複素関数・同演習第 3 回 目次 本日の内容・連絡事項

複素関数・同演習 第 3 回

〜複素指数関数、極形式 〜

かつらだ

桂田 祐史

2020

年

月

日

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 1 / 18

目次

1

本日の内容・連絡事項

2

複素数の定義と基本的な性質 複素指数関数のフライング導入 極形式

定義 偏角

極形式と偏角の例

演算の幾何学解釈

合同式のおさらい 原点の周りの回転

3

おまけ

^宿題

^{を解くための注意補足}

4

参考文献

かつらだまさし

本日の内容・連絡事項

9

月

日に宿題

を出します

の「複素関数演習」のレポート を見て下さい。締め切り

月

日

(重要)

複素関数、複素関数演習は両方履修するようお願いしています。も しも複素関数のみを履修する人は、宿題の提出は次のようにして下さい。

水曜日の段階で

「授業

サイト」

にアクセスして宿題の課題文を読みレポートを作成し、翌週の火曜

までに

メールを使って、

あっと

どっと

どっ と

までに送って下さい。

本来ならば先週の宿題の解説をすべきところですが、それは来週まで延期 して、宿題

の提出は

月

日

まで認めます。(返却はそれ以前に 始めるかもしれません。特に難しくないので、解説が遅くなっても大丈夫 だと考えています。)

今日は、講義ノート

の

の内容を講義する。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 3 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

この講義では多くの初等関数を冪級数を用いて定義する。指数関数について、

そうすると

e^z = expz :=

X∞ n=0

zⁿ

n! (冪級数による定義)

となる。

しかし、指数関数は便利なので、冪級数の説明に先走って導入する。後 で冪級数で定義しても同じであることを確認する。

定義

複素指数関数

z =x+yi (x,y ∈R)

に対して、

(1) e^z = expz :=e^x(cosy+isiny).

赤字は実関数としての指数関数。本来は別の記号にすべきかもしれないが拡張 なので同じ記号にする。

(細かい注)e^z

と書くと「e の

乗」と読みたくなり、実際にそう呼んだりする

が、複素数の場合に一般の

の冪乗はまだ定義し ていないので、本当はおかしい。

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

この講義では多くの初等関数を冪級数を用いて定義する。指数関数について、

そうすると

e^z = expz :=

X∞ n=0

zⁿ

n! (冪級数による定義)

となる。しかし、指数関数は便利なので、冪級数の説明に先走って導入する。後 で冪級数で定義しても同じであることを確認する。

定義

複素指数関数

z =x+yi (x,y ∈R)

に対して、

(1) e^z = expz :=e^x(cosy+isiny).

赤字は実関数としての指数関数。本来は別の記号にすべきかもしれないが拡張 なので同じ記号にする。

(細かい注)e^z

と書くと「e の

乗」と読みたくなり、実際にそう呼んだりする

が、複素数の場合に一般の

の冪乗はまだ定義し ていないので、本当はおかしい。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 4 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

この講義では多くの初等関数を冪級数を用いて定義する。指数関数について、

そうすると

e^z = expz :=

X∞ n=0

zⁿ

n! (冪級数による定義)

となる。しかし、指数関数は便利なので、冪級数の説明に先走って導入する。後 で冪級数で定義しても同じであることを確認する。

定義

複素指数関数

z =x+yi (x,y ∈R)

に対して、

(1) e^z = expz :=e^x(cosy+isiny).

赤字は実関数としての指数関数。本来は別の記号にすべきかもしれないが拡張 なので同じ記号にする。

(細かい注)e^z

と書くと「e の

乗」と読みたくなり、実際にそう呼んだりする

が、複素数の場合に一般の

の冪乗はまだ定義し ていないので、本当はおかしい。

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

この講義では多くの初等関数を冪級数を用いて定義する。指数関数について、

そうすると

e^z = expz :=

X∞ n=0

zⁿ

n! (冪級数による定義)

となる。しかし、指数関数は便利なので、冪級数の説明に先走って導入する。後 で冪級数で定義しても同じであることを確認する。

定義

複素指数関数

z =x+yi (x,y ∈R)

に対して、

(1) e^z = expz :=e^x(cosy+isiny).

