確率シミュレーション

(1)

確率シミュレーション

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習 II L04(2014-05-02 Fri)

今日の目標

1

C でランダムウォークの座標の標本期待値を計

(2)

母/標本平均値と分散 Quiz解説

ここまで来たよ

1

母

/

標本平均値と分散 Quiz ^解説

2

確率シミュレーション

ランダムウォーカーの座標の母分布

確率シミュレーション

(3)

L03-S1

Quiz解答:標本平均値・標本分散・標本標準偏差

1 m= 1

5

∑5

i=1

x_i= 10.

2 s²= ₅₋₁¹ ((−1)²+ 0²+ 3²+ 2²+ (−4)²) = ¹⁵₂.

3 s= (¹⁵₂)^1/2=

√30 2 . L03-S2

Quiz解答:ランダムウォークの到達点の座標の母平均値・母分散

1 E(R(t)) =p·(+1) +q·0 =p.

2 E((R(t))²) =p·(+1)²+q·0²=p.

V(R(t)) = E((R(t))²)−E(R(t))²=p−p²=pq.

3 σ_R(t) =√pq.

(4)

L03-S3

Quiz

解答

:

ランダムウォーカーの到達点の座標の母平均・母分散

1

µ = E(R(t)) = (−1) ·

⁵₉

+ 0 ·

¹₉

+ (+1) ·

³₉

= −

²₉

.

2

E((R(t))

²

) = ( − 1)

²

·

⁵₉

+ 0

²

·

¹₉

+ (+1)

²

·

³₉

=

⁸₉

. E(R(t))

²

= ( −

²₉

)

²

. σ

²

= V(R(t)) = E((R(t))

²

) − E(R(t))

²

=

⁶⁸₈₁

.

次のように直接に計算しても同じ結果になる . V(R(t)) = E((R(t) − µ)

²

) =

(( − 1) − ( −

²₉

))

²

·

⁵₉

+ (0 − ( −

²₉

))

²

·

¹₉

+ ((+1) − ( −

²₉

))

²

·

³₉

.

3

σ

_R(t)

=

√68 81

=

²

√17 9

.

4

一般に E(X(T )) = T · E(R(t)). T = 20 ^とすると , E(X(20)) = 20E(R(t)) = −

⁴⁰₉

.

5

一般に V(X(T)) = T · V(R(t)). T = 20 とすると , V(X(20)) = 20V(R(t)) =

¹³⁶⁰₈₁

.

6

σ

_X₍₂₀₎

= (V(X(20))))

^1/2

= (

¹³⁶⁰₈₁

)

^1/2

=

⁴₉

√

85

(5)

確率シミュレーションランダムウォーカーの座標の母分布

ここまで来たよ

1

母

/

標本平均値と分散

Quiz

^解説

2

確率シミュレーション

ランダムウォーカーの座標の母分布

確率シミュレーション

(6)

( 復習 ) ランダムウォーカーの座標 X(T ) の母平均値と母分散

X(t + 1) = X(t) + R(t + 1), X(0) = 0

X(T) = 0 +

∑T t=1

R(t).

R(t) (t = 1, 2, . . . , T ) は独立同分布 , E(R(t)) = µ,V(R(t)) = σ

²

とする .

X(T)

^{の母平均値}

E(X(T )) = T × µ.

X(T)

^の母分散

R(t)

^{が互いに独立なので} V(X(T )) = T × σ

²

.

X(T)

^{の母標準偏差}

σ

_X(T₎

= √

T × σ.

(7)

ってことは , 確率分布の時間変化はこんな感じ ?

いつでもこんな長方形 ? ^{待て中心極限定理}

(8)

L04-Q1

Quiz(離散的なランダムウォークの確率・平均値・分散・標準偏差) ランダムウォークを表す次の数列を考える .

X(t + 1) = X(t) + R(t + 1), X(0) = 0.

ただし , R(t + 1) ^{は独立同分布に従い} , ^確率 p ^で R = − 3, ^確率 1 − p ^で R = +1 の値をとる (0 < p < 1). 次のうち正しいものの記号をすべて答えよう .

1

X(t) ^は t ^{に比例する} .

2

X(t) の母平均値は t に比例する .

3

X(t) の母分散は t に比例する .

4

e

^X^(t)

^{の期待値は} t ^{に比例する} .

5

X(t) の母標準偏差は t に比例する .

