文字式の指導について

文字式の指導 について

Teaching Letter For]mulas

国

Susumu]KuNIMUNE

(平成3年10月11日受理

)

I 

中学校数学科での文字式 についての指導内容 は、次の

4つ

(1)数量 または数量の関係 を文字式 によつて表現すること ^(以下、 これを「表現」 と書 く

⁾

)

(3)文字式 を計算すること ^(以下、 これを「計算」 と書 く

⁾

この中の(4)の内容 については、 さまざまな場面での利用が考 えられるが、それは大 きく ア「文字式 による論証」

の

2つ

2や

中学校現場での数学の学習指導 を通 して、文字や文字式 に関す る中学生の認知様式 とそ こに 見 られる文字概念 の形成過程 を発達的 に分析 してみる と、い くつかの質的 に異 なった段 階が存 在する ように思われる。

筆者 は、^1987年の

4月

1.子どもの行動を現象的に観察し、子どもの文字認知や文字式による論証の理解について

の発達の様相 を解明 し、発達段階を決める。

2.指導の対象 になっている子 どもが、1.で設定 した発達段階の どこにとどまっているの か、その実態 を明 らかにす る。

3.子どもの文字認知や文字式 による論証の理解 についての発達 を促進す るための、指導内 容や指導方法 を検討する。

ここに示 した研究の手順 は、

1.2.3.の

1.2.を

本稿 は、その研究の一環であ り、次 の ことを目的 とす る。

1)縦断的な調査 を通 して、子 どもの「文字認知」や「文字式 による論証」についての理解、

及びそれ らの関連 に関する発達の現状 を明 らか にす る。

2)授業 を通 して、子 どもの「文字式 による論証」 についての理解度の深 ま りを検討す る。

国 宗 進

I 

研 究の内容

1日 Hartら

の研究についての検討

子どもの文字の理解については、K.M.Hartら の研究^1)が知られており、筆者らの研究にとっ て参考になる点が多い。この項では、本研究とHartらの研究の関係について述べ、そこでの 問題点を指摘する。

Hartらは、子どもの「文字の解釈のしかた」として、次の

^6つ

① Letter evaluated(数 値化された文字

)

② Letter not used(使 われない文字

)

③ Letter usёd as an obiect(も のとしての文字

)

④ Letter used as a specific unk■own(特定の未知の数量としての文字

)

⑤ Letter used as a generalised number(一 般化された数としての文字

)

⑥ Letter used as a variable(変 数として使われる文字

)

そして、これらの文字が使われている様子を検討し、子どもの「文字の理解の過程」を次の 4つ のLevelに分けている。

[Level I]―

[Level Ⅱ]一一 文字を、一貫しては上記④、⑤、⑥ とみることはできない。

[Level Ⅲ]―― 上記④に関しては正しく解釈することができる。

[Level Ⅳ]一一 文字を正しく解釈できる。

表l Hartらの「文字 の解釈 の しかた」 につ いての問題

Level I Level I Level  Ⅲ Level IV

① 数値化され た文字

*What can you _say aborrt a if

a+5=8

*What can vou

say about u-if

u=vf3 and v=l

*What can ^you say about m if

m=3n*l and n=4

*llthat can

say about

if r=s*t r*s*t=30

r and

② 使われない 文字

*if a+bF43 a+b+2=

if n‑246=762 n‑247=

*if ^e+f=8

elf*g=

③ ものとして の文字

#2a*$s=

*3a-b+a=

④ 未知の数量 としての文字

Add 4 ontO n+5 *Add 4 ont0 3n+4 XMultioly n+5 by 4

⑤ 一般化 され た数^:と しての 対

{<shat can you say about c if ^c*d=l

and c is ^less

than d

*LttM+N=L+P+N is Always Sometimes Never true (when)

