形状最適化シミュレーションの紹介

(1)

形状最適化シミュレーションの紹介

加藤大輔

ⁱ

Introduction to structural optimization based on CAE Daisuke KATO

形状最適化シミュレーションの1つである「トポロジー最適化」に焦点をあて，その機能や特徴を事例も含めて紹介する．トポロジー最適化は形状変更の自由度が大きく，事前に予測ができない革新的な形状が得られるケースもある．また，3Dプリンタを活用したものづくりとの親和性が高い．「形状のアイディアをソフトウェアが提供する」という，新しいシミュレーションの活用策が広がりつつある．

(キーワード): 形状最適化，トポロジー最適化，有限要素法，3Dプリンタ，ものづくり

i サイエンスソリューション部社会インフラチーム次長 1 はじめに

製品の形状は，その製品が機能するための要件を最低限満たさなければならないが，それ以外にも製造の容易さ（製造コスト）や使い勝手，耐久性やデザイン性など，様々な要素を加味する必要がある．

また，その製品の使用目的等に応じて重視されるポイントは変化する．例えば「かばん」を例にとると，パーティーに持参するようなオシャレなハンドバックは製造コストや使い勝手を多少犠牲にしてもデザイン性が優先されるであろうし，登山など過酷な環境で使用されるバックは，耐久性や重量（軽さ）

が重視されるであろう．

このように，形状を定める際はトレードオフとなる様々な条件を考慮しなければならないため，特に開発経験の少ない製品の開発や，飛躍的な機能向上を達成しなければならない場合には，様々な試行錯誤が不可欠になってくる．

形状最適化シミュレーションは，このような新しいチャレンジを行う際に，特に威力を発揮する．形状最適化シミュレーションは，与えられた条件の中で「正解」の方向性を指し示すものであり，試行錯誤の労力を減少させることが可能である．

もちろん，有益なシミュレーション結果を得るためには，適切な計算条件をソフトウェアに指示する必要があるため，ソフトウェアの使用に関する知識

やノウハウを別途習得することが必要になるが，それを踏まえても形状最適化シミュレーションから得られる結果は魅力的であることが多い．

本報告では，形状最適化シミュレーションの1つである「トポロジー最適化」に焦点をあて，その機能や特徴を計算事例も含めて紹介する．トポロジー最適化は，複数ある形状最適化シミュレーション手法の中で最も形状変更の自由度が高いものであり，

評価者が事前に予測できないような形状が得られるケースもある．ぜひ，この手法ならびに成果の魅力を感じて頂きたい．

2 トポロジー最適化

2.1 橋の形状最適化（その１）

「百聞は一見にしかず」ということで，はじめに，

トポロジー最適化の簡単な事例を紹介する．

図1のような初期形状を仮定する．長方形の領域の上部に分布荷重が作用しており，側面は両方向とも移動しないように拘束されている．長方形の領域は碁盤の目のような微小領域（要素と呼ばれる）に分割されており，荷重や拘束条件が付与されている要素は赤で，付与されていない要素は水色で色分けされている．

最適化の目的は，この長方形の領域の面積を最小化することである．ただし，それだけであれば水色

(2)

の要素を全て取り払えばよくなってしまうので，『発生する「応力」の最大値が，あるレベル以下に収まるようにする』という条件を追加する．これにより，

構造力学的な視点から，適切に要素を削除していく必要が生じる．

図1 橋の形状最適化（初期状態）

このような条件設定を最適化ソフトウェアに与え，

実行すると、最適化ソフトウェアが自動的に以下の処理を行う．

はじめに，最適化ソフトウェアは，図1の条件で構造解析を行い，発生する応力を求める．これにより，図1の条件において構造強度に対する寄与の小さい要素がわかるので，その要素を除外する（正確には，その要素の剛性を減少させる）．

要素の除外（剛性の減少）により，評価対象の形状が変化するため，最適化ソフトウェアは変更された形状に対して再度構造解析を行い，寄与の小さい要素を把握する．そのうえで，当該要素を除外（剛性減少）し，さらに新しい形状を作り出す．