(9)

確率シミュレーション確率シミュレーション

ここまで来たよ

1

母

/

標本平均値と分散

Quiz

^解説

2

確率シミュレーション

ランダムウォーカーの座標の母分布

確率シミュレーション

(10)

ランダムウォークのこんな問題 ?

R 確率

0 q = 1 − p =

¹₃

1 p =

²₃

座標 X(t) ^について , ^{以下を厳密に求めよう} . ^{または推定しよう} . E(X(2)), E(e

^X⁽²⁾

), X(2) > 1 ^の確率

E(X(102)), E(e

^X(102)

), X(102) > 51 の確率厳密 →

母ナントカの計算

推定 →

確率シミュレーションで標本から推定

(

^復習

)

^{確率も期待値でかける}

条件「 X(T ) > 1 」が成立する確率 =E(1

_[1_より大]

(X(T ))).

1[条件]

(x) =

{

1 (x に対して条件が成立する )

0 (x に対して条件が成立しない )

(11)

( 方法 1) ランダムウォークの公式を使う E(X(2)), E(e

^X⁽²⁾

), X(2) > 0 の確率

E(X(102)), E(e

^X(102)

), X(102) > 0 ^の確率

ランダムウォークの

X (t) ^の 2 ^次式以下

はこれで .

(12)

( 方法 2) 母分布から手計算 E(X(2)), E(e

^X⁽²⁾

), X(2) > 0 の確率

E(X(102)), E(e

^X(102)

), X(102) > 0 ^の確率 X(1) ^の母分布

R = X(1) 確率

0 q = 1 − p =

¹₃

1 p =

²₃

X(2) ^の母分布

X(2) ^確率 R(0) + R(1) 0

¹₃

·

¹₃

0 + 0

1

¹₃

·

²₃

+

²₃

·

¹₃

0 + 1 or 1 + 0 2

²₃

·

²₃

1 + 1

E(e

^X⁽²⁾

) =

黒板で

X(2) が 1 以下である確率 =E(1

_[1_以下]

(X(2))) =

黒板で

(13)

( 方法 3) 確率シミュレーション : 標本を作って推定する ( 方法 2) の調子で , 手計算の得意な人ならいくらでも .

⇝

X(102) とかやってられるか ! ^待て次週 .

E(X(2)), E(e

^X⁽²⁾

), X(2) > 0 ^の確率 E(X(102)), E(e

^X(102)

), X(102) > 0 の確率

擬似乱数を使ってサイズ N の標本 X(T )

⁽¹⁾

, X (T )

⁽²⁾

, . . . , X(T )

^(N)

を作って , ^母期待値 E(f(X(T ))) ^{を標本期待値}

f (X(T)) = 1 N

∑N n=1

f (X(T )

⁽ⁿ⁾

)

(14)

X(T) をいきなり返す int getrandomT(double y) を書くのはたいへん…

時間発展 (= ^漸化式 ) ^{を適用して} 1 ^{項ずつ計算しちゃえ} →

シミュレーション

確率シミュレーション

確率的現象を , 擬似乱数を使ってそのままコンピュータ上で再現し

(simulate), くり返し実行して標本抽出し , 何かの母期待値を推定すること .

とりあえずなんでも計算 ( ^ていうか

推定

) ^{できちゃう} 要

コンピュータ or ^奴隷

(15)

X(T ) の標本抽出

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

問 : srand(seed), x=0, printf("%d",x) ^はどこ ?

(16)

出力

X(t)

⁽ⁿ⁾

t:

時刻 , ^漸化式の t ^項め

(n):

サンプル内通し番号

t = 0 t = 1 · · · t = T n = 1 X(0)

⁽¹⁾

X(1)

⁽¹⁾

· · · X(T)

⁽¹⁾

n = 2 X(0)

⁽²⁾

X(1)

⁽²⁾

· · · X(T)

⁽²⁾

.. . .. . .. . .. . .. .

n = N X(0)

^(N)

X(1)

^(N⁾

· · · X(T )

^(N⁾

(17)

t = 0 t = 1 · · · t = T n = 1 X(0)

⁽¹⁾

X(1)

⁽¹⁾

· · · X(T)

⁽¹⁾

n = 2 X(0)

⁽²⁾

X(1)

⁽²⁾

· · · X(T)

⁽²⁾

.. . .. . .. . .. . .. .

n = N X(0)

^(N)

X(1)

^(N⁾

· · · X(T )

^(N⁾

確率の推定

確率の推定値 =

1_[条件]

(R) = 1 N

∑N n=1

1_[条件]

(R

⁽ⁿ⁾

)

個のうち条件が成立している’データの個数

(18)

Excel を使わないで標本期待値の計算

f (X(T)) = 1 N

∑N n=1

f (X(T )

⁽ⁿ⁾

)

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

sum1=0, sum1+=f(x), printf(”%f”,(double)sum1/nmax)?