1 変数 として 使われる文字

*Strich is larser,

2n or ^n+2? ExPlain

Hartらの調査では、子どもの

^6つ

の表

1に

また、子 どもの「文字 の理解の過程」 についてのLevel I〜 Level Ⅳの段 階判定問題 は、表

1の

*を

Iに

4間

3間

5間

9間

この調査 を日本の子 ども達 にも実施 した ところ、驚 くほ どの よい結果 を得 ている

^2)。

との間には、文字の理解 の様相 に違いがあることは明 らかである。

例えば、

使 われない文字」 に関 して用い られた問題「

^とき

」 では、イギリスの子 どもには

いう誤答がみられるという

^{の理由は、}

^{アルフアベ ッ}

トの第

目の文字に当たることか ら、

らば

^したため の誤答であるという。このような誤答やその原因は、日本の子 ども達にはみられない。

また、 「③ ものとしての文字」に関 して用いられた問題は、

1)2a+5a 2)2a+5b+a 3)3a一 b tt a 4)(a一 b)+b

であるが、この問題についてのイギリスの

の子 ども達の正答率は順に

であり、

ら

といくにつれて下がつてい く。それに対 して、中学校第

年の日本の子 ど も達に、正負の数の指導後

字や文字式の指導前

これと同一の問題で行つたある調査の結 果によれば、順に

73%と いう正答率であった。

ら

の順次性はみられ なかったのである。イギリスの子どもの多 くは、

とらえ、

2a+3bを

、 2つ のリンゴと5つ のバナナを合わせると全部で 5個 だから

するよ うである。同じ誤答は日本の子 ども達にも文字学習の初期によくみられるが、その原因は、算数 では答えは

はなく

ある、だから十の演算記号を残 したままの

答えとすること にある種の不安が付 きまとい、

してしまうといわれている。

次に、 Iで 述べた日本の中学校数学科での文字式 についての指導内容 という観点か ら

らの調査問題を検討 してみると、「計算」に

^ては、 「①数値化 された文字」 と「②使われな い文字」 に関する問題が、方程式 を解 く問題や代入計算 に関連 し、「③ ものとしての文字」に 関する問題が、文字式の計算の問題に大 きく関連 していることがわかる。

「表現」 については、「④未知の数量 としての文字」 に関する問題が関連 し、 また、

Ⅳの段階判定問題 として、次の 1間 が採用 されている。

Blue penciis cost 5 pence each and red pencils cost 6 pence each.I buy some blue and some red pencils and altogether it costs l■ e90 pence.

If b is the number of blue pencils bought and if二 iS the number of red lencilS bOught,what can you write down about b and r?(下

線筆者 ⁾

「読式」については、

Ⅳの段階判定問題 として、次の 1問 だけが採用 されている。

What does 4c 1 3b stand for  (if cakes cost■ penCe each and buns h pence each, and if 4 chkes are bought,etc)?(下 線筆者

)

また、「文字式 による論証」 については、関連する問題 は皆無である。 これは、 イギ リスで の指導内容ではないためであろう。

以上のような日本の子 どもとイギ リスの子 どもとの文字の理解の様相の違いや、文字式 につ

34

国 宗 進

いての指導内容 とい う観点か らの検討の結果 を考慮すると、^Httrtら の「文字の解釈 の しかた」、

「文字 の理解の過程」や調査 問題 を参考 に しつつ も、「表現」や「読式」についての観点 をもっ と重 視 した り、「 文字式 による論証」についての理解度 とい う観点 を加 えるなど、日本 の子 ども達 の実 状 に合 った調査問題 を作成 し、その理解 の様相 を検討する必要があると考 える。

2.段階設定 と段階判定問題

1.で述べ たような Hartら の調査問題や、数学科での文字式 についての指導 内容 の検討、

そ して、それ らと平行 して行 った何回かの実態調査や授業時における観察の記録、 プロ トコー ルなどを検討、分析 した結果、筆者 らは、子 どもの文字や文字式の理解の様相 をまず「文字認 知」 と「文字式 による論証 についての理解度」 とい う

