1 次元量子ウォークとガウスの超幾何関数

1 次元量子ウォークとガウスの超幾何関数

One-dimensional quantum random walks and the Gauss hypergeometric functions

物理学専攻 大谷 諭 Ootani Satoshi

１.研究の目的

１ １ １ 私の研究はランダムウォークを量子化し

た量子ウォークの仕組みをより理解したい というところにモチベーションがあります.

一番シンプルな形を調べることで理解が深 まると考え,1 次元,離散時間に限って研究を 進めました.

１ ２ １ １ ３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ １０ １０ ５ １

図１ パスカルの三角形

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-10 -5 0 5 10

exp(-x**2)

２.古典的なランダムウォーク

古典的なランダムウォークでは 1 ステッ プあたりの動きが左に確率ｐ, 右に確率ｑ といった確率によって決まります.このと きｐ＋ｑ＝１という条件を課すので今ある 位置からは右か左に一つしか移動すること ができません.ステップ数が増えるごとに 中央に集まりやすくなり,n ステップ目に位 置 k にある確率は とい う二項分布で表されます。ｐ=q=1/2 のとき には分布は図１のようなパスカルの三角形 に従います. これをステップ数を増やして いくと図２のようなガウス分布になりま す.

k n k

n p q

k k n

P ⎟⎟

⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ) (

図２ ガウス分布

３．量子ウォークの導入

古典的なランダムウォークは粒子が

「在るか無いか」という状態を持っている

という見方もできます.今回さらに「左向き

か右向き」という状態を加え 2 状態に量子

化します.こうしてできた 1 次元 2 状態の量 子ウォークを今回は扱います .

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ d c

b U a

⎜⎜ ⎝

= ⎛ a b

P 0 0

という行列を考えます.この

U を というよう

に分けたとき,それぞれが左にあるいは右 に行くときの確率振幅に相当します.古典 では左あるいは右に行くときｐやｑといっ たスカラーで与えられていた確率が今回は 確率振幅といった形になっていること , ま た行列なので基本的に非可換、それ故古典 では単純に増える一方だった分布の中央部 分で打ち消しあうということが特徴になっ ています.この打ち消しあう性質は波動性 に相当すると考えています.この U の 1 列目

（a と c）が左向き、2 列目（b と d）が右

向きを表しています.

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎞

d Q c 0 0 ,

このとき n ステップに位置 k にある確率 は次のように与えらます[1].

) (k P _n

ϕ ϕ } ( ) )

( { )

( k k

^*

k

P _n = Ξ _n Ξ _n )

n (k

Ξ はそこに至るまでの経路（path）の 合計を表す式で,２×２の行列であり, ϕ は 確率振幅の行列になったため必要になった 初 期 状 態 に 相 当 す る 初 期 キ ュ ー ビ ッ ト

（ qubit ）と呼ばれるベクトルです .

具 体 例 を 示 し ま す . ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

1 1

1 1 2

U 1 ，

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ i 1 2

ϕ 1 のとき分布は図３のようにな ります. 最初こそ同じような振る舞いを見 せますが，すぐに違った値を示しだし中央 が薄く、両端に多いという特徴が見て取れ ます . 古典論と同じようにステップ数を増 やしていくと量子ウォークの分布は図４の

ようになります .

１ １ １ １ ２ １ １ ３ ３ １ １ ６ ２ ６ １ １ １１ ４ ４ １１ １ 図３ 量子ウォークの分布

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

’2state200step.xls’

図４

200

ステップ時の量子ウォークの分布

今回私が取り扱ったのは です. こ の

)

n (k Ξ )

n (k

Ξ は横浜国立大学の今野紀雄氏によ って PQRS 法で既にと解かれていますが, 今回私は別の方法でこの を解くこと に成功しました .さらにその解がガウスの 超幾何関数という非常によく知られた関数 で表されることを示せました.

)

n (k Ξ

４．漸化式とその解

n+1 ステップ目に位置 k に至る経路の合 計は次のような漸化式で表せます .

) 1 ( )

1 ( )

1

( = Ξ + + Ξ −

Ξ _n

₊

k P _n k Q _n k

それぞれが２×２の行列なので各成分につ

いて計算すると以下のようになります.

) 1 ( ) 1 ( ) (

) 1 ( ) 1 ( )

(

) 1 ( )

1 ( )

(

) 1 ( ) 1 ( )

(

1 1 1 1

− +

−

=

− +

−

=

+ +

+

=

+ +

+

=

+ + + +

k bd k

cb k d

k dc k

ca k c

k bd k

ab k b

k bc k

aa k a

n n

n

n n

n

n n

n

n n

n ( 1 ))

2 ), 1 1 2 ( ( 1 )

( k = cT n − k −

c _n

2 ) ), 1 2 2 ( ( 1

)) 1 2 ( ), 1 1 2 ( ( 1 ) (

k n

T

k n

dT k d _n

− Δ

−

−

−

=

これらを整理することで次のような式が求 められます.