赤字は実関数としての指数関数。本来は別の記号にすべきかもしれないが拡張 なので同じ記号にする。

(細かい注)e^z

と書くと「e の

乗」と読みたくなり、実際にそう呼んだりする

が、複素数の場合に一般の

の冪乗はまだ定義し ていないので、本当はおかしい。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 4 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

実指数関数の拡張である。すなわち

(2) z ∈R⇒e^z=e^z.

実際、z

について、z

このとき、

(3) e^z1+z2=e^z1e^z2.

実際、(実数の世界の) 指数関数の指数法則と三角関数の加法定理により

=e^x1+x2(cos(y₁+y₂) +isin(y₁+y₂))

=e^x1e^x2(cosy1cosy2−siny1siny2+i(siny1cosy2+ cosy1siny2)),

e^z1e^z2 = (e^x1(cosy1+isiny1)) (e^x2(cosy2+isiny2))

=e^x1e^x2(cosy₁cosy₂−siny₁siny₂+i(cosy₁siny₂+ siny₁cosy₂))

であるから

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

実指数関数の拡張である。すなわち

(2) z ∈R⇒e^z=e^z.

実際、z

について、z

このとき、

e^z =e^x(cos 0 +isin 0) =e^x =e^z.

(3) e^z1+z2=e^z1e^z2.

実際、(実数の世界の) 指数関数の指数法則と三角関数の加法定理により

=e^x1+x2(cos(y₁+y₂) +isin(y₁+y₂))

=e^x1e^x2(cosy1cosy2−siny1siny2+i(siny1cosy2+ cosy1siny2)),

e^z1e^z2 = (e^x1(cosy1+isiny1)) (e^x2(cosy2+isiny2))

=e^x1e^x2(cosy₁cosy₂−siny₁siny₂+i(cosy₁siny₂+ siny₁cosy₂))

であるから

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 5 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

実指数関数の拡張である。すなわち

(2) z ∈R⇒e^z=e^z.

実際、z

について、z

このとき、

e^z =e^x(cos 0 +isin 0) =e^x =e^z.

(3) e^z1+z2=e^z1e^z2.

実際、(実数の世界の) 指数関数の指数法則と三角関数の加法定理により

=e^x1+x2(cos(y₁+y₂) +isin(y₁+y₂))

=e^x1e^x2(cosy1cosy2−siny1siny2+i(siny1cosy2+ cosy1siny2)),

e^z1e^z2 = (e^x1(cosy1+isiny1)) (e^x2(cosy2+isiny2))

=e^x1e^x2(cosy₁cosy₂−siny₁siny₂+i(cosy₁siny₂+ siny₁cosy₂))

であるから

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

実指数関数の拡張である。すなわち

(2) z ∈R⇒e^z=e^z.

実際、z

について、z

このとき、

e^z =e^x(cos 0 +isin 0) =e^x =e^z.

(3) e^z1+z2=e^z1e^z2.

実際、(実数の世界の) 指数関数の指数法則と三角関数の加法定理により

=e^x1+x2(cos(y₁+y₂) +isin(y₁+y₂))

=e^x1e^x2(cosy1cosy2−siny1siny2+i(siny1cosy2+ cosy1siny2)),

e^z1e^z2 = (e^x1(cosy1+isiny1)) (e^x2(cosy2+isiny2))

=e^x1e^x2(cosy₁cosy₂−siny₁siny₂+i(cosy₁siny₂+ siny₁cosy₂))

であるから

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 5 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

実指数関数の拡張である。すなわち

(2) z ∈R⇒e^z=e^z.