2つ

設定 した発達段階やその現状 をとらえるための段階判定問題 は、次の通 りである。

2‑(1) 「文字認知」の発達段階

子 どもの「文字認知」 についての理解度 には、次の水準があると考 えられる。

「文字認知」の発達段階》《

[水準0]……。「計算」、「表現」、「読式」 ともに通過せず。

[水準 I]・・…。「計算」のみ通過。

[水準 Ⅲ]・・…。「計算」、「表現」、「読式」 ともに通過。

文字認知 とい うか らには、変数の概念等 をも含 む幅広い もの として とらえる必要があるが、

ここでは、申学校での指導内容 として大 きな位置 を占める「計算」「表現」「読式」についての内 容 を生徒 は どの ように理解 しているのか一これを本稿では以下、生徒の「文字認知」と書 く―に 限定 して考 えることにする。変数の概念等 については、いずれ報告 したい と考 えている。

なお、ここでの段階の使い方は、ビアジェの「段階」の使い方

^Dの

^I〜

また、その段階判定のための問題は、 次のページの回〜□である。問題回、回、回は「計算」

の問題 として、回は「表現」の問題 として、国は「読式」の問題 として採 り上げている。なお、

これらを

の調査問題 と関連づけると、回は「③ もの としての文字」に、回は「①数値 化 された文字」に、回は「②使われない文字」についての問題 に対応づけられるであろう。

ここで、「計算」、「表現」、

式」 を通過 したと判定するのは、 「計算」の問題回〜回の

中、 「表現」の問題回の

_{中、 「読式」の問題国}

_{中のそれぞれ} 3/4が _{正答の場合であ}

るとした。

準設定の観点、採点の基準等の詳細は、文献

参照 )

2‑(2) 

文字式による論証についての理解に関する発達段階

子 どもの「文字式による論証」についての理解度には、次の水準があると考えられる。

《 文字式による論証についての理解に関する発達段階》

<水

準

…文字式を使わずに、具体的な数値をあげたり、ことばで説明 しようとする。

<水

準 Ⅱ

…文字式を使 うが、不適切な使い方をする。

<水

準Ⅲ

…文字式を使って正 しく説明する。

また、その段階判定のための問題は、次のページの回である。

(解

答の分類基準、段階の判定基準等の詳細については、文献

参照 )

回1 次 の計算 を しな さい。

(1)2a+5a (3)‑4(3a+7b)

￨□1 次 の方程式 を解 きな さい。

(1)X+5=8

(3)4X‑3=2二 十7

(2)2a+5b+a

(4)3(10a‑6b)‑2(4a一

b)

(2)5X‑20=0

(4)‑4(3X‑7)=10‑2X

回1  次の国 にあてはまる数 を求めなさい。

(1)a tt b=43の とき、

a+b+2=□    

(2)X=4の

3X+5=□

(3)a=2、

b=‑3の

□

(1)男m人、女n人_{の学級全体の人数}

(21 Xkmの_{道の りを毎時}5 kmの速 さで歩いた ときにかかる時間

(3)整数mを使 って、偶数 を表せ

に)ある整数

Xを

X

(1)ケーキ1個の値段がa円_{、バ ン}1個_の値段がb円であるとき、

4a+3bは

(2)峠をはさんで^a、 b2つの村がある。ある人が、A村か ら峠 までは

3 km/時

峠か らB村までは

5 km/時

か らB村まではb時間かかつた とい う。

上のことが らで、次の式は何 を表 しているか。

①

b―

^a)

(3)整

数を表す文字をnと するとき、次の式は何 を表 しているから

ある

2け

10a tt b、 lob tt aと表せ る。

(10 a tt b)十 (10b+a)

を右のように変形すると、

11(a tt b)

(loa+b) + ^(rot+a;

--10a + b +10b * ^a :lL _{s +11b}

-11 ^{(a + b)}

(4)

このことか ら、 この

2け

国 ・右のカレンダーをもとに して、次 の 問いに答 えなさい。

右のわくに囲んだように、

た工に1̲2続

Mヽ

}̲.

