仮説検定

(1)

データ分布と予測

仮説検定

堀田敬介

2008/7/4,Fri.

(2)

Coffee Break!

《μ₀は既知の値》

＜片側検定を実施する理由＞

１．μ<μ₀が起こり得ない

２．μ>μ₀を積極的に見いだせればそれでよい３．母数の大きさが理論的・経験的に予測される

–

例：母平均の（右）片側検定

〔帰無仮説〕

μ=μ₀

〔対立仮説〕

μ>μ₀

-3 -2 -1 1 2 3

0.1 0.2 0.3

-3 -2 -1 1 2 3

0.1 0.2 0.3

例：補習後の成績は上がった？（上がったと積極的に知りたい）

例：今年の夏は寒い気がする．本当か？

（「寒い」という経験から平均気温が低いことを予

＜両側検定を実施する理由＞

母数の値がある目標値と等しいかどうかを調べたい

例：生産ラインの機械が正しく動いているか？

(26)

•

母平均の差の検定

– 2

つの正規母集団について母平均の差の検定

•

母分散が既知の場合

•

母分散が未知だが等しい場合

•

母分散が未知で等しくない場合

•

母分散の比の検定

– 2

つの正規母集団について母分散の比の検定

2 標本検定 two-sample test

Z

検定

ウェルチの検定

t

検定

F

検定



₁²  ₂² 

2 2 2

1 

 

(27)

•

母平均の差の検定

– 2

つの正規母集団について母平均の差の検定

) ,

(₁ ₁²

N N(₂,₂²)

Xm

X

X₁, ₂,

Yn

Y

Y₁, ₂,

〔帰無仮説〕

〔対立仮説〕 ¹ ²



 

2

1 

 

) (¹ ₁ ² ₂

  or

2 標本検定 two-sample test

m^{個無作為抽出} n^{個無作為抽出}

) ,

( ₂ ₂² n N

Y^～   )

,

( ₁ ₁² m N

X^～  

←2つの正規母集団の母平均に差がない

←2つの正規母集団の母平均に差がある両側検定の場合

片側検定の場合〔帰無仮説〕

〔対立仮説〕 ¹ ²



  ←2つの正規母集団の母平均に差がない

←2つの正規母集団の母平均に差がある

標本平均：標本平均：

２つの母平均に

「差がある」か「ない」かの検定

(28)

•

母平均の差の検定

–

２標本の標本平均の差の標本分布

–

この検定の例：医薬の効果の検証

•

患者を新薬を使った治療を行うグループ（処理群）とそれ以外

（対照群）に分け，グループで結果に差があるかどうか（新薬の効果があるかどうか）を検定する．

2 標本検定 two-sample test































n Y m

V X

V Y

V X

V Y

X V

Y E X

E Y

X E

2 2 2

2 1

) ( )

( )

( ) 1 ( ) ( )

(

) ( )

( )

(    





) ,

(

) ,

(

2 2 2

2 1 1

n N

Y

m N

X  

～

) ,

(

2 2 2

1 2

1 m n

N Y

X  ～    

(29)

•

母平均の差の検定（母分散が既知のとき）

–

標本平均の差の標本分布

2 標本検定 two-sample test

) 1 , 0 ) (

( ) (

2 2 2

1

2

1 N

n m

Y

Z X ～









 

Z

検定

(30)

•

母平均の差の検定（母分散が未知だが等しい）

–

標本平均の差の標本分布

–

合併分散

pooled variance

–

補足：『合併分散は不偏推定量である』

2 標本検定 two-sample test

) 1)

( 1 ,

(₁ ₂  ² n

N m Y

X  ～  

2 ) 1 (

) 1

( ₁² ₂²

2









 

n m

s n

s s m



₁²  ₂² 









 



 







 n

j m

i

Y n Y

s

X m X

s

1

2 2

2

1

2 2

1

) 1 (

1

, ) 1 (

1

ただし，

s₁²,s₂²

は不偏推定量













 







 









 



 













 

2 2

2

2 2 2

1 2

2 2

2 1

2 ) 1 (

) 1 (

2

) ( ) 1 (

2 ) 1 (

) 1 ) (

( )

 

 n m

n m

s E n

s E m

n m

s n

s E m

s

 E

(31)

•

母平均の差の検定（母分散が未知だが等しい）

2 標本検定 two-sample test











 

 





 

) 2 ) (

2 (

, N(0,1) 1

1

) (

2 2

2 1

n s m

n m

Y Z X

 