(19)

1_[条件]

(X(T )) のこと考えると…

sum1 は

count1

と名付けたほうがいいかも .

(20)

到着点だけじゃなくて経路のサンプル

例題

x = 10 から出発したランダムウォーカーが , 0 ≤ t ≤ 20 のいずれかの瞬間に , ^領域 x ≤ 0 ^{にいる確率}

破産

の確率

これまで : サンプルは最終時刻の位置 X(T ) を集めたもの

この例 : ^{サンプルは経路} (X(0), X(1), . . . , X(t), . . . , X(T )) ^を集めたもの

t = 0 t = 1 · · · t = T n = 1 X(0)

⁽¹⁾

X(1)

⁽¹⁾

· · · X(T)

⁽¹⁾

n = 2 X(0)

⁽²⁾

X(1)

⁽²⁾

· · · X(T)

⁽²⁾

.. . .. . .. . .. . .. .

n = N X(0)

^(N)

X(1)

^(N⁾

· · · X(T )

^(N⁾

(21)

ラグランジュ表現 : ウォーカーが g = 2 人いたら ?

例題

x = 0, 10 から出発した g = 2 人のランダムウォーカーが , 0 ≤ t ≤ 20 の期間に衝突する (= 同時刻に同地点にいることが 1 回以上起きる ) 確率は ? int x; → int x[2];

ラグランジュ表現

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

7 /∗4∗/

(22)

L04-Q2

Quiz(確率シミュレーション)

ランダムウォークを表す次の数列を考える .

X(t + 1) = X(t) + R(t + 1), X(0) = 0.

t = 0 ^に x = 0 から出発するランダムウォーカーが , t = 20 ^に x = 0 ^にちょうど戻ってくる確率を , 確率シミュレーションで推定しよう . ただし , R(t + 1) は整数値をとる確率変数で , int

getrandom(getuniform()) の返り値として実現されている .

答の記述では , getrandom, getuniform の宣言や定義は省略して , main

だけ書けばよい . ^{サンプルサイズ} int nmax は与えられているとしてよ

い . 入力は乱数のシードのみ .

(23)

講義のプチテスト

2014-05-16金2, 90分, 30ピーナッツ,参照相談なし.紙のテスト.

過去問は公開してるけど,のりは毎年違う. 2014は2013よりかなり範囲狭いはず.下の出題計画, Quiz,予習復習問題,演習課題をやり直すことをお奨めします.

出題計画(2014-05-09金ごろにメールで修正,確定します). Excel関係のもの

はありません. また, 2014-05-09金の講義,14水の演習で初めて出てくる事項は含みません.

▶ 離散的な確率変数が与えられたとき母平均値,母分散,母標準偏差,母期待値, 条件を満たす確率を手計算で求める

▶ ランダムウォークが与えられたとき,時刻tの座標X(t)の母平均値,母分散,母標準偏差,母期待値,条件を満たす確率を手計算で求める

▶ 標本が与えられたとき母平均値,母分散,母標準偏差,母期待値,条件を満たす確率を推定する

▶ 母集団,標本,標本抽出,推定の意味を説明する(選択肢問題)

▶ 乱数生成の仕組み,シードの意味. srand, randの機能を説明する(記述問題or 選択肢問題)

▶ ランダムウォークの座標の標本抽出のプログラムを書く穴埋め

(24)

予習復習問題

講義 - 演習間の復習問題は今回で最後です演習 - 講義間の復習問題を再開します相談しよう

チューター月火水木昼 1 号館 6 階 1-614.

オフィスアワー ( 樋口 ) 木昼 1-608, 金 5( ただし 2015-05-09 金 5 は休止 )1-502.

自宅で演習の課題をやろう Visual Studio には Express Edition という ‘ 無料版 ’ があります . 数理情報学科の学生は DreamSpark 経由で Visual

Studio ^{製品を自宅で使えます} .

https://www.a.math.ryukoku.ac.jp/dreamspark/

確率シミュレーション