まん 申の数 の3倍にな ってい ます。

この こ とが どこで もい える ことを説 明 しな さい。

どの よ 日 月

吉 □

23 30

うなことがいえるか。

火 水 木 金 土

31

36

国 宗 進

3.縦断的調査による検討

これまでにも、子 どもの「文字認知」や文字式 による論証 についての理解度 に関す る何 回か の実態調査 を行い、それを検討、分析 して きたが、その多 くは横断的な調査 による ものであっ た。今回は、指導者の授業の持 ちかたの状況か ら同一生徒 を追跡することが可能 にな り、縦断 的な調査 データを得 ることがで きた。なお、中学校での縦断的調査 の実施 には様 々な困難が伴 うためか、文字や文字式 の指導 に関 しては大 田の研究のがあるだけである。

この項では、公立中学校1学_{級生徒 を対象 に、}

1年

3‑(1) 「文字認知」 に関する調査

1。 目的

2.方法

1)調_査対象

2)調査時期

3)調査方法

4)調査 問題

3.結果 と考察

段 階判定の対象 とした生徒 は、1年_時、3年_{時 と} この うちの

2名

「表現」 または「読式」がで きていた。

)

ここではこれ以降、 この

2名

段 階の判定基準 をもとに、

1年

2を

もに調査データが揃っている

であるが、

もに1年 時において、「計算」はできないが

0 ^{Ⅱ Ⅲ}

0 ^{Ⅱ Ⅲ}

図

1 

3年時

以下、気付 いたことを述べ る。

ア、[水準0]の生徒 は1年_時で

9名

2名

イ、3年_時では、20名 (63%)の生徒が [水準 Ⅲ]に達 している。「文字認知」 についての発 達の現状 は、 まず まずの状況 にある といって よいであろう。

次 に、生徒一人ひとりの

1年

表

2段

[0][I][I][Ⅲ

]

1学

年時

^年時

[01‐

→

[01→ [I]

[0]‐

→

_]

[0]→ [Ⅲ

]

1学年時 3学年時 人 数

[I]→

[I]→

２ ３

２   ２

[Ⅱ

]

[Ⅲ

]

2

[Ⅱ]→ [Ⅱ

]

[I]→ [Ⅲ

]

[Ⅲ]→ ^[Ⅱ

^]

[Ⅲ]￨→ [Ⅲ

]