実際、z

について、z

このとき、

e^z =e^x(cos 0 +isin 0) =e^x =e^z.

(3) e^z1+z2=e^z1e^z2.

実際、(実数の世界の) 指数関数の指数法則と三角関数の加法定理により

=e^x1+x2(cos(y₁+y₂) +isin(y₁+y₂))

=e^x1e^x2(cosy1cosy2−siny1siny2+i(siny1cosy2+ cosy1siny2)),

e^z1e^z2 = (e^x1(cosy1+isiny1)) (e^x2(cosy2+isiny2))

=e^x1e^x2(cosy₁cosy₂−siny₁siny₂+i(cosy₁siny₂+ siny₁cosy₂))

であるから

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

(4) (∀z ∈C) e^z ̸= 0, e^−z= 1

e^z. (∀

を書くのは強調しているつもり。)

実際

なので、e

割り算して

は意外と重要である。

z

が純虚数のときを考える。z

のとき

であるから…)

この式に慣れるべき！

図形的に把握することを勧める

注意

教育的指導

e^iθ を見ると、ほとんど反射的に(5)を使って、cos, sinで表現して計算する人が毎年か なりの数いるが、複素指数関数で表現できているものは、たいていの場合は、複素指数関 数のままで計算する方が便利である。いつもcos, sinに直していては、複素指数関数に 慣れる機会が失われてしまうので、どちらかというと、できる限り複素指数関数のまま で計算するよう心がけることを勧める。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 6 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

(4) (∀z ∈C) e^z ̸= 0, e^−z= 1

e^z. (∀

を書くのは強調しているつもり。) 実際

なので、e

割り算して

は意外と重要である。

z

が純虚数のときを考える。z

のとき

であるから…)

この式に慣れるべき！

図形的に把握することを勧める

注意

教育的指導

e^iθ を見ると、ほとんど反射的に(5)を使って、cos, sinで表現して計算する人が毎年か なりの数いるが、複素指数関数で表現できているものは、たいていの場合は、複素指数関 数のままで計算する方が便利である。いつもcos, sinに直していては、複素指数関数に 慣れる機会が失われてしまうので、どちらかというと、できる限り複素指数関数のまま で計算するよう心がけることを勧める。

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

(4) (∀z ∈C) e^z ̸= 0, e^−z= 1

e^z. (∀

を書くのは強調しているつもり。) 実際

なので、e

割り算して

は意外と重要である。

z

が純虚数のときを考える。z

のとき

であるから…)

この式に慣れるべき！

図形的に把握することを勧める

注意

教育的指導

e^iθ を見ると、ほとんど反射的に(5)を使って、cos, sinで表現して計算する人が毎年か なりの数いるが、複素指数関数で表現できているものは、たいていの場合は、複素指数関 数のままで計算する方が便利である。いつもcos, sinに直していては、複素指数関数に 慣れる機会が失われてしまうので、どちらかというと、できる限り複素指数関数のまま で計算するよう心がけることを勧める。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 6 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

(4) (∀z ∈C) e^z ̸= 0, e^−z= 1

e^z. (∀

を書くのは強調しているつもり。) 実際

なので、e

割り算して

は意外と重要である。

z

が純虚数のときを考える。z

のとき

であるから…)

この式に慣れるべき！

図形的に把握することを勧める

注意

教育的指導

e^iθ を見ると、ほとんど反射的に(5)を使って、cos, sinで表現して計算する人が毎年か なりの数いるが、複素指数関数で表現できているものは、たいていの場合は、複素指数関 数のままで計算する方が便利である。いつもcos, sinに直していては、複素指数関数に 慣れる機会が失われてしまうので、どちらかというと、できる限り複素指数関数のまま で計算するよう心がけることを勧める。

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

このスライドの式は、(5) を用いて確かめ、かつ図形的に理解

しよう。

(6) e^π2i=i, e^πi=−1, e^32πi =−i, e^2πi = 1.

