第３回資料

構造設計Ⅲ

第３回 建物のモデル化と１質点系

の非減衰自由振動

建築物のモデル化

3m 3m 4m 4m 10m 地階 1階 2階 3階 PH 400kN 4600kN 5000kN 5500kN 5500kN 1 k 2 k 3 k 4 k 1 m 2 m 3 m 4 m 建築物 多質点系モデル m 質量 １質点系モデル k バネ定数 W m g   重量 重力加速度

１質点系の自由振動と固有周期

行って 帰る時間

2

m

T

k





固有周期Tの特性

2

m

T

k





固有周期はどのように導かれる？

• 自由振動方程式を立てて，これを解くことによって求められる．

• 自由振動方程式を立てるには，まず，慣性力について理解する必要

がある．

慣性力

摩擦なし

F

m

氷

つるつるの氷の上でも重いものを動かすには力がいる．

また，質量が大きいほど大きな力が必要．

物体

F

m

慣性力

摩擦なし

F

m

氷

力を入れるとやがて物体は動き出す．

この時の力と物体の質量との関係は？

物体

x

F



ma

2 2 : : : : F m d x a a x dt t   力 質量 加速度　 時間 （ニュートンの第２法則）

地盤が動いた場合はどうなる？

建物 地盤

x

建物は残ろうとするので 逆向きの慣性力が働く

mx



滑らない

F

摩擦力

0

mx

F



 

D'Alembertの原理 （ダランベールの原理） 加速度の方向

１質点系の運動

x

mx

x

mx



質点が の加速度で動くと

の慣性力が働く

k

kx

バネによる復元力も

マイナス方向に働く

x

釣合い方程式

0

mx

kx







0

mx



kx



自由振動方程式

自由振動方程式の解法

0

mx



kx



k

x

x

m

 

2 2

d x

d

dx

x

dt

dt dt









_

_





:

x 速度

x





x

2 xの 階微分が の定数倍になるx

sin

cos

x

A

pt

x

B

qt





, A Bは定数 , B q は定数 2 2 2 2

sin

cos

x

p A

pt

p x

x

q B

qt

q x

 

 

 

 

 は定数

k

p

 

q

x



A

sin



t



B

cos



t

２階の微分方程式の解

sin

cos

x



A



t



B



t

tに関して２階の微分方程式だから１階積分すると未 定係数が１つ，2階積分すると未定係数が２つになる。

0

mx



kx



未定係数を決めるためには，１階積分の速度と２ 階積分の変位の初期値を与える必要がある。 t=0 の変位の初期値 t=0 の速度の初期値 0

(

0)

x t





d

0

(

0)

x t





v

未定係数の決定

 

 

sin

cos

cos

sin

x t

A

t

B

t

x t

A

t

B

t





















 

 

0 0

0

0

x

B

d

x

A



v

 





  



 

 

0 0 0 0

sin

cos

cos

sin

x t

v

t

d

t

x t

v

t

d

t





























 



：初期変位

：初速度

初期条件

振動の様子

0 0

2

0

1

d

v









0.6 0.4 0.2 0.2  0.4  0.6  0 2 4 6 8 10 変位応答 時間 2 3.14 sec T    

固有周期と固有振動数

2

2

2

1

1

2







_













 

固有周期 は

となる時間

固有振動数

は 秒間の振動数

T

t

m

T

k

f

f

T

演習問題

500kN W  30cm×30cm 図に示す構造物の固有周期を求めよ． ただし，鉄筋コンクリート造とし， 柱の断面は とする． はりの剛度は無限大と仮定する． 2 2100 kN cm E  400cm A B R



AB BA AB BA AB AB 2 BA 2 AB 3 2 1 2 1 2 6 6 6 6 12 M _I R E M H R M M Q R H H EI EI M R H H EI EI M R H H EI Q H               _{  }                     H AB 3 12 Q EI k H    1本の柱のバネ剛性 15

演習問題の解答

2 3 4 4 3 3

2100 kN cm

30 30

cm

12

400cm

12

12 2100 30

2

2

26.6 2

53.2 kN cm

400

12

E

I

H

EI

k

H















 

 

 



2

500

0.51 kN sec cm

980

W

m

g









0.51

2

2

0.615sec

53.2

m

T

k











2 2 2

9.8m sec

980cm sec

9800 mm sec

g

g

g







重力加速度