを 求 め る こ とに よ って,演 算 時 間 を短 縮 し, か つ よ り正 確 な 境 界 線 を 抽 出 で き る 可 能 性 が あ る.特 に,小 領 域 の 大 き さや と り方 を 自由 に 選 ぶ こ とが で き る よ うに す る こ とに よ って,小 領 域 を考 え る場 合 に 常 に 問 題 とな る,境 界線 抽 出 の 際 の 量子 化誤 差 を少 な くす る こ とが で き る.(昭 和52年9月19日 受付) 〔参 考 文 献 〕 1) 出口,森 下:テ キスチャーの解析手法,計 測 と制御 ,16, 2(1977)184-194 2) 安居院,岩 田:リ モー トセ ンシ ングにおける分散 を用 い た領域抽 出,信 学全大,1175(1977)5-258 3) 木村:Walsh関 数 とその応用,電 学誌,91,4(1971) 283-622

4) J. Makhoul : Spectral Linear Prediction ; Properties and Application, IEEE, ASSP-23, 3 (1975) 283-296 5) C. J.: Hilditch : Linear Skelton from Square

Cup-boards, Machine Intelligence IV (1969) 図9  図8(b)の 境 界 領 域 に対 して求 め た境 界(b:線 境 界線)

The boundary line obtained from calculation of boundary areas shown in Fig. 8(b). (b : boundary line.)