～

) 2 1 (

1

) (

1 1

) (

2

2 1

2 2 2

1 2



 



 





 



 

n m

n t m

s Y X

s n

m Y

X

n m

T Z





 





～

t

検定



₁²  ₂² 

（ただし，Zとχ²は独立）

(32)

5%

有意水準で両側検定

（〔帰無仮説〕

₁  ₂

〔対立仮説〕

₁  ₂

）

•

母平均の差の検定（母分散が未知だが等しい）

–

例：苗木の生長における

2

社の肥料の違い

ある苗木の生長について

2

社の肥料に違いがあるか？

2 標本検定 two-sample test



₁²  ₂² 

A社の肥料 24.3 25.2 20.4 26.1 22.1 23.4 24.2 20.9 24.7 23.7 21.6 23.4 20.2

B社の肥料 21.3 19.4 22.3 17.2 18.3 20.3 21.4 23.6 21.1 21.3 20.3 19.5

標本平均値＝ 23.092 20.500

A社の肥料

B社の肥料不偏分散値＝ 3.579

3.029

A社の肥料 B社の肥料

556 .

12 3 1 13 1 821 . 1

389 . 5 500 . 4 1

1 



 



 

n m

s

Y

T X ^t^検定

) 23 ( 069

. 2 556

.

3 t₀_.₀₂₅

T   

^{より，仮説を棄却}

316 . 2 3

12 13

029 . 3 11 579

. 3 12 2

) 1 (

) 1

( ₁² ₂²

2 









 









 

n m

s n

s s m

(33)

•

母平均の差の検定（母分散が未知で等しくない）

–

標本平均の差の標本分布

•

どのように工夫しても，2つの母分散に拠らない統計量を作れない

↓

•

標本平均の差の正確な分布を求められない

↓

•

近似的に分布を求める〔ウェルチの近似法〕

2 標本検定 two-sample test

 

    ^{に最も近い整数}

はただし，

1 1

2 2 2 2 2

1

2 2 2 2

1

 



 



n n s

m m s

n s

m

 s



) ) (

( )

ˆ (

2 2 2

1

2

1 





    

t

n s

m s

Y

T X 　～

2 2 2

1 

 

ウェルチの

検定

(34)

5%

有意水準で両側検定

（〔帰無仮説〕

₁  ₂

〔対立仮説〕

₁  ₂

）

•

母平均の差の検定（母分散が未知で等しくない）

–

例：

2

つの鉱山から採れる鉱石に含まれる物質の含有量

各鉱山から採れる鉱石の物質含有量に差があるか？

2 標本検定 two-sample test

第1鉱区 4.9 3.9 4.7 4.3 5.8 4.2 4.4 3.3 5.5 4.0 第2鉱区 5.2 5.0 5.3 6.9 5.0 4.9 4.4 6.5 5.3

493 . 9 2

636 . 0 10 564 . 0

389 . 5 500 . 4

2 2 2

1



 

 



 

n s m s

Y T X

第1鉱区

標本平均値＝第2鉱区 4.500 5.389

第1鉱区

不偏分散値＝第2鉱区 0.564 0.636

2 2 2

1 

 

ウェルチの検定

 

    ¹⁶^.⁵¹⁷

1 1

2 2 2 2 2

1

2 2 2 2

1 

 



 

n n s m

m s

n s m

 s _{より，自由度}₁₇_の_t_{分布を考える}

) 17 ( 110

. 2 493

.

2 t₀_.₀₂₅

T       より，仮説を棄却

〔出展：『パソコンによるデータマイニング』p.132〕

(35)

•

母分散の比の検定〔

F

検定〕

– 2

つの正規母集団について母分散の比の検定

2 標本検定 two-sample test

2 2 2

1 

 

2 2 2

1 

 

)

( ₁² ₂²

2 2 2

1  

   or

) ,

(₁ ₁²

N N(₂,₂²)

Xm

X

X₁, ₂,

Yn

Y

Y₁, ₂,

m^{個無作為抽出} n^{個無作為抽出}

〔帰無仮説〕

〔対立仮説〕

←2つの正規母集団の母分散に差がない

←2つの正規母集団の母分散に差がある両側検定の場合

片側検定の場合〔帰無仮説〕

〔対立仮説〕

←2つの正規母集団の母分散に差がない

←2つの正規母集団の母分散に差がある

2 2 2

1 

 

) 1

2(

2 2

2 2 2

2  nS  n

  ^～

) 1

2(

2 1

2 2 1

1  mS  m

  ^～

(36)