この処理を何度も繰り返し行うことにより，最終的に，これ以上どの要素を削除しても応力の最大値が規定レベルを超えてしまうという状態にたどり着く．この状態の形状が最終的な結果になる．この処理の流れを図2に示す．

図2 トポロジー最適化の処理の流れ

図1の形状ならびに所定の条件に対し最適化を行った結果を図3に示す．

図3 橋の形状最適化結果

図の青い部分は構造強度に対する寄与の小さい部分，赤い部分は構造強度に対する寄与の大きい部分初期形状等の条件を設定する

構造解析を実施する

構造強度に対する寄与の小さい要素を把握し，除外する（剛性を減少させる）

これ以上の形状変更が可能か？

計算終了 No

Yes

Step-10

Step-20

Step-30

Step-40

最終形状（Step-48 にスムージング処理適用）

Step-48

(3)

を意味している．荷重や拘束条件を付与した要素は除外の対象外にしているため，赤で表示されている．

また，Stepは繰り返し処理が行われた回数を意味している．

図3より，構造強度に対する寄与の小さい要素から順に除外されていき，48ステップで計算が終了したことが確認できる．要素が四角形であるため，最終形状に対してスムージング処理を適用し，外形形状をなめらかにした図も最後に示しているが，これを見ると，全体的にアーチ状の形状になっていること，ならびに，細かい支柱を適宜配置し強度を保っていることが把握できる．

筆者は橋梁の設計については素人であるが，「橋の形状はアーチ型が良い」ということは事前知識として知っていた．そのため，図3の結果はある程度妥当であると感じることができたが，この，細かい支柱の最適な配置まで予測できたかと言われれば，それは全くできておらず，このような「形状に対する提案」をソフトウェアが行ってきたということに大変興味を覚えた．

2.2 橋の形状最適化（その２）

拘束条件を変更した解析を2ケース試行したので，

これを報告する．まずケース1として，図4のように，長方形領域の下部中央に拘束領域を追加した．

この部分の要素は除外されないため，中央部に足が 1 本追加されることを見込んだものであり，筆者の事前予想は図5 のように，2つのアーチが形成されると考えた．

（拘束条件変更ケース1）

図5 橋の形状最適化（結果予想）

この解析の結果を図6に示す．形状は，どちらかと言えば図3に示した足なしの最適化形状の中央部に足が1本追加されたものになっており，予想とは少し異なる結果になった．

図6 橋の形状最適化（結果）

試行のケース2は，図7のように，長方形領域の下部に，拘束領域を2つ追加したものである．このケースの結果予想として，先のケース1の結果を踏まえ，図8のように足を置く位置に2本まっすぐ足ができ，その周囲に補強用の支柱が斜めに配置されるのではないかと考えた．

このケースの結果を図9に示す．形状は，きれいなアーチ状であり，予想通りのものにはならなかった．

冒頭に述べたように，形状を定める際に考慮しなければならない要因は多々あるため，強度のみでこれを定めるわけにはいかないが，このような，形状に関する「ヒント」が得られる意義は大きいと考えられる．

図8 橋の形状最適化（結果予想）

(4)

図9 橋の形状最適化（結果）

2.3 トポロジー最適化の魅力

これまで，コンピュータシミュレーションは「実験の代替手段」として利用されることが多かった．

時間やコストを要する試作実験の回数を減らし，効率の良い設計開発を推進するため，許容できる精度を確保したシミュレーションをどのように行っていくかに焦点が当てられ，シミュレーションソフトウェアが改良されるとともに，知見やノウハウが蓄積されていった．

その結果，シミュレーションの適用範囲は広がり，

製品開発に欠かすことができないツールとなったが，

ここで紹介した「トポロジー最適化」は，「実験の代替手段」ではない．これは「形状のアイディア」を提供するものであり，新しいコンピュータシミュレーションの活用手段なのである（図10参照）．

