平成２２年度 大阪府立大学 1.

平成２２年度　大阪府立大学

1.　

(1)　 AB=

à 1 1

0 1

! Ã a b c d

!

=

à a+c b+d

c d

!

， BA=

à a b c d

! Ã 1 1 0 1

!

=

à a a+b c c+d

! より，

⎧⎪

⎨

⎪⎩

a+c=a b+d=a+b c+d=d

より，a=d, c= 0．

(2)　

x, y∈U ならば，任意のスカラーk, lについて，kx+ly∈U が成り立たなければな らないから，k=l= 0のとき，0∈U．

よって，0のとき，a∗0 + 0 + 0 =b から，b= 0.

また，b= 0のとき，

⎛

⎜⎝ x₁ x2

x3

⎞

⎟⎠=

⎛

⎜⎝ x₁ x2

−ax1−x2

⎞

⎟⎠=x1

⎛

⎜⎝ 1 0

−a

⎞

⎟⎠+x2

⎛

⎜⎝ 0 1

−1

⎞

⎟⎠であ

るから，任意の実数aについて，R³ の２次元部分空間U =<

⎛

⎜⎝ 1 0

−a

⎞

⎟⎠,

⎛

⎜⎝ 0 1

−1

⎞

⎟⎠>

が定まる．　∴　b= 0であればよい．

2.　

ad²x dt² +bdx

dt +cx= 0 (a >0, c >0)の特性方程式を au²+bu+c= 0とおくと，u= −b±√

b²−4ac

2a ． よって，

b²−4ac= 0のとき，x=e^−2abt(C₁t+C₂)． b²−4ac >0 のとき，x=C₁e^−b+

√b2−4ac

2a t+C₂e^−b−

√b2−4ac

2a t．

b²−4ac <0 のとき，

x=e^−2abt³ C₁cos

√|b²−4ac|

2a t+C₂sin⁻

√|b²−4ac|

2a t´

=e^−2abt³ C₁cos

√|b²−4ac|

2a t+C₂sin

√|b²−4ac|

2a t´

．

3.　

(1)　

Re{(x+yi)²}

= Re(x²−y²+ 2xyi) =x²−y²<1 より，図に示すようになる．

図の領域の境界は含まない．

1

(2)　

f(z) = z⁴

1 +z⁶ = z⁴

(z²+ 1)(z⁴−z²+ 1) とおく．

半径R の半円周をC1，−R からR までの線分をC2とする積分路を 考えると，

Z

C1+C2

f(z)dz= Z

C1

f(z)dz+ Z R

−R

f(x)dx · · ·(∗)．

　¯¯¯ Z

C1

z⁴ 1 +z⁶dz

¯¯

¯≤ R⁴ R⁶−1

Z

C1

|dz|= R⁴

R⁶−1·πR→0 (R→∞) より，R→∞のとき，上の(∗)の右辺第１項は0で，

Z

C1+C2

f(z)dz= Z _∞

−∞

f(x)dx． z⁴−z²+ 1 = 0より，

z²= 1±√ 3i

2 =e^±π3iから，z=e

1 2

³

±¹3+2n

´

πi=e

³

±¹6+n

´

πi (n= 0,1)． 　したがって，±i, e

³

±¹6+n

´

πi (n= 0,1)はf(z)の１位の極で，このうち，半径Rの 半円周の内部に含まれる点はi , e^π6i, e^−7π6i の３点だけである．

　この３点の留数は，

limz→i(z−i) z⁴

(z−i)(z+i)(z⁴−z²+ 1) = 1

2i(1 + 1 + 1) = 1 6i =−i

6, ロピタルの定理を用いて，

lim

z→e^π6i

(z−e^π6i)z⁴

1 +z⁶ = lim

z→e^π6i

z⁴+ 4(z−e^π6i)z³

6z⁵ = lim

z→e^π6i

e^4π6i 6e^5π6i =1

6e^−π6i

=

√3 2 −¹2i

6 =

√3−i 12 ， 同様に，

lim

z→e^{−7π6 i}

(z−e^−7π6i)z⁴

1 +z⁶ = lim

z→e^{−7π6 i}

e^{−28π6 i} 6e^{−35π6 i} =1

6e^7π6i =−^√2³−¹2i 6 = −√

3−i 12 ． –––––––––––––––––––––––––––

別計算例）

lim

z→e^π6i

(z−e^π6i) z⁴

(z²+ 1)(z−e^π6i)(z−e^−π6i)(z−e^7π6i)(z−e^−7π6i)

= e^2π3i

(e^π3i+ 1)(e^π6i−e^−π6i)(e^π6i−e^7π6i)(e^π6i−e^−7π6i)

=

−1+√ 3i 2

(^1+√₂³ⁱ+ 1)(^√3+i₂ −^√3₂⁻ⁱ)(^√3+i₂ −^−√₂³⁻ⁱ)(^√3+i₂ −^−√₂³⁺ⁱ)

= −1 +√ 3i (3 +√

3i)i(√ 3 +i)√

3 = −1 +√ 3i 3(√

3 +i)²i = −1 +√ 3i 6(1 +√

3i)i = −(1−√ 3i)² 24i

=1 +√ 3i 12i =

√3−i 12 ， lim

z→e^{−7π6 i}

(z−e^{−7π6 i}) z⁴

(z²+ 1)(z−e^π6i)(z−e^−π6i)(z−e^7π6i)(z−e^−7π6i)

2

= e^{−14π3 i}

(e^−7π3i+ 1)(e^−7π6i−e^π6i)(e^−7π6i−e^−π6i)(e^−7π6i−e^7π6i)

= e^{−2π3 i}

(e^−π3i+ 1)(e^−7π6i−e^π6i)(e^−7π6i−e^−π6i)(e^−7π6i−e^7π6i)

=

−1−√ 3i 2

(^1−√₂³ⁱ+ 1)(^−√₂³⁺ⁱ−^√3+i₂ )(^−√₂³⁺ⁱ −^√3₂⁻ⁱ)(^−√₂³⁺ⁱ −^−√₂³⁻ⁱ)

= −1−√

3i (3−√

3i)(−√ 3)(−√

3 +i)i = −1−√ 3i 3(√

3−i)²i = −1−√ 3i 6(1−√

3i)i = −(1 +√ 3i)² 24i

=1−√ 3i 12i = −√

3−i 12 ．

–––––––––––––––––––––––––––

よって，Z

C1+C2

f(z)dz= 2πi{Res[f(z), i] + Res[f(z), e^π6i] + Res[f(z), e^−7π6i]}

= 2πi n

−i 6+

√3−i 12 +−√

3−i 12

o

= 2πi n

−i 6− i

6 o

=2π 3 ． 　∴　

Z

C1+C2

f(z)dz= Z _∞

−∞

f(x)dx=2π 3 ．

3