•

母分散の比の検定〔

F

検定〕

– F

分布とフィッシャーの分散比

2 標本検定 two-sample test



















) 1 (

), 1 (

2 2

2 2 2 2

2

2 2

1 2 2 1

1

nS n mS m

 



 



～

) (

ただし

₁²

と

₂²

は独立

) 1 ,

1 (

) 1 (

1 1

2 2 2 1 2

1 2 2

2 2 2

2

2 1 2

1 2

2 2 1









 



 

n m

s F s

n nS

m mS

n F m

 　～





フィッシャーの分散比

自由度(m-1, n-1) のF分布に従う F分布：両側5%棄却域

1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

(37)

5%

有意水準で両側検定

（〔帰無仮説〕，〔対立仮説〕）

•

母分散の比の検定〔

F

検定〕

–

例題：

2

つの工作機械の製品バラツキ検査

2 標本検定 two-sample test

319 .

07752 0 .

0

02475 .

1 0

2 2 2 1 2

1 2

2    

 　

s F s



100.46 100.35 100.36 100.48 100.39 100.72 100.42 100.68 100.86 100.57 100.59 100.46 100.32 100.46 100.72 100.62

100.33 100.12 100.35 100.89 100.90 100.31 100.46 100.12 100.43 100.88 100.28 100.08 100.42 100.11 100.16 100.71 100.26 100.18

機械Ⅰ 機械Ⅱ

2 2 2

1 

  ₁² ₂²

0.07752 機械Ⅰ 0.02475 不偏分散値＝機械Ⅱ

367 .

723 0 .

2 1 )

15 , 17 ( ) 1

17 , 15 (

025 . 0 975

.

0   

F F

＞

仮説検定

データ分布と予測

仮説検定

堀田敬介

Contents

仮説検定とは？

有意水準

帰無仮説と対立仮説

仮説検定における誤り

片側検定と両側検定

母集団の母数に対する仮説検定

母平均の検定（母分散が既知の場合）

母平均の検定（母分散が未知の場合）

母分散の検定

母比率の検定

つの母集団に対する仮説検定

平均値の差の検定（母分散が既知の場合）

平均値の差の検定（母分散が未知だが等しい場合）

平均値の差の検定（母分散が未知で等しくない場合）

分散の比の検定

適合度検定と独立性の検定

仮説検定とは？

仮説検定

推測統計

標本データの平均値と分散

（標準偏差）から，母集団の 平均値と分散（標準偏差），

母比率などの母数（パラメー タ）を推定する

標本データの平均値と分散

（標準偏差）などをもとに，母 集団に対する「ある仮説」が 間違いかどうか判定する

仮説検定とは？

例：日本人成人女性の平均身長

仮説 「日本人成人女性の平均身長は

である」

標本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

身長 150 165 155 170 150 145 175 160 165 140

標本平均の値：

仮説は間違っていた（正しかった）と言えるのか？

仮説検定とは？

例：日本人成人女性の平均身長

仮説 「日本人成人女性の平均身長は

である」

標本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

身長 150 165 155 170 150 145 175 160 165 140

標本平均の値：

標本標準偏差の値：

標本平均 ，標本分散 とすると，以下の確率変数

が 自由度

の

分布に従う

仮説検定とは？

例：日本人女性の平均身長

仮説 「日本人女性の平均身長は

である」

注意：仮説が間違いである確率は

にはならない！

仮説が間違いである範囲を決める！

仮説検定とは？

採択域と棄却域

例：自由度

の

分布における下側

棄却域

つまり，

棄却域：

採択域：

となり，

標本平均値が

以下であれば，

仮説「日本人成人女性の平均身長は

である」

が棄却

される

仮説検定とは？

採択域と棄却域

例：自由度

の

分布における下側

％棄却域

有意水準

仮説検定の手順

（標準偏差）から，母集団の平均値と分散（標準偏差），

母比率などの母数（パラメータ）を推定する

（標準偏差）などをもとに，母集団に対する「ある仮説」が間違いかどうか判定する

仮説「日本人成人女性の平均身長は

仮説「日本人成人女性の平均身長は

標本平均，標本分散とすると，以下の確率変数

が自由度

仮説「日本人女性の平均身長は

^{分布における下側}

棄却域：小信頼区間：広

棄却域：大信頼区間：狭

はその「仮説」が正しい可能性が残る！

の間違いの危険性がある

を統計的に検定したとき，その起こる確率が棄却域にあれば，この仮説が棄却される．

が正しいという結論は出せない」！

定結果

定結果

^{（有意水準}

^）