これまで

設計 試作実験

シミュレーション：試作実験の軽減

これから

設計

トポロジー最適化：形状アイディア 試作実験 シミュレーション

図10 トポロジー最適化の位置づけ

2.4 荷重条件や製造条件の考慮

御紹介した橋の事例では，拘束条件を変更することにより形状が変化することを示したが，荷重条件を変更したことにより形状が変化する事例を，以下に示す．

図11に初期形状を示す．直方体の物体の対角線上に拘束部と荷重部を配置し，引張荷重（case1）とねじり荷重（case2）をかけた場合に，最適化形状がどのように変化するか確認することを狙っている．

最適化の目的は剛性の最大化，制約条件は体積の最小化とした．これにより，体積は徐々に減少し，

その体積において，最も剛性の高い形状を得ることができる．

引張荷重（case1）をかけた場合の解析結果を図12 に，ねじり荷重（case2）の結果を図 13に示す．形状の相違は一目瞭然であり，作用する荷重の条件に応じて，形状が適切に変化することが確認された．

変位拘束 case1

case2

(突起部は変形対象外）

図11 荷重条件の変更に伴う形状変化事例

（初期形状）

（case1：引張荷重解析結果）

(5)

（case2：ねじり荷重解析結果）

なお，図13の結果（ねじり荷重）は，中央部が大きく抜けており，製造上の制約のため，このような形状は採用できない可能性がある．トポロジー最適化のソフトウェアの中には，「製造条件」を考慮するための機能が装備されているものがあるので，その例を示す．

試行した製造条件は「鋳造離型条件」と呼ばれるものである．これは，鋳造において「型」を剥がす際，アンダーカットが生じていると型を剥がすことができないため，指定された離型面に対するアンダーカットを抑制するものである．

図13の解析条件に，鋳造離型条件を追加した解析を行った結果を図14に示す．離型面は青線で示した箇所であり，この面で型を剥がすことができるよう，

アンダーカットが発生しないという制約のもと，形状の最適化が行われている．

図14 鋳造離型条件を適用した事例

（case2：ねじり荷重解析結果）

3 3D プリンタを活用した「ものづくり」とトポロジー最適化との親和性

3.1 趣旨

前節では，ねじり荷重に対する事例（図13）の製

造上の制約を回避するため，鋳造離型条件を適用した事例（図14）を示した．

一方，近年話題になっている「3Dプリンタ」を使用すれば，このような製造上の制約は回避できる可能性があり，形状の自由度が格段に上がる．

逆に言えば，トポロジー最適化は，3Dプリンタとの親和性が極めて高い最適化手法であると言える．

トポロジー最適化により得られる形状結果は，比較的複雑なものになることが多いが，3Dプリンタであればその形状を作り出せる可能性がある．そこで，

日常品を対象にトポロジー最適化による形状最適化を行い，実際に 3D プリンタにて製作を行ってみたので，以下に，その一連の状況を説明する．

3.2 試行対象と最適化条件

試行対象は，仮想の機械部品ではなく，できれば身近なものにしたいと考え「セロハンテープホルダ」

を取り上げることにした．一般的なセロハンテープホルダは，その重量感が「使い勝手の良さ」を生み出しているとともに，落下衝撃等に対する耐久性も十分であり，とても良い形状であるが，反面「ごつさ」を感じるときがある．トポロジー最適化によりこれを「肉抜き」してみることにした．

対象物の初期形状を図15に示す．形状の自由度を増すため，初期形状はあえて長方形に近いものとし，

リールやカッターの刃を装着する部分のみ，詳細な形状を与えた．

図15 セロハンテープホルダ（初期形状）

図15の3か所の突起部は，荷重条件を負荷するために設置したものであり，ここに前後上下左右の 6 方向の荷重を設定した．形状最適化は，これらの荷重を個別に負荷し、それにより生じる応力の全てを考慮して行われる．荷重条件の一例を図16に示す．

(6)