1

この表から、次のことが指摘できる。

ウ、

半の数学学習の結果、 「文字認知」 について、多 くの生徒がより好 ましい方向べ と発 達を遂げている。特に、

時に

準 Ⅱ

^{いた生徒は全体の約}

あったが、その 多 くは、

時には

準 Ⅲ

達 している。

時に

準 Ⅱ

いる生徒は、申学校の 学習でいずれ

準 Ⅲ

上がるものと考えられよう。

だがその

半に、

準

とどまったままの生徒が 2名 、

準 Ⅱ

^{とどまったま}

まの生徒が 2名 いる。また、1名 の生徒は

準Ⅲ

ら

準 Ⅱ

とダウンしている。「表現」

や 「読式」についての問題に対する解答の不十分 さがその理由であるが、

_{半の学習が、こ} れらの生徒の 「文字認知‐ 」についての安定さを高めるという点では大 きな効果をあげなかった

といえるであろう。このような生徒 に対するきめ

かな指導が必要である。

3̲一 (2)文

字式による論証についての理解に関する調査

1.目

的

中学生の文字式による論証についての理解に関する現状を、縦断的調査 により明 ら かにする。

2.方

法

1)調

査対象

東京都公立中学校生徒第

年

ラス

2)調

査時期

^第

^年時

^、第

^年時

3)調

査方法

両学年時とも同

問題で実施、時間制限はしなかったがだいたい

間で終

4)調

査

題

前々ページの問題回￨

3.結

果 と考察

段階の判定基準をもとに、 1年 時、

時の調査結果を調べてみると、

について次の表 3を 得る。また、その推移を図に表す と、次の図 2を 得る。

:  6

1年

時

3年

時

各発達段階別の分布

0

I

0

図

発達段階別推移

3年 時で^15名 (47%)い る。中

^3に

以下、気付いたことを述べる。

ア、

準

下の生徒は、

時で

ても全体の約半数の生徒が、文字を使 って証明 しよ みようという意識が極めて低いのである。

表3段階ガ1分布

数値は人数

学年

く

1年

時 ￨′

この ことは、中^2、 中

3の

国 宗 進

考えると、重大な問題である。文字式による論証についての理解 を深めるための意図的な指 導が必要である。

イ、

準 Ⅱ

_{上の生徒の割合は}

_時で約

_時で約

あるが、それらの 分布のようすには大 きな違いが見 られる。

_時では、

準 Ⅱ

準 Ⅲ

ほぼ同 じ ように分布 しているが、

_{時には、その多 くが}

準Ⅲ

達 している。つまり、

準

Ⅱ

いる中 1の 生徒の多 くは、その後の

半ほどの文字に関する学習によって

準 Ⅲ

>に

上がる °

ということができる。

1年 生のときに

準 Ⅱ

と高めてお くような指導が望まれる。

次 に、生徒一人ひとりの

1年

1学

年時

年時

<0>→

<0> :

<0>→

<I> :

<0>→<Ⅱ

>

<0>→<Ⅲ

>

<I>

<Ⅲ>→<Ⅲ

> :

11 1

5 3

4

この表か ら、次の ことが指摘で きる。

ウ、1年_{時 に}<水準0>に_ぃた生徒20名の うちの11名は、中

3に

工、 1年次 に<水準0>にいたが、3年_{次 には}<水準 Ⅱ>や<水準 Ⅲ>へと上が った生徒が⁸ 名 もいる。文字 を使お うとするようになるにはある程度の文字使用の経験が必要であろうが、

特 にどの ような指導 によってこれ らの生徒 に変容が もた らされたのかは、今 回の調査 では明 らかにならなかった。縦断的調査 と実際 に行われた指導 との両者 を合わせ考 えて、発達 を促 進す るための原動力 を検討する必要がある。

オ、1年_{時 に}<水準

I>、

1名

2名

1年

2名

Bさ

まず、

1年

Tl (カ レンダーについての調査問題国 を示 して)この問題見 たことある?

Al ある。

T2 

1学

年時

年時

<Ⅱ>→

<I> :

<Ⅱ>→<Ⅲ

> ;

1

<I>→

<0>

<I>→<Ⅲ

>

A2(覚

えている )

T3 

どうやつて説明すればいいの

A3  文字をお く。まん中の数をXと すると、上の数は

_下の数は X+7で _、

X‑7+X+X+7=3X, 3X+3=Xだ か ら 、 ま ん 中 の 3倍 に な っ て い る 。

T4 

A 

)

T5 

A4 

A君は文字 を使 ってい とも簡単 に証明 した。 この面接 は、本稿 の次項で検討 される3年生 を対象 とした授業の後 に行 われたが、その授業 において、A君は文字 を使 つての証明の意義 を十分 に納得 したことが観察 されている。 この面接の結果か らは、3年_{時の調査 の時点でな} ぜ文字 を使 お うとしなかつたかは、明 らか にな らなかった。

次 に、 1年時 に<水準 Ⅲ>であったBさんについては次の通 りである。Tや Bの言動 につ いては、T3ま ではA君の場合 と同様 であった。

Bl 

7を

7を

T6 

?      

)

T7 

B3 文字 を使 って も考 えられるけれ ど、 この時は^+、 一で考 え られる。

T8 文字 を使 うか使 わないか、 どう使い分 けているの^?

B4 ひらめ きかな。

Bさ_んは、1年時 に文字 を使 って証 明 した し、 この面談 の時 に も指示 されればス ラス ラ と 証明す る。だが、

T8の

なお、 ここでのA君やBさんの文字式 による論証 についての理解度は、面接の結果明 らか に なった ものである。ペーパ ーテス トの限界 を表 しているとともに、 このような方法 をよ りいっ そ う重視す ることの重要性 を痛感する。

3‑(3) 「文字認知」 と「文字式 による論証 につぃての理解度」 との関連

ここでは、(1)で検討 した「文字認知」 と、(2)で検討 した「文字式 による論証 についての理 解度」(以下、「論証能力」 と呼ぶ)との関連 について述べ る。

