関数の最大・最小

x

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1

関数の最大・最小（基本）

１

関数の最大・最小

数 Ⅱ＞ 第６章 微分法 積分法＞ 第２節 関数 値 変化 ＞ 関数 増減・ 応用

次 関数 最大値 最小値 求 。

例題１

解

関数 最大・最小 調 , （     ） 書

調 ！

増減表

(1)      

(2) 

y = x³+ 1 (−1 ≦ x ≦ 1)

y = x³−6x²−15x (−2 ≦ x ≦ 2)

 y′ = 3x²

 y′= 0  ^{, 増減表 次 。}

,  関数

 x = −1  , 最小値 0

 x = 1  , 最大値 2

。

x = 0

 x² ≧ 0  , y′≧ 0 

x y′

y

⋯ 0 ⋯ + 1

+ 0

− 1 0

1 2

(1)

(2)  y′= 3x²−12x −15

 y′= 0 

x =−1 , 5

  = 3(x²−4x −5)

  = 3(x + 1)(x −5)

y

−1 x 1 21

 y′> 0  解

 y′< 0  解

x < −1, 5 < x

−1 < x < 5

x ⋯ − 1

8

+ 0

−2

− 2

, 増減表 次 。

2

− 46

⋯

−

y

x 8

3

−1

,  関数

 x = 2  , 最小値 −46

 x = −1  , 最大値 8

。

−2

−2 2

−46

y′

y

⋯

−

5

− 100

− 1 − 5

+

−

+

x

2

1辺 長 6cm 正方形 厚紙 四隅

, 合同 正方形 切 取 , 

直方体 箱 作 。箱 容積 最大

, 切 取 正方形 1辺 長

何cm 。

例題２

解

 1辺×1辺

切 取 正方形 1辺 長    cm, このときの

箱の容積を  ㎤とする。

x y

 y = (6−2x)²x

x ⋯ 1

+ 0

0

, ① 範囲 増減表 次 。

⋯ 3

−

,  関数

 x = 1  , 最大 。    6 cm

   x cm

   x cm  (6−2x) cm

箱 作 , x > 0 , 6−2x > 0    ・・・①

0 < x < 3

高   = 4x³−24x²+ 36x

  = 4(x³−6x²+ 9x)

 y′ = 12x²−48x + 36

  = 12(x²−4x+ 3)

  = 12(x −1)(x −3)

y′

y

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関数の最大・最小（応用）

２

数 Ⅱ＞ 第６章 微分法 積分法＞ 第２節 関数 値 変化 ＞ 関数 増減・ 応用

1 − 3

+

x x x

実数解→（            ） 個数 x

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3

方程式への応用

３

方程式の異なる実数解の求め方

数 Ⅱ

次 方程式 異 実数解 個数 求 。

例題

解 実数解 個数 , （       ） 書

求 ！

 軸 交点

x

＞ 第６章 微分法 積分法＞ 第２節 関数 値 変化 ＞ 関数 増減・ 応用

 y = x³−3x²−1   y′= 3x²−6x

  = 3x(x−2)

 y′= 0 

x = 0 , 2

x ⋯

− 1

+ 0

0

−5

, 増減表 次 。

2 ⋯

− y′

y

⋯

+ 0

極大 極小 y

x

−1

2

−5

右 ,   軸 1点

交 。

x

     異

実数解 個数 1個 。

x³−3x²−1 = 0 y

x

y

x y

x

y

x y

x

y

x

実数解 個数

（     ） 3個 （     ） 2個 （     ） 1個

STEP1：

x

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4

不等式への応用

４

不等式の証明

数 Ⅱ

  , 次 不等式 成 立 証明 。 , 等号

成 立     値 求 。

x ≧0

x

例題

解

x³+ 3x²+ 5 ≧ 9x

＞ 第６章 微分法 積分法＞ 第２節 関数 値 変化 ＞ 関数 増減・ 応用

最小値

 x³+ 3x²−9x+ 5 ≧ 0 

 f′(x) = 3x²+ 6x−9

  = 3(x+ 3)(x −1)

 f′(x) = 0 

x = −3 , 1

x ⋯

32

+ 0

− 3

5

, 増減表 次 。

0 ⋯

− y′

y

⋯

−

y

x

−3 32

  範囲 ,  最小値   

  , 

x ≧ 0 0

, 等号 成 立   x = 1  。

◯ ≧ △

成 立 証明

STEP2：

         （     ） 求

◯ − △ =f(x) f(x)

STEP1 移項

STEP2  f(x) = x³+ 3x²−9x+ 5  , 

増減表 書 求 ！

  = 3(x²+ 2x−3)

− 3 − 1

+

0 1 0

⋯ +

極大 極小

5 1 x³+ 3x²+ 5 ≧ 9x

成 立 。