図16 全部に上方向の荷重を与える例

拘束条件は図17に示すように，底面を拘束した．

また，解析メッシュは図18のように全領域四面体で作成した．要素寸法の規定値は 3mm，総節点数

58,452，総要素数317,992である．

図17 拘束条件

図18 解析メッシュ

最適化の目的は剛性の最大化，制約条件は体積の最小化とした．今回の試行は形状のアイディアを得ることを目的としているため，許容可能な応力レベルは設定していない．

なお，最適化の条件として，さらに2つのものを追加している．1つはフリーズ領域であり，図19の赤線内の領域は肉抜きの対象から除外した．リールを設置する部分，カッターを取り付ける部分を残しておくためである．もう1つはメンバーサイズの最小値であり，全領域で5mmとした．これにより5mm よりも細い部材は生成されなくなる．

図19 フリーズ領域

3.3 形状最適化の結果と製造

形状最適化を実施した結果のうち，ステップ毎の形状変化図を図20に示す．徐々に肉抜きが進展していく様子を確認することができる．

今回の解析では，許容可能な応力レベルを設定していないこともあり，肉抜きの進展にともない強度不足の発生が懸念される．ある程度の強度を見込むことができ，かつ 3D プリンタにて製作する価値のあるような，ある程度の形状の複雑さを有するものを採用したいという観点から，Step-24の形状を採用することにした．

Step-24の形状に対し，スムージング処理を行った

うえで，CADにて突起部の除去等の整形を行った結果を図21に示す．

このCADデータを，3Dプリンティングサービスを提供している会社へWeb経由で送り，製作を依頼した．素材は比較的安価なホワイトアクリルを採用した．費用は3万円台であり，約1週間後に現物が宅急便にて届けられた．

製品は意外と頑丈であり，通常の使用において，

強度上の問題は感じられなかった．ただし，刃を刺すスリットの前方部に部材（図22の赤丸部分）が残っており，テープをカットする際にこの部分が邪魔をするため，使い勝手は良くなかった．

(7)

図20 形状最適化結果（各ステップ）

Step-2

Step-5

Step-10

Step-15

Step-20

Step-24

Step-27

Step-30

(8)

図21 形状最適化結果

（Step-24＋スムージング処理＋CAD成型）図22 3Dプリンタ製造結果

4 まとめ

形状最適化シミュレーションの1つである「トポロジー最適化」に焦点をあて，この機能や特徴を計算事例も含めて紹介した．

トポロジー最適化は形状の変更に対する自由度が高く，事前に予想することが難しいような形状が得られることもある魅力的な手法であると思われる．

また，3Dプリンタとの親和性も高い．このような新しい製造プロセスを活用する際には，これまで縛られていた製造上の制約を捨てて，より新しい視点を持って形状を検討する必要があるが，トポロジー最

適化は，その際のアイディアを提供してくれる強力なツールであると思われる．

なお，今回のテープホルダの試作では，得られた形状のアイディアを，ほとんど修正することなく，

そのままの状態で製造している．本来は，落下衝撃解析や破断解析等による構造健全性の確認等も必要である．ただし，応力の最大値を設定し，これを下回るような形状を最適化から求める場合，処理の繰り返し回数が比較的多くなる傾向があるため，計算時間等も加味する必要がある．

また，形状最適化には，トポロジー最適化以外のものも存在しており，応力集中箇所の応力緩和に適

(9)

した手法や，製造コストや機能性評価等も含めたより広範な最適化評価に適した手法等もある．これらについては，紙面の関係で割愛しているが，機会があれば別途御紹介したい．

最後に，本報告で実施した解析に使用したソフトウェアを紹介する．形状最適化ソフトウェアにはダッソー・システムズ株式会社のTosca Structure ¹⁾を使

用した．Tosca Structureは，別途構造解析ソフトウェ

アを必要とし，これはTosca Structureの実行中に自動的に起動される．本報告では，構造解析ソフトウェアには，全てのケースでダッソー・システムズ株

式会社のAbaqus²⁾を使用している．

引用文献

1) http://www.3ds.com/ja/products-services/simulia/pro ducts/tosca/structure/

2) http://www.3ds.com/ja/products-services/simulia/pro ducts/abaqus/

形状最適化シミュレーションの紹介