1.調査結果

この両者の関連 を検討するために、(1)で述べ た「文字認知」 と(2)で述べ た「論証能力」 と の結果 を相関表で表す と、次の表^4、 表

5の

の発達段階を、縦軸 には「論証能力」の発達段階をとってある。

計

9

<水準III>

3

<水準

I> 2

5

<水準

1> ^{2 ２ 一}

<水準

0>

論証

字認知

]

]

40 国 宗

表

4 1年

表

次の分布

数値は人数

<水準Ⅲ

>

<水準 Ⅱ

> ²

5

<水準

I>

<水準

0> 2

論証

字認知

]

]

次に、 生徒一人ひとりの 1年 時から

時への両発達段階についての変容をとらえるために、

1年

_{時の水準が}

時にはどの水準に変わったかを示 したものが図

_ある。

1年次

7

<水準Ⅲ

>

)ネ

◆    

＊

1年

時 5

<水

準 Ⅱ

☆

O

′

″

ヽ

錯☆

シ    率

5

<水準

I>

′

′′

′

☆

ψ Ψ

)

²

<水準

0>

 Q  ^Q

―

毬

8

も

20

→ Q

^←

論証

字認知

0]

]

図

3 1年

図3で 、一人ひとりの生徒を表す印は、次のように使い分けられており、印を示 した位置が

1年

◆

●

◇

○

☆

* 

なお、☆の生徒 の変容 を示す矢印は省略 してある。

2.結果の考察

以下、気付 いたことを述べ る。

ア、論証能力が<水準 Ⅱ>以上の生徒 は、1年_時で10名 (31%)、 3年_時で17名 (53%)いる。

これ に対 して、文字認知 に関す る発達段 階が [水準 Ⅱ]以上 であ る生徒 は、 1年時で18名 (56%)、 3年時で^27名 (84%)お り、 まず まず といえる。

それまでの文字式 についての学習が、文字認知の発達 を促進 させ る点ではよ く行 われてい たが、論証能力 を高めるという点 についてはあまり有効ではなかつた といえるであろう。

イ、論証能力が<水準0>または<水準I>の生徒 は、1年_時で約2/3、 3年_時では約

1/

2い

0]

〜 _[水準 Ⅲ]に散 らばっている。つ ま り、文字 を使 って証明 しようとい う態度がで きていな くて も、文字認知 に関す る発達段階は高 まってい くとい うことがで きる。それだけに、論証 能力 も高めるための意図的な指導が必要である。

ウ、文字認知 に関する発達段階が [水準0]で_{ある生徒 は、}

1年

9名

2名

これ らすべての生徒 の論証能力 は<水準0>である。

文字式の指導が 日々行 われている現在、 この ような生徒 に対す る きめ細かい指導 の必要性 を感 じる。

工、文字認知 に関す る発達段階が [水準I]である生徒 は、

1年

5名

これ らの生徒 の論証能力 をみると、 1年時では<水準0>から<水準 Ⅲ>に散 らばって分布 しているのに対 して、3年時では全員が<水準0>にとどまったままである。

1年時ではまだ文字 についての学習が十分でないために、その後の学習 によつて^[水準 Ⅱ

]、

[水準 Ⅲ]へと発達 してい く予備軍が ^[水準I]に分布 している と考 え られる。 これ に対 し て3年時の

3名

や「読式」を理解す るには至 らず、論証能力の高 まりもないままでいる。これ らの生徒 の「表 現」や「読式」の力お よび論証能力 を高める意図的な指導が必要である。

ォ、文字認知 に関する発達段 階が ^[水準 Ш]である生徒 は、

1年

7名

この うち、3年時に論証能力が<水準0>である生徒 は、それまでの文字式 についての学 習 によって、文字認知 に関する発達段階はようや く ^[水準 Ⅲ]に達 した ものの、論証能力 に ついては発達 しなかった と考 えられる。 これ らの生徒 の論証能力 も高める必要がある。