0 ) ( ) (

) 1 ( )

1 ( )

(

_{1 1}

2

=

− +

−

− +

−

_{+ +}

+

k a bc ad

k da k

aa k a

n

n n

n このとき

γ γ

γ

γ γ

γ γ

γ

_{− + −}

=∑

⎟⎟ ⎠ − Δ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + _{k k n}

n

k a d

k k n

n

T 2 ( )

) 2 , (

という関数を導入しています.

0 ) ( ) (

) 1 ( )

1 ( )

(

_{1 1}

2

=

− +

−

− +

−

_{+ +}

+

k b bc ad

k db k

ab k b

n

n n

n

0 ) ( ) (

) 1 ( )

1 ( )

(

_{1 1}

2

=

− +

−

− +

−

_{+ +}

+

k c bc ad

k dc k

ac k c

n

n n

n 今回この T(n,k) が次のようにガウスの超幾

何関数で表せることが示せました .

0 ) ( ) (

) 1 ( )

1 ( )

(

_{1 1}

2

=

− +

−

− +

−

_{+ +}

+

k d bc ad

k dd k

ad k d

n

n n

n 2 ( , ; 2 ; )

) ,

( F n k n k n ad

k n d n a k n

T

^{n k n k}

Δ

− +

−

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

^{− +}

+

! )

(

) ( ) ( ) ( ) (

) ) (

;

; ,

(

0

n

z n

n z n

F

n n

∑∞

=

Γ +

+ Γ + Γ Γ

Γ

= Γ

γ β α

β α γ γ

β α

結局今回求めたかった Ξ _n (k ) ^{の各成分は以}

下のように与えられることがわかりまし た.

これに対して

∑∞

= ∑∞

−∞

=

=

1

( ) ( , )

n a

k n

k a n k x y G x y

という母関数をそれぞれ導入して整理しな おすと次のようになります.

y x dy a y x

ax y y x

x G _a

+ +

− Δ

+ Δ

= −

) ) (

,

(

_{2 2}

2

)

; 2

; 2 1 , 2 2 1 ( 2 2 1 2

2

)

; 1

; 2 1 , 2 2 ( 2 2 2

1 )

(

1 2 2 1 2 2

2 2 2 2

n ad k

n k F n

k n n d a

n ad k

n k F n

k n n d a k a

k n k n

k n k n n

+ Δ

− + +

− +

−

⎟⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

− Δ

−

+ Δ

− + +

−

−

⎟⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

−

=

− +

−

−

+

−

)

; 1

; 2 1 , 2 2 ( 2 2 2

1 )

(

^{2 21 2 2}

n ad k

n k F n

k n n d ba k b

k n k n n

+ Δ

− + +

−

−

⎟⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

−

=

^{− − +}

)

; 1 2 ; , 2 2 1 ( 2 2 1 2

1 )

(

^{2 2 2 2 1}

n ad k n k F n

k n n d a k c

k n k n n

+ Δ

− +

− +

−

⎟⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

−

=

^{− + −}

)

; 2

; 2 1 , 2 2 1 ( 2 2 1 2

2

)

; 1 2 ; , 2 2 1 ( 2 2 1 2

1 )

(

1 2 2 1 2 2

2 2 2 2

n ad k n k F n

k n n d a

n ad k n k F n

k n n d a k d

k n k n

k n k n n

+ Δ

− + +

− +

−

⎟ −

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

− +

− Δ

−

+ Δ

− +

− +

−

⎟⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

−

=

− +

−

−

+

−

y x dy a y x y bx x G

_b

+ +

−

= Δ

) ) (

,

(

_{2 2}

y x dy a y x

y y cx

x G _c

+ +

−

= Δ

) ) (

,

(

_{2 2}

2

y x dy a y x

x y y x

x G _a

+ +

− Δ

+ Δ

= −

) ) (

,

(

_{2 2}

2

なお Δ = det U = ad − bc です.これを解く と次の解が得られます .

2 ) ), 1 2 2 ( ( 1

)) 1 2 ( ), 1 1 2 ( ( 1 ) (

k n

T

k n

aT k a _n

− Δ

−

+

−

=

)) 1 2 ( ), 1 1 2 ( ( 1 )

( k = bT n − k +

b _n

５．証明

今回求められた解を元の漸化式に代入する ことで証明できる . 代入した結果それらは ガウスの超幾何関数の助変数の漸化式（ガ ウスの漸化式）の組み合わせであることが 示せました.

参考文献

[1]今野紀雄 ： 量子ウォークの数理 , 産業

図書(2008)

[2]森口繁一・宇田川＊久・一松信 : 岩波数

学公式Ⅲ 特殊関数 ,岩波書店(1960)