(7) cosθ=Ree^iθ, sinθ=Ime^iθ. (5)

で

の代わりに

を代入すると

(8) e^−iθ= cosθ−isinθ.

e^iθ

と

は単位円上にあり、実軸に関して対称)

e^iθ.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 7 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

このスライドの式は、(5) を用いて確かめ、かつ図形的に理解

しよう。

(6) e^π2i=i, e^πi=−1, e^32πi =−i, e^2πi = 1.

(7) cosθ=Ree^iθ, sinθ=Ime^iθ.

(5)

で

の代わりに

を代入すると

(8) e^−iθ= cosθ−isinθ.

e^iθ

と

は単位円上にあり、実軸に関して対称)

e^iθ.

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

このスライドの式は、(5) を用いて確かめ、かつ図形的に理解

しよう。

(6) e^π2i=i, e^πi=−1, e^32πi =−i, e^2πi = 1.

(7) cosθ=Ree^iθ, sinθ=Ime^iθ. (5)

で

の代わりに

を代入すると

(8) e^−iθ= cosθ−isinθ.

e^iθ

と

は単位円上にあり、実軸に関して対称)

e^iθ.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 7 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

このスライドの式は、(5) を用いて確かめ、かつ図形的に理解

しよう。

(6) e^π2i=i, e^πi=−1, e^32πi =−i, e^2πi = 1.

(7) cosθ=Ree^iθ, sinθ=Ime^iθ. (5)

で

の代わりに

を代入すると

(8) e^−iθ= cosθ−isinθ.

e^iθ

と

は単位円上にあり、実軸に関して対称)

e^iθ.

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

(5)e^iθ= cosθ+isinθ

と

を、cos

の連立方程式 として解くと

(10) cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 , sinθ= e^iθ−e^−iθ 2i .

しょっちゅう出て来るので、そのうち慣れるはず。最後には覚える、と覚悟する。

絶対値については、

であるから

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 8 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

(5)e^iθ= cosθ+isinθ

と

を、cos

の連立方程式 として解くと

(10) cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 , sinθ= e^iθ−e^−iθ 2i .

しょっちゅう出て来るので、そのうち慣れるはず。最後には覚える、と覚悟する。

絶対値については、

であるから

かつらだまさし

1.8 複素指数関数のフライング導入

(12) (e^z)ⁿ=e^nz (n∈Z,z ∈C).

実際、n

の場合は、両辺とも

であるから、成立する。n

の場合は

であるから、

のとき

のときは、

とすると、

e^mz = 1

(e^z)^m = (e^z)^−m= (e^z)ⁿ.

特に

に対して

=e^inθ.

すなわち

(13) (cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ (de Moivre の公式).

(

結局は三角関数の加法定理と帰納法で、高校の時と違う証明をしたわけでは ない。

注意

一般の冪

一般の冪a^bはまだ定義していない(しばらくはお預けである)。実は( a^b)c

=a^bc の形の 指数法則は一般には成り立たない。(12)は、その形の指数法則とはみなさない方が良い。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 複素関数・同演習 第3回 2020年9月29日 9 / 18

1.8 複素指数関数のフライング導入

(12) (e^z)ⁿ=e^nz (n∈Z,z ∈C).

実際、n

の場合は、両辺とも

であるから、成立する。n

の場合は

であるから、

のとき

のときは、

n=−m

とすると、e

e^mz = 1

(e^z)^m = (e^z)^−m= (e^z)ⁿ.

特に

に対して

=e^inθ.

すなわち

(13) (cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ (de Moivre の公式).

(

結局は三角関数の加法定理と帰納法で、高校の時と違う証明をしたわけでは ない。

注意

一般の冪

一般の冪a^bはまだ定義していない(しばらくはお預けである)。実は( a^b)c

=a^bc の形の 指数法則は一般には成り立たない。(12)は、その形の指数法則とはみなさない方が良い。

かつらだまさし