以上、「文字認知」や文字式 による論証 についての理解度、お よびそれ らの関連 についての 発達の様相 を縦断的に検討 した。その結果は、 これ までに行 った何 回かの横断的な調査 を通 し ての検討 の結果^7)とほぼ同様 である。従来の数学指導 によつて、「計算」「表現」「読式」 とい う意味での「文字認知」の発達 は保証 されるが、文字式 による論証 についての理解 に関する発 達 を促進 させ るためには、意図的な指導が不可欠である。その指導内容、指導方法の検討が望

まれる。

42

国 宗 進

4.授業を通 しての検討

4T(1)実

本研究は、数学の抽象概念の

1つ

教育現場で指導 している概念 は、論理学的な意味での正 しい概念 よ りは、む しろ動揺する概 念である。そこでは、個人間や個人内あるいは集団内で、概念が どの ように揺れ動 くか、同 じ 概念 の内包や外延が どの ように変化するか、そ してそ こか ら科学的に正 しい概念がいかに獲得

されるのか とい うことが問題である。

教育実践のなかでの子 どもの発達の事実 を、何 を資料 として把握す るかは、それ 自体が大 き な問題であるが、そこでは、子 ども自身の表現物が決め手 となることは間違いない。そのため には、教師の働 きかけとそれを受 けての子 ども自身の表現の変化、発達の リアルな記述 を含ん だ実践記録が蓄積 されなければならない と考 え、筆者 らは、授業中のプロ トコール、ワークシー

トに子 どもがかいた もの等の分析 をもとに、授業の評価 を行 っている6

ところで、滝沢は、「最近の発達心理学の著 しい特徴 は、それぞれの子 どもがそれぞれ固有 の道 をた どるという多元的発達観の立場 に立 って、現実の教育場面で複雑 な意味のある課題 に 直面する子 どもの認知発達 を研究する方向にむかっているという点 にある」 と言 っている

^8)。

また、若井 は、児童心理学 の「最近の新 しい研究 トビックスまたは特徴的傾 向」 として、^6点 を挙 げ、その中で次のことを指摘 している

^9)。

・ dOmain specificity"の 強調

・研究方法論上の問題

:現

:(心_理)現象 を日常的文脈のなかで扱 うようにな りつつあること

この ような発言 を引用するまで もな く、子 どもの文字や文字式のとらえ方やその変容 をさぐ るには、文字や文字式が学校での学習 によることの大 きい内容だけに、 まさに数学の「授業」

とい う日常的文脈のなかでそれをとらえることが不可欠である。

この項では、文字式 による論証についての授業 を検討 し、そこでの子 どもの理解の様相 につ いて考察する。筆者 らは、子 どもはあることが らが成 り立つ ことを説明するとい う_̲「論証」の 場面 に当面 して も、文字 をなかなか使 えないのではないか、文字 を使お うというアイディアさ え浮かばないのではないか と予想 し、 これまでに次の ような実験授業 を行いそこでの子 どもの 文字や文字式の使い方 を観察 して きた。

1年

2年生 を対象 に、「式の計算」の導入場面、及 び「式の利用」の場面での授業

その結果は、予想通 り、帰納的な方法で よしとする生徒が多 く、文字使用 を考 える者 はごく 少数であった。

そ￨で^{今 回は、}3年生 を対象 に「式の利用」の場面での実験授業 を行い、上 と同様 の観点で 考察することにした。その際、 目的にあった式変形 を行い論理 を展 開 してい くことになるが、

それを子 どもはどのようにとらえているのかについて も考察する。

なお、今回の実験授業の実施 に当たっては、2項で述べ た「文字認知」や文字式 による論証 についての理解 に関する調査 を事前 に行い、授業の対象生徒が どの発達段階 にいるかを前 もっ て とらえておいた。そ して、対象生徒が この授業によってどのように変容するかについて も合 わせ考 えることにした。

4T(2)授

日

¹⁰³⁰

授業者

観察者

対

)

1)学習のね らい

2)指_導案 (略)

課題 には、「―の位が5である数の2乗の計算の結果 は、下2桁の部分は25であ り、百の位 以上の数は、 もとの数の十の位の数 とその数 に

1を

授業の大 きな流れである。

3)授業記録

授業 開始後、Tは Pに152=225、 252=625、 352=1225、 452=2025、 ……を計算 させ、Tと

Pと

Tl〜

2つ

T18 2つ の規則が出て きたけれ ど、 この規則 は他 の数で も成 り立つので しょうか?「^・・_{・」 と} 書いてあるけ ど、数はもっとた くさんあるはずです。他の数で も確かめて下 さい。WSの ³

に書いて下 さい。

      WS3

)

T19 P8君、何 で確かめましたか。

P8 952は9025でなっています。

T20 (952を、ルール を使 って計算 した もの と実際 に平方 した ものを示 し、確認す る

)

他 にもいろいろな例 で確 かめているようですね。

(黒板 で、52ゃ 1252で も成 り立つ ことを確認

)052=□

+1) 12X(12+1)

T21 

何

^は、下

^が

、百の位以上の数は、

+1)と いう数 になると いう規則があ りそうですが、

のルールの説明のときに、次のように、百以上の数 と下

桁の数 とを分けた式を板書 した )

225=200+25 625=600+25 1225=1200+25 2025=2000+25・

何

いう数はもっともっとた くさんあ ります。この規則は必ず成 り立つ といえるので しょうか

なると思 う人は「なると思 う」、必ず しもなるとは限らないと思 う人は、その ように書 きなさい。その理由も書 きなさい。

T22 

あまり筆が進んでいないようですね。それ じゃ、ゃめて。

4に 結論だけはしっか り書いて下さい。なると思 う人は「なる」、そうとは限らないと思 う人はそのように。

T23「

なる

思う人は

P (ほ とんど全員が挙手 )

T24 

「そうとは限らない」 と思 う人は

44 国 宗

P (3名

挙手 )

T25 

なぜならないと思うの

P9 2乗

する数の一の位が

ない場合を考えていました。

T25 

なるほど。で もこの場合は、それを入れないで考えてみましょう。何

場合はなる と思いますか

P9 

なると思います。

T27 

他の人はどうですか

Pl。 

^{なると思います。}

T28 

それ じゃ、全員の人がなると思 うんだね。で も、そうなることは説明で きなければ納得 できません。そこで、その理由を説明しなければならないけれど、なかなか筆が進 まないよ うです。ヒントを出す よ。

なることを示すんだね。具体的に

いう数 なら3を 使って説明できるけど、

いう数がいろいろ変わるからうまくいかないね。そこ で、何かを使 うのです。何かを使ってうまく説明 してい くのです。 もう一度、なると思 う理

由を書 きなさい。 WS5

P (半 数 ぐらいの生徒は、文字を使って説明 しているようである )

T29 

うまく説明できたかな

何 を使って説明すればいいので しょう

文字を使えばいいと思います。

T30 (05)2を

計算するのだから、この

何かの文字で表す。

_も

_も

_もいいけ

れど、一応

表そうか。それじゃあ、この

ぃぅ数を文字 aを 使って表 して下 さい。

中で、 「何

いう数を表すんだよ」 ‐と何回も言 う。 )

P12 (10a+5)2で す。

      ,

P (半

)

T33 (a5)と

? 

a×

T34 さあ、(10a+5)2を使 って どう説明すれば よいか、 もう一度考 えて下 さい。

  WS7

(机間巡視 中、「あれ、公式 を覚 えていない人がいるな」 と言い、(a+b)2の公式 を板書 し、

確認する

)

T35 さあ この式 はどうなった? 1行日は?

P13 =100a2+100a+25

T36 (a2+2ab+b2の

)

T37 この後、 どうやって説明 していけばよいですか

? WSの ^8に

  WS8

T38 さあ、 うま く説明で きましたか?

P14 黒板 の所で説明)私は逆 に考 えたのですが、○×(○+1)が百の位以上の所 に くるので、

a× (a+1)=a2+aで

T39 _{なるほど、(確認す る)こ}れ以外 の考 え方でやった人は?

P15 僕 は次の ように変形 して考 えました。

100a2+100a+25=100(a2+a)+25=100